Свойства операторов взаимного преобразования спектров Текст научной статьи по специальности «Математика»

СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ ВЗАИМНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

СПЕКТРОВ Сюзев В.В.1, Смирнова Е.В.2, Гуренко В.В.3 Email: Syuzev17131@scientifictext.ru

'Сюзев Владимир Васильевич — доктор технических наук, профессор; 2Смирнова Елена Валентиновна — кандидат технических наук, доцент; 3Гуренко Владимир Викторович, — доцент, кафедра компьютерных систем и сетей, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,

г. Москва

Аннотация: статья продолжает серию оригинальных исследований в области быстрых алгоритмов цифровой обработки сигналов, выполненных авторами, и представляет собой обобщающее заключение об основных свойствах операторов взаимного преобразования спектров имитационных сигналов; описанные в статье результаты работы применимы как при разработке самостоятельных операторов преобразования спектров, так и в качестве подготовительной процедуры в составе более сложных алгоритмов цифровой обработки дискретных сигналов.

Работа выполнена в рамках проекта 2.7782.2017/БЧ «Методы имитации детерминированных и случайных одномерных и многомерных сигналов в научных задачах моделирования информационно-управляющих систем реального времени», осуществляемого при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации.

Ключевые слова: цифровая обработка сигналов, ядро преобразования спектров, вычислительная сложность, спектральные коэффициенты.

THE PROPERTIES OF THE OPERATOR FOR THE MUTUAL TRANSFORMATION OF SPECTRA Syuzev V.V.1, Smirnova E.V.2, Gurenko V.V.3

'Syuzev Vladimir Vasilievich — Doctor of technical science, Professor; 2Smirnova Elena Valentinovna — PhD, Associate Professor;

3Gurenko Vladimir Viktorovich — Associate Professor, COMPUTER SYSTEMS AND NETWORKS DEPARTMENT, BAUMAN MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY, MOSCOW

Abstract: the article continues a series of studies in the field offast algorithms of digital signal processing, performed by the authors, and is a generalizing conclusion about the basic properties of the operators of mutual transformation of spectra; the results described in the article are applicable both in the development of independent spectrum conversion operators and as a preparatory procedure for other complex algorithms' development in the field ofdiscrete signals digital processing.

The research is supported by Russian Federation Ministry of Science and Education and was carried on in the framework of the project #2.7782.2017/BC «Methods of deterministic and random one-dimensional and multidimensional signals' simulation in the field of real-time information control systems realization».

Keywords: digital signal processing, the core of the transformation of the spectra, computational complexity, spectral coefficients.

УДК 621.39'

Настоящая статья является продолжением статьи, опубликованной в данном журнале [1], и посвящена математическому описанию теоретического обоснования получения оператора взаимного преобразования спектров - ключевого элемента быстрых алгоритмов цифрового преобразования сигналов, используемого для их воспроизведения в различных базисных системах [1-6]. В работе [1] в разделе «Матрица ядра Фурье» показан обобщенный оператор преобразования спектров и перечислены возможные способы снижения вычислительной сложности алгоритма имитации за счет выделения групп ненулевых элементов и получения уравнений преобразования спектров для этих групп. Здесь будет подробно изложена последовательность получения оператора и показаны пути дальнейшего развития

теоретических основ создания быстрых алгоритмов имитации сигналов. Для каждого вида преобразований спектров с использованием разных базисов получены уравнения преобразования спектров, как исходный теоретический материал для синтеза улучшенных алгоритмов имитации дискретных сигналов.

В статье [3] описан метод синтеза алгоритмов имитации сигналов с задаваемой функцией спектральной плотности дисперсии (ФСПД) на основе оригинальной модификации тригонометрической модели Пугачева с последующим ее преобразованием в спектральную модель в базисе функций Адамара. Для реализации процедуры перехода от тригонометрического базиса Фурье к базису Адамара предложен оператор преобразования спектров, математическую основу которого составляет ядро Фурье специфической структуры. Исследование его структуры позволило авторам сформулировать правило выделения независимых групп ненулевых элементов ядра, что привело к сокращению вычислительной сложности процесса преобразования спектров и, в конечном итоге, позволило разработать новые эффективные алгоритмы имитации стационарных и нестационарных сигналов в ряде систем базисных функций, включая базисы Уолша, Адамара, Виленкина-Крестенсона, Хартли и другие.

Обобщенный оператор преобразования спектров

В работах [1-5] показаны подробно те особенности ядра Фурье, которые позволяют выделить независимые группы ненулевых элементов. Приведем здесь математическую запись ядра Фурье еще раз:

N 2

N-1 2

ХА (к) = (£)фч (к, т) + (£)фн (к, т), к = 0,1,..., N-1, (1)

т=0 т=1

где

1 N-1 2 к Фч (к, т) = — ^ тл) Ьаё(к, /),

т = 0,1,..., —; к = 0,1,..., N -1, 2

1 N-1 2К

Фн (к, т) = — 2 ^^ т/) Иаё(к, ^

N

(2)

(3)

т = 1,2,...,--1; к = 0,1,..., N-1

2

являются четными и нечетными составляющими общего ядра преобразования - ядра Фурье, описанного в работе [1]:

Ф(к, т) = { Фч (к, т), Фн (к, т)}.

В формулах (2) и (3) had(k, ¡) означает к -ю функцию Адамара

п

had(k, /) = cos(к2 КК), (4)

где к и / означают V -е разряды двоичных кодов чисел к и / :

к = 2^; I = 2V-1,

^ ^ ^ (5)

П =

Вычисления по формулам (1) - (5) позволяют получить матрицу ядра Фурье при любых

значениях N = 2п, П = 1,2,....

Рассмотрим пример. Для N = 8 матричное представление ядра Фурье имеет вид, представленный на рисунке 1.

>

ц0Хч (0) «X (1) (1) а2Хч (2) ^ (2) а3Хч (3) ^ (3) ^ (4)

X А (0)

X А (1) X а (2)

X А (3) X А (4) X А (5) X А (6) X А (7)

Фн (4,1) Фч (4,1)

Фн (5,1) Фч(5,1)

Фн(6,1) Фч(6,1)

Фн (7,1) Фч (7,1)

00 00 Фн (2,2) Фч (2,2) Фн (3,2) Фч (3,2) 00 00 00 00

0 0 0 0

Фн (4,3) Фч (4,3)

Фн (5,3) Фч (5,3) Фн (6,3) Фч (6,3) Фн (7,3) Фч (7,3)

0 1

0 0 0 0 0 0

Рис. 1. Матрица ядра Фурье для N = 8

Матрица (см. рисунок 1) содержит 42 нулевых элемента, 2 единичных и 20 ненулевых элементов, равных соответственно:

Фн (2,2) = Фч (2,2) = Фч (3,2) = 0.5; Фн (3,2) = -0.5;

Фн (4,1) = Фч (6,1) = Фч (7,3) = ; Фн (4,3) = ^^; Фч (4,1) = Фч (5,1) = Фч (4,3) = Фч (5,3) = Фн (6,3) = Фн (7,3) = 0.25; Фн (5,3) = ; Фн (6,1) = Фн (7,1) = -0.25;

2

Фн (5,1) = Фч (6,3) = Фч (7,1) = -

л/2-1

4

Нулевые элементы в матрице ядра располагаются таким образом, что с их помощью можно выделить ненулевые элементы и образовать четыре независимые группы, каждая из которых не содержит элементы других групп. В этом примере первая группа включает в себя один элемент

Фч (0,0) = 1, вторая группа - один элемент Фч (1,4) = 1, третья группа - четыре элемента Ф (2,2), Ф (2,2), Ф (3,2), Ф (3,2) и последняя, четвертая группа

все остальные

ненулевые элементы.

Поскольку при преобразовании спектры тригонометрического базиса и базиса Адамара связаны между собой соответствующими элементами ядра, правило образования независимых групп переносится и на спектральные коэффициенты Фурье и Адамара. Из них также можно

образовать четыре группы, в первую из которых будут входить коэффициенты Xч (0) и

XA (0), во вторую - Xч (4) и XA (1), в третью - а2Xч (2), Xч (2) и

XA (2), XA (3), а в последнюю - все остальные коэффициенты. Справедливость этого правила подтверждается получаемыми при этом уравнениями преобразования спектров:

Xа (0) ^ч (0); XА (1) = ц4 Xч (4);

"^а (2) = ^ Xч (2)Фч (2,2) + «2 Xч (2)Фн (2,2);

"^а (3) = ^2 Xч (2)Фч (3,2) + «2 Xч (2)Фн (3,2);

(4) = ^ (1)фч (4,1) + «X (1)фн (4,1) + ^ (3)фч (4,3) + a^Xч (3)фн (4,3); ^^А (5) = (1)фч (5,1) + (1)фн (5,1) + ^ч (3)фч (5,3) + «3^ (3)ф, (5,3); ^^а (6) ^ч (1)фч (6,1) + (1)фн (6,1) + ^ (3)фч (6,3) + (3)фн (6,3); ^'а (7) = цЛ (1)Фч (7,1) + «X (1)Фн (7,1) + ^ (3)Фч (7,3) + a^Xч (3)Ф, (7,3);

Правило образования групп удобно иллюстрировать при помощи специальной таблицы. Для N = 8 правило будет иметь вид, представленный в таблице 1.

Таблица 1. Правило образования групп для N = 8

Номер группы Число коэффициентов в группе Коэффициенты Адамара Тригонометрические коэффициенты

1 1 Ха (0) Ц Хч (0)

2 1 Ха (1) Ц Хч (4)

3 2 Ха (2), ХА (3) ц Хч (2), а2 Хч (2)

4 4 ХА (4), ХА (5), Ха (6), ХА (7) ц Хч (1), а! Хч (1), ц Хч (3), а з Хч (3)

Анализируя ядра для других значений N и обобщая результаты, для произвольного

N = 2п

матрица ядра содержит

2(N2 -1) 3

нулевых и

N2 + 2 3

ненулевых элементов,

причем в число последних входят и два единичных элемента.

Преобразования спектров из базиса дискретных экспоненциальных функций в базис функций Виленкина-Крестенсона в упорядочениях Адамара и Пэли

В работах [5, 6] предложена система уравнений преобразования спектров из базиса дискретных экспоненциальных функций в базис функций Виленкина-Крестенсона в упорядочениях Адамара и Пэли. Показано, что преимущество полученных уравнений по вычислительной сложности перед полным перебором элементов ядра Фурье зависит от выбранной системы счисления. Результаты работы применимы как при разработке самостоятельных операторов преобразования спектров, так и в качестве подготовительной процедуры в составе более сложных алгоритмов цифровой обработки дискретных сигналов.

В работе [6] авторы предложили использовать оператор преобразования спектров в базисе Адамара для имитации случайных сигналов с помощью алгоритма

N п+1 2у-2-1

у(0 = цХ (0) + (-) Ьа<1(1,0 + Х X Xа (27-2 + Г) Ьа^2у-2 + Г, г)

2

7=3 Г=0

г £ [0,N).

(6)

спектральные коэффициенты которого определяются следующей системой уравнений с введением некоррелированных случайных параметров и ак :

.2 N

2у-3 -1

{ц2N„ _ А(1 + 2Ч),2у-2 + Г] +

Ха (2у-2 + Г) = X

-(1+2т)

2

т=0

а.

-(1+2т)

2 N

7[— (1 + 2т), 2у-2 + Г ]},

2у

(7)

у = 3,4,..., п +1; Г = 0,1,...,2у -1,

Алгоритм (6) с использованием уравнений (7) не содержит нетривиальных умножений и

требует выполнения

4N2 - 6 N + 2 3

операций сложения. Дальнейшие упрощения при

использовании быстрых преобразований Адамара [5] позволяют сократить число операций

N2 + 3N (п -1) + 2 „ ,,

сложения до величины -Ь-- и делают предложенный алгоритм эффективным

3

вычислительным средством имитации стационарных случайных сигналов.

Выделение независимых групп элементов ядра Фурье в базисе функций Виленкина-Крестенсона

Пример матрицы ядра Фурье для преобразования спектров из базиса дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ) в базис функций Виленкина-Крестенсона (ВКФ) приведен на рисунке 2. В данном случае использовано упорядочение Пэли базисных функций, значения р и п приняты равными 3 и 2 соответственно.

■Хдэф ■^ВКФ 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 ф(1,1) 0 0 Ф(1,4) 0 0 Ф(1,7) 0

2 0 0 Ф(2,2) 0 0 Ф(2,5) 0 0 Ф(2,8)

3 0 0 0 1 0 0 0 0 0

4 0 Ф(4,1) 0 0 Ф(4,4) 0 0 Ф(4,7) 0

5 0 0 Ф(5,2) 0 0 Ф(5,5) 0 0 Ф(5,8)

6 0 0 0 0 0 0 1 0 0

7 0 Ф(7,1) 0 0 Ф(7,4) 0 0 Ф(7,7) 0

8 0 0 Ф(8,2) 0 0 Ф(8,5) 0 0 Ф(8,8)

Рис. 2. Ядро Фурье преобразования спектров из ДЭФ в ВКФ-Пэли для р — 3, П — 2

Формулы для номеров групп и номеров коэффициентов в них для ядра Фурье перехода из базиса ДЭФ в базис ВКФ в упорядочении Пэли приведены в таблице 2.

Таблица 2. Правило образования независимых групп для преобразования спектров из ДЭФ в ВКФ-Пэли

Номер группы Количество коэффициентов в группе Номера коэффициентов в группе

0 1 0

1 1 Р-1

1 (р -ОР"

Р Р рП-2, р"-2(1 +р), о , рП"2[1 + Р(Р ~ 1)1

2 (р - 1) Р рП-2(р - 1), Р"-2(Р - 1 + Р), О , р"-2[(р-1)+р(р-1)1

Таблица 2. (продолжение). Правило образования независимых групп для преобразования спектров из ДЭФ в

ВКФ-Пэли

Номер группы Количество коэффициентов в группе Номера коэффициентов в группе

Х(р - 1) + 1 рП-Х-1, +р), ... , р„_Х- 1Ц + р(р_ 1)]

(Я+1)(р-1) р\ рп-Х-1(р - 1), рп-Х-1[(р -1) +р], ... , рп-Х-1[(р - 1) + Р(Р ~ D1

(п - 1)(р - 1) + 1 рп-1 1, 1 + р, ... , 1 + (рп-1 - 1)р

п (Р - 1) рП-1 р — 1, (р — 1) + р, ... , рп — 1

Преобразование тригонометрического спектра Фурье в обобщенный спектр Хартли-Адамара

В общем случае для нечетных р для случая преобразования тригонометрического спектра Фурье в обобщенный спектр Хартли-Адамара матрица ядра Фурье будет содержать один элемент, равный 1, 2(р -1) элементов, равных +0.5 , (2N2 + р -1)/(р +1) иных

ненулевых элементов и (N2 -1)(Р —1)//(Р + 1) элементов, равных нулю. Из ненулевых

элементов и соответствующих им спектральных коэффициентов можно образовать п (р — 1) / 2 +1 независимых групп согласно правилу, сформулированному в таблице 3.

Таблица 3. Правило образования групп для нечетного р

Номер группы Число элементов в группе Обобщенные коэффициенты Хартли-Адамара Тригонометрические коэффициенты Фурье

0 1 XА (0) Xч (0)

к , к = 1,2,...,р-1 2 2 XА (к),ХА (р - к) Хн (крп-1) Хч (крп-1)

р-1 + 2 + (т -1)(п -1) + +Х, т = 1,2,...,-^, 2 X = 1,2,., п-1 2 рх Xа (трх + у), Ха [(р - т) рх + у], у = 0,1,., рх-1 ХН + р) ,Хч "Х+1(т + ру) , 1 р \ [ р ] у = 0,1.....рХ 2 Хн "Т+Г(р - т + ру) , Хч "Т+Г(р - т + ру) , 1 р \ [ Р ] у = 0,1.....р' - 3 2

С учетом правила образования групп ненулевых элементов матрицы ядра Фурье получено аналитическое описание оператора преобразования тригонометрического спектра Фурье в обобщенный спектр Хартли-Адамара, который для нечетного р > 3 записывается следующим образом:

ХА (0) = Хч ( 0), ^

XА (к) = Xн (крп-1) фн (к, крп-1) + Хч (крп-1) Фч (к, крп-1), Ха (р - к ) = Xн (крп-1) Фн (р - к, крп-1) + Хч (крп-1) Фч (р - к, крп-1) , р-1.

£ = 1,2,...,

(9)

2

ХА (тр х + ] )=£]х,

1=0 [

-(т + р1)

N

(т + р1)

фи

х ■ N , л

тР + (т + Р1)

+ XЧ N

_ рш

рх-3

2 г

+ 1 кН

1=0 1

+ XЧ " N

рш

ф

х ■ N , ,ч

тР + (т + Р1)

N

(р - т + р1)

ф

-(р - т + р1)

ф

х . N , ,ч

тр + J,-ш (р - т+р1 )

N

тр + Лу^ (р - т + р1)

рх-1 2

XА (( р - т ) рх + J

N / л уХ+Г ( т + р1 )

Ф,

N

(р - т ) рх + (т + рI)

р

+ X Ч N р х+г

рх -3

2 + Х 1X Н

1=0 1

+ X Ч " N „ Х+1

Ф

N

( р - т ) рх + Л-х+г (т + р1 )

р

-4+г (р - т+р1) р

Ф

Ф

(р - т) р 'к + (р - т+р1) р

N

(11)

(р - т) рх + У,-х+г(р - т + р1)

р

да =1,2,...

Р~ 1.

2 :

Для четных значенийр соотношения можно получить аналогично.

Выводы: Основные свойства оператора преобразования спектров

На основании изложенного можно сказать, что матрица ядра Фурье, разработанная для спектрального перехода между базисами, как правило, имеет разреженный факторизованный характер, то есть может содержать большое количество нулевых элементов.

Для уменьшения вычислительной сложности подготовительного этапа имитации сигналов необходимо исключить операции с нулевыми операндами. С этой целью предложен механизм выделения независимых групп ненулевых элементов ядра Фурье. Из ненулевых элементов и соответствующих им спектральных коэффициентов можно образовать определенное количество независимых групп согласно правилам, определяемым для каждой конкретной пары систем базисных функций (примеры правил см. в таблицах 1-3).

При выделении независимых групп ненулевых элементов в матрице ядра Фурье использовано следующее общее правило: каждый помещаемый в группу ненулевой элемент вводит в нее всю строку и весь столбец ненулевых элементов, которым он принадлежит. При этом следует учитывать, что каждая строка, как и каждый столбец, не могут находиться более чем в одной группе. Номера строк и столбцов в группе (а, значит, и соответствующих спектральных коэффициентов) таковы, что ненулевые элементы любой строки группы находятся во всех столбцах группы и только в них. Аналогично, ненулевые элементы любого столбца группы находятся во всех строках той же группы и только в них.

Элементы ядра Фурье зависят от четности или нечетности числа отсчетов N . Четность N однозначно определяется четностью основания системы счисления р , поэтому структуру ядра можно рассматривать для четных и нечетных значений р .

Для сохранения условий стационарности имитируемых процессов оператор преобразования спектров (ядро Фурье) должен иметь специфическую структуру. В частности, ядро должно быть факторизованным, содержать нулевые элементы, а из ненулевых элементов образовывать независимые группы [5]. Не все известные базисы приводят к такому результату. Поэтому

х 1 р -1

1=0

+

т

выбор базисной системы для имитации случайных сигналов становится важной теоретической

и прикладной задачей.

Список литературы / References

1. Сюзев В.В., Смирнова Е.В., Гуренко В.В. Быстрые алгоритмы моделирования сигналов // Проблемы современной науки и образования. 2018. Выпуск 11 (принята к публикации).

2. Гуренко В.В., Бычков Б.И. Особенности преобразования тригонометрических спектров в базисе обобщенных функций Хартли // Технологии инженерных и информационных систем, 2018. № 3. С. 24-32.

3. СюзевВ.В., Гуренко В.В., Кучеров К.В., ПарфенюкЕ.В. Операторы преобразования спектров в базисах Фурье и Уолша // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017. № 2. С. 138-156. DOI:10.7463|0217.0000939.

4. Proletarsky A.V., Syuzev V.V., Gurenko V.V., Smirnova E.V. Spectral Method of Simulation Algorithms' Synthesis of Pseudo-Random Discrete Signals with Variable Energy Characteristics in the Walsh-Hadamard Basis // Proceedings of the 2018 IEEE Northwest Russia Conference on Mathematical Methods in Engineering and Technology (MMET NW), 10-14 September, 2018. St. Petersburg, Russia: Saint Petersburg Electrotechnical University "LETI". 590 p. ISNN: 978-15386-5824-6/18. PP. 357-360.

5. Сюзев В.В. Основы теории цифровой обработки сигналов. Учебное пособие. М.: Издательство «РТСофт», 2014. 752 с.

6. Сюзев В.В., Гуренко В.В., Кучеров К.В., Парфенюк Е.В. Спектральные алгоритмы имитации случайных сигналов в рамках корреляционной теории в базисе Адамара // Технологии инженерных и информационных систем, 2017. № 2 С. 51-64.

СЖИГАНИЕ ЖИДКОЙ СЕРЫ В АТМОСФЕРЕ СУХОГО ВОЗДУХА И УТИЛИЗАЦИЯ ТЕПЛА ПОЛУЧЕНИЕМ НАСЫЩЕННОГО ПАРА Гумбатов М.О. Email: Gumbatov17131@scientifictext.ru

Гумбатов Магомед Орудж — кандидат технических наук, доцент, кафедра чрезвычайных ситуаций и безопасности жизнедеятельности, факультет строительной технологии, Азербайджанский архитектурный строительный университет, г. Баку, Азербайджанская Республика

Аннотация: в статье описан процесс сжигания жидкой серы в атмосфере сухого воздуха и технологический цикл утилизации тепла получением насыщенного пара в производстве серной кислоты контактным методом. Приведены основные стадии процесса горения серы и технологические параметры, влияющие на ход химической реакции. Показаны основные параметры технологического процесса, температурно-водный режим, производительность, давление и некоторые конструктивные данные оборудования. Подробно описаны все технические характеристики котла-утилизатора и в целом энергетической установки (котел-утилизатор, деаэратор, подогреватель, испаритель, охладитель и др.). Ключевые слова: пар, котел-утилизатор, серная кислота, деаэратор, насыщенный пар.

BURNING OF LIQUID SULFUR IN THE ATMOSPHERE OF DRY AIR AND UTILIZATION OF HEAT RECEIVING SATURATED STEAM

Gumbatov М.О.

Gumbatov Maqomed Orudj — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT EMERGENCY SITUATIONS AND HEALTH AND SAFETY,

FACULTY CONSTRUCTION TECHNOLOGY, AZERBAIJAN UNIVERSITY OF ARCHITECTURE AND CONSTRUCTION, BAKU, REPUBLIC OF AZERBAIJAN

Abstract: in article process of burning of liquid sulfur in the atmosphere of dry air and a production cycle of utilization of heat by receiving saturated steam in production of sulfuric acid by a contact method is described. The main stages of process of burning of sulfur and technological parameters