УДК 511.3
СВОЙСТВА КОМБИНАЦИЙ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ Ф И В КРИТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЕ РИМАНА
В.Ю. Макаров
Статья посвящена изучению комбинаций производных функций Ф(ехр(2и)) и (ехр(2и)) в критической полосе Римана.
Ключевые слова : специальные функции, производные, соотношения, критическая полоса Римана .
Рассмотрим функции
+ ¥ _ 2 +¥ _ 2 2 Ф(х) = £ е п х и ¥2(х) = X е п Р х определенные на луче [0,+¥). п = 1 п = 1
Справедлива теорема для производных 1-го и 2-го порядков от специальных функций
О Т Т
Ф(х) и Ч2(х) , если х = е по переменной и, если и = 0. Теорема 1. Справедливо соотношение в критической полосе Римана Ф (1)(1) + Ф (2)(1)
= V Р .
4^(1)+^(1)
Доказательство. Так как для всех и е [0,+¥) справедливо соотношение
+ ¥ п 2- 2и ^ и +¥ р 2п 2е 2и
1 + 2 £ е_ п е =4Реи(1 + 2 £ е_ Р п е ) п =1 п =1
2 _ 1
в работе [1] рассматривалось соотношение 1 + 2¥(х) = х 2 (1 + 2¥(х )) , где
+ ¥ _ ш 2
х) = £ е и изучались производные всех порядков .
п=1
Дифференцируя последнее равенство по переменной и получим :
2и +¥ 2 п2- 2и ,— и +¥ р2п2е2и
4е_2и £ п2е_п е =4Реи(1 + 2 £ е_Р п е )_ п =1 п =1
и +¥ 2 р2п2е2и 2и +¥ 2 п2- 2и
_4Реи4р2е £ п2е_Р п е , тогда 4е_2и £ п2е_п е _1_ п =1 п =1
+ » - ^ =- +£ „ 2е - к 2n2e2U
- 2 £ e n = 1
, следовательно
n = 1
07T+¥ 2 -2U лтт+¥ л -2U птт+¥ 0 2„-2U
- 8e- 2U £ n2e- n e + 8e- 4U £ n4e- n e -4e- 2U £ n2e- n e
n=1
n=1
n=1
2 Г- 3U +¥ 2 -к2n2 2U 4 5U +¥ 4 - 2n2e2U = -12к24ne3U £ n2e к n e + 8к4 4ne^U £ n4e к n e
n=1
n=1
Теперь выберем U = 0, тогда
+ ¥ -- 2 £ n e- n n=1
2 Л Г +
+2
¥
2 + ¥
/"N Z* Л
- 4 £ n2 e- n +4 £ n 4e- n
2 Л
n=1
n=1
= 12[VK
+¥
- 2к2 £ n 2e- к n n=1
2.2 Л
+
+2
Г 2 +¥ 2 -к2n2 4 +¥ 4 - 2n2 Л
- 4к2 £ n2 e к n + 4к4 £ n4 e к n
], следовательно
v n = 1 n = 1 0
F(1) (1) + F(2) (1) = VP (y2(1)(1) + Y2(2) (1)).
Теорема 2. Справедливо соотношение в критической полосе Римана
3F(1) (1) + 2F(2) (1) - 2F(3) (1) - F(4) (1)
3 Y2(1) (1) + 2 Y2(2) (1) - 2Y2(3) (1) - Y2(4) (1)
= v к .
Доказательство. Так как
, -2U +¥ 2 -n2e-2U „ -4U +¥ 4 -n2e-2U
- 6e 2U £ n2e n e + 4e 4U £ n4e n e
n=1
n=1
+ ¥ 2 2 2U + ¥ 2 2 2U
eUVP[-6p2e-2U £ n e-к n e +4к4e4U £ n4e-к n e ], следовательно
n=1
n=1
- 2U +¥ 2 - n2e- 2U - 4U +¥ 4 - n 2 e - 2U 36e 2U £ n2e + 164e 4U £ n4e n e
n=1
n=1
+ ¥ 2 - 2U + ¥ 2 - 2U
112e- 6U £ n6e- n e + 16e- 8U £ n8e- n e
n=1
n=1
+ ¥ 2 2 2U + ¥ 2 2 2U
eU4K[-36к2e £ n2e- к n e +164к4e4U £ n4e- к n e
n=1
n=1
2
, А7Т+¥ 2 2 2и „ _2 2 2и
_ 112р е £ п2е_ Р п е +16р8е8и £ п8е_Р п е ]. п =1 п =1
Пусть переменная величина U принимает значение равное нулю , тогда _ Ф(2)(1) _ 2Ф (3)(1) _ Ф (4)(1) _ 4Р [_ "2(2)(1) _ 2"2(3)(1) _ "2(4)(1)] = 0 и
3Ф(1) (1) + 3Ф(2) (1) _ 4Р [3 "2(1)(1) + 3""2(2) (1)] = 0 складывая два последних равенства , получим
3Ф (1)(1) + 2Ф (2)(1) _ 2Ф (3)(1) _ Ф (4)(1) _ 4Р [3"2(1)(1) + 2"2(2)(1) _ 2"2(3)(1) _ "2(4)(1)] = 0 и теорема 2 доказана .
Теорема 3 . Справедливо соотношение в критической полосе Римана
33Ф (1)(1) + 11Ф (2)(1) _ 36Ф (3)(1) + 2Ф (4)(1) + 24Ф (5)(1) + 8Ф (6)(1) = р 33"2(1)(1) + 11"2(2)(1)_36"2(3)(1) + 2"2(4)(1) + 24"2(5)(1) + 8"2(6)(1) = Р .
Доказательство. Воспользуемся верным равенством
_2и +¥ 2 _п2е_ 2и _4и +¥ 4 _ п 2- 2и
_ 36е 2и £ п2е п е + 164е 4и £ п4е п е _ п =1 п =1
6и +¥ 6 п2- 2и 8и +¥ _ п2 - 2и
_ 112е_ 6и £ п6е_п е + 16е_ 8и £ п8е_п е = п =1 п =1
тт г- 2 +¥ 2 Р2п2е2и л ли +¥ 4 р2п2е2и
= еи4Р[_36р2е2и £ п2е_ Р п е +164р4е4и £ п4е_ Р п е _
п =1 п =1
6 6и +¥ 2 р2п2е2и 8 8и +¥ _ р2п2е2и
_ 112р е £ п2е_Р п е +16р8е8и £ п8е_Р п е ] п =1 п =1
и будем дифференцировать по переменной и два раза , осуществляя преобразования так,
что бы вычислив производную четного порядка , сохранялась симметрия
коэффициентов. В результате чего, получим соотношение
_2и +¥ 2 _п2е_2и _4и +¥ 4 _п2е_2и
_ 216е 2и £ п2е п е + 3792е 4и £ п4е п е _ п =1 п =1
6и +¥ 6 п2- 2и 8и +¥ _ п2 - 2и
_ 8460е_ 6и £ п6е_п е + 5168е_ 8и £ п8е_п е _ п =1 п =1
1П7Т+(Ю in -2U 10 2 -2U
- 1056e- 10U E n10e- n e + 64e- 12U E nl2e- n e =
n = 1 n = 1
U 2 2U +¥ 2 p2n2e2U 4 4U +¥ 4 p2n2e2U
= VPeU[-216p2e2U E n2e- p n e + 3792p4e4U E n4e- p n e -n =1 n =1
6 6U +¥ 6 p2n2e2U 8 8U +¥ _ p2n2e2U
- 8460p e E n6e-p n e + 5168p8e8U E n8e-p n e -
n =1 n =1
in 1ЛГГ + ¥ in „2 2 2U 10 iorr + ¥ 10 „2 2 2U
- 1056p 10e10U E n10e- p n e + 64p 12e12U E n12e- p n e ].
n =1 n =1
Пусть теперь переменная величина U=0 , тогда
Ф(3)(1) + 3Ф (4)(1) + 3Ф (5)(1) + Ф (6)(1) - VP [Y2(3)(1) + 3Y2(4)(1) + 3Y2(5)(1) + Y2(6)(1)] = 0 или
8Ф(3) (1) + 24Ф(4) (1) + 24Ф(5) (1) + 8Ф(6) (1) -VP [8 Y2(3) (1) + 24 Y2(4) (1) + 24 Y2(5) (1) + 8 Y2(6) (1)] = 0 учитывая , что
- 22Ф (2)(1) - 44Ф (3)(1) - 22Ф (4)(1) - VP [-22Y2(2)(1) - 44Y2(3)(1) - 22Y2(4)(1)] = 0 имеем
- 22Ф (2)(1) - 36Ф (3)(1) + 2Ф (4)(1) + 24Ф (5)(1) + 8Ф (6)(1) -VP [-22Y2(2)(1) - 36Y2(3)(1) +
+ 2 Y2(4) (1) + 24 Y2(5) (1) + 8 Y2(6) (1)] = 0 и так как
33Ф(1)(1) + 33Ф(2)(1) - VP[33Y2(2) (1) + 33Y2(3)(1)] = 0 окончательно получим следующее соотношение
33Ф (1)(1) + 11Ф (2)(1) - 36Ф (3)(1) + 2Ф (4)(1) + 24Ф (5)(1) + 8Ф (6)(1) -VP [33Y2(1)(1) + 11Y2(2)(1) -
- 36Y2(3)(1) + 2Y2(4)(1) + 24Y2(5)(1) + 8Y2(6)(1)] = 0 и теорема 3 доказана .
In this paper is devoted to studying of combinations of derivative functions Ф(exp(2U)) and Y2 (exp(2U)) in crical strip .
The key words: special functions derivatives, relations, the critical strip.
Список литературы
1.E. Titchmarsh. The Theory of Riemann Zeta-Function, second edition. Oxford University Press. 1986 .
Об авторе
В.Ю. Макаров - канд., доц. Брянского государственного университета им.
академика И.Г. Петровского, makarov17@ bk.ru .