Свойства формальных структур и их подструктур Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510.67+519.765

В. М. 1ЛЬМАН (ДПТ)

ВЛАСТИВОСТ1 ФОРМАЛЬНИХ СТРУКТУР ТА IX П1ДСТРУКТУР

Для проектування систем пропонуетъся застосовувати формальну структуру, як трикомпонентний об'ект з множиною елементiв, сигнатурою i аксiоматикою. Наведенi деяк1 властивосл структур i !х шдструктур. Розглянуто проблему ввдтворення формально граматичних структур за мовними тдструктурами.

Для проектирования систем предлагается использовать трехкомпонентную формальную структуру со множеством элементов, сигнатурой и аксиоматикой. Приведены некоторые свойства структур и их подструктур. Рассмотрена проблема восстановления формально грамматических структур по языковым подструктурам.

For designing of systems, it has been prposed to use a three-component formal structure with a set of elements, a signature and axiomatics. Some properties of the structures and their substructures have been presented. The problem of recovering the formally grammatical structures with the help of language substructures has been considered.

Проектування багатьох складних систем у тому числ! й систем зал!зничного транспорту можливо пов'язати з побудовою деяко! формально! системи, котра моделюе предметну область проектування. Як вщомо, формальш системи дозволяють будувати мовш конструкци предметних областей { не враховують операци, правила !х застосування та !х властивосл, за якими щ операци виконуються над конструк-тивними об'ектами. Тобто за межами формаль-них систем знаходяться важлив! для проектування систем алгебра!чш властивост операцш I !х алгебра!чна структура. Тому у подальшш робот введено у розгляд новий математичний об'ект - формальна структура. Формальна структура визначена, як упорядкована тршка з множиною елеменпв деяко! предметно! области сигнатурою - множиною операцш та аксю-матикою - сукупшстю аксюм, правил та ш. Таким чином, у межах формальних структур можливо вщтворювати необхщш конструкци предметних областей як мовш конструкци { визначати структури цих конструкцш або формальних ланцюжюв, яю !м вщповщають.

У матер1алах дано! роботи розглянуто об'екти проектування, яю моделюються за до-помогою формальних породжувальних грама-тик [1; 2], з позицш формальних структур { на цш основ! запропоновано новий шдхщ до розв'язання задач!, вщтворення формальних породжувальних граматик.

Попередш вiдомостi. Дамо спочатку декь лька важливих для подальшого визначення конструктивних об'ект!в та необх!дних понять ! позначень.

Нехай А = {о,а^а2,...ап} дов!льний термь нальний з порожн!м елементом о алфавщ

N = {а1, а 2,...а£ } - будь який нетерм!нальний алфав!т ! V = А и N !х словник, тод! позначимо через F(V) вшьну мову на словников! V . Вве-демо у розгляд сигнатуру £ як множину т -

мюних операц!й (-)т, наприклад, операц!! за-

2 2 мщення (— ), операц!! конкатенацп (® ) та

!нших операцш ! введемо [4; 5] наступний фо-рмальний об'ект.

Визначення 1. Породжувальною формальною граматичною структурою формально! гра-матики з сигнатурою £ ! акс!оматикою Л на-звемо упорядковану тр!йку

C = V,Л,

(1)

де акс!оматика Л може складатися з: акс!ом початку, аксюм виводу та шших акс!ом ! систем продукц!й та !х властивостей.

За визначенням 1 формальна структура С е граматичною, тобто е повною у тому розумшш, що, оскшьки ! в граматиках вс! символи словника обов'язково використовуються в аксюмах ! продукщях !! акс!оматики. Тому, зрозум!ло, що за заданою аксюматикою однозначно вщ-творюеться формальна граматична структура та !! граматика, а також породжуеться певна формальна мова. У подальшому розглядають-ся т!льки формально граматичш структури з одноелементною сигнатурою (використовуеть-

ся т!льки операц!я зам!щення (— )) ! аксюма-ми початку та виводу, наприклад, аксюматика Л структури (1) може мати такий вигляд

а — Ъ | а = Ъ - аксюма виводу, Л = ^о —^ аа - аксюма початку, а —Ъа;

за якою породжусться така мова Ь(А) = {аЬк;к е М).

Очевидно, для структури (1) в основному збер^аються результати отримаш для форма-льних граматик, наприклад, у класi формально граматичних структур можливо видiлити класи ВС - структур i УС - структур, яю вщповща-ють контекстно залежним i контекстно вiльним граматикам вщповщно. Крiм того для структур (1) можливо ввести поняття е^валентносп.

Визначення 2. Двi граматичнi структури С i С2 еквiвалентнi (слабко), якщо вони поро-джують одну i ту ж мову, тобто Ь(А1) = Ь(А2).

Для класiв е^валентних структур мають мiсце теореми 1,2 [3].

Теорема 1. У будь якому клас е^валент-ностi граматичних структур завжди iснуe нормальна структура Ск, тобто структура продук-ци i аксiоми аксюматики, яко! мають власти-вiсть (х — у; х е .

Визначення 3. Структура С зветься неско-роченою, якщо продукци i аксiоми И аксюма-тики задовольняють властивостi

(х — у; | х |<| у |, х,у е Р(У)).

Визначення 4. Структура С зветься о - вь льною граматичною структурою, якщо 11 аксю-матика не мютить в собi продукцiй i аксюм типу

(х — о; х е Р(У)) .

Теорема 2. У всякому клас е^валентносп з нескороченою однозначною структурою юнуе однозначна о - вiльна ВС - структура.

Але для формальних граматичних структур можливо встановити новi результати, наприклад, структура (1) е частково ушверсальною вщносно вшьно! мови Е(У) у тому розумшш, що структура визначена на словниковi У с Е(У) i породжуе множину ланцюжкiв Ь(У), по опе-раци замщення за аксiоматикою Л, таку, що мае мюце ланцюг за включенням

Ь(А) с Ь(У) с Р(У) .

Визначення 5. Звичайну формальну структуру С1 = , {—>2 ), Л^ назвемо подструктурою

структури С = (у,{—2),Л, якщо У с У i

Л1 сЛ. Пiдструктура С е порожньою шдст-руктурою, якщо вона породжуе тiльки порож-ню мову Ь = 0, тобто 1) у = {о) = 0 або 2)

Л1 = {хг- —о; 1 е J), або 3) (у = {о) i Л1 = {хг- — о; 1 е J}), або 4) аксiоматика Л1 не мае спiльних символiв зi словником У для ви-воду хоча б одного ланцюжка у е Р(У1).

Зауваження 1. Очевидно, наведене визначення порожньо! тдструктури за умовами 1)-4) еквiвалентнi згiдно з визначенням 2.

Зрозумшо, що довiльна не порожня тдстру-ктура граматично! структури С частково збер> гае за собою той же тип, який мае структура С , тобто як сама структура, так i 11 тдструктури належать до одного з клаав, наприклад, ВС, УС - структур, ^м того ця тдструктура може частково породжувати або зовшм не породжу-вати ш одного ланцюжка мови Ь(А) .

Визначення 6. Пщструктуру С* формально! граматично! структури (1) назвемо поро-джувальною шдструктурою, якщо юнуе вивщ

Ж (I) ланцюжка I у структурi С * с С, такий, що I е Ь(А). Породжувальну пiдструктуру

С* с С, в якiй виводиться тшьки один ланцю-жок I е Ь(А) формально! мови граматично! структури С назвемо структурою ланцюжка I формально! мови Ь(А) .

Отже, довшьна тдструктура граматично! структури С тодi i тшьки тодi породжувальна,

коли !! аксiоматика Л* мiстить у собi хоча б по однiй аксiомi виводу та початку аксiоматики структури С . Оскшьки пiд виводом Ж(I) ланцюжка I е Ь(А) розумiеться упорядкована по-слiдовнiсть безпосередньо виведених у струк-турi С* промiжних ланцюжкiв [1; 2], то взагалi мiж структурою ланцюжка i його виводом iснуе тiльки гомоморфне вщношення, тому вивiд Ж(I) задае тiльки будову ланцюжка I.

Нескладно бачити, що будь яка тдструктура С{ структури С е частково утверсальною вщносно вшьно! мови Р(У) с Р(У), тобто i вщносно мови Е(У).

Нехай С1 i С2 довiльнi тдструктур структури С, шд !х об'еднанням i перетином будемо розумти С1 и С2 = У и У2,1,Л1 и Л2) i С1 ПС2 = У ПУ2,Л1 ПЛ2), причому перетин вважаеться порожнiм, якщо У П У2 =0 або Л1 ПЛ2 =0, або (У1 ПУ2 = 0 i Л1 ПЛ2 =0), тодi, очевидно, справедлива така теорема.

Теорема 3. Не порожшй перетин (об'еднан-ня) сукупностi пiдструктур {Сг-; 1 е I) о - вшь-но! граматично! структури С також утворюе шдструктуру дано! структури, ^м того сукуп-нiсть ушх пiдструктур структури С е структурою - решгткою.

Мiж двома подструктурами С1 i С2 можли-во ввести вiдношення включення: по словнико-вi (С1 (У1) с С2 (У2); У с У2), по аксiоматицi (С1 (Л1) с С2 (Л2); Л1 с Л2). Под включенням пiдструктур С1 с С2 в подальшому розумiеться включення по словниковi i по аксюматищ цих пiдструктур. Отже, мiж двома тдструктурами С1 i С2 юнуе вiдношення включення с тодi i тiльки тодi, коли мають мюце включення (У1 с У2, Л1 с Л2) або (У1 с У2, Л1 с Л2), або

таке - (У с у, Л1 сЛ 2 ) .

Визначення 7. Сукупнють (не усiх порож-шх) пiдструктур С1, для яких виконуеться умо-

ва <|С1; 1 е I, ^^ Сг- = С| називаеться системою

утворюючих пiдструктур структури С. Якщо система утворюючих шдструктур структури С складаеться з двох шдструктур С i С2, таких що С1 и С2 = С i С1 П С2 =0 , то пiдструктура С2 е доповненням пiдструктури С1 до формально! структури С .

Система утворюючих шдструктур {Сг-} формально! структури С називаеться повною системою у тому розумшш, що вона повшстю вщтворюе формальну структуру С i в нш нема зайвих пiдструктур, яю не впливають на вод-творення структури С . Виходячи з того, що словник У i аксюматика Л формально! грама-тично! структури С е скiнченними, приходимо до висновку, що система утворюючих подструктур {Сг-) також е сюнченною множиною.

Лема 1. Нехай шдструктура С2 е доповненням тдструктури С1 до формально! структури С , тодi множину усiх пiдструктур {Сг-) структури С можливо розбити на три класи пiдструк-

тур: К1 ={CJ.|CJ. с С1}, К2 ={CJ■|CJ. с С2};

Кз = {CJ | CJ П С1 е К1, CJ П С2 е К2 } .

Наслщок 1. Очевидно, що лема 1 мае мюце i в тому випадку, коли доповнення

С2 = и Ск ,

к

де Ск ^ С1 тдструктури формально! структури С .

Результат леми розбиття на класи е корис-ним для визначення будови множини подструктур формально! структури, зокрема, будови !! системи утворюючих шдструктур.

Теорема 4. У будь якш системi утворюючих шдструктур

5 = \сг ; 1 е I, и С = С|

формально! граматично! структури С можливо видшити систему 5* с 5 утворюючих поро-джувальних шдструктур або побудувати на си-стемi 5 систему пiдструктур 5 таку, що

5 * = |с* ; ] е J с I, []С** = С | .

Для доведения теореми розiб'емо скiнченну систему 5 на двi пiдмножини 51 - складаеться з породжувальних пiдструктур i 52 - не породжу-вальнi пiдструктури так, що 51 и 52 = 5 i 51 П 52 =0 . Якщо система 51 е утворюючою,

тобто 5 = 51, тодi теорема доведена. У проти-лежному випадку за теоремою 3 на подструктурах систем 51 i 52 можливо утворити новi породжу-вальнi пiдструктури, додаючи яю до системи 51 знову отримаемо систему утворюючих шдструк-тур граматично! структури С . Зрозумшо, що це доведення справедливе i у випадку, коли окремо кожна з систем 51 i 52 е порожньою.

Серед сукупностi пiдструктур {Сг-) граматично! структури С юнують такi пiдструктури Су, аксюматика яких Л^ повшстю водтворюе

!х структуру, тобто С^ = {У, Е, Л^ . Назвемо такi пiдструктури повними подструктурами С^, а вiдповiднi !м аксiоматики вiдтворюючими аксюматиками Л^.

Теорема 5. На всякш системi утворюючих шдструктур 5 структури С можливо побудувати систему утворюючих повних подструктур

5 = \cJ; ] е J, иС- = с|.

Для доведення теореми розглянемо довшьну подструктуру С1 е 5 . Якщо ця структура не е о -вшьною, тобто на !! словниковi У1 за аксюма-тикою Лг- можливо вивести тшьки порожнiй

ланцюжок, тод! за визначенням 5 за умов 1), 3) I 4) тдструктура Ci - порожня. За зауважен-ням 1 замшимо структуру С{ екв1валентною структурою з умовою 2) так, що аксюматика Лбуде складатися ильки з процедур виду 2), шсля замши правих частин процедур порожшм символом о, а словник VJ■ створимо з р1зних

символ1в аксюматики Л ■ . Таким чином, у цьо-му випадку маемо CJ е ^ .

Нехай тепер структура С{ не порожня, тод! приймемо аксюматику Лг- за аксюматику Л■,

при цьому можлив! випадки:

- аксюматика Лг- повшстю вщтворюе

структуру С{, тобто Vj = VJ ;

- аксюматика Лг- не повшстю вщтворюе

структуру С1, але VJ■ с Vj.

З чого по сукупносп випадюв 1) { 2) слщуе включення, С■ с С1.

Якщо ж для аксюматики Лг- =Лг- маемо

Vi с Vi, то розбиваючи аксюматику Д =Л^ иЛ_/

так, щоб VJ с Vi отримаемо I в цьому випадку

включення С■ с С1. На цьому завершуеться

доведення теореми.

Зауваження 2. За результатом теореми 4 маемо для систем утворюючих тдструктур та-

ке включення ^ с за теоремою 5 - ланцюг

по включенню ^ с ^ с ^ .

У множит ус1х породжувальних шдструк-тур формально! структури мютяться також !зо-льован! п!дструктури, як! визначаються так Визначення 8. Пщструктура С1 називаеть-

ся !зольованою вщносно п!дструктури С2 у формальн!й структур! С, якщо С1 с С2 ! серед виведених ланцюжюв {^ | ^ е F(V2)} у структур! С2 знайдеться хоча б один ланцюжок ¡^ такий, що ¡j £ {¡к | ¡к е F(F¡)} . Якщо тдструктура С1 !зольована в!дносно структури С, тод! п!дструктура С1 зветься !зольованою у форма-льн!й структур! С I позначимо це так С1 С . Наведемо деяк! властивост! в!дношення . Будемо вважати, що порожня структура 0 е !зольованою до будь яко! структури. Якщо

прийняти для будь яко! шдструктури С1 с С, що С1 ^ С1, тод! вщношення е вщно-

шенням часткового порядку на множит ус!х п!дструктур формально! структури С, оскшьки виконуються так! умови: антисиметри

(С1 ^ С2, С2 ^ С1; С1 = С2) та транзитивнос-

т! (С1 ^ С2, С2 ^ С3; С1 ^ С3) . З теореми 3 та визначення 8, для шмейства тдструктур {Ci} структури С таких, що Ci ^ С1, маемо

Наслщок 2. Р| Ci ^ С1 у формальнш струг

ктур! С.

Звичайно !зольован! п!дструктури в!дносно формально! структури С можуть бути поро-джувальними ! повними п!дструктурами.

З'ясуемо тепер питання критерив, за якими можливо встановити юнування систем утворюючих тдструктур формально! граматично! структури ! визначимо ефективн! критер!!, за якими можливо вщтворити граматичну структуру за структурами утворюючих ланцюжюв задано! формально! мови.

Розв'язок проблеми повноти для систем утворюючих тдструктур. Для розв'язку проблема юнування критерив про знаходження систем утворюючих тдструктур скористуемося алгебра!чним тдходом, який спираеться на за-стосування максимальних п!далгебр ушверса-льних алгебр [3].

Нехай С довшьна граматична структура (1), тод! тдструктура Ст структури С назива-еться максимальною тдструктурою Ст с С, якщо не юнуе тако! п!дструктури С1 с С, за для яко! мало б мюце власне включення Ст с С1. Позначимо через pi довшьну проду-кц!ю акс!оматики Л структури С. Тепер, як нескладно бачити, тдструктура Ст буде максимальною вщносно структури С тод! ! тшьки тод!, коли для будь якого елементу V е С \ Ст такого, що V е V и {р{, I е I} мае м!сце Ст и {V} = С . Тут тд р!зницею С \ Ст розум> еться п!дструктура: (V \ Vm, £, Л або (V,£,Л\Лт), або (V\^,£,Л\Лт); формально! граматично! структури С .

Зрозум!ло, що граматична структура С мае сюнченну кшькють максимальних п!дструктур,

позначимо через M множину ycix тдструктур максимальних вщносно структури C. Для по-дальшого необхiдна наступна лема розширення будь яко'' тдструктури граматично! структури

с=V,s> л.

Лема 2. Будь яку пiдстрyктyрy C1 Œ C можливо розширити до максимально! тдструкту-ри Cm G M структури C.

За ствердженням леми маемо, що для дов> льно! пiдстрyктyри C1 структури C у множит

M юнуе така пiдстрyктyра Cm, що можливе тшьки таке включення C1 Œ Cm , бо у протиле-жному випадку виконуеться включення C1 з Cm i пiдстрyктyра C1 не е власною тдст-руктурою структури C. Припустимо, що для пiдстрyктyри C у множит M не юнуе тдструктури Cm з Cj. Тодi приеднуючи до тдструктури C1 yd елементи v g V U {p,, i g I}, яких нема y цiй пiдстрyктyрi крiм одного v* £ Cj, за скiнченнy юльюсть крокiв отримае-мо максимальну тдструктуру Cj m вiдносно

структури C, що призводе до протирiччя з припущенням. Таким чином, будь яку власну пiдстрyктyрy граматично! структури завжди конструктивно можливо розширити до максимально! пiдстрyктyри.

Перейдемо тепер до розгляду критерда, за яким визначаеться, що система тдструктур граматично! структури е утворюючою системою. За певною аналопею структур з алгебрами назвемо його критерiем Поста, як це зроб-лено в алгебрах [3].

Теорема 6. Для того, щоб система тдструктур S = {C; ; i G I} граматично! структури C була утворюючою необхщно i достатньо, щоб для будь яко! тдструктури Cm G M у ^CT^i S знайшовся хоча б один елемент v G {v U {P,,j ; j G J}; i G I} такий, що v £ Cm .

За необхщнютю система S - утворююча вщносно структури C, тобто U C, = C i осю-

iGl

льки для максимально! тдструктури Cm g M, за ïï визначенням iснyе такий елемент v £ Cm, що v g C \ Cm, то в ^CT^i S iснyе хоча б одна тдструктура C f, для якоï v g C j .

При доведент достатностi розглянемо таку систему S, що для будь яко].' максимально].' тдструктури Cm g M структури C в нш юнуе хоча б один елемент v g Ci g S такий, що v £ Cm . Доведемо, що система S е утворюючою, тобто U C, = C .

iGl

Припустимо, що система S не е системою утворюючих тдструктур - U C, Ф C, тодi кори-

iGl

стуючись результатами леми 2, будь яку шдст-руктуру Ci g S розширимо до максимально'' тдструктури c, m g M структури C з чого маемо включення Ci œ C, m . Але за умовою у тдструк-тyрi Ci iснyе такий елемент vi, для якого vi £ c, m , що призводе до порушення включення C, œ C, m . Таким чином, наше припущення про

те, що сукупнють тдструктур S не е системою утворюючих тдструктур породжувально' граматично'' структури C не вiрне i теорема доведена.

Зауваження 3. Нескладно бачити, що теорема 6 виконуеться також для систем породжуваль-

них тдструктур S* i повних тдструктур S граматично'' структури C.

Визначення 9. Виведена множина ланцюж-

юв у структурах C* системи утворюючих тдструктур S структури C називаеться зразком Si формально'' мови L(A).

Отже, за результатами леми 1 та теореми 6 можливо запропонувати схему побудови сис-теми утворюючих тдструктур формально'' структури i дослщити будову ще' утворюючо' системи тдструктур:

- побудувати множину максимальних тдструктур M ;

- за елементами, яю не входять до максимальних тдструктур, побудувати систему утворюючих тдструктур, що мютять у собi щ вщсутш елементи;

- на ^CT^i утворюючих тдструктур формально'' системи побудувати структурний граф залежносп тдструктур;

- видшити у ^CT^i утворюючих тдструктур iзольованy тдструктуру i доповнену до не'' тдструктуру, вщносно яких за лемою 1 побудувати три класи K, ; i = 1,2,3 ;

- з клашв Kj i K2 видшити незалежш тдструктури, тобто таю C1, C,2 g K,, для яких Cj п с2 £ K, i Cj (X с2 або с2 X с/ ;

- на об'еднанш незалежних структур кла-ciB Ki i K2 побудувати повну систему утворюючих шдструктур формально! структури.

Застосуемо наведену схему до формально! структури з аксюматикою

Р1 : о —^ aa, акciомапочатку; p2 : a — aa; p3 : a — bß; p4: ß — bß; Л = <! p5 : ß — су;

p6 : у — cY; акciомививоду :

p7 : y — c; p8 : ß — c.

та мовою Z = {akbncm ; k,n, m e N} . (2)

—*

Побудуемо породжувальну систему S1

граматично! структури з акciоматикою (2).

. —* . Оскшьки система S повна, тому для не! i

максимально! множини M достатньо скорис-

татися вщповщними аксюматиками, так мно-

жина акciоматик для повно! cукупноcтi M е

{Л\Р8,Л\Р7,Л\Рб,Л\p5,Л\p4,Л\Р2}. З чого видно, що система утворюючих подструктур повинна включати продукцп: p2,Р4,Р5, Рб,Р7,Р8. Такою системою буде утворююча система з акciоматиками:

{Л1, Л 2, Л3, Л 4, Л5}, (3)

де

Л1 = {Рь Рз, Р8 } , Л2 = {Рl, Р2, Рз, Р8} ,

Л3 = {РъРз,Р4,Р8} , Л4 = {Рl,Рз,Р5,Р7} ,

Л5 = {Рl, Р3, Р5, Р6, Р7} .

Структурний граф системи утворюючих подструктур формально! структури C за вклю-ченнями виглядае так, як наведено на рисунку.

Рис.

1зольованою подструктурою водносно структури C серед системи шдструктур (3) е структура

C5, для яко! доповненою до формально! структури C буде структура C2 U C3 , тому система утворюючих подструктур розбиваеться на класи Kl = {C4,C5} i K2 = {Cl,C2,C3}. Очевидно, на незалежних пiдcтруктурах цих клаciв можливо отримати повну систему утворюючих породжува-

льних подструктур {C2, C3, C5} . Побудована таким чином повна система утворюючих подструктур не е единою. Тому, що за основт утворюкга тдструктури можливо взяти юнцевО породжува-льш структури графу Cl i C4 з водповодними аксюматиками та додати до них тдструктури з аксь оматиками Л5 \ Л4 , Л3 \ Л1 i Л2 \ Л^ Отже, отримаемо нову систему утворюючих подструктур структури C з такою системою аксюматик {Л1, Л4, Л2 \Л1, Л3 \ Л1, Л5 \Л4} . Таким чином, на структурах двох простих ланцюжив ¡1 i /4 та рекурсивних продукщях Р2, Р4 i Р6 аксюмати-ки (2) водтворюеться формальна граматична структура C . Систему утворюючих подструктур структури C побудовану на юнцевих породжуваль-них подструктурах структурного графу назвемо мммальною системою утворюючих подструктур So структури C, а водповодну формальну структуру C назвемо мшмальною структурою Co .

Зауваження 4. Запропоновану методику побудови повно! системи утворюючих шдстру-ктур також зручно застосовувати у тому випад-ку, коли вщомО дерева виводОв утворюючих ла-нцюжюв, при цьому слад звернути увагу на те, що однозначне водтворення формальних систем можливе тшьки для VC - структур.

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Гинзбург С. Математическая теория контекстно свободных языков. - М.: Мир, 1970. - 328 с.

2. Гладкий А. В. Формальные грамматики и языки. - М.: Наука, 1973. - 368 с.

3. Глушков В. М. Алгебра, языки, программирование. 2-е изд., перераб. / В. М. Глушков, Г. Е. Цейтлин, Е. Л. Ющенко - К.: Наук. думка, 1978. - 320 с.

4. Ильман В. М. Структурный подход в формальных системах / В. М. Ильман, С. Ю. Разумов // Проблеми математичного моделювання. М1ж-нар. науково-метод. конфер. Тези доповщей. Дншродзержинськ. 2005. - С. 147-148.

5. 1льман А. В. Формально - структурний тдхОд до моделювання економ1чних систем / А. В. 1льман, В. М. 1льман // Проблеми економши транспорту: VI МОжнар. наук. конфер. Тези до-повОдей. - Д., 2005. - С. 58-58.

Надшшла до редколегп 06.07.06