Свободные механические гармонические колебания, обусловленные преобразованием кинетической энергии в кинетическую Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.014 И.П. Попов

Департамент экономического развития, торговли и труда Курганской области

СВОБОДНЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В КИНЕТИЧЕСКУЮ

Ан нотация. Рассматривается механическая колебательная тт-система, состоящая только из инертных элементов. Показана возможность возникновения в ней свободных гармонических колебаний. В тт-системе происходит взаимный обмен кинетической энергией между инертными элементами.

Ключевые слова: колебательная система, инертные элементы, гармонические колебания, частота.

I.P. Popov

Department of Economic Development, Trade and Labor of the Kurgan Region

FREE MECHANICAL HARMONIC VIBRATIONS CAUSED BY TRANSFORMATION FROM KINETIC INTO KINETIC ENERGY

Abstract. The article considers the mechanical vibration mm-system consisting only of inert components. The research shows a possibility of occurrence in such a system of free harmonic vibrations. In the mm-system there is a mutual exchange of kinetic energy between the inert elements.

Index terms: vibration system, inert elements, harmonic vibrations, frequency.

ВВЕДЕНИЕ

Свободные гармонические колебания основаны на обмене энергией между элементами колебательной системы [1; 2].

В механическом линейном гармоническом осцилляторе происходит обмен энергией между разнородными элементами - грузом массой m (инертным элементом) и пружиной с коэффициентом упругости k (упругим элементом). При механических колебаниях кинетическая энергия груза преобразуется в потенциальную энергию пружины и наоборот. Существуют электромеханические колебательные системы, в которых свободные гармонические колебания осуществляются за счет взаимного преобразования потенциальной энергии пружины в энергию электрического поля конденсатора или кинетической энергии груза в

энергию магнитного поля катушки индуктивности [3-5]. Таким образом, колебания сопровождаются самыми разнообразными вариантами преобразования энергии.

Целью настоящей работы является установление условий возникновения свободных гармонических колебаний, осуществляемых за счет преобразования кинетической энергии в кинетическую. Реализующая такие колебания mm-система должна состоять только из инертных элементов. Механизм обмена энергией между ними позволит, в частности, расширить возможности нейтрализации реакции этих элементов на внешние периодические воздействия.

1 Синтез mm-системы

Синтез системы осуществляется на основе двух исходных условий.

Первое исходное условие. Система содержит два инертных элемента - два груза массой m каждый. Элементы совершают гармонические колебания

x1 = Asin(Z + Zi), x2 = Asin(C+C2),

где x1, x2 - текущие координаты грузов, A - амплитуда колебаний,Z - фаза, Z1 ,Z2 - начальные фазы.

Второе исходное условие. Энергия системы при колебаниях не меняется

W1 + W2 = const.

Одновременный учет обоих исходных условий дает представление о характере связи между инертными элементами. Действительно,

m f dxx Y m f dx ^x 2

2 I dt )

= const

cos2(Z+Z1) + cos2(Z+Z2) = const2.

Последнее справедливо при условии:

2 = П.

Полученное соотношение позволяет определить связующее звено между инертными элементами. Таким звеном является устройство, изображенное на рисунке 1.

m

/////

/////

Рисунок 1 - mm система

т

76

ВЕСТНИК КГУ, 2013. №3

2 Анализ тт-системы

Внешние усилия к грузам не приложены. Масса промежуточного стержня и трение не учитываются. Координаты грузов, соответственно,

х1 = Icos р, х2 = lcos(п/2 -р). (1)

Запись третьего закона Ньютона для грузов с учётом (1)

d х, 1

m-

d х, 1

dt2 cosф dt2 sinф,

= m-

cosфsinф

dф dt

. 2 d2ф -sin ф——

dt2

(dф\ 2 d ф

= — cos ф sin ф-I + cos ф——

^ dt ) dt2 '

й2ф/dt2 = 0. Решение этого уравнения:

dф/dt = C¡ ,

ф = Cjt + C2 .

Пусть начальные условия

ф(°) = ф0 ,

£(0) = »,.

dt

Тогда

C2 =ф0 , C1 = c0 .

При этом (1) принимает вид:

х1 = l cos(co0t + ф0) , х2 = l cos(п / 2 - co0t — ф0 ). Пусть

х1(0) + х10, cos ф0 = x10/l,

1)

' ф0 = arccos(х10/1)( = arcsin(х20/1))

2)

dx2 dt

(0) = v20,lrn0 cos(a0 +ф0) = v

20'

c= v

x10( = v10/x20)

20 ' л10

x1 = l cos[(v20 / x10)t + arccos(x10/1)] ,

x2 = lcos[п / 2 - (-V10 / x20)t - arcsin(x20 / I)].

V = 1(Ую/ x20 ) ят[( -ут/ x20 М + аг^т( xl0/l)] ,

= 1(У20 /х10М c0s[(У20 /х10М + ^^Сх20 /1)]. Таким образом, грузы массой т совершают свободные гармонические колебания (внешние усилия к грузам не приложены).

В рассмотренной колебательной системе происходит взаимный обмен кинетической энергией между

инертными элементами. При р = 0 кинетическая энергия первого груза равна нулю, а второго - максималь-

на. После этого первый груз начинает ускоряться за счет энергии второго груза, который приобретает отрицательное ускорение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Установлены условия возникновения свободных гармонических колебаний в тт-системе, состоящей только из инертных элементов, которые происходят при обеспечении сдвига по фазе между колебаниями элементов.

В отличие от традиционных или смешанных [3-5] колебательных систем при энергообмене между инертными элементами представленной системы вид энергии не меняется, т.е. грузы обмениваются кинетической энергией. При этом суммарная энергия системы при колебаниях не изменяется.

Другим отличием является то, что частота свободных колебаний системы с инертными элементами не зависит от параметров элементов и определяется исключительно начальными условиями. Иначе говоря, в рассмотренной системе могут происходить свободные гармонические колебания с любой изначально заданной частотой.

Колебательные свойства тт-системы могут учитываться при проектировании двигателей внутреннего сгорания, поршневых пневмосистем и прочих преобразователей возвратно-поступательного движения во вращательное в плане взаимной компенсации реактивного характера масс движущихся частей - поршней, штоков и пр.

Список литературы

1 Попов И.П. Свободные гармонические колебания в систе-

мах с однородными элементами // Прикладная математика и механика. 2012. Т. 76. Вып. 4. С. 546-549.

2 Попов И.П. Свободные механические гармонические

колебания в системах с кривошипно-кулисными механизмами // Вестник Курганского государственного университета. Серия «Технические науки». 2012. Вып. 7. №2(24). С. 15, 16.

3 Попов И.П. Свободные гармонические колебания в упруго-

емкостной системе // Вестник Курганского государственного университета Серия «Естественные науки». 2011. Вып. 4. №2(21). С. 87-89.

4 Попов И.П. Установление частной функциональной

зависимости между емкостью и массой // Вестник Курганского государственного университета. Серия «Естественные науки». 2011. Вып. 4. №2(21). С. 85-87.

5 Попов И.П. Реактивные элементы электрических цепей с

«неэлектрическими» параметрами // Вестник. Самарского государственного технического университета. Серия «Технические науки». 2010. №4(27). С. 166-173.

2

СЕРИЯ «ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ», ВЫПУСК 6

77