СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОРТОТРОПНОЙ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

during creep using a nonlinear Maxwell-type viscoelastoplasticity model // Russ. Metallurgy (Metally). 2019. N 10. 956-963 (DOI: 10.1134/S0036029519100136).

40. Khokhlov A. V. Two-sided estimates for the relaxation function of the linear theory of heredity via the relaxation curves during the ramp-deformation and the methodology of identification // Mech. Solids. 2018. 53, N 3. 307328 (DOI: 10.3103/S0025654418070105).

41. Khokhlov A. V. Properties of the set of strain diagrams produced by Rabotnov nonlinear equation for rheonomous materials // Mech. Solids. 2019. 54, N 3. 384-399 (DOI: 10.3103/S002565441902002X).

Поступила в редакцию 16.03.2022

УДК 534-16

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОРТОТРОПНОЙ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

С. Д. Алгазин1, И. А. Селиванов2

Рассматриваются свободные колебания ортотропной конической оболочки конечной длины. Это задача 80-90 годов прошлого века. Большинство задач механики деформируемого твердого тела описывается уравнениями эллиптического типа, которые имеют гладкие решения, в связи с чем актуальна разработка алгоритмов, учитывающих эту гладкость. В работе приведен современный алгоритм без насыщения, рассмотрены конкретные расчеты, которые показывают его высокую эффективность.

Ключевые слова: коническая оболочка, задачи на собственные значения, численный алгоритм без насыщения.

Free oscillations of an orthotropic conical shell of finite length are considered. This is a problem of the 80-90 years of the last century. Most problems of deformable solid mechanics are described by elliptic equations that have smooth solutions, and therefore the development of algorithms that take into account this smoothness is relevant. The paper presents a modern algorithm without saturation and considers specific calculations that show its high efficiency.

Key words: conic shell, eigenvalue problem, numerical algorithm without saturation.

Введение. Задача о свободных колебаниях ортотропной конической оболочки конечной длины сводится к проблеме собственных значений для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая предположительно имеет гладкие решения. Это задача 80-90 годов прошлого века. Чтобы воспользоваться этой гладкостью, в работе строится метод дискретизации задачи, не имеющий насыщения [1, 2]. Наиболее распространенным в настоящее время методом решения задач механики деформируемого твердого тела является метод конечных элементов. Его недостатки общеизвестны: аппроксимируя перемещение кусочно-линейной функцией, мы получаем разрывные напряжения. Вместе с тем следует заметить, что большинство задач механики деформируемого твердого тела описывается уравнениями эллиптического типа, которые имеют гладкие решения. Представляется актуальным разработать алгоритмы, которые учитывали бы эту гладкость. Идея таких алгоритмов была высказана К. И. Бабенко [3] в начале 70-х годов прошлого века. Многолетнее применение первым автором этой методики в эллиптических задачах на собственные значения доказало их высокую эффективность. Например, рассматривалась задача на собственные значения для нулевого уравнения Бесселя, на сетке из 23 узлов первое собственное значение этой задачи определено с 28 знаками после запятой. В отличие от классических разностных методов и метода конечных элементов, где зависимость скорости сходимости от числа узлов сетки степенная, здесь имеем экспоненциальное убывание погрешности.

1 Алгазин Сергей Дмитриевич — доктор физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. лаб. механики и оптимизации конструкций Ин-та проблем механики РАН, e-mail: algazinsdQmail.ru.

2 Селиванов Иван Алексеевич — асп. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shertorsQgmail.com.

Algazin Sergey Dmitrievich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Leading Researcher, Ishlinsky Institute for

Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences.

Selivanov Ivan Alekseevich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Elasticity Theory.

Краткое изложение основ теории нснасыщасмых численных методов содержится в нервом издании книги К. И. Ба-бенко [3]. Отметим, что исследования в вычислительной математике в этом направлении недостаточно пропагандировались в России и мире и до сих нор за рубежом практически неизвестны.

Подтверждением тому служит тот факт, что уже в наши дни началось фактическое "переоткрытие" этих же вычислительных методов на западе под названием "спектральные методы" [4|, а также в виде современных специализаций метода конечных элементов [5 7], в которых при измельчении сетки одновременно увеличивается степень полиномов, используемых при аппроксимации функций внутри одного конечного элемента. Остается лишь сожалеть, что к этому моменту работы К. И. Бабенко и его учеников оказались практически забыты.

Поставновка задачи. Рассмотрим коническую оболочку, как показано на рисунке, где К1 и К2 — малый и большой радиусы соответственно, а обозначает половинный угол раствора конуса, т.е. половину угла при вершине конуса, и Ь является длиной конуса вдоль его образующей. Далее вводим систему координат х — ф; начало координаты х — на середине образующей конуса в сторону большего радиуса, ф является окружной координатой. Амплитуды перемещений срединной поверхности оболочки обозначаются через и и V вдоль направлений х и ф соответственно и через Ш вдоль нормали к поверхности (направление внутрь положительно). Тогда радиус конуса по его длине может быть выражен так:

Геометрия оболочки

К (х) = К0 + х йш а, К0 = К (0).

Для анализа линейных свободных колебаний ортотропных конических оболочек мы принимаем теорию пологой оболочки в перемещениях [8 10] и записываем исходные уравнения следующим образом:

Ьц и + Ь12 V + Ь1зШ = — р^2 и,

Ь21 и + Ь22 V + Ь2зШ = — р^2 V, (1)

Ьз1 и + Ьз2 V + ЬззШ = — рЛш2 Ш,

где

д2

£ ац-это; д а22 • йш а ^ А^

11 11 дх2 К (х) дх К2 (х) К2 (х) дф2'

Ь

12

(А12 + Абб) д2 (А22 + Абб ■ йш а) д

Ь

К (х) дхдф К2 (х)

А12 ■ сой а д А22 ■ йш а ■ а

1з =

К (х) дх ^ К2 (х) ' (А12 + Абб) д2 (А22 + Абб ■ вт а) д

Ь21 =

Ь22 = А

бб

К (х) дхдф К2 (х)

д2 йш а д дх2 К (х) дх К2 (х)

2

йш2 а

+

А22 д2

К2 (ж) дф2'

Ь2з = Ьз2 = —

А22 сой а д

Я2 (ж) дф'

Ьз1 = —

д4

¿33 = ^22 • сой2 а + £> + 2{Р12 + 2Р66)__

К2 (х) дх4 К2 (х) дх2дф2

Р22 д4 2(РГ2 + 4£)66) мпа

"Г -гл/1 / \ гл / Л "Г

А12 ■ сой а д А22 ■ йш а сой а К (х) дх К2 (х) '

2Дц8ша д3 К(х) дхз

^22 йш2 а д2

+

дз

К4 (х) дф4

Кз (х)

дхдф2 К2 (х) дх2

+

2 (£>12 + £>22 + 2Дзе) эт2 а д2 £>22 вт3 а д

К4 (х) дф2 К3 (х) дх'

а Л^ и В^ (г,] = 1, 2, 6) рассчитываются из следующих уравнений:

А11 =

Ех Л,

1 Ц-хфЦ-фх

В11 =

Л12 =

1^фх Ех ^ 1 1^хф№фх

Л21 =

ЦхфЕфН 1 ) 1 ^хф^фх

Л22 =

ЕфН

ЕхЬ?

12 (1 — ^хф^фх) '

В22 =

В

12 =

^фх Ех

12 (1 — ^хф^фх) '

В21 =

1 Ц-хфЦ-фх ЦхфЕфЬ?

12 (1 — ^хф^фх) '

I Л66 = СхфЬ,

ЕфЬ3 ОхфЬ? Ь>|---

12 (1 — Ц-хфЦ-фх) '

66 =

12

Здесь Ех, Еф, ¡лхф, рфх и Схф — материальные упругие константы; Л, — толщина оболочки; р — плотность; рхфЕф = рфхЕх. Силы и моменты напряжения выражаются через перемещения и, V и Ж:

( Ях\

щ

Щхф

мх

Мф \Мхф/

¿11 ¿12 ¿13 ¿21 ¿22 ¿23 ¿31 ¿32 ¿33 0 0 143 0 0 ¿53 0 0 ¿63.

где 1г1 = Ап£ +

7 _ Лг2 д 1 _ А12 сов а 7 _ Абб д Н2 ~ Н(х) дф' ~ Ж*} ' 131 ~~

__Даапа <9__/„„ — _9 Пйй А

П(х) 1 д

<9 _ эш«

(9ж Д(ж)

, 1]3 =

г = 1, 3 и ] = 3 + г.

Поперечные перерезывающие силы могут быть получены из Мх,Мф ш Мх.ф\

Ях -

1 9 [П(х)Мх]-Мф8'та ' 1 дМ°*

Яф

К (х) дх 1д

+

[К (х) Мхф] -

К (х) К (х) дф

Мхф 8ш а 1 дМф

+

К (х) дф

К (х) дх хф К (х)

а перерезывающая сила Кельвина-Кирхгофа имеет вид

<¡, = 0,+ 1

К (х) дф

Соответствующие граничные условия могут быть выражены так:

щх = 0 и = 0,

Щхф = 0 или V = 0, Мх = 0 или ^^ при ж = <Ях = 0 ми Ж = 0.

Для простоты рассмотрим следующие два типа граничных условий.

Случай 1: граничные условия свободного опирания при х = ±Ь/2. Существуют четыре подкласса граничных условий свободного опирания. Они обозначаются следующим образом:

551 : Щхф = 0,Щх = 0,Мх = 0, Ж = 0;

552 : Щхф = 0, и = 0,Мх = 0, Ж = 0;

553 : V = 0, Щ = 0,Мх = 0, Ж = 0;

554 : V = 0,и = 0,Мх = 0, Ж = 0.

Случай 2: граничные условия защемления при x = ±L/2. Четыре подкласса в данном случае:

CC1:NX4> = 0,NX = 0,^ = 0,W = 0-, СС2 : Ихф = 0, U = 0, ^ = 0, W = 0; ССЗ : V = О, Nx = 0, ^ = О, W = 0; СС4 :V = 0,[J = 0,^f = 0,W = 0.

Проверка дифференциальных операторов Lj (i, j = 1, 2, 3) в уравнениях (1) выявила следующие

x

от ф и включают в себя выражения следующей формы: 1/Rk(x),k = 0,1, 2, 3, 4. Для операторов Lij(i = 1, 2; j = 1, 2, 3) к принимает значения от 0 до 2. Для L%j (j = 1, 2, 3) значение к колеблется от 0 до 4. Эти полезные свойства позволяют нам преобразовать уравнения (1) к более удобному виду. Умножая первые два соотношения из (1) на R2 (x) и третье на R4 (x), получаем следующие измененные уравнения:

'lÍ!U + L*2V + L*3W = -R2 (x) phw2U,

L2iU + L22V + L23W = -R2 (x) phw2V, (2)

L31U + L|2V + L|3W = R2 (x) phw2W,

где L*n = AnR2 (x) + An • R (x) • sin a • - A22 • sin2 a + A66 •

d2

b*2 = (Л12 + A66) (A22 + A66) • sin a • ^,

= (¿12 + A66) (A22 + A66) • sin a • ^,

Я2 (ж) -^i + R (x) sin a ■ - sin2 a

L22 — A66

d

+ a22

а2

= — Ai2-ñ (ж) • cos a ■ ^ + A22 • sin a • eos a, l*23 = -Ancosa-^,

Lh = —R2 (x) [Ai2 ■ R(x) ■ eos — A22 • sin a eos a], ¿32 = —A22R2 (ж) • cos а,щ

L*33 = DnR4 2 (D12 + 2D66) R2 (ж) • ^^ + ^22^ +

+2£)цЕ3 (ж) sin ~ 2 (£>12 + 2Dm) R (ж) sin a • - D22R2 (ж) sin2 a +2 (£»12 + D22 + 2Дз6) sin2 a • ^ + D22R (ж) sin3 a|¿ + A22 • R2 (ж) cos2 a. Будем разыскивать решения уравнений (2) в следующем виде:

U = u(x) ■ cos пф, V = v(x) ■ sin пф, W = w(x) ■ cos пф. (3)

Численные результаты. Прежде чем представить результаты, примем следующие обозначения: wc = \ -jr~ujR2, г\2 = Щ*-, где шс называется параметром частоты. Подставляя (3) в (2), будем иметь

LhU = Anfí2(x)u (x) cos пф+АцД(ж) sin au (x) cos пф—A12 sin2 au(x) cos пф—Аббп2и(х) cos пф, (4)

Li2V = (А12 + Абб) R(x)v' (х)п cos пф + (A22 + Абб) sin аи(х)п cos пф, (5)

Lj3W = —A12R(x)cos aw' cos пф + A22R(x)sin a cos aw(x)cos пф. (6)

Из (4)-(6) получаем первое уравнение:

А11 fí2(x)u"(x) + A11R(x) sin au'(x) — A12 sin2 u(x) — Аббп2и(х)+

+ (A12 + Абб) Я(х)^'(х)п + (A22 + Абб) sin av(x^— —A12R(x)cos aw'(x) + A22 sin a cos aw(x) = —phw;?u(x). (7)

Делим обе части уравнения (7) на ЛцR2(x) и умножаем на , полагаем n = 0, затем вводим безразмерные величины R(x) = = -щ,й = = = -щ. В дальнейшем знак~над

безразмерными величинами опускаем. В результате из (7) получаем первое уравнение:

„, . sin au'(x) 2 , . cos aw' (x) 1 sin a cos aw (x) 2 , . , .

U (x) + - рфх sm au(x) - вд- + --¿щ-= ~шсФ)- (8)

При п = 0 второе уравнение выпадает, в третьем уравнении Lg2V = 0, h = -щ, a cos пф опускаем и получаем в результате третье уравнение:

1

R2(x)

sin a cos a

/ЛфхЩх) cos аи (х)--и(х)

r12

h2 ^ h2 sin a .... .

- i2w< ]-(TW)w(x)+

sin2 ari2h2 Ц ri2h2 sin3 a , cos2 a 2 / л /пл

+ 12 ■ Д2(ж) W (Ж) " 12 ■ Щх) W {Х) ~ V^mx)WÍx) = ~ШМХ)- (9)

Матрицы численного дифференцирования. Для дискретизации уравнений применим интерполяцию многочленами. Положим

M

u(x) = ^lj(x)uj,Uj = u(xj), j = 1,2,... ,M, (10)

j=1

где lj (x) — фундаментальные функции интерполяции; lj(x¿) = 5ij, lj (x) удовлетворяют рассмат-

xj x

x

кретизация многочленами по пространственной переменной реагирует на гладкость отыскиваемого решения, и ее точность тем выше, чем большему условию гладкости удовлетворяет отыскиваемое x

с. 235]. Такие численные методы Константин Иванович Бабенко предложил называть численными алгоритмами без насыщения [3]. Последний из опубликованных обзоров по численным алгоритмам без насыщения М.Б. Гаврикова представлен в [12].

Дифференцируя интерполяционную формулу (10) p раз по x, получаем

u

M

(p)(x) = Е ljp)(x)uj, uj = u(xj), j = 1,2,..., M,

тогда

м

и(р)(х) « £ п3, = 1{[){хг), 1,3 = 1, 2,..., М.

¿,.7 = 1

Погрешность численного дифференцирования аналитически исследована в [13], заметим, что эта задача некорректная. Авторами [13] проведено экспериментальное исследование формулы на бесконечно дифференцируемых функциях. Получено, что для р = 1, 2, 3, 4 при М ^ 50 точность численного дифференцирования приемлема. Отметим, что для рассматриваемой задачи достаточное число узлов не более 40.

Дискретизация уравнений (8), (9) проводится заменой производных от ^ и ад на матрицы численного дифференцирования (см. [1]).

Выводы. В работе построен эффективный численный алгоритм без насыщения для задачи свободных колебаний ортотропной конической оболочки конечной длины, которая сводится к проблеме собственных значений для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, предположительно имеющей гладкие решения. Применение этих алгоритмов в эллиптических задачах на собственные значения доказало их высокую эффективность. Численные расчеты выполнялись для следующих параметров: ц, = 0.3, = 100, Ь sin(a/R2) = 0.25, а = п/6. Расчеты представлены в

М

приведено значение для первой частоты: 1.0030. В расчетах на разных сетках наблюдается сходимость, совпадение с расчетами работ [9, 10] при граничных условиях СС4 хорошее. Для ортотропных ко-

М = 20 1.163 1.090037

М = 40 1.302 1.111114

нусов сходимость лучше. Для тех же данных и граничных условий при г 12 = 10 Ех = 2.1 х 106 Па, Цхф = 0.3 и Схф = 807692 Па первое собственное значение уменьшилось и составило 0.2899366. Результаты представлены в табл. 2. Сравнить с результатами работы [9] нет возможности, поскольку в ней не представлены конкретные численные значения, а только графики (см. рис. 2 в цитируемой работе).

Таблица 2

М = 20 0.2899366 0.3023451 0.3133020 0.3230738 0.332476 0.341327 0.35016 0.35933 0.3693 0.3817

М = 40 0.2899367 0.3023452 0.3133023 0.3230747 0.332478 0.341332 0.35017 0.35930 0.3695 0.3809

Работа выполнена по теме государственного задания № АААА-А20-120011690132-4.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алгазин С.Д. Численные алгоритмы без насыщения в классических задачах математической физики. 4-е изд., перераб. М.: URSS, 2019.

2. Алгазин С.Д. h-матрица, новый математический аппарат для дискретизации многомерных уравнений математической физики. М.: URSS, 2019.

3. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 2-е изд., испр. и доп. / Под ред. А. Д. Брюно. М.; Ижевск: РХД, 2002.

4. Orszag S.A, Gotlib D. Numerical Analysis of Spectral Methods. Theory and Applications. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1977.

5. Toselli A., Widlund O. Domain Decomposition Methods — Algorithms and Theory. Springer Series in Computational Mathematics. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2005.

6. Schwab С. p and hp Finite Element Methods: Theory and Application to Solid and Fluid Mechanics. Oxford: Oxford University Press, 1998.

7. Schwab C., Suri M., Xenophontos C. The hp finite element method for problems in mechanics with boundary-layers. Seminar fur Angewandte Mathematik Eidgenssische Technische Hochschule CH-8092. Research Report N 96-20. Zurich, Switzerland, 1996.

8. Вибрации в технике: справочник. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978.

9. Tong L. Free vibration of orthotropic conical shells // Int. J. Engng. Sci. 1993. 31, N 5. 719-733.

10. Tong L. Buckling and vibration of conical shells composed of composite materials. PH.D. Thesis. Beijing Univ. of Aeronautics and Astronautics. People's Republic of China, 1988.

11. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. М.: Гостехтеориздат, 1954.

12. Гавриков М.Б. Методы без насыщения в вычислительной математике. Препринт НИМ им. М.В. Келдыша. 2019. № 75.

13. Гавриков М.Б., Таюрский А.А. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: URSS, 2016.

Поступила в редакцию 11.03.2022