CC BY
10
Ключевые слова:
неоднородная
оболочка,
свободные
колебания,
магистральный
газопровод,
исходная
поверхность,
тонкостенная
оболочка.
УДК 624.074.433
Свободные колебания неоднородных тонких цилиндрических оболочек, заглубленных в грунт
В.Г. Соколов1, И.О. Разов1, С.И. Волынец1*
1 ФГБОУ ВО «Тюменский индустриальный университет», Российская Федерация, 625000, г. Тюмень, ул. Володарского, д. 38 * E-mail: volynec-s@bk.ru
Тезисы. В статье обоснована необходимость перехода в расчетах неоднородных газопроводов со стержневой теории на полубезмоментную теорию тонких оболочек. В качестве расчетной схемы принята неоднородная цилиндрическая двухслойная оболочка конечной длины, состоящая из стальной трубы и защитного железобетонного слоя. Показан способ поиска исходной поверхности неоднородной трубы, а именно даны уравнения приведенной жесткости неоднородной двухслойной оболочки на растяжение, сжатие и изгиб. Исходя из допущения полубезмоментнонй теории оболочек уравнение движения оболочки выведено в двух формах: в усилиях и в перемещениях. Вторая форма уравнения позволила заключить, что дальнейшее решение задачи сводится к нахождению спектра частот свободных колебаний.
Анализ эксплуатационных свойств действующих газопроводов полуподземной прокладки выявил ее стандартные недостатки: во-первых, нарушение гидроизоляционного слоя, приводящее к высокой коррозии локальных зон металлических труб; во-вторых, всплытие газопроводов в обводненных районах в весенний период, которое приводит к потере их устойчивости. С целью устранения этих недостатков в последнее время широко применяются неоднородные трубы из стали с внешним покрытием типа «ЗУБ», выполненном из утяжеленного бетона с арматурным каркасом толщиной 40.. .150 мм. Железобетонная рубашка стальной трубы, с одной стороны, служит защитой от коррозии, а с другой - является пригрузом [1].
Применение неоднородных труб требует создания методов их расчета. Особенно важно это в отношении задач динамики, связанных с определением спектра частот и форм свободных колебаний с учетом отпора упругой среды, внутреннего рабочего давления. В настоящее время для определения спектра частот свободных колебаний принята стержневая теория1 [2-4], однако трубы диаметром более 1000 мм необходимо рассчитывать с позиции тонких оболочек.
Примем в качестве расчетной схемы неоднородную цилиндрическую двухслойную оболочку конечной длины Ь (рис. 1), шарнирно опертую на торцах и загруженную нормальным равномерным давлением. Оболочка состоит из стальной трубы толщиной к2 (слой 2) и защитного железобетонного слоя толщиной Н1 (слой 1). Такая труба подвержена влиянию внутреннего рабочего давления и реакции упругого отпора грунта qk, проявляющейся в процессе деформации поперечного сечения. На основании расчетов Виноградова, подтвержденных Баславским [5-9],
qk = кЯм>(0,5 - а; соб9 - а соб39), (1)
где к - коэффициент жесткости упругой среды, Нм-3; м> - радиальное перемещение исходной поверхности оболочки, отнесенной к радиусу Я ее поперечного сечения; а1 и о^ - коэффициенты, определяемые экспериментальным путем; 9 - угол поворота в плоскости поперечного сечения трубы.
См.: Расчет на прочность стальных трубопроводов: СНиП 2.04.12-86; Трубопроводы технологические. Нормы и методы расчета на прочность, вибрацию и сейсмические воздействия: ГОСТ 32388-2013; Месторождения нефтяные и газонефтяные. Промысловые трубопроводы. Нормы проектирования: ГОСТ Р 55990-2014.
Определить исходную поверхность неоднородной трубы, относительно которой сформулированы гипотезы Кирхгофа - Лява [2], можно исходя из условия равенства коэффициентов Пуассона бетонной рубашки и стальной трубы: д = д = д. При этом сама поверхность совпадает с нейтральным слоем (рис. 2):
Е2 | + Е | пк = 0. (2)
1>о-К)
Здесь: г - радиальная координата; Е1 и Е2 - модули упругости слоев 1 и 2 соот-
к1 -1, =
ех - е2 %
2(Е1к1 + Е2 Н2)
е; - е2 и;
2(Е1к1 - Е2 Н2)
В = ■
1
1 - ц
-Е1к1 + Е2 И2
Б = ■
1
3(1 - ц2)
<{ЕХ [(к, - 20)Ъ + 203 ] + Е2 [(И2 + )3 - 203 ]}.
Исходная поверхность неоднородной трубы
Стальная труба
Рис. 1. Реакция упругого отпора грунта
ЕЙ,2 + 2Е.ИИ + ЕХ
ветственно; И -2, --
2(Е1И1 + Е2 И2)
где г, - расстояние
от исходной поверхности до наружной. Интегрирование уравнения (2) позволяет определить расстояние г0 от исходной поверхности до наложения слоев 1 и 2:
(3)
Таким образом, приведенную жесткость неоднородной двухслойной оболочки на растяжение/сжатие (В) можно рассчитать по формуле
(4)
а аналогичную жесткость на изгиб (В) -по формуле
Рис. 2. Разрез неоднородной трубы
поверхности по осям X, У, 2 обозначим соответственно через и, V, V.
Для вывода уравнения движения оболочки используем допущения полубезмоментной теории оболочек [10], в соответствии с которыми соотношения между усилиями и деформациями упругости оболочки запишем следующим образом:
(5)
Если учесть, что рассматриваемая оболочка состоит из двух слоев, выполненных из различных материалов (см. рис. 1), то необходимо допустить, что оба слоя прочно склеены и при деформировании скольжение между ними исключено. В этом случае по аналогии со срединной поверхностью за исходную возможно принять поверхность, не испытывающую деформаций растяжения, сжатия или сдвига при изгибе. Обозначим безразмерную линейную координату на продольной оси через %= Х, а безраз-
К
мерную угловую координату в плоскости поперечного сечения трубы - через 9. Отнесенные к радиусу Я перемещения точки исходной
М^ = 9Ви9; М9 = Ви9; Т = (1- V9)Be?; £9 = -9е,
(6)
где Т - нормальное усилие; М - изгибающий момент; £ - относительная деформация; здесь и далее в формулах подстрочные индексы обозначают проекцию вектора на соответствующую индексу ось координат (см. выше). Согласно допущениям полубезмоментной теории выражения для вычисления деформация £, нормального усилия Т, кривизны и и кручения т имеют вид:
_ды т _ 1 ды _ _
" 59 Т " Я д^ '
1 ^ •
Я 59'
(7)
2 г. =
Для элемента исходной поверхности неоднородной оболочки уравнения равновесия имеют вид:
<971 дБ
—+ —+ ЯтО„ =- ЯХ,;
д^ 59 0 1
дБ дГв Я „ — + —+ —<2в =~ЯХ ■
д% 59 Я* в 2
Я 7 = 4 Т,-ЯХ3;
59 Я* 2 Я ?
дМ. дМ
-! + —- ЯО, = 0;
5£, 59 ?
Ядв- о, (8)
59 0
где - сдвигающее усилие; Я*, и Я0 - радиусы кривизны оболочки в деформированном состоянии;
д2и
5 23
д w
Х1 = -Якр—-; Х2 = -Якр—-; Х3 = -Якр—— + р0 -kRw(0,5-о^сов^-а2С0539) (здесь р =
Тс
дГ
дГ
дГ
у Н + у Н
приведенная плотность материала слоев оболочки; у = ——-- усредненный удельный вес;
Н
g - ускорение свободного падения; р0 - внутреннее давление; t - время); Q - поперечные силы. После преобразования системы уравнений (8) получаем уравнение движения в усилиях
д % д
5^2 50
дМ±
Я ~дв~
д_
дв2
|2 (Я' дМ Л
к Я 2 50 ,
52 ( я;
502
Я
%
V1? У
+ -^-(ЯХ1) ~(ЯХ2) = о. (9)
50 50
Я'
1 • Я '
Л=1 [1 .
Я„ ЯI 50.
(10)
Преобразуя уравнение движения в усилиях (9) на основе соотношения полубезмоментной теории оболочек, получаем в линеаризованном виде уравнение в перемещениях:
5Зм , 2 ( 53
9 +
5 2Э 592
д\_
59
р0Я 53Эф 0,5кЯ2 52V ка,Я2 (д2V п ^дw . п п] ---^+ —------!— I —-С05^-2—втсое9 I-
з 17 /„ с /„ I дс,2 I
Е0к 59
Е0к 592
Е0к \ 592
а,кЯ21 д2V „п 5^ . „„ „ Я2р( д3и -1 —-совЗЗ--б51п39-9^совЗЗ |— Р|
Е0к ^592
5 и
54 V
Е0 \8Е,дГ2 595/2 5925/2
= 0,
(11)
Е
где "л = —11 - коэффициент неоднородности (Е„ и Е0 - приведенные модули упругости оболочки
Ео
соответственно на изгиб и при растяжении/сжатии); к = —. - - параметр относительной
Яу112(1 -ц2)
толщины оболочки [11].
В уравнении (12) четыре неизвестные функции координат и времени t, а именно: и, V, V и 9. Дополнив его соотношениями полубезмоментной теории оболочек (10) и включив деформации (11) получаем полную систему уравнений, которую решаем методом Фурье. Представим функцию w(*, 0, 0 для шарнирного опирания по координате 0 в виде:
п т
(12)
где m, n = 1, 2... - волновые числа соответственно в окружном и продольном направлениях;
ч n%R _
kn - безразмерный параметр длины.
Остальные перемещения и угол поворота касательной определяются исходя из соотношений полубезмоментной теории оболочек [11, 12]:
v = - - YZPmnf ) sinX - ^sin (m9),
m
n m
u = ~YL h bmnf (í)cos^cos(m9), m
n m
m2 — 1
3 = ~YZ-bmnf (t)sinXn^sin(m0). (13)
m
n m ttl
Исходя из предположения, что свободные колебания оболочки являются гармоническими, имеем:
где p =p0
R
E0 hh
P =Po
Rp E0 hh
k =
R2 k
E0 hh2
Коэффициенты уравнения (17) безразмерны при условии, что р0 измеряется в мегапас-калях, к - в ньютонах на метр кубический, а р - в килоньютонах, умноженных на секунду в квадрате и деленных на метр в 4-й степени. С целью последующего анализа представим это уравнение в матричной форме:
' «1,1 «1,2 0 «1,4 0 ^
«2,1 «2,2 «2,3 0 «2,5
0 «3,2 «3,3 «3,4 0
«4,1 0 «4,3 «4,4 «4,5
V • • • ... J
Г b ^
^3
ь4
v • V
= 0.
(17)
f \t) = -<й2тп sin ^mnt.
(14)
Выражение Ътп = 0 не является решением системы линейных уравнений (17) ввиду амплитудных колебаний радиального перемещения исходной поверхности оболочки. Следовательно, нулю должен равняться определитель коэффициентов неоднородной системы
где ютп - круговая частота свободных изгибных колебаний оболочки по формам т, п = 1, 2, 3.
Подставив уравнения (14) и (13) в (11) и прировняв коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях cos(m9) при т = 1, 2, 3..., получаем бесконечную систему однородных линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитудных значений Ът радиальной составляющей перемещения м>. Коэффициенты при неизвестных в этих уравнениях обозначим через а^ с усло- |Л - Х£01 = вием, что т - 3 > 0:
«1,1 «1,2 0 «1,4 0
«2,1 «2,2 «2,3 0 «2,5
0 «3,2 «3,3 «3,4 0
«4,1 0 «4,3 «4,4 «4,5
= 0,
после преобразования которой получаем:
(18)
dll -X
d 2д
d3,i
d 2 2
d3 з — X
= о,
(19)
a , + a ,b , + a b +
m,m-3 n,m-3 m,m-1 n,m-1 m,m n,m +am,m+lbn,m+l + am,m+3bn,m+3 _
(15) где X = ю2 ; d =
V / mn' m,m
A
Bm
dm
Л.m ± 1 . Bm n
Коэффициент a tj определяется следующими выражениями:
a = A - B w .
m,m mn mn mn
,2/____li\2
m —
a
m2(m +1)2
m ,m+1
m2(m + 3)2
к "al,
к "al,
Amn =< +nm4(m2 -1)1 m2-1
Bmn = Rhp'd2 hv+ m2 + m\
А + 3
7 _ т,т
+3 _ В '
т,п
Дальнейшее решение задачи сводится к нахождению собственных чисел Х-спектра частот свободных колебаний ютп, которые зависят от волновых чисел т и п. Раскрывая определитель, получим при т е {1, 2, 3} и п е{1, 2, 3} спектр частот свободных колебаний трубопровода.
(16)
Список литературы
1. Гусев А.А. Особенности проектирования магистральных газопроводов на обводненных участках / А.А. Гусев, А.В. Локтев,
А.В. Малахов // Машиностроение и транспорт: теория, технологии, производство: труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. - Нижний Новгород, 2017. -С. 127-134.
2. Аксельрад Э.Л. К теории неоднородных изотропных оболочек / Э.Л. Аксельрад // Изв. АН СССР. Отделение технических наук. Механика и машиностроение. - 1958. - № 6. -С. 56-62.
3. Ильин В.П. К расчету криволинейных биметаллических труб / В.П. Ильин // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. -1973. - № 5. - С. 154-156.
4. Королёв В.И. Упругопластические деформации оболочек / В.И. Королёв. -М.: Машиностроение, 1971. - 300 с.
5. Болотин В.В. Конечные деформации гибких трубопроводов / В.В. Болотин // Труды Московского энергетического института. -1956. - Вып. XIX. - С. 272-291.
6. Болотин В.В. Колебания и устойчивость упругой цилиндрической оболочки в потоке сжимаемой жидкости / В.В. Болотин // Инженерный сборник. - 1956. - Т. 24. -
С. 3-16.
7. Пановко Я.Г. Основы прикладных теорий колебаний / Я.Г. Пановко. -М.: Машиностроение, 1967. - 316 с.
8. Пановко Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем: современные концепции, парадоксы и ошибки / Я.Г. Пановко, И.И. Губанова. - 6-е изд. - М.: КомКнига, 2007. - 352 с.
9. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости / В.И. Феодосьев // Инженерный сборник. - 1952. - Т. 10.- С. 169-170.
10. Власов В.З. Общая теория оболочек
и ее применение в технике / В.З. Власов. -М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949.
11. Разов И.О. Свободные колебания наземных газопроводов, обжатых продольной силой, с учетом упругого основания грунта / И.О. Разов, В.Г. Соколов // Вестник гражданских инженеров. - 2013. - № 1 (36). -С. 29-32.
12. Разов И.О. Исследование свободных колебаний тонкостенных трубопроводов большого диаметра при наземной прокладке / И.О. Разов // Актуальные проблемы строительства, экологии и энергосбережения
в условиях Западной Сибири: сб. м-лов международной научно-практической конференции: в 3 т. - Тюмень: Тюменский государственный архитектурно-строительный университет, 2014. - С. 42-49.
Free oscillations of heterogeneous thin cylinder ground-embedded shells
V.G. Sokolov1*, I.O. Razov1, S.I. Volynets1
1 Tuymen Industrial University, Bld. 38, Volodarskogo street, Tymen, 625000, Russian Federation * E-mail: sokolovvg@tyuiu.ru
Abstract. This article substantiates transition from a core theory to a semi-torque-free theory of thin shells in case of calculations for heterogeneous gas pipelines. A heterogeneous cylinder bilayer shell of finite length is considered a calculation model. The shell consists of a steel pipe and reinforced concrete. Authors suggest a way to find an original surface of the heterogeneous tube by means of the equations for calculating the reduced rigidity of a heterogeneous bilayer shell against tensile, compression and bending. By reference to hypothesis of the semi-torque-free theory of thin shells, the equation of shell motion is derived in two forms, namely: for loads (forces) and transfers. The second form enables authors to conclude that further solving of this task needs estimation of a frequency range for free oscillations.
Keywords: heterogeneous shell, free oscillations, trunk gas pipeline, original surface, thin-walled shell. References
1. GUSEV, A.A., A.V. LOKTEV, A.V. MALAKHOV. Design specifics of gas mains at water-flooded sections [Osobennosti proyektirovaniya magistralnykh gazoprovodov na obvodnennykh uchastkakh]. In: Machine building and transport: theory, technologies, production [Mashinostroyeniye i transport: teoriya, tekhnologii, proizvodstvo]: proc. of the Nizhniy Novgorod State Technical University named after R.Ye. Alekseyev. Nizhniy Novgorod, 2017, pp. 127-134. (Russ.).
2. AKSELRAD, E.L. To a theory of heterogeneous isotropic shells [K teorii neodnorodnykh izotropnykh obolochek]. IzvestiyaANSSSR. Otdeleniye Tekhnicheskikh Nauk. Mekhanika iMashinostroyeniye, 1958, no. 6, pp. 56-62. (Russ.).
3. ILIN, V.P. To calculation of curvilineal bimetallic tubes [K raschetu krivolineynykh bimetallicheskikh trub]. Izvestiya AN SSSR. Mekhanika Tverdogo Tela, 1973, no. 5, pp. 154-156. ISSN 0572-3299. (Russ.).
4. KOROLEV, V.I. Elastoplastic deformations of shells [Uprugoplasticheskiye deformatsii obolochek]. Moscow: Mashinostroyeniye, 1971. (Russ.).
5. BOLOTIN, V.V. Finite deformations of flexible pipelines [Konechnyye deformatsii gibkikh truboprovodov]. In: Transactions of Moscow Power Engineering Institute, 1956, is. XIX, pp. 272-291. (Russ.).
6. BOLOTIN, V.V. Oscillations and stability of an elastic cylinder shell within a flow of compressible liquid [Kolebaniya i ustoychivost uprugoy tsilindticheskoy obolochki v potoke szhimayemoy zhidkosti]. Inzhenernyy sbornik, 1956, vol. 24, pp. 3-16. (Russ.).
7. PANOVKO, Ya.G. Basics of applied oscillation theories [Osnovy prikladnykh teoriy kolebaniy]. Moscow: Mashinostroyeniye, 1967. (Russ.).
8. PANOVKO, Ya.G., I.I. GUBANOVA. Fixity and oscillations of elastic systems: modern concepts, paradoxes and errors [Ustoychivost i kolebaniya uprugikh system: sovremennyye kontseptsii, paradoksy i oshibki]. 6th ed. Moscow: KomKniga, 2007. (Russ.).
9. FEODOSYEV, V.I. On oscillations and steadiness of a tube subject to fluid flowing [O kolebaniyakh i ustoychivosti truby pri protekanii cherez neye zhidkosti]. Inzhenernyy sbornik, 1952, vol. 10, pp. 169-170. (Russ.).
10. VLASOV, V.Z. General theory of shells and its application in engineering [Obshchaya teoriya obolochek i yeye primeneniye v tekhnike]. Moscow, Leningrad, USSR: Gosudarstvennoye izdatelstvo tekhniko-tekhnicheskoy literatury, 1949.
11. RAZOV, I.O., V.G. SOKOLOV. Free oscillations of surface pipelines subject to axial force effect in the context of elastic ground base [Svobodnyye kolebaniya nazemnykh gazoprovodov, obzhatykh prodolnoy siloy, s uchetom uprugogo osnovaniya grunta]. Vestnik Grazhdanskikh Inzhenerov, 2013, no. 1 (36), pp. 29-32. ISSN 1999-5571. (Russ.).
12. RAZOV, I.O. Studying free oscillations of thin-walled large-diameter pipelines during the on-surface installation [Issledovaniye svobodnykh kolebaniy tonkostennykg truboprovodov bolshogo diametra pri nazemnoy prokladke]. In: Topical challenges of engineering, ecology and power saving in conditions of Western Siberia [Aktualnyye problemy stroitelstva, ekologii i energosberezheniya v usloviyakh Zapadnoy Sibiri]: collected papers of international conf. in 3 vls. Tyumen: Tyumen State University of architecture and civil engineering, 2014, pp. 42-49. (Russ.).
