Сверхзвуковое поле скоростей в области интерференции крыла и корпуса, имеющих общую вершину Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том XIII 1982

№ 6

УДК 533.6.011.5

СВЕРХЗВУКОВОЕ ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ В ОБЛАСТИ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ КРЫЛА И КОРПУСА, ИМЕЮЩИХ ОБЩУЮ ВЕРШИНУ

С. И. Кусакан

Рассмотрено трехмерное поле скоростей возмущений, индуцируемых комбинаций корпуса и крыла в неоднородном сверхзвуковом потоке. Показано, что в зависимости от соотношения между параметрами набегающего потока и геометрическими характеристиками комбинации в окрестности поверхности, ограничивающей область интерференции крыла и корпуса, возможны две схемы обтекания: течение сжатия и течение расширения, что соответствует наличию двух ветвей решения нелинейного дифференциального уравнения для добавочного потенциала скоростей в указанной области. Получены асимптотические формулы, определяющие положение границы интерференции и поведение скоростей возмущений для обоих типов обтекания. Приведены результаты расчета продольной и боковой составляющих добавочной скорости на нижней поверхности комбинации треугольного крыла и конуса и дано сопоставление с численным решением.

1. Рассмотрим пространственное установившееся обтекание корпуса и произвольно профилированного крыла неоднородным сверхзвуковым потоком, в котором поле скоростей возмущений задано и описывается потенциальной функцией <рн. Кромки крыла предполагаются сверхзвуковыми. Считаем, что величины добавочных скоростей в набегающем потоке, а также скорости возмущений, вносимых в этот поток комбинацией крыло —корпус, малы по сравнению с модулем вектора скорости К0 невозмущенного потока.

С точностью до величин второго порядка малости включительно поле течения в связанной системе координат Охуг (рис. 1) описывается потенциалом скоростей Ф, удовлетворяющим уравнению:

(а2 - Ф2) Фхх + (а2 - Ф2) Фуу + (а2 - Ф2) Фгг - 2Ф, Фу Фху -

~ 2Ф г Ф2 Фхг — 2Фу Ф2 Фуг = 0, (1)

где а — местная скорость звука.

Рис. 1

Представим функцию Ф в виде

Ф = У0 (х соэ а + 2 ЭШ а + С9Н + 9), 9 = + <рв.

(2)

Потенциал <?т представляет собой сумму двух членов, первый из которых соответствует возмущениям, создаваемым изолированным крылом в набегающем потоке, а второй характеризует влияние корпуса на крыло. Потенциальная функция ?в описывает интерференционное воздействие крыла на корпус. Через а обозначен угол между вектором У0 и осью л; (рис. 1).

Область взаимодействия крыла и корпуса, в которой функция <рв отлична от нуля, назовем положительной, а искомые величины в точках этой области обозначим индексом „ + “. Границу положительной области, которой является скачок уплотнения или характеристическая поверхность возмущенного течения, выходящие из вершины комбинации, обозначим через 2. В остальной области течения возмущения в набегающий поток вносятся только той частью крыла, которая расположена вне поверхности 2. Эту область назовем отрицательной, а соответствующие величины обозначим индексом „—“.

2. Построение решения в отрицательной области не вызывает затруднений и может быть осуществлено обычным методом малого параметра, согласно которому добавочный потенциал скоростей представляется в виде ряда

где нижний индекс указывает порядок величины.

В качестве малого параметра, который обозначим через о, здесь принята величина, характеризующая местный угол наклона вектора скорости набегающего потока к вектору полной скорости в точках поверхности крыла. Другими словами, параметр а пропорционален нормальному к поверхности крыла компоненту скорости набегающего потока и, следовательно, имеет величину порядка

о(— . а. ^ , где х = , гЛх, у) — уравнение поверхности крыла.

\ дг I дх

При этом не делается каких-либо предположений о соотношении между малыми параметрами а, -с и производной ду^/дг, вычисленной в точках поверхности крыла.

(3)

После подстановки ряда для ® в уравнение (1) придем к линейным дифференциальным уравнениям относительно срр и ср—, решение которых определяется с помощью метода Вольтерра.

Применение аналогичной процедуры в положительной области возможно только внутри конуса Маха невозмущенного потока с вершиной в точке О (см. рис. 1), уравнение которого в цилиндрических координатах *0г имеет вид фг/х= 1, где р = УМ2 — 1, М— число М невозмущенного потока. В окрестности конуса Маха ряд (3) расходится и не может быть использован для удовлетворения граничным условиям на поверхности Е.

Указанная область течения подробно рассмотрена в работе [1], где показано, что с точностью до величин порядка О (о3, ао, 83) радиальная составляющая добавочной скорости в прилегающей к поверхности £ области имеет вид

dtp+

1)г

ду, dtp, \ Г X2 1 Г *

= it + + т8й!± “ У т4а+-5- Ы*++'^г.

Знак „ + “ перед корнем соответствует течению сжатия, знак „ — “ — течению расширения. Через 8 обозначен малый параметр, характеризующий размер рассматриваемой области по нормали к поверхности Е, X —(х + 1)М4/Р4, * — показатель адиабаты, h =

= О (1) > 0 — функция переменной 0, Fc — [х + г1(х, в) +

+ г, (х, 0)] — г = 0 — уравнение головной характеристической поверхности рассчитанной во втором приближении по параметрам течения в отрицательной области.

В точках поверхности нормальная составляющая скорости равна скорости звука

(v'f-vf'J/lv^l = а~,

откуда с учетом соотношений (2) и (3) и условия постоянства энтальпии торможения получим, что характеристические координаты и г, удовлетворяют уравнениям:

(*~‘,)М‘ (/;,+!-/?>+л,)+

/, = ar sin 9 + ! + <рГ, fo = — -j- х + 2 + Ъ-

Как и в работе [2], для выбора той или иной ветви решения (4) необходимо проанализировать поведение обычного линейного решения вблизи соответствующей границы.

3. Определение добавочного потенциала <рГ внутри конуса Маха невозмущенного потока сводится к решению волнового уравнения

уу fl ZZ — 0 (5)

с условием непрерывности потенциала при переходе через конус Г^г/х= 1 и условием равенства нулю нормального компонента скорости на обтекаемой поверхности.

Поскольку кромки крыла сверхзвуковые, то, используя свойство независимости течений на верхней и нижней поверхностях комбинации, потенциал <рв1 можно выразить рядом Фурье, составленным лишь из членов с косинусами

со

®В 1 — 2 С05/г®>

п—О

после чего из условия непротекания получим, что на той части плоскости 2== 0, которая лежит внутри контура крыла,

(6)

а на поверхности корпуса

=£ + т * + т + £)„-

-(

дон1 I азШ0. (7)

дг дг

Здесь все размеры отнесены к длине хорды крыла 00' (рис. 1), гв = е/?(л;, 6) — уравнение поверхности корпуса, ^ = 0(1), е-—малый параметр, равный отношению радиуса миделевого сечения корпуса к его длине.

При заданных граничных условиях решение уравнения (5) может быть представлено в виде суммы потенциала сверхзвуковых источников, расположенных в плоскости крыла:

1

1 =— — ~г = , (8>

где интегрирование ведется по части плоскости крыла, вырезаемой обратным конусом влияния, выходящим из точки (х, у, г), и потенциала возмущений от системы мультиполей, распределенных вдоль оси симметрии конуса

Тв 1 = V гп (у ~-У‘ <3п соэ пв, (9)

/2=0 '

О 1 Т ёп^]

2Я ,) у (Х _ _ рз г2 ’

интенсивности gп(x) которых определяются из граничного условия (7).

Рассмотрим асимптотические представления решений (8) и (9) в окрестности конуса Маха, в которой разность \>. = х — $г мала по сравнению с единицей.

Аналогично тому, как это сделано в работе [3], потенциал в этой области можно представить в виде суммы существенно трехмерной неособой части и сингулярного члена:

то=='с(°> °)> £ = tgy., х — угол стреловидности передней кромки крыла в точке О. Предполагается, что переменная 6 изменяется в таких пределах, что (р2 cos2 0 — k2) = О (1) >0.

Для отыскания соответствующего разложения потенциала <рв1 достаточно определить вид функций gn{t) вблизи точки 5 = 0, так как переменная интегрирования £ в формуле (9) изменяется в пределах Последнее можно сделать, если рассмотреть усло-

вие непротекания (7) в точках поверхности корпуса, расположенных на расстоянии порядка 0([а) от вершины обтекаемой конфигурации.

Так как вблизи поверхности корпуса при /*<1

где константы тя имеют величины порядка 0{е.п+2, ое'Н-1).

Переходя далее в интегральной формуле для функций (}п(х, г) к переменным х, и проводя разложение при малых р., с учетом (11) найдем, что

Отсюда непосредственно следует, что Рл = О (рп+3/2) и, таким образом, потенциал возмущений от системы мультиполей при <С 1 можно представить в виде

где ^0 = ^о(О), что легко установить путем разложения функции £0(л:) вблизи точки л = 0 в ряд Тейлора.

«РІ1 =?wi+Y у=- V-312 + О (Vй),

(10)

то, подставляя (10) в (7) и учитывая, что при х = 0([а).

гв (*, 0) = ел: (0, 0) + О (з|х2),

получим, что для рассматриваемых значений х

gn (х) = Т„ хп+1 + О (т„ !аП+2)>

(И)

где функции Р„([а) определяются выражением

Рл = !*п Vv- -Mi.

о

Учитывая теперь, что с точностью до величин более высокого порядка малости, чем О (а, в2), интенсивность источников согласно (7) определяется уравнением, совпадающим с условием непротекания изолированного корпуса невозмущенным потоком

(г дув 1 \ _ дг± , _1_ дгв д?в1

\ дг )г=гв~ в дх гв <Э6 ОН ’

в силу результата работы [4] получим, что £0 (х) = 5'(х), где 5 (х) — площадь поперечного сечения корпуса и, следовательно,

2г’ Г V

Е0 (0) = 5" (0), 5" (0) = г2 / [*£ (0, 9)]" г/0.

Таким образом, окончательное выражение для первого члена асимптотического разложения потенциала ^ в окрестности характеристического конуса рг/х = 1 имеет вид

Р-3'2 + ° (£3 И-3/2. V*-5'2. <ф5/2), (12)

где через В обозначена следующая функция переменной б:

£(6) = Лл(6)-1^-5"(0).

При этом предполагается, что г <С а1/3, так как величины порядка О (в3) отброшены по сравнению с величинами порядка О (о).

Дифференцируя (12) по г и замечая, что = так как

в отрицательной области <рв1 = 0, получим следующее выражение для радиальной составляющей скорости вблизи головного конуса Маха:

Чг = Чг - ^ + 0 Iх''2’£2 ^ <13)

Сращивание решений (4) и (13) возможно при условии, что области, в которых эти решения определены, перекрываются. Вследствие этого необходимо расширить область существования линейного решения вплоть до головной характеристической поверхности возмущенного течения. Это достигается, как показано в работе [3], путем перехода от физических координат х, б, г к новым деформированным переменным х, 6, по формулам:

ср+(х, б ,/-) = ?+(х, б,/?), Я =г + -у- (х, 0)+ /■,(*, 0)],

после чего из (13) получим следующее выражение для д<е+/дг:

Т =:тг - ;утУ Т1х +г'+ ^-г + 0<”!)’ (14)

которое необходимо срастить с главным членом асимптотического разложения (4) „на выходе из пограничного слоя“ при условии, что переменные х и г порядка 0(1), а 5->■ 0.

В результате получим

У8й=±-|-р» в, (15)

причем при В (б) ]> 0, что соответствует знаку в правой части (15), разложение (14) сращивается с той ветвью решения (4), которая описывает течение расширения, а при В(б)<0-с ветвью, описывающей течение сжатия.

Таким образом, в зависимости от соотношения между параметрами набегающего потока и геометрическими характеристиками корпуса и крыла возможны два типа течений в зоне перехода из области влияния крыла в область интерференции крыла и корпуса.

При В(б)<0 границей центральной области течения является поверхность сильного разрыва £Л, положение которой согласно [1] описывается уравнением:

г=-у(х + г1 + г2) + -^-8л2/г2х, (16)

которое с учетом (15) можно представить в виде

г = гДх,9) + (4р)3^хВ2(0). (17)

где через гс обозначена координата рассчитанной во втором приближении характеристической поверхности £с. При этом радиальный компонент скорости при переходе через поверхность £Л. изменяется скачкообразно на следующую величину:

[£] = 3(i)>*2(0)- (18)

При 5(0) > 0 область взаимного влияния крыла и корпуса ограничена поверхностью £с, при переходе через которую скорости изменяются непрерывным образом.

4. В случае обтекания комбинации крыло — корпус невозмущенным потоком <р„ = 0 и функция 5(0) имеет вид

£± (6) = - \s" (0) + 4 * (+а - Ч) | (19)

v ' Зя W (р2 C0S2 6 — *2) J ' '

где знаки „4-“ и „—“ относятся соответственно к случаю обтекания верхней и нижней поверхностей комбинации.

Если соотношение параметров таково, что для рассматриваемых значений переменной 0

(0) > (32 cos2 6 — £2)

то при угле атаки, равном нулю, В± (0) ■< 0 и, следовательно, согласно результату п. 3 на верхней и нижней поверхностях комбинации имеет место скачкообразное изменение гидродинамических элементов при переходе через границу центральной области течения.

По мере увеличения угла атаки функция В+ (б) возрастает, а В~ (0) убывает, в соответствии с чем разрыв производной д<р/дг, вычисляемый по формуле (18), на верхней поверхности растет,

а на нижней падает. При этом координата скачка г]-' согласно уравнениям (16) и (17), вообще говоря, уменьшается, а г~ увеличивается, так как характеристическая координата гъ отрицательная на верхней поверхности и положительная на нижней, изменяется пропорционально углу атаки а, в то время как координата г, и член, пропорциональный В2 (В), имеют величины соответственно порядка О (а2) и О (я3, аз2, г4).

Таким образом, с ростом угла атаки скачок уплотнения, разделяющий отрицательную и положительную области течения, на верхней поверхности усиливается и смещается к поверхности корпуса, в то время как на нижней стороне комбинации крыла и корпуса он ослабляется и сдвигается к передним кромкам крыла.

Соответствующая указанному случаю схема обтекания нижней части комбинации крыла и корпуса показана на рис. 2. Здесь

линия 3—5 изображает участок скачка, описываемый формулами (16) —(18), а линия 4—5 — скачок уплотнения, присоединенный к передней кромке крыла. Линией 2—7 показан конус Маха невозмущенного потока.

Как и следовало ожидать, схема обтекания, приведенная на рис. 2, совпадает с рассмотренной в работах [5, 6] схемой обтекания нижней части треугольной пластинки с фюзеляжем в виде кругового конуса, поскольку в этом случае выполняется условие (20), при котором на нижней части тела при о. — 0 формируется скачок уплотнения 3—5.

По мере увеличения угла атаки скачок уплотнения 3—5, постепенно ослабляясь и смещаясь к передней кромке крыла, одновременно сближается с соответствующим участком характеристической поверхности £с, откуда следует, что при определенном

соотношении параметров задачи на нижней стороне комбинации в зоне сопряжения потоков из отрицательной и положительной областей возможны режимы перехода от течения сжатия к течению разрежения. Соответствующие таким режимам значения углов атаки определяются выражением

(Р2 СОБ2 в &‘) С"/Т>\ - —

а — ^ о (и) то ,

которое получается из условия В_(9) = 0. При дальнейшем увеличении угла атаки на границе 3—5, которой в этом случае является часть поверхности происходит расширение сверхзвукового потока.

В качестве примера, характеризующего величины и поведение возмущенных скоростей на нижней стороне обтекаемой конфигурации, на рис. 3—5 представлены результаты расчетов продольной и боковой составляющих добавочной скорости, отнесенных к углу атаки а, в зависимости от координаты л: в случае обтекания плоского треугольного крыла и кругового конуса.

О

-0,2

-0,6

и

ом

01

0,8

0,6

V

V о

О Л

¥

Рис. 3

0,8

-V -0,2 -о,з-

и.

■& 0,5 0,4 0,3 0,1 0,1

¥

0,8

х —1

0,6

0,8

Рис. 4

О

-0,1

-0,2

-0,3:

О А

0,6

0,8

х

—

т>

¥

0,3

0,2

0,1

о

ОЛ

Расчеты, представленные на рис. 3, выполнены при числе М=4Г а = 6°, ^=61°, 7 = 7,6°, _у = 0,4, 2 = 0. Координата у отнесена к длине полуразмаха, а координаты х и г — к длине корневой хорды крыла 00' (рис. 1). Штриховой линией представлены результаты расчетов, проведенных Н. Ф. Гавриловым по предложенному методу. Дано сопоставление с численным решением, полученным Ю. И. Лобановским на основании метода, изложенного в работе [7].

На рис. 4 приведены результаты расчетов возмущенных скоростей под крылом на высоте 2= —0,1 в сечении _у = 0,3 при М=3, а = 10°, х = 45°и трех значениях полуугла раствора конуса 7 = 5°, 7,5°, 10°, соответствующих различным типам течений вблизи границы центральной области возмущений. Штриховой линией (7 = 5°) обозначены результаты расчета течения расширения, сплошной (7 = 10°) — течения сжатия. Штрихпунктирная линия (7 = 7,5°) соответствует режиму перехода от одного течения к другому.

В заключение отметим, что формулы (4) и (15), описывающие поле скоростей в окрестности поверхностей и 1.с, при гв = 0 переходят в соотношения, соответствующие случаю обтекания изолированного крыла, а при а = т = 0 —случаю обтекания изолированного корпуса. Это позволяет сравнить величины и характер поведения скоростей возмущений, индуцируемых в набегающем потоке комбинацией в целом и каждым из ее элементов. Такое сравнение дано на рис. 5 при М = 3, а=10°, х^= 450, 7 = 7,5°, у = 0,3, 2=—0,1. Штриховая линия соответствует случаю обтекания изолированного конуса, штрихпунктирная относится к изолированному крылу, сплошной линией нанесены результаты расчета обтекания комбинации крыло — конус.

ЛИТЕРАТУРА

1. Куса кин С. И. Особенности поля скоростей вблизи комбинации крыло — корпус, расположенной под углом атаки к набегающему сверхзвуковому потоку. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1980, № 6.

2. Булах Б. М. Ударные волны в конических потоках. ПММ, т. 29, вып. 5, 1965.

3. Кусакин С. И., Притуло М. Ф. Метод деформированных координат в задаче обтекания крыла сверхзвуковым потоком газа. Сб. .Аэромеханика", М., „Наука*, 1976.

4. Ward Q. N Supersonic flow past slender pointed bodies. Quart.

.J. Mech. and Appl. Math“., vol. 2, p. 1, 1949.

5. Scheuing R. A. Outer inviscid hypersonic flow with attached

shock waves. ARS J., 31 (4), 1961. „Ракетная техника*, 1961 № 4.

6. Булах Б. М. Нелинейные конические течения газа. М., „Наука", 1970.

7. Лобановский Ю. И. Расчет обтекания конических тел со сверхзвуковыми передними кромками. „Ученые записки ЦАГИ", т. 8, № 6, 1977.

Рукопись поступила 19jVl 1981 г.

2—«Ученые записки» № б