Научная статья на тему 'Сверхразрешение в теории оптимального приема'

Сверхразрешение в теории оптимального приема Текст научной статьи по специальности «Геофизика»

71
34
Поделиться

Аннотация научной статьи по геофизике, автор научной работы — Власова К. В., Пахотин В. А., Власов А. А.

Для решения спектральной задачи используются положения теории оптимального приема. Исследуется зависимость логарифма функции правдоподобия от интервала между отсчетами. В случае малых получить решение затруднительно. Увеличение значения приводит к нарушению условия теоремы Котельникова.

For the decision of a spectral problem positions of the theory of optimum reception are used. Dependence of the logarithm of function of credibility on an interval between readout is investigated. In case of small to receive the decision it is inconvenient. The increase in value leads to infringement of a condition of theorem Kotelnikov.

Текст научной работы на тему «Сверхразрешение в теории оптимального приема»

64

К. В. Власова, В. А. Пахотин, Я. Р. Брух

Так, рисунок 2, а показывает, что при отношении сигнал/шум 2 дБ, возможно разрешение сигналов, общая область которых порядка 10 мкс. При уменьшении расстояния между целями в два раза, то есть при увеличении отношения сигнал/шум до 4,2 дБ, становится возможным разрешить сигналы с перекрытием по времени порядка 20 мкс (рис. 2, б). Если расстояние уменьшается в 4 раза, то общая область может быть увеличена до 35 мкс (рис. 2, в). А при уменьшении расстояния в 8 раз, становится возможным различить сигналы с разностью времен приема порядка 2 мкс (общая область ~ 48 мкс) (рис. 2, г).

Список литература

1. Пахотин В. А., Пахотина К. В., Жукова Н. В. Метод обработки данных, полученных при приеме ионосферных сигналов // Геомагнетизм и аэрономия. 2004. Т. 44. № 4. С. 1-7.

2. Пахотина К. В., Молостова С. В. Разрешающая способность в системах локации / / Материалы межвуз. науч.-техн. конф. аспирантов и соискателей / БГА. Калининград, 2005. С. 59—63.

3. Антонов А. В., Пахотин В. А., Королев К. Ю. и др. Результаты научных исследований в области методов обработки радиофизической информации в РГУ им. Канта // Калининград: прошлое, настоящее, будущее. Физико-математические науки. Калининград, 2006. С. 13 — 17.

Об авторах

К. В. Власова — препод., Балтийский информационный техникум.

В. А. Пахотин — д-р физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта.

Я. Р. Брух — асп., РГУ им. И. Канта.

УДК 621.391, 621.396, 621.369

К. В. Власова, В. А. Пахотин, А. А. Власов СВЕРХРАЗРЕШЕНИЕ В ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА

Для решения спектральной задачи используются положения теории оптимального приема. Исследуется зависимость логарифма функции правдоподобия от интервала между отсчетами At. В случае малых At получить решение затруднительно. Увеличение значения At приводит к нарушению условия теоремы Котельникова.

For the decision of a spectral problem positions of the theory of optimum reception are used. Dependence of the logarithm of function of credibility on an interval between readout is investigated. In case of small to receive the decision it is inconvenient. The increase in value leads to infringement of a condition of theorem Kotelnikov.

Термин «разрешающая способность», «разрешение сигналов» широко известен в оптике, спектроскопии, астрономии. Подобные по

форме сигналы разрешаются, если они ортогональны, то есть их коэффициент корреляции равен нулю. Ортогональность сигналов обеспечивается сдвигом (изменением) но частоте, но угловым координатам, но времени.

В теории оптимального приема [1; 2] задача разрешения сигналов основана на представлении о функции неопределенности. При классическом решении задачи разрешения сигналов имеется ограничение, связанное с двумерной функцией неопределенности. Оно ограничивает точности одновременной оценки частоты и времени приема радиоимпульса.

Однако метод максимального правдоподобия предопределяет другое решение задачи разрешения сигналов. Оно не связано с функцией неопределенности и характеризуется сверхразрешением. Разрешающая способность зависит от отношения сигнал/шум, и если это отношение бесконечно большое, то разрешающая способность оказывается бесконечно большой.

Запишем функцию правдоподобия в виде

L (к')= COnSt eXP 2-2 Е yn - S ( tn )| j , (1)

где const — постоянная, определяемая из нормировки, она не существенна для решения и в дальнейшем будет исключаться;

S (к', tn) — комплексный сигнал, характеризующийся оценочным

вектором параметров к' и временем tn;

yn — комплексная выборка данных, определяемая выражением

уn = S (к, tn)+J ,n. (2)

Аддитивная шумовая добавка имеет нормальную плотность распределения, нулевое среднее значение и дисперсию О2. Шум окрашенный, однако отсчеты взяты через интервал At >Tk, где Tk — интервал корреляции шума. В этом случае отсчеты шума являются некор-

релированными.

Пусть принятое сообщение представляет собой сумму подобных сигналов, отличающихся каким-либо одним параметром. В связи с этим запишем (2) в виде

Mr

у =Еs (к,t)+и , (3)

у n / , m \ ’ n I 0 ,n

m=1

где S (к, t ) — подобные сигналы, отличающиеся каким-либо параметром. Подставляя (3) в функцию правдоподобия (1), получим

_ Г 1 N M Л r

L (к') = COnSt eXP - 2Т Е Уп “Е Sm (^ tn)

2

к'=( „.к ) — оценочное значение вектора параметров

65

К. В. Власова, В. А. Пахотин, А. А. Власов

66

Функция правдоподобия представляет собой поверхность в пространстве параметров X’. Максимум этой поверхности определяет решение. Решение несмещенное, то есть математическое ожидание оценочного значения вектора параметров X ’ будет равно истинному значению вектора параметров X. Максимум поверхности всегда можно

найти методом перебора параметров X ’. Таким образом, для разрешения суммы подобных сигналов, отличающихся вектором параметров

X, нет необходимости вводить понятие «разрешающая способность». Параметры суммы подобных сигналов определяются одним максимумом одновременно. Следовательно, метод максимального правдоподобия не дает различия между ортогональными и неортогональными сигналами. Все сигналы (ортогональные и неортогональные) определяют единый максимум функции правдоподобия, если их совокупность содержит параметры, совпадающие с параметрами такой же совокупности сигналов, содержащихся в принятом сообщении уп .

Рассмотрим другой подход к решению задачи разрешения сигналов. Пусть уп определяется выражением (3). Однако в аргументе экспоненты функции правдоподобия подставим одиночный сигнал S (X, tn)

L (X’) = const exp ^-у—2 - S (X’, tn)| j . (5)

C суммой сигналов в принятом сообщении уп (3) сопоставляется

одиночный сигнал с X ’, меняющийся в заданных пределах. В этом случае правая и левая части аргумента экспоненты функции правдоподобия не соответствуют друг другу и решение не будет являться оптимальным. Всякий раз, когда X ’ = Xm, функция правдоподобия будет иметь локальный максимум. Следовательно, функция правдоподобия будет поверхностью в пространстве параметров, содержащей m максимумов. Если параметры X, и X ■ достаточно близки друг другу, тогда

возникает проблема различения отдельных максимумов функции правдоподобия и требуется введение понятия «разрешающая способность». Близость параметров X, и X ■ определяется коэффициентом корреляции двух сигналов

J s, (x •. t )s; (г, t )л. (6)

R ~ IIs, (x. t)|s* (x . t)||

Таким образом, показано, что термин «разрешающая способность» в своем классическом представлении связан с неоптимальностью метода обработки, когда совокупности подобных сигналов сопоставляется в функции правдоподобия одиночный сигнал. Оптимальность обработки будет, если анализируется этими методами одиночный сигнал или коэффициент корреляции между сигналами равен нулю. В случаях, когда

коэффициент корреляции отличен от нуля (неортогональные сигналы), необходимо использовать метод максимального правдоподобия.

Список литературы

1. Тихонов В. И. Оптимальный прием сигналов. М., 1983.

2. Перов А. И. Статистическая теория радиотехнических систем. М., 2003.

Об авторах

К. В. Власова — препод., Балтийский информационный техникум.

В. А. Пахотин — д-р физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта.

А. А. Власов — асп., РГУ им. И. Канта.

УДК 550.388.2

В. Е. Захаров, Е. В. Бахарь

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КРИТИЧЕСКИХ ЧАСТОТ СЛОЯ F2 ИОНОСФЕРЫ ПО СПУТНИКОВЫМ ДАННЫМ ПРОХОЖДЕНИЯ СИГНАЛОВ

Обработаны данные спутников GPS для станций MATE(40,39;16,42), HERS(52,22;13,04) и POTS(50,52;0,20). Получены суточные вариации полного электронного содержания ионосферы. Проведен корреляционный анализ критических частот слоя F2 ионосферы. Расечитано значение коэффициента парной корреляции между результатами обработки спутниковых измерений и модели ионосферы IRI для среднеширотной станции MATE, который примерно равен 0,72.

Data for satellites GPS for the stations MATE (40,39;16,42),

HERS (52,22;13,04) and POTS (50,52;0,20) have been processed.

Daily variations of full electronic content of ionosphere have been received. Correlation anylasis of the renetration frequancies of F2 ionospheric layer has been made. Coefficient of pair correlation between the results of data processing of satellite measurements and the ionospheric model IRI for the mid-latitude station MATE has been calculated and is about 0,72.

Введение

Цель данной работы — проведение корреляционного анализа полного электронного содержания (ПЭС) и критических частот слоя F2 ионосферы. Сопоставляются данные, полученные в результате обработки сигналов спутников GPS, с данными, полученными с помощью модели ионосферы IRI2001. Результаты корреляционного анализа позволяют судить о степени соответствия модельных и экспериментальных данных.