Сверхразрешение в обработке пoлихромных изображений Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

У

Сверхразрешение в обработке полихромных изображений

Рассматриваются состояние проблемы сверхразрешения в обработке панхроматических изображений, подходы к её решению на основе высокоточного метода РСП решения обратной задачи с исключением шумов наложения спектров, результаты их применения. Представленный материал позволяет сделать вывод об эффективности выделения спектрозональных изображений из полихромного и синтеза из полученных компонент более широкохромных (вплоть до панхроматического) совершенно восстановленных изображений, что стало возможным благодаря методу РСП решения обратной задачи и не менее важному методу исключения ШНС из выделенных изображений.

Ключевые слова: свехразрешение, сверхшенноновское разрешение, полихромные (мультихромные) изображения, панхроматические изображения, аналитическое продолжение спектра, теорема Винера-Пэли, шумы наложения спектров.

Михайлов Б.А.,

МТУСИ, minfol@mail.ru

В сложившейся практике обработки изображений почти исключительно все методы обработки изображений (от теоремы отсчетов до методов решения обратной задачи) ориентированы на монохромные изображения. При этом рекомендации по применению методов к широкоприменяемым по-лихромным изображениям не предлагались по причине их принципиального отсутствия. Этим объясняются незначительные результаты в повышении разрешения полихромных (панхроматических) изображении.

Полихромным в данном диапазоне спектрального излучения является панхроматическое изображение, которое описывается выражением

Дх,у)= £' х(Л, х, у)М >

где $(Х,х,у) — спектральная компонента входного сигнала с длиной волны ). электромагнитного излучения;

Я,„ л„ - соответственно нижнее и верхнее значения длины волны используемой части панхроматического диапазона.

При делении диапазона длин волн панхроматического канала на / частей (спектрозональных участков) входной сигнал может быть представлен суммой /-1

/(х,.у) = У 5(/,х,.у)

/=0

/ спектрозональных компонент

Г +(|+1)*ДЛ

И

где / - номер спектрозонального участка (спектральной

зоны, спектрального диапазона, спектрального канала);

: _ з

дд _ « - ширина каждого спектрозонального участка,

/

обеспечивающая покрытие длин волн полихромного диапазона без пропусков и перекрытий.

Как видим, каждый спектрозональный участок (а в пределе, каждая монохроматическая компонента) полихромного изображения имеет свою полосу прос гранственных частот, свою пространственную граничную частоту, а при общей для всех участков и обычно недостаточной частоте дискретизации также свои шумы наложения спектров (ШНС). Такой состав панхроматического изображения делает его не-

пригодным для всех видов пространственно-частотной обработки, в том числе, с целью получения сверхразрешения.

Для решения проблемы необходимо:

— разделить полихроматическое изображение на составляющие его спектрозональные компоненты, что представляет и самостоятельный интерес и до настоящего времени было невозможно;

- выполнить сверхразрешающую обработку выделенных спектрозональных компонент;

- суперпозицией взвешенных компонент, прошедших сверхразрешающую обработку, получить искомые (искомое) полихромные изображения со сверхразрешением их элементов.

Отметим, что действия по первому и второму дефисам должны производиться в условиях отмеченных выше ШНС значительного уровня.

В последнее время средства, необходимые для решения обозначенной проблемы, появились.

Главным элементом этих средств является метод РСП высокоточного (совершенного) решения обратной задачи [1, 2]. Модификацией метода РСП получен метод [3] совершенного выделения спектрозональных компонент из мультис-пектрального, объединяющий функции по первым двум дефисам. Эффективность обоих названных методов обусловлена, в частности, их сочетанием с методом исключения из решения шумов наложения спектров, что чрезвычайно важно, хотя раньше считалось невозможным.

Метод РСП является новым методом, с применением которого:

- обратная задача становится корректной, а оценка входного сигнала - широкополосной, со сверхразрешением элементов сигнала;

— метод РСП становится предпочтительной (реальной и совершенной) альтернативой методу А.Н. Тихонова и его разновидностям (инверсной фильтрации, винеровской фильтрации, максимального правдоподобия и подобным);

— теоретический предел разрешения по Шеннону-Найквисту отменяется, практически же современный сверх-шенноновский предел, обусловленный информационным ресурсом сигнала соответственно теореме Винера-Пэли [4] и определяемый современным уровнем развития технических средств и уровнем остаточных шумов, кроется в несовершенстве звеньев системы. К таким несовершенствам относится и неполное использование протяженностей импульсных реакций, которое может быть обусловлено, в частности, недостаточным объемом памяти и недостаточной производительностью используемых вычислительных средств.

т

Конструктивный облик метода РСП, не вдаваясь в обоснования, приведем в виде последовательности [1, 2] реализующих его действий (без потери общности даем одномерный вариант):

— представление сигнала /(л) е ¿2 на операционном интервале приемлемой суперпозицией

(1)

/-і

7(х) = £/>,• 3(х ~ х - Д)

1=0

финитных базисных сигналов ¿(х-х, -Д) с весами р., где д'у + д — координаты точек представления, Д - смещение;

- ортогонализация импульсных реакций {Н(х-х - Д)1 системы:

{¡¡(х-х. -Д)} = ({/1(х-х. -Д)А’ (2)

где {•} - множество элементов, /Л —операция ортогонализации;

- определение весовых коэффициентов р. в виде

р1=кгсп (3)

(7 (х), а (х-х -а))

(4)

в режиме калибровки реального сквозного тракта системы, то есть, при континуальном формировании импульсной реакции, что важно для полноты использования информационного ресурса сигнала. В другом варианте (обычно неизбежном на этапах проектирования и отработки систем) импульсная реакция с LIJHC может получаться расчетом в нужном масштабе. В этом другом варианте исходным для расчета /;(*) с ШНС является спектр //(i'), для определения которого необходимо обратиться к рис. 1, на котором в стилизованной форме представлен пример спектра H(v) дискретизированной импульсной реакции /)(.v) с коэффициентом kn = 3 нефинитности при частоте и* = 2у‘ дискретизации.

(И(х-х. -л),И(х-х. -д)) где к. есть коэффициенты разложения /(*) в ряд Фурье по ортогонализированным импульсным реакциям {й(х—х,-д)}» сI есть корректирующие множители, равные доле (весу) импульсной реакции Н(х—х-а) в ортогонализированных импульсных реакциях {И(х-Х1- д)} и определяемые их видом, (Дх),у(х)) = ^Р(х,у)у(х,у)с1хс1у, А - область определения сигналов /?(дг) и у(х);

- повторение действий (3, 4) для каждого операционного интервала области восстановления.

Значения коэффициентов р. являются здесь совершенно

восстановленными значениями /(х) в точках ее представления по выражению (1).

Исключение ШНС из решения обратной задачи выполняется следующим образом.

РСП восстановление входного сигнала в заданных точках состоит в определении для этих точек весовых коэффициентов р., находимых по выходу системы с использованием

(3, 4) реакции {(х) системы на входной сигнал и импульсной реакции И(х) системы. Эта же процедура справедлива и в случае, когда /(д) и И(х) поражены шумами наложения спектров. А именно: реакция на входной сигнал формируется линейной системой как свертка входного сигнала с её импульсной реакцией, поэтому и в случае без ШНС, и в случае с ШНС выходной сигнал есть интегральная сумма импульсных реакций, взвешенных входным сигналом. Из этого следует, что в любом случае, в соответствии с фильтрующим свойством (4) метода Фурье, определяются весовые коэффициенты при сдвинутых импульсных реакциях, то есть значения входного сигнала в точках его представления. При этом несложно показать, что исключение ШНС не сопровождается искажением оценки входного сигнала.

Необходимая для восстановления оценки ]~(х) импульсная реакция И(х) системы с ШНС может формироваться в двух вариантах. Предпочтительным по критерию адекватности системе является измерение импульсной реакции с ШНС

(5)

Рис. 1. Иллюстрация закономерности наложения спектров

В полосе (—и*, и*) частот жирными линиями представлены попадающие в эту полосу участки спектра сигнала h(x). Арабскими цифрами обозначены номера / гармоник дискретизирующей функции.

Учитывая закономерность спектроналоження, получаем сумму этих компонент как спектр сигнала h(x) с ШНС:

-1 1C

Н(у) = С(у) + У С(у + 2у • | /1) + Yc(v - 2v • (/)) = і=-ІС ;=l

1C

= C(v) + У(C(у + 2v i) + C(y- 2v • /)),

/=1

где C(v) — спектральная компонента с частотой v недискре-тизированного сигнала h(x)\

-v*<v<v*; /с = —+1.

V*

Для четных h(x) C(v) = C(-v) и выражение (5) принимает вил

IG

//(і/) = С(и) + £(С(2і/в •/+»') + С(2у ч-у))-

/=1

Аналогично, в двумерном случае спектр сигнала h(x,y) с шумами наложения спектра

& & .

H(v,/u) = ^ ^С(рх-2у Lx + y, ру-2/и*іу + /л)'

їх = /От /}•=-1(1}

где C’(v,j.i) - спектральная компонента недискретизированно-го сигнала h(x,y) с частотами v, (і по координатам х, у;

-v*<v<v*; -ц*<ц<ц*;

рх — 1 при ix< 0, рх — 0 при ix > 0;

IGx = IGy = +1 ;

у*

ру = 1 при iy < 0, ру- 0 при iy > 0.

Двумерная модификация метода РСП для совершенного выделения спектрозональных изображений из поли-хромного состоит в замене аппроксимации (1) на аппроксимацию спектрозональной компоненты Б(і.х.у) с использованием базисных сигналов в виде единичных импульсов м0(-),

являющихся аналогом 5-функций для дискретного случая:

т

/(х,у) = '£§(1,х,у),

т

§(I, X, у) = рЦ, х, у) ■ и„ и - I, V - X, £ - у), где и0(а,Ь,с) = 1/0 при■ (а,Ь,с) = (0,0,0)/иначе;у,п% - свободные переменные.

При сохранении компактных представлений (5), (6) дискретность координат х, у в них понимается в виде х=т-Ах при т = 0, 1, Л/-1; у = п-Ау при п = 0, 1, ЛМ; Ах,

Ау - шаги дискретизации по х, _)>; М, N— числа отсчетов по х, у.

Аналогично выражениям (2), (3), (4), веса рЦ,х,у) определяются через коэффициенты ряда Фурье, в связи с чем линейно независимые реакции а(1,х,у) на базисные сигналы а(1,х,у) в каждой спектральной зоне ортогонализируются:

{Л(/,х,у)} = ({Л(/,х,у)}).

Тогда коэффициенты к(1,х,у) разложения реакции /(х,у) устройства в каждой точке (х,у) в ряд Фурье (по ор-тогонализированным реакциям ¡¡(¡,х,у) на финитные базисные сигналы) определятся в виде

Ш.Х.У). ФыЩгЫ» .

(А (¡,х,у),И(1,х,у)) а оценки 5(/,х,_у) совершенно восстановленных спектрозональных компонент 5(1,х,у) входного сигнала /(х,у) - в виде (6) при р(1,х,у) = к0,х,у) 5г где 5|. - коэффициенты веса (относительные уровни) сигналов /7(/,х,_у) в {¡¡(1,х,у)}, определяемые конкретным их видом.

ОПФ спектральных зон специфицированы различием их внутриполосных значений и значений граничных пространственных частот (определяемых минимальными значениями длины волны спектральных зон). Этого достаточно для разделения и совершенного восстановления спектрозональных изображений с получением их оценок 5(1,х,у) на основе решения обратной задачи методом РСП описанной модификации при исключении ШНС.

В таблице 1 представлена иллюстрация выделения спектрозональных изображений из панхроматического с одновременным совершенным их восстановлением без исключения и с исключением ШНС в условиях, когда для всех спектральных зон частота дискретизации меньше необходимой. Видно, что ШНС недопустимо искажают восстанавливаемый сигнал, особенно высокочастотную его часть, и что линейное разрешение на спектрозональных изображениях не хуже, чем на исходном панхроматическом, содержащем ШНС. При наличии совершенно выделенных спектрозональных изображений способ получения совершенно восстановленных полихромных изображений очевиден. Для этого достаточно, в соответствии с выражением

1К

Мх,у) = 'У'*7, 5(1,х,у),

1=1)1

попиксельно суммировать произведения оценок 5(/,Х,_у) отсчетов заранее заданных (наборами значений {¡н, ¡к}) совершенно восстановленных (то есть, высокоточных) спектрозональных изображений и индивидуальных весов ^ и

тем самым формировать оценки отсчетов совершенно восстановленных (линейная комбинация совершенно восстановленных величин дает совершенно восстановленную величину) более широкохромных (по сравнению с оценками Б(1,х,у)) спектрозональных изображений (в частности, компонент цветных, псевдоцветных изображений), и, в том числе, (при ш = 0, ж = 1-1, <7, = 1) оценок совершенно восстановленных отсчетов панхроматического изображения. Для успешности такого синтеза полихромных изображений важна имеющаяся строгая попиксельная совмещенность спектрозональных изображений между собой и с исходным поли-хромным.

Таблица 1

Выделение спектрозональных изображений из панхроматического

Представленный материал позволяет сделать вывод об эффективности выделения спектрозональных изображений из полихромного и синтеза из полученных компонент более широкохромных (вплоть до панхроматического) совершенно восстановленных изображений, что стало возможным благодаря методу РСП решения обратной задачи и не менее важному методу исключения ШНС из выделенных изображений.

Литература

1. Михайлов Б. А. Устройство для дискретной обработки сигналов // Патент России № 2385489, 28.08.2008. Бюл. №9,2010.

2. Михайлов Б.А. Пропускная способность квазисовершенных систем. Материалы Первой Всероссийской конференции «Радиоэлектронные средства передачи и приема сигналов и визуализации информации». — М. — Таганрог: РПТОРЭС им. A.C. Попова, 2011.

3. Михайлов Б.А. Совершенное выделение спектрозональных изображений из панхроматического. - II Всероссийская научно-техническая конференция «Актуальные проблемы ракетно-космической техники» («II Козловские чтения»). - Самара, 2011.

4. Винер H., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной плоскости: Пер. с англ. - М.: Наука, 1964,267 с.

Superresolution in processing of panchromatic mages Mikhailov BA, Moscow Technical University of Communications and Informatics, minfot@mail.ru

Abstract. Approaches to its decision on the basis of a high-precision method of RPP of the decision of a return problem with an exception of noise of imposing of spectra, results of their application are considered a status of a problem of the superresolution in processing panchromatic images.

Keywords: superresoiution, the supershannons resolution, panchromatic (muitichromatic) images, analytical continuation of a spectrum, Wiener-Paiey theorem, noise of imposing of spectra.