CC BY
12
Серия «Математика»
Том 1 (2007), № 1, С. 267-274
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского государственного университета
УДК 517.968
Существование и структура решений систем нелинейных интегро-функциональных уравнений Вольтерры первого рода *
Н. А. Сидоров ([email protected])
Иркутский госуниверситет, ИДСТУ СО РАН, Иркутск
А. В. Труфанов ([email protected])
Иркутский госуниверситет, Иркутск
Д. Н. Сидоров ([email protected])
Институт систем энергетики СО РАН, Иркутск
Аннотация. Доказаны теоремы существования обобщенных решений систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерры первого рода. Обобщенные решения строятся в пространстве распределений с точечным носителем.
Ключевые слова: Обобщенное решение, нелинейные системы, уравнения Вольтерры, функция Дирака.
Рассматривается система
= (*), г =
где матрица К и вектор-функции д, / - аналитические в окрестности нуля, причем
п
к (1,8) = ^ кп-г Ьп-8* + от + И)п+1), ¿=0
det Кп_* = 0, г = 0,1,...,п,
* Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проект 05-01-00336), программой НАТО (проект Ш0981276), Иркутским Государственным Университетом (проект 2007-01-03)
Н. А. СИДОРОВ, А. В. ТРУФАНОВ, Д. Н. СИДОРОВ
gj(slx(s),s) = gj(shjxi(s),..., slmjxm(s),s),
min lij = l.
ij
В работе предполагается, что l > n. Строятся обобщенные решения с точечным носителем в сингулярной части вида
x(t) = co5(t) + ciö(l\t) + ... + cn5(n)(t) + u(t), (2)
где ö(t) — функция Дирака,Со,..., cn - постоянные векторы из Rm, u(t) — регулярная вектор-функция. Доказаны теоремы существования непрерывных и обобщенных решений (2) систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерры первого рода (1). В первых двух теоремах прод-полагается, что в уравнении (1) нет возмущения аргумента, то есть матрица A = ||ajs|| = 0. В теоремах 1, 2, 3 u(t) — аналитическая в окрестности точки t = 0, в теореме 4 функция u(t) строится в виде логарифмо-степенного ряда.
Совокупность всех бесконечно дифференцируемых финитных функций с носителями в окрестности (—р, р) обозначим через D—p,p). Множество линейных непрерывных функционалов, определенных на D—p,p), обозначим через D'—pp), а подмножество его элементов вида (2) с сингулярностью n-го порядка с носителем в нуле - через D'nр). Таким образом, искомое решение (2) уравнения (1) строится в классе D'n(-р р) и удовлетворяет уравнению (1) в смысле теории распределений Соболева-Шварца. Сразу отметим, что при n < l "ix € D'n—p p)
произведение tlx = tlu(t) является регулярной функцией, что решает для уравнения (1) при l > n проблему нелинейных операций с такими обобщенными функциями.
Так как в пространстве D' при i,j = 0,1,... ,n, k > n справедливы тождества
tk-iQ * siö(j)(s) = (—1)jj\tk-jSij,
где Q — функция Хевисайда, 5ij — символ Кронекера, то имеет место равенство
t
k
п,
]Г Rk-itk-isi(coö(s) + ... + Cnö(n)(s)) ds =
0 k=n i=0
)jj
T,(—i)j j Kkk-j tk-j cj.
j=0 k=n
Заметим, что
к (t,s)
j=0
=T,(—iy j ^ Kk-j tk-j.
s=0 j=0 k=n
Введем матрицу
Л = [а з
Ниже в теоремах 1 и 2 предполагается, что Л = 0, а в теоремах 3 и 4 Л = 0. Если Л = 0, то элемент х € 0'п(__рр) может быть решением уравнения (1) только тогда, когда регулярная составляющая из представления (2) удовлетворяет уравнению
г
! К(Ь, в)(и(в) + д(в1и(в), в)) йв = г(Ь, со,..., сп), о
где
и ) «л п( 1)з 93К(Ь, 0)
г(г,со,...,сп) = /(Ь) (-1)3 —— сз'
3=0
Определим постоянные векторы со,... ,сп из системы линейных алгебраических уравнений
г^(0,со,...,сп) = 0, г = 0,...,и (3)
с нижней блочно-треугольной матрицей с невырожденными матрицами на диагонали. Поэтому постоянные векторы сп,... ,со определяются последовательно и единственным образом.
Теорема 1. Пусть I > и, Л = 0
"*(§^ш) =0' 3 = -2-"
Е К=0,
г=0 '
detKn_i = 0,г = 0,1,...,и.
Тогда система (1) в классе 0'п(—р, р) имеет единственное решение (2), где постоянные со,... ,сп определяются единственным образом из системы линейных алгебраических уравнений, непрерывная вектор-функция и(Ь) строится методом последовательных приближений. Доказательство.
Коэффициенты со,...,сп сингулярной составляющей решения (2) определены выше из системы (3). Для построения регулярной вектор-функции и(Ь) решим при найденных со,... ,сп систему
г
! К (Ь, в)(и(в) + д(в1п(в),в)) йв = г(Ь, со,..., сп), (4)
о
применив комбинацию метода неопределенных коэффициентов с методом последовательных приближений. Для краткости введем обозначение
t
Ф(и, t) := J K(t, s)(u(s) + g(slu(s),s)) ds - r(t, c) = 0. (5) 0
Предположим, что однородная система
~ n
/ Kn-itn-isix(s) ds = 0 (6)
i=0
0
имеет только тривиальное решение. Это будет выполнено, если
det( £ Kn-i(i + j)-1) =0
i=0
при ] = 1, 2,... Тогда для любого натурального N найдутся вектор-функции щ такие, что
\Ф(ио + п\Ь + ... + им ьм = 0(\Ь\п+м+1). (7)
Так как однородная система (6) имеет только нулевое решение, то векторы щ определяются однозначно методом неопределенных коэффициентов при подстановке полинома
u°(t) = u0 + u1t + ... + uN t
N
в уравнение (5).
Далее подставим вектор-функцию
u(t) = u0(t) + tN v(t) (8)
в систему (5) и приведем члены со степенями t1, i = n,n + 1,... ,n + N с учетом равенств (4) и задания полинома u0(t). Полученное равенство продифференцируем по t и будем искать методом последовательных приближений вектор-функцию v из эквивалентной системы интегральных уравнений
v = F (v,t). (9)
Здесь
F (v, t) = K-1(t,t)t-Ni^ -K (t,t)(u0 (t) + g(tlu°(t) + tl+N v(t),t)) -t
- J K't(t, s)(u0(s) + sNv(s) + g(slu0(s) + sl+Nv(s),s)) ds + r't(t, c)
Предположим, что
п
det^ Кп_г = а = 0.
Покажем, что тогда оператор * при достаточно большом N удовлетворяет в шаре ||х|| < г пространства С[_р,условиям принципа сжимающих отображений. Действительно,
Цд(в1(ио(в) + виУ1(в)),в) - д(в1 (ио(в) + виь2(в)), в)|| <
<1в11+мС1ЦУ1 - у21|
при Уг1,г2 из шара Б(0,г) С С[_р,р]. Далее, так как
ЦК'^в^к С2(Щ + |в|)
п1
то
г
1
Ьп+и I о
К[(г,в)ви йв
<
2п_1С2 N + 1
В силу этих оценок найдется постоянная с такая, что
с
И*1 (У1,Ь) - F (У2,т< ^^ ||^1 - У2Ц.
Зафиксируем д < 1 и выберем N > с/д - 1. Тогда оператор * в шаре IV|| < г пространства С_ррр] будет сжимающим с коэффициентом сжатия д. Так как в силу оценки (7)
и* (0, Ь) || = О(Щ),
то найдется такое р € (0, р], что тах ||^^(0,Ь)|| < (1 - д)г. Следовательно,
\А<р
сжимающий оператор * переводит шар ||г|| < г пространства С[_ррр] в себя. Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть в условиях теоремы 1 = 0 и при этом
дгК(Ь, в)
дЬг дг К (г, в)
= 0, г = 0,1,...,г - 1,
в=г
= О(Ьп_г), г < и.
в=г
дЬг
Тогда утверждения теоремы 1 остаются справедливыми.
Лемма 1. Пусть коэффициенты ядра Kj (t,s) удовлетворяют условиям теоремы 1, функции fi(t) являются аналитическими в некоторой окрестности нуля, тогда вектор-функция
u(t) = coS(t) + ciô(1\t)+ ... + Cnô(n)(t)+ p(t)
удовлетворяет системе первых m уравнений системы
{t m _
I E Kij(t, s)uj(s)ds = fi(t), i = 1,m 0 j=1
m _
Xj(t) + E ajsXs(at) + gj(tlx(t), t) = Uj(t), j = 1, m.
s=1
где векторы констант Co, ... ,cn определяются из системы (3), вектор-функция p(t) — единственное регулярное решение уравнения
t
J K (t, s)p(s)ds = r(t, Co,..., cn). 0
Теорема 3. Пусть выполнены условия леммы 1, матрица А = 0, 0 < \а\ < 1 и
6вь(Ет + А) = 0,г = 0,1,...,п, (10)
V аг\а\ )
ае^Ет + а3А^ = 0, ] = 0,1, 2,.... (11)
Тогда уравнение (1) имеет обобщенное решение
х(г) = (Ет + а) е05(г) + ... (12)
V а0\а\ )
... + (Ет + а) впб(п)(г)+ п(г), \ ап\а\ )
где векторы констант во, ... ,сп определяются из системы (3), регулярная вектор-функция п(Ь) является аналитической в окрестности нуля.
Рассмотрим случай, когда условие (11) не выполняется при ] = к. Введем обозначение С (г) =(Ет + агА). Пусть
(13)
размерность ядра ^шЖ (С (к)) = 7 и матрица С (к) имеет полный (—А) - жорданов набор = 1,7,3 = 1,рг, т.е выполняются равенства
С(к)^1 =0, г = 1,71; С(к)^Л = (—А)^-1), г = 1,7,3 = 2~Р1,
< (—афк > || = о,г,к = 17 (14)
где векторы фо 3 = 1,7 — элементы базиса пространства нулей матрицы С(к)т, числа рг, г = 1,7 суть длины цепочек (—А)-присоединенных элементов.
Теорема 4. Пусть выполнены условия леммы 1, матрица А = 0, 0 < |а| < 1, выполнены условия (10), а также (13) и (14)- Тогда система (1) имеет решение вида (12), где точка Ь = 0 является логарифмической особой точкой регулярной составляющей и(Ь),
и(Ь) = пИ (Ь) + у(Ь),у(0) = 0,
причем
к-1 N г
им(Ь) = ^2 игЬг + Ьк(икр 1пр Щ + ... + ик1 1п Щ + ико)+ Е ¿Т, иц 1П |Ь|,
г=0 г=к+1 0=0
где р = тах рг, Хг — определенные натуральные числа. При этом 7 координат векторного коэффициента ико останутся свободными параметрами в соответствующем решении системы (1), функция у(Ь) строится методом последовательных приближений.
Доказательства теорем 2, 3 и 4, как и теоремы 1, используют принцип сжатых отображений в сочетании с методом неопределенных коэффициентов для построения начальных приближений. Детали приведены в работе [1].
Замечание 1.
Если А — самосопряженная матрица, то р1 = .. .р^ = 1. Замечание 2.
Всегда найдутся базисы {фг}, {фг}, для которых будут выполнены условие (14).
Замечание 3.
Если в Теореме 4 С (кг) = 0, г = 1,...,в., в > 2, то регулярную составляющую и(Ь) решения 6 тоже можно построить в виде логарифма степенного ряда, но процесс построения существенно усложняется.
Пример.
Рассмотрим систему уравнений г
!{г2 + гв - 2в2)(х1(в) + в5х2{в)) йв = 1 + г. 0
г
У {г2 + гв - 2в2)(х2 {в) + в6х1(в)х2(в)) йв = 2 + г2 + 5 г3. 0 г
!{г2 + гв - 2в2)(хз(в) + в5хз(в)х2(в)) йв = з + г + г2 + г3. 0
Здесь выполнены условия теоремы 2 при п = 2, I = 5/2, р = 1. В классе V существует решение
х1(г) = 5{г) - 5(1){г) - -4г5 + о{г6), х2{1) = 25{1) - 45(2){г) + 1 + о{г),
хз{г) = 35{г) - 5(1){г) - -5(2){г) + 5 + о(г).
4 5
Список литературы
1. Сидоров Н. А., Сидоров Д. Н. Существование и построение обобщенных решений нелинейных интегральных уравнений Вольтерры первого рода //Диффе-ренц. уравнения.— 2006. — Т. 42. № 9.— С. 1243-1247.
2. Сидоров Н. А., Труфанов А. В. Структура решений операторных уравнений с функциональными возмущениями// Труды Средневолжского Математического общества.— 2006. Т. 8. № 1.—С. 104-109.
3. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М: Наука, 1969.
4. Магницкий Н. А. Асимптотики решений интегральных уравнений Вольтерра первого рода.—// Докл. АН СССР. 1983.— Т. 269. № 1.— С. 29-32.
N. A. Sidorov, A. V. Trufanov, D. N. Sidorov Existance and structure of solutions of systems of nonlinear Volterra integral-functinal equations of the first kind
Abstract. Generalized solutions existance theorems are proved for systems of nonlinear Volterra integral-functinal equations of the first kind. Generalized solutins are constructed in the distribution space with point support.
