СУЩЕСТВЕННЫЕ И НЕСУЩЕСТВЕННЫЕ РАСХОЖДЕНИЯ В ОЦЕНКЕ ПРИ ОСПАРИВАНИИ КАДАСТРОВОЙ СТОИМОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»



DOI: 10.24412/2072-4098-2021-10-23-39 Существенные и несущественные расхождения в оценке при оспаривании кадастровой стоимости

С.В.Грибовский директор СПб ГБУ «Кадастровая оценка», профессор, доктор экономических наук (г. Санкт-Петербург) М.Б. Ласкин старший научный сотрудник Санкт-Петербургского института информатики и автоматизации Российской академии наук (СПИИРАН), кандидат физико-математических наук (г. Санкт-Петербург)

Михаил Борисович Ласкин, laskinmb@yahoo.com

С введением института государственной кадастровой оценки в Российской Федерации оценочная деятельность получила дополнительные, недоступные ранее возможности. При проведении кадастровой оценки изучаются большие объемы данных об объектах сравнения, которые систематически собираются в соответствующих бюджетных учреждениях. Каждые три года или в иные сроки, предусмотренные законодательством [1], создаются базы всех учтенных объектов недвижимости, содержащие в том числе данные об их кадастровой стоимости. В Российской Федерации такие работы проведены трижды: в 2015, 2018 и 2020 годах (см. [2]). Как объекты сравнения, так и результаты кадастровой оценки могут быть использованы оценочным сообществом в повседневной работе. Одновременно появилось и большое количество нового вида споров, часто доходящих до рассмотрения дел в арбитражных судах - дел об оспаривании кадастровой стоимости. В теории и практике оценки существуют устоявшиеся методики проверки качества отбора объектов сравнения, последовательных корректировок и других процедур, позволяющих привести объекты сравнения к некоторому гомогенному активу, соответствующему объекту оценки. Эти практики не являются предметом рассмотрения в настоящей статье. Мы рассматриваем случай, когда объекты сравнения выбраны корректно и должным образом откорректированы на объект оценки. В этом случае в выборке альтернативного отчета и в выборке из отчета о кадастровой стоимости все равно остается некоторый разброс, часто немалый. Как в этом случае выявить существенность и несущественность расхождений в оценке? Прежде чем перейти к сравнению откорректированных выборок, напомним два основных метода, применяемых для создания выборок цен гомогенных активов разного объема, имеющих те же значения ценообразующих факторов, что и объект оценки.

Метод последовательных корректировок цен объектов сравнения

Известно, что математическая модель оценки рыночной стоимости объекта недвижимости с использованием сравнительного подхода в рамках метода корректировок может быть представлена в следующем виде [3]:

V, = £ х ч,,, (1)

I=1

где УО - оценка рыночной стоимости объекта оценки;

V« - показатель рыночной стоимости объекта оценки или оценка объекта оценки с использованием информации о цене /'-го аналога, / = 1, 2, 3, ..., п *;

п - число объектов сравнения (аналогов);

а - вклад (вес) /-го аналога в стоимость объекта оценки.

Таким образом, формула (1) есть не что иное, как взвешенное среднее скорректированных цен объектов-аналогов. Если вклады аналогов одинаковы (веса распределены равномерно), то очевидно, что оценка рыночной стоимости объекта оценки будет равна простому среднему:

Чо = П . (2)

п /=1

Показатель рыночной стоимости объекта оценки Уа или оценку объекта оценки с использованием информации о цене /-го аналога Ц можно представить в виде следующей суммы:

V« = Ц + ДЦ, (3)

где ДЦ - суммарная аддитивная корректировка цены /-го аналога:

ДЦ = £дц, (4)

!=1

где к- число корректировок цены /-го аналога или число характеристик объекта аналога, по которым он отличается от объекта оценки;

Дц - результат аддитивной корректировки цены /-го аналога по у-му ценообразующему фактору или по у-й характеристике.

Формулу (3) можно представить в следующем виде:

Уа = Ц + ДЦ = [(Ц + ДЦ) / Ц ] х Ц = [1 + (ДЦ / Ц )] х Ц. (5)

Далее получаем формулу мультипликативных корректировок:

^ = Кх Ц (6)

где К = 1 + (ДЦ / Ц ).

Какие бы корректировки не выполнялись (аддитивные или мультипликативные), базой для окончательной оценки рыночной стоимости является набор скорректированных цен объектов аналогов Уа1, У«2, ..., У«п.

В отличие от обычных товаров объекты недвижимости являются гетерогенными товарами, то есть отличаются друг друга по своим характеристикам. Действительно, невозможно найти два одинаковых объекта недвижимости, так как по крайней мере по местоположению они будут отличаться. Для того чтобы использовать аналоги для оценки объекта оценки, необходимо сделать их «одинаковыми», то есть превратить в гомогенные товары. Эту задачу и решают оценщики посредством корректировки цен аналогов.

* Таким же образом ведут себя все далее используемые аналогичные нижние индексы, изменяясь от 1 до соответствующих значений (т и к).

Процесс преобразования гетерогенного множества объектов-аналогов в гомогенное или квазигомогенное множество, каждый элемент которого похож на объект оценки, и называется корректировкой цен объектов-аналогов. Корректируя таким образом цены объектов-аналогов, мы получаем показатели (оценки) стоимости объекта оценки на основе информации о цене объекта-аналога.

В целом расчет /'-го показателя рыночной стоимости объекта оценки на основе информации о цене /-го аналога (оценка рыночной стоимости объекта оценки с использованием информации о цене /-го аналога) может быть представлен следующим образом (см. рис 1):

V« = Ц +

(7)

!=1

где к - число корректировок цены /-го аналога;

Дц у - значение корректировки цены /-го аналога по у-му ценообразующему фактору (местоположение, состояние, этажность и т. п.).

+ХАЦц

1=1

+

1 =1

I

Цз) ••• (Цп

+ХАц 1

1=1

V« = Ц, + Х Ац

1=1

+

X АЦп

1=1

Рис. 1. Схема корректировки цен аналогов по у-му фактору, / = 1, 2, 3, ..., п

Из рисунка следует, что на входе в задачу мы имеем гетерогенное множество аналогов (см. верхнюю часть рисунка), а на выходе - преобразованное (гомогенное) множество аналогов (см. нижнюю часть рисунка), цена каждого из которых может свидетельствовать о возможной цене объекта оценки или о возможной его стоимости.

Распределение получаемых скорректированных цен гомогенного множества объектов заранее неизвестно. Исходя из того, что целью корректировок является установление цены на объект оценки с присущими ему значениями ценообразующих факторов, мы вправе на выходе из задачи ожидать меньшую дисперсию цен (разброс цен), чем на входе 1. Полностью исключить разброс скорректированных цен не удается в силу случайной составляющей в ценообразовании, к которой мы относим и влияние факторов, не поддающихся учету и анализу.

Корректировка цены /-го аналога по у-му ценообразующему фактору основывается на принципе вклада. Вклад - это сумма, на которую может измениться цена объекта недвижимости на рынке при добавлении того или иного фактора производства или при изменении значения ценообразующего фактора на некоторую величину. Например, вклад камина в рыночную стоимость квартиры может быть больше, меньше или равен затратам на

1 На практике встречаются расчеты, в которых разброс цен после корректировок не меньше, чем до корректировок. Это может быть свидетельством либо некорректного подбора аналогов, либо неверных корректи-

ровок.

его создание или вклад изменения площади дома на его стоимость может быть меньше, больше или равен затратам на изменение площади дома.

Различают две группы корректировок:

1) корректировки на характер сделки с объектом недвижимости (передаваемые имущественные права, условия финансирования, условия продажи, расходы, сделанные сразу же после покупки, корректировка на время совершения сделки);

2) рыночные корректировки, касающиеся самого имущества, а именно местоположение, физические характеристики (размер, качество строительных работ, состояние здания), экономические характеристики (эксплуатационные расходы, условия договоров аренды, административные расходы, состав арендаторов), юридические характеристики (использование/зонирование) и компоненты стоимости, не входящие в состав недвижимости.

Первая группа корректировок, как правило, не вызывает у оценщиков трудностей, так как информацию о них зачастую можно найти в нормативных документах и договорах, сопровождающих сделку. При этом вклад каждой корректировки из первой группы в стоимость объекта оценки обычно соответствует затратам на ее реализацию.

Сложнее дело обстоит с корректировками из второй группы. Величину этих корректировок нельзя найти ни в каких документах. Расчет этих корректировок выполняется посредством изучения ценообразования на рынке оцениваемого объекта.

Различают две группы методов расчета корректировок второй группы (см. [3]):

1) количественные (анализ пар данных, анализ групп данных, матричная алгебра, статистический и регрессионный анализы, графический анализ, анализ чувствительности, анализ затрат, анализ вторичных данных, капитализация арендных различий и т. д.);

2) качественные (относительный сравнительный анализ, метод экспертных оценок или метод рангового анализа и метод интервью).

Все эти методы расчета корректировок основаны на сравнительном анализе цен либо отдельных объектов-аналогов, либо групп аналогов. При этом конечная модель корректировок в значительной степени зависит от аналогов, которые подбирает оценщик в процессе ее построения. Известно, что у двух оценщиков могут быть две разные модели корректировок. Причин здесь может быть много: случайный характер ценообразования, недостаточное знание рынка, плохая профессиональная подготовка, желание пойти навстречу заказчику оценки, субъективная составляющая в цене и т. д.

Решить проблему неоднозначности результата корректировок можно только посредством разработки методических рекомендаций, основанных на изучении рынка объекта оценки и построении строгих математических моделей корректировок исходя из полученной информации. Проблема неоднозначности результатов корректировок выходит за рамки настоящей статьи. Здесь нас интересует только вопрос сравнения результатов двух оценок рыночной стоимости при условии, что одна из них получена в результате кадастровой оценки. Таким образом, мы рассматриваем набор скорректированных цен объектов-аналогов У01, У02,..., У0п, для получения которых оценщик по первой группе корректировок применил метод последовательных сравнений, а по второй группе - либо метод последовательных сравнений, либо любой другой метод анализа эмпирических зависимостей цен от значений ценообразующих факторов.

Модели множественной линейной регрессии в оценке

Возможности применения моделей множественной линейной регрессии рассмотрены, в частности, в работе [4] (следует отметить, что этим автором опубликовано значительное

число работ, посвященных применению регрессионных моделей в оценке недвижимого имущества).

Применяемые в оценке модели множественной линейной регрессии могут быть представлены в виде выражений (8) и (9).

V = Б(у) = с0 х х0 + с х х1 + ... + сп х хп, (8) где V - оценка рыночной стоимости (далее - РС) объекта;

Е - знак математического ожидания;

V - цена объекта (некорректированная или корректированная по первой группе корректировок);

х0, х1,х2, ...,хт - ценообразующие факторы, причем х0 = 1; с0, с1, с2, ..., сп - параметры вектора коэффициентов модели.

Или (что то же самое):

v = с0 х х0 + с1 х х1 + . + сп х хп + е

где е- случайная ошибка с нулевым математическим ожиданием.

(9)

К моделям множественной линейной регрессии могут быть приведены модели вида:

V = ехр(с х х0 + с х х1 + ... + с х хп + е)

V = ехр[с0 х х0 + с1 х + ... + сп х \п(хп) + е].

(10) (11)

Модель (10) логарифмированием сводится к модели множественной линейной регрессии, модель (11) аналогично сводится к множественной линейной регрессии за счет введения вспомогательных переменных вида = ^(х() и последующим логарифмированием. Задача заключается в выборе коэффициентов с0, с1, с2, ..., сп, дающих наилучшую модель среди всех подобных моделей. При выполнении комплекса условий теоремы Гаусса-Маркова оценки коэффициентов с0, с1, с2, ..., ст, полученные по методу наименьших квадратов (МНК), являются наилучшими в классе несмещенных, эффективных и состоятельных оценок.

Запишем модель (8) в векторном виде:

Е (V ) = f (х ) = о0 х х0 + о^х х., + ... + опххп = (о • х),

где с - вектор коэффициентов;

х - случайный вектор значений ценообразующих факторов, причем всегда х0 = 1.

Пусть имеется т наблюдений (объектов сравнения) зависимой переменной у,, тогда имеется т наблюдений, п переменных. Сведем все значения ценообразующих факторов во всех наблюдениях (для всех объектов сравнения) в матрицу:

X =

Г1 1

21

V1 Хт1

. X.

1п

. X.

2п

. X

тп /

и

Оценки коэффициентов регрессии по МНК находятся из условия:

л _ _ 2

eLyi- (c'x' )J тл ■

i=1

(12)

Запишем выражение (12) в матричной форме: RSS = £T£ = ^y - xCj fY - xCj^ min,

где RSS (Residual Sum of Squares) - сумма квадратов остатков;

У =

fУ1' <fl f X Л Л12 f X Л Л 1n 'p > f с Л ° 0

У 2 ■ Х0 = 1 1 , Х1 = X22 , ..., Xn = X2n , P = ¿2 , СТ = c1

У w \ Л v Xm 2 X \ mn J p m v Cn y

и p = У - У = У - ХС.

Преобразуем сумму квадратов отклонений следующим образом:

rss = ртp = fy-xc] fy-хс] = УТУ-2С ХТУ + С ХТХС■

dRSS Л

Учитываем условие минимума —— = -2 ХТУ + 2 ХТХС = 0.

Э С

Л

Из равенства ХТХС = ХТУ получаем оценку коэффициентов:

С = (ХТХ )-1 ХТУ ■

(13)

Комментарии к формуле (13)

1. Для существования решения вида (13) требуется невырожденность матрицы ХХ, в противном случае не существует обратная матрица (ХТХ)-1 и не существует решение вида (13). Следовательно, если среди строк (или столбцов) матрицы X есть одинаковые или линейно зависимые (невыполнение одного из условий теоремы Гаусса-Маркова), то решение вида (13) не существует.

2. Построение множественной линейной регрессии для полностью скорректированных цен не имеет смысла, так как значения ценообразующих факторов объектов сравнения приведены к значениям ценообразующих факторов объекта оценки, матрица ХТХ вырождена из-за линейной зависимости строк, матрица (ХТХ)-1 не существует.

3. Модель множественной линейной регрессии следует строить только по набору ценообразующих факторов, по которым не применялся метод парных сравнений и (или) последовательных корректировок.

4. При массовой оценке (как в случае определения кадастровой стоимости) т - объем данных (наблюдений, объектов сравнения) всегда значительно больше, чем п - количество ценообразующих факторов. Основной смысл подбора в некотором смысле схожих объектов и применения корректировок первой группы заключается в том, чтобы снизить возможный разброс цен (уменьшить разброс ошибок £). При построении модели множественной линейной регрессии необходимо проверить коллинеарность строк (идентичные объекты или, например, один и тот же объект, извлеченный из разных баз рыночных данных) и коллинеарность (линейную зависимость) ценообразующих факторов. После проведения

таких проверок построение множественной линейной регрессии не представляет проблем, причем чем больше объектов сравнения, тем точнее результат, так как предполагается, что все объекты сравнения выбираются как «похожие» друг на друга.

5. При составлении отчетов о рыночной стоимости оценщики часто ограничиваются пятью-шестью объектами сравнения. В этом случае всегда необходимо сравнивать т - количество объектов сравнения с п + 1 - количеством оцениваемых коэффициентов. Должно выполняться условие т > п + 1 (в совокупности с линейной независимостью наблюдений, ценообразующих факторов). Случай т = п + 1 дает единственное решение, и оптимизировать в этом случае нечего. Если условие т > п + 1 не выполняется, то оценщику следует найти дополнительные объекты сравнения, а если это невозможно, то упростить модель, отказавшись от некоторых ценообразующих факторов, так как в этом случае объем объектов сравнения не позволяет построить слишком подробную модель.

Сравнение двух результатов оценки всегда представляет определенную трудность, поскольку не всегда понятно, что сравнивать: средние значения, взвешенные средние, стандартные отклонения (влияющие на интервальные оценки) и т. д. В настоящей статье мы ограничиваемся только проблемой сравнения кадастровой стоимости (определенной методами массовой оценки как рыночной стоимости в процессе проведения кадастровой оценки) и рыночной стоимости, определенной в отчетах независимых оценщиков, направленных на возможную корректировку кадастровой стоимости при рассмотрении на комиссии или при судебном оспаривании. Таким образом, за рамками настоящей статьи остаются применяемые в практике оценки проверки отбора объектов сравнения, правильности корректировок и т. п. Будем считать, что все такие проверки сделаны и в результате имеются две выборки скорректированных цен. Прежде чем переходить непосредственно к сравнению двух выборок, рассмотрим геометрический смысл корректировки объектов сравнения, если была построена регрессионная модель.

Сначала рассмотрим модель парной регрессии, например зависимость цен за 1 квадратный метр объектов-аналогов, скорректированных по первой группе корректировок, от площади оцениваемого объекта.

Рассмотрим двумерную случайную величину (s, v), где s - площадь объекта, v - цена за 1 кв. м аналога после корректировок по первой группе. В этом случае линейная регрессионная модель выглядела бы как зависимость вида V = c0 + c1 * s (малой буквой v обозначаем цены, большой буквой V - оценку рыночной стоимости). В действительности зависимость цен от площади описывается не линейной зависимостью, а степенной, как в моделях (10) и (11). В случае парной регрессии это означает, что линейную модель следует искать в виде In V = c0 + c1 * lns.

Пусть имеется m наблюдений, для которых можно записать:

В самой регрессионной модели объект оценки отсутствует, оценка его рыночной стоимости получается посредством подстановки в уравнение нужного (нужных) значения (значений) ценообразующего фактора. Если имеется линейная модель, то все объекты сравнения, использованные при построении модели, могут быть скорректированы одновременно с учетом полученной линии регрессии. Предположим, что объект оценки имеет площадь s*. Вертикальная линия вида Ins = Ins* является прямой, на которую следует спро-

Сравнение двух результатов оценки

Inv, = О + С. х Ins, + £..

о

ектировать все наблюденные (скорректированные по первой группе) значения lnv( вдоль линии lnV = c0 + c1 * Ins. Полученные проекции точек имеют координаты по оси абсцисс -lns( = Ins*, по оси ординат - lnv( = K + c1 * Ins* (где K = lnv( - c1 * lns() и являются выборкой логарифмов, полностью скорректированных по первой и второй группам корректировок, цен, то есть выборкой логарифмов цен некого гомогенного актива. Эту выборку мы и будем сравнивать с аналогичной выборкой альтернативного отчета.

Пример

В качестве примера выбрано множество цен на паркинги и парковочные места в городе Санкт-Петербурге, на основании которых была построена модель кадастровой стоимости таких объектов при проведении кадастровой оценки в 2018 году (см. [2]). Объем выборки - 3 512 точек. На рисунке 2 показана двумерная выборка: по горизонтали - площадь объекта сравнения, по вертикали - цена 1 квадратного метра объекта сравнения, скорректированная по первой группе (слева - в исходных величинах, справа - в логарифмах).

ГО К о

х s юн

CD X CN ^ CD

it § Н

5 о „,

со со о ь о

о * юн

6 CD -1

н *

5 ю

CD О О

о. он

О. то

о

о ю

.ф • *

I.

Ч? • а • "о •

-Л •.

10

I

20

30

40

I

50

60

.с

X CD-

CD

О.

ГО

О

СО ■

С2

площадь объекта сравнения

!п

ff

2,0

2,5

т

т

3,0 3,5 4,0

логарифм площади

Рис. 2. Выборка двумерной случайной величины (s, v) слева и случайной величины (Ins, Inv)

справа

Левый рисунок убедительно показывает, что построение линейной регрессионной модели в исходных величинах не отвечает наблюдаемой зависимости. Правый рисунок, напротив, указывает на возможность поиска линейной зависимости в логарифмах. Предположим, что объект оценки имеет площадь 24,53 квадратных метра (тогда In24,53 = 3,2).

На рисунке 3 справа пунктиром показаны вертикальная линия, соответствующая значению Ins = 3,2, и серые линии, проектирующие все логарифмы цен объектов сравнения на линию Ins = 3,2 вдоль линии регрессии.

Множество точек пересечения серых линий с отмеченной пунктиром вертикалью Ins = 3,2 (справа) образуют множество полностью скорректированных по первой и второй группам логарифмов цен объектов сравнения на фиксированный параметр объекта оценки Ins = 3. Множество точек пересечения серых линий с отмеченной пунктиром вертикалью s = 24,53 (слева) образуют множество полностью скорректированных по первой и второй группам цен объектов сравнения на фиксированный параметр объекта оценки s = 24,53.

В случае множественной линейной регрессии объект оценки будет иметь набор фиксированных значений: Inx1 = Inx1*, Inx2 = Inx2*, Inx3 = Inx3*, ..., Inxn = lnxn*.

В n + 1-мерном пространстве задаваемая такими равенствами линия является n-мерной прямой, проекции цен аналогов на такую прямую вдоль линии регрессии InV = c0 + c1 *

го к о

о

10 20 30 40 50 60

площадь объекта сравнения

2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

логарифм площади

Рис. 3. Линии регрессии (показаны черным цветом) и проекции вдоль линий регрессии (серые линии) всех цен объектов сравнения на вертикаль в = 24,53 (слева) и логарифмов

цен на вертикаль !пв = 3,2 (справа)

х !пх1 + с2 х !пх2 + с3 х !пх3 + ... + сп х \пхп дают одномерную выборку цен объектов-аналогов, полностью скорректированных по первой и второй группам на значения ценообразующих факторов объекта оценки. Логарифмы таких скорректированных цен равны:

!пу = К + с1 х !пх1* + с2 х !пх2* + с3 х |пх3* + ... + сп х !пхп* где К = !пу - с1 х !пх1' + с2 х !пх2' + с3 х !пх3' + . + сп х !пхп';

набор п значений !пу является выборкой логарифмов, полностью скорректированных по первой и второй группам корректировок цен, то есть выборкой логарифмов цен некоего гомогенного актива.

Сравнение выборок полностью скорректированных цен из двух разных отчетов, один из которых является отчетом о кадастровой стоимости

Пусть имеются две выборки полностью скорректированных цен: V, у2, v3, ..., Ут - выборка, полученная в ходе кадастровой оценки; w1, w2, w3, ..., - выборка, полученная в ходе составления альтернативного отчета. Рассмотрим выборки логарифмированных величин у = !пу и г. = lnw/ и определим, насколько существенно отличаются эти выборки, являются ли они выборками из одной генеральной совокупности.

Существуют традиционные подходы к решению таких задач. Например, если бы нам был известен закон распределения генеральной совокупности, то можно было бы оценить значимость расхождения соответствующих выборочных параметров. В общем случае закон распределения нам неизвестен, но может быть подобрано его удобное приближение, если данных достаточно много. В случае с объектами сравнения при кадастровой оценке таких данных много, можно подобрать подходящее модельное распределение. В отчетах независимых оценщиков о рыночной стоимости количество объектов сравнения редко превышает 5-6 объектов сравнения. Для подбора подходящего модельного распределения этого недостаточно. Конечно, существуют теоретические основания для ожидания достаточно понятных модельных распределений, но поскольку это всегда вызывает много споров и с точки зрения практики составления отчетов такие теоретические обоснования не будут выглядеть достаточно понятными для комиссии или судей, применение параметриче-

ских тестов не всегда будет достаточно убедительным. Мы предлагаем проверять нулевую гипотезу на принадлежность обеих выборок к одной генеральной совокупности с помощью непараметрических (свободных от вида распределения) тестов. Достаточно полный обзор статистических тестов для инженеров и научных работников можно найти в работе [5].

Если результат теста укажет на отклонение нулевой гипотезы о принадлежности двух выборок к одной генеральной совокупности, то предпочтение отдается выборке большего объема.

Если результат теста не дает оснований для отклонения нулевой гипотезы (выборки относятся к одной генеральной совокупности), то строится новая оценка рыночной стоимости по объединенной выборке (по среднему значению, среднему геометрическому или наиболее вероятному значению).

Рассмотрим, как это работает на примере одного из распространенных критериев проверки двух выборок на принадлежность к одной генеральной совокупности - теста Вил-коксона (тест Манна-Уитни-Вилкоксона) (см. [6]), и дадим пояснения в наиболее понятной для оценочных целей интерпретации.

Тест построен на изучении объединенной выборки и взаиморасположения точек каждой из выборок внутри объединенной выборки. Составляется объединенная, упорядоченная по возрастанию выборка. Исходные выборки будем называть «первая» и «вторая», очередность не имеет значения. Пусть в нашем случае совокупность у будет первой выборкой, а совокупность ^ - второй. Для каждого элемента «второй» выборки подсчитывается количество инверсий. Инверсией элемента выборки называется количество элементов из «первой» выборки, оказавшихся меньше ^ (стоящих в объединенной упорядоченной выборке левее г). Вычисляется сумма инверсий. При случайно отобранных из одной генеральной совокупности выборках размерности т и к распределение случайной величины «сумма инверсий» сходится к нормальному закону распределения с математическим ожи-

данием (т х к) / 2 и стандартным отклонением а = ^^^ (т + к +1).

При уровне значимости 2 а, доверительный интервал, накрывающий среднее значение случайной величины «сумма инверсий», равен:

т х к ± 1т х к , ' Т т х к ± ¡т х к , ' 7

—2— ((+к+1 —т~+Ч~12Г т+к+1).

Пусть, например, т = 12 и к = 12. Тогда среднее количество инверсий равно

12 х 12

(12 х 12) / 2 = 72, стандартное отклонение а = л——— х(12 +12 +1) = 10х 73 ~ 17,3, при

а = 0,05, ¡а = 1,96. 95-процентный доверительный интервал будет [72 - 34, 72 + 34], то есть при сумме инверсий от 38 до 106 нулевая гипотеза о принадлежности обеих выборок к одной генеральной совокупности не будет отвергнута. Минимальная сумма инверсий при т = 12 и к = 12 равна 0, максимальная - 144. При сумме инверсий от 0 до 37 и от 107 до 144 нулевая гипотеза будет отвергнута.

2 Мы полагаем приемлемым для задач оценки недвижимого имущества уровень значимости а = 5%. Меньший уровень значимости приводит к значительному увеличению интервалов с незначительным приростом доверительного уровня, больший уровень значимости ведет к значительному сокращению доверительного уровня получаемых интервалов.

Например, упорядоченная выборка располагается следующим образом: г1, г2, г3, ..., г12 и У1, у2, у3, ..., у12. Тогда сумма инверсии для второй выборки г1, г2, гъ, ..., г12 равна нулю, нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной - выборки относятся к разным генеральным совокупностям. Для того чтобы нулевая гипотеза не отвергалась, необходимо, чтобы количество инверсий в среднем для элементов выборки г1, г2, г3, ..., г12 было более 3, то есть в объединенной упорядоченной выборке элементы второй выборки (например г1, г2, г3, ..., г12) должны находиться не слишком близко к минимальному и максимальному значениям объединенной выборки. В действительности объем выборки у1, у2, у3, ут (логарифмы скорректированных цен аналогов из отчета о кадастровой оценке) значительно превосходят объем выборки г1, г2, г3, ..., гк (логарифмы скорректированных цен отчета о рыночной стоимости), величина т может достигать нескольких тысяч объектов сравнения, величина к обычно составляет 5-6 объектов сравнения 3. Так, в приведенном на рисунках 2 и 3 примере объем выборки объектов сравнения при определении кадастровой стоимости составлял 3 512 объектов. Если в альтернативном отчете имеется только 6 объектов сравнения, то для того, чтобы нулевая гипотеза не отвергалась на 5-процентном уровне значимости, требуется, чтобы сумма инверсий в упорядоченной выборке находилась в пределах от 8 050 до 13 022:

3512 Х6 - у351122>< 12 х(3512 + 6 +1) = 10536 -2486 = 805,11 + 2486 = 13022.

Любое другое количество инверсий означает отказ от нулевой гипотезы на 5-процентном уровне значимости. Если потребовать количество объектов сравнения в альтернативном отчете равным 12, то допустимая для принятия на 5-процентном уровне значимости нулевой гипотезы сумма инверсий находится в пределах от 17 553 до 24 591:

3512<12 351122Х12 х(3512 +12 +1) = 21072-3519 = 17553.

Иначе говоря, выборка скорректированных цен аналогов из альтернативного отчета должна находиться достаточно «глубоко» внутри выборки скорректированных цен аналогов из отчета о кадастровой оценке.

Работа с большими выборками

При сравнении результатов определения кадастровой стоимости и альтернативного отчета о рыночной стоимости придется сравнивать выборки, значительно различающиеся по объему. Естественно, суммарный объем объединенной выборки будет большим (из-за большого объема выборки, по которой определялась кадастровая стоимость). В этих условиях подсчитывать количество инверсий было бы утомительно, но этого и не требуется. В прикладных статистических пакетах существуют библиотечные функции проверки статистических гипотез, в том числе тест Вилкоксона проверки гипотезы о принадлежности выборок к одной генеральной совокупности. В приведенном далее примере мы пользуемся библио-

3 Рекомендуемый объем выборок при применении теста Вилкоксона - не менее 10-12 элементов, что накладывает соответствующее условие на количество объектов сравнения в отчетах о рыночной стоимости,

составленных для оспаривания кадастровой оценки.

течной функцией wilcox.test статистического пакета R

4

Пример

Основное множество примера прежнее - множество цен на паркинги и парковочные места в городе Санкт-Петербурге, на основании которых была построена модель кадастровой стоимости таких объектов при проведении кадастровой оценки в 2018 году. Объем выборки - 3 512 точек. Минимальное значение скорректированных по первой группе цен объектов сравнения за 1 квадратный метр - 7,943 тысячи рублей, максимальное - 219,333 тысячи рублей. Для построения линейной модели применялась библиотечная функция lm статистического пакета R. Результат показан на рисунке 4. Учтены следующие ценообра-зующие факторы:

• площадь объекта;

• класс родительского объекта (индикативный 5 так как всего два класса);

• тип паркинга (разделен на 4 идикативные переменные);

• оценочная зона (разделена на 5 индикативных переменных);

• тип парковочного пространства (разделен на 3 индикативных переменных).

В верхней части рисунка 4 записана формула линейной модели. Так как при кадастровой оценке была применена комбинированная мультипликативная модель вида (10) и (11), в нашем примере линейная модель составлена для логарифмов цен за 1 квадратный метр, скорректированных по первой группе.

Call:

lm(formula - log(Цена.скорректированная,.округл,.руб.,кв.м,.yi./lOOO) ~ Площадь..кв. .к + бизнес.класс.... Класс.родительского.объекта +

комфорт.класс....Класс.родительского.объекта + многоуровневый....Тип.паркинга + подземный....Тип,паркинга + XI....Оценочная.зона + Х2....Оценочная.зона +■

Х4....Оценочная.зона + Х5....Оценочная.зона + гаражный.бокс..Тип.парковочного.пространства + паркинг... .Тип. парковочного .пространства, daca ш TAB)

Residuals:

Min 10 Median 30 Мах

-0.73235 -0.20228 0.00149 0.19S30 0.73072

Coefficientя i

(Intercept) Плошадь..кв.,н

бизнес.класс..,.Класс.родительского.объекта комфорт.класс.... Класс.родительского.объекта многоуровневый.... Тип.паркинга подземный,...Тип,паркинга XI....Оценочная.зона Х2....Оценочная * зона Х4....Оценочная.зона Х5....Оценочная.зона

гаражный,бокс,...Тип,парковочного.пространства паркинг..,.Тип.парковочного.пространства

Signif. codes : 0 "*" 0.001 0.01 11 ' 0.05 '.' 0,1 * ' 1

Residual standard error: 0.2794 on 3500 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.B016, Adjusted R-squared: 0.S01 F-statistic: 1236 on 11 and 3500 DF, p-value; < 2.2e-16

Рис. 4. Результат построения линейной регрессионной модели для логарифма цены за 1 квадратный метр паркингов, скорректированной по первой группе, по множеству всех объектов сравнения, использованных при их кадастровой оценке в 2018 году в городе

Санкт-Петербурге

4 Статистический пакет R представляется одним из наиболее удачных специализированных статистических пакетов, находится в открытом доступе и может быть использован любым оценщиком без финансовых затрат. Рекомендуемые для изучения книги [7 и 8].

5 Об использовании индикативных переменных при построении линейной регрессии в оценке см. [9].

Полученный результат практически не отличается от результата, полученного при кадастровой оценке 6. Качество модели: остатки по минимуму и максимуму, по первому и третьему квартилям относительно симметричны, медиана находится практически в нуле, все коэффициенты статистически значимы, Я2 = 0.8016, значение р-уа!ив F-критерия Фишера меньше критического значения 0,05 (на 95-процентном уровне значимости модель адекватно описывает данные). Поскольку в F-тесте нулевой гипотезой является гипотеза «модель неадекватно описывает данные», она отвергается в пользу альтернативной гипотезы «модель адекватно описывает данные».

Распределение остатков показано на рисунке 5.

Рис. 5. Распределение остатков модели множественной линейной регрессии (пунктиром отмечено положение наиболее вероятного значения, которое в этом случае совпадает

с медианным и средним значениями)

Проверка соответствия распределения остатков нормальному распределению тестом Колмогорова-Смирнова дает результат р-уа!ив = 0,4504 (в тесте Колмогорова-Смирнова нулевой является гипотеза о соответствии эмпирического распределения модельному, поэтому в данном случае для принятия гипотезы на 95-процентном уровне значимости необходимо, чтобы р-уа!ив было больше, чем 0,05). Вообще говоря, нормальность остатков не требуется, достаточно их симметрии относительно нуля (математическое ожидание ноль) и отсутствие автокорреляции (гомоскедастичность остатков). Гомоскедастичность остатков (отсутствие автокорреляции) проверяется с помощью библиотечной функции ACF статистического пакета Я. В этом примере остатки гомоскедастичны, автокорреляции нет.

Теперь посмотрим, что происходит при попытке оспаривания результата кадастровой оценки. Как и ранее, предположим, что объект оценки имеет площадь в = 24,53 квадратных метра (в обозначениях формулы (10) будем считать х1 = \п(в) = 3,2) и следующие значения ценообразующих факторов:

• класс родительского объекта - комфорт (х3 = 1);

• тип паркинга - подземный (х5 = 1);

• оценочная зона - 4 (х8 = 1);

• тип парковочного пространства - паркинг (х11 = 1).

Все значения остальных ценообразующих факторов (индикативных) равны нулю.

Для такого объекта оценки кадастровая стоимость определяется в соответствии с моделью вида (10), с коэффициентами, показанными на рисунке 4, имеет вид:

\пУ = с0 + с1 х х1 + с3 х 1 + с5 х 1 + с8 х 1 + с11 х 1

6 Не учитывалось экспоненциальное преобразование площади вида 2 х ехр(-Б / 35)2 - 1, примененное при кадастровой оценке. В этом классе объектов недвижимости его влияние незначительно.

и равна (с округлением коэффициентов до трех знаков после запятой):

V = exp(3,918 - 0,0016 х 3,2 + 0,354 + 0,045 - 0,275 - 0,278) = exp(3,7128) = 40,968 тыс. р. за 1 кв. м, что составит 1 004,954 тыс. р. за парковочное место площадью S = 24,53 кв. м.

Теперь надо построить выборку всех использованных объектов сравнения, скорректированных по первой и второй группам (для сравнения с альтернативной «оспаривающей» выборкой. Для этого скорректируем цены объектов сравнения (уже скорректированных по первой группе) по второй группе, учитывая построенную модель множественной линейной регрессии, то есть спроектируем все эти точки на прямую, отвечающую условиям x1 = ins = 3,2, x3 = 1, x5 = 1, x8 = 1, x11 = 1.

Понятно, что нет необходимости строить все проекции, так как результат очевиден -центр изученных нами ошибок модели сместится в точку логарифма оценки объекта площадью s = 24,53 кв. м по построенной модели множественной линейной регрессии вида (8), построенной для логарифмов. Распределение полностью скорректированных по первой и второй группам логарифмов цен объектов сравнения будет иметь распределение, аналогичное показанному на рисунке 5, со сдвигом медианы в точку с координатой 3,7128. Это распределение показано на рисунке 6.

Рис. 6. Распределение логарифмов полностью скорректированных цен по первой и второй группам объектов сравнения (пунктиром отмечено положение наиболее вероятного значения, совпадающего с медианным и средним значениями)

Кроме того, нас интересует распределение собственно цен, то есть цен, полученных по формуле (10) V = ехр(с0 х х0 + с1 х х1 + ... + сп х хп + г). Это распределение показано на рисунке 7.

В этой выборке - 3 512 логарифмов цен «гомогенных» паркингов площадью 24,53 квадратных метра. Естественно, обе выборки (рисунки 6 и 7) при проверке на нормальность и логнормальность 7 тестом Колмогорова-Смирнова дают значение р-уа!ив = 0,4504, как и выше для ошибок модели, так как отличаются только сдвигом нормального распределения на величину 3,7128.

Предположим, имеется выборка из 6 объектов сравнения, использованных в отчете, составленном для оспаривания кадастровой стоимости. Предположим, что в отчете не найдены ошибки при выборе объектов сравнения, все корректировки по первой и второй группам выполнены, ошибки в них не найдены. Предположим, что в выборке оказались

Для модельного логнормального распределения существует теоретическое обоснование (см. [10]).

7

Рис. 7. Распределение полностью скорректированных цен (в тыс. р. за 1 кв. м) по первой и второй группам объектов сравнения для объекта сравнения с ценообразующими факторами х1 = !п(в) = 3,2, х3 = 1, х5 = 1, х8 = 1, х11 = 1 (центральная пунктирная линия соответствует положению наиболее вероятного значения, правая - положению среднего значения, левая - положению некоторого значения цены, равновероятной со средним

значением)

следующие значения полностью скорректированных цен (в тыс. р. за кв. м) 20,350; 21,100; 21,950; 22,320; 22,780; 23,120.

Для проверки статистической гипотезы о принадлежности к одной генеральной совокупности применим тест Вилкоксона к выборке, показанной на рисунке 6, и к совокупности логарифмов цен из альтернативной выборки 3,013; 3,049; 3,072; 3,105; 3,126; 3,141.

Команда на выполнение теста Вилкоксона в статистическом пакете Я записывается как wilcox.test(v1, к2), где в массив занесены логарифмы полностью скорректированных цен объектов сравнения, использованных при кадастровой оценке (их число 3 512), в массив ^ занесены логарифмы шести цен из альтернативной выборки, которые предполагаются проверенными и также полностью скорректированными.

Ответ программы:

>wilcox.test(v1,v2)

Wilcoxon rank sum test with continuity correction data: v1 and v2

W = 20877, p-value = 3.186e-05

alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Нулевой гипотезой в тесте Вилкоксона является гипотеза о принадлежности выборок к одной генеральной совокупности. Таким образом, чтобы принять нулевую гипотезу на 95-процентном уровне значимости, надо ожидать значение р^а1ие > 0,05. В этом случае гипотеза о принадлежности выборок одной генеральной совокупности будет отвергнута в пользу альтернативной - выборки принадлежат к разным генеральным совокупностям. Соответственно, данные альтернативного отчета не ведут к оспариванию установленной кадастровой стоимости.

Предположим, что в альтернативной выборке содержатся другие 6 значений: 37,250; 37,940; 38,530; 38,980; 39,970; 40,65 с логарифмами 3,618; 3,636; 3,651; 3,663; 3,688; 3,705.

Результат работы теста Вилкоксона:

>wilcox.test(v1,v3)

Wilcoxon rank sum test with continuity correction data: v1 and v3 W = 12010, p-value = 0.5533

alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

В этом случае нулевая гипотеза на 95-процентном уровне значимости принимается, так как выполняется условие р^а1ие = 0,5533 > 0,05. Выборки принадлежат к одной генеральной совокупности.

Из этого примера, а также приведенного описания теста Вилкоксона следует, что если альтернативные выборки располагаются ближе к «хвостам» распределений, скорректированных по первой и второй группам логарифмам цен (или ценам) объектов сравнения, то тест будет отвергать гипотезу о принадлежности выборок к одной генеральной совокупности. Причина этого очевидна: при таком расположении альтернативной выборки при объединении выборок не наберется достаточное количество инверсий или их будет слишком много. Если выборки (скорректированные цены объектов сравнения, использованных при определении кадастровой стоимости, и скорректированные цены альтернативной выборки будут признаны принадлежащими к одной генеральной совокупности, то скорректированные цены объектов и той и другой выборки являются множеством цен на «гомогенные» активы и новая рыночная (кадастровая) стоимость может быть определена по объединенной выборке.

Пусть объем выборки данных, использованных при кадастровой оценке, равен т, а объем альтернативной выборки равен к. При этом объединенная выборка имеет объем к + т, и т много больше к (т >> к). При определении оценки по средним значениям вес среднего значения альтернативной выборки к / (к + т), а среднего значения скорректированных данных из кадастровой оценки т / (к + т). В приведенных примерах эти веса равны 6 / 3 518 = 0,0017 и 3 512 / 3 518 = 0,9923. Очевидно, что существенно «сдвинуть» кадастровую стоимость в этом случае не удастся.

Исходя из представленных рассуждений видно, что оспаривание кадастровой стоимости является непростой задачей и для достижения положительного результата будет необходимо учитывать приведенные особенности сравнения двух выборок разного объема.

Выводы

Для того чтобы оспорить кадастровую стоимость и получить заметный результат, следует изучить три возможности.

1. Увеличить объем альтернативной выборки, что означает поиск дополнительных объектов сравнения в большом объеме. В обычной практике оценки - это трудновыполнимая задача.

2. Уменьшить объем выборки, использованной при кадастровой оценке, ограничившись только теми объектами сравнения, которые имеют одинаковые значения ценообра-зующих факторов с объектом оценки. В этом случае можно надеяться на сокращение размаха рассеяния скорректированных цен. Возможные трудности: сокращенная выборка может оказаться недостаточной для формирования устойчивого тренда зависимости скорректированной по всем остальным факторам цены от площади. В частности, может быть затруднен прием, связанный с использованием индикативных переменных. Придется привлекать дополнительные объекты сравнения из выборки объектов сравнения, использованных при кадастровой оценке, и корректировать их.

3. Применить другой метод расчета рыночной стоимости по выборке «гомогенных» ак-

тивов и доказать справедливость такого расчета. Здесь имеются две возможности:

1) обосновать вид закона распределения, одинаковый для обеих выборок, например двухпараметрический, и применить тесты на значимость расхождения средних и дисперсий. Если расхождения не значимы, то расхождение несущественно;

2) обосновать в качестве оценки рыночной стоимости выбор другого квантиля модельного закона распределения. Возможность такого подхода продемонстрирована на рисунке 7. На нем жирной пунктирной линией показано положение наиболее вероятного значения (37,664 тыс. р. за 1 кв. м). Оно ниже среднего арифметического значения (правая пунктирная линия, соответствующая значению 42,728 тыс. р. за 1 кв. м), примерно на 11,8 процента. Слева от наиболее вероятного значения всегда существует значение равновероятное среднему (левая пунктирная линия, соответствующая значению 33,400 тыс. р. за 1 кв. м). Любое из значений отрезка [33,400; 42,728], вероятно, не менее, чем среднее, однако внутри этого отрезка есть только одно значение максимальной плотности.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ

1. О государственной кадастровой оценке : Федеральный закон от 3 июля 2016 года № 237-ФЗ. URL: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_200504/ (дата обращения: 24.09.2021).

2. Отчет об определении кадастровой стоимости объектов недвижимости на территории Санкт-Петербурга № 1/2018 : [сайт Санкт-Петербургского государственного бюджетного учреждения «Городское управление кадастровой оценки»]. URL: http://www.ko.spb.ru/ interim-reports/ (дата обращения: 24.09.2021).

3. Грибовский С. В. Оценка стоимости недвижимости. М. : Издательство «Маросейка», 2009. 427 с.

4. Баринов Н. П. Оценка рыночной стоимости земельного участка методом многомерного регрессионного анализа // Бюллетень RWAY. 2014. № 232. С. 24-32. URL: http://www. appraiser.ru/UserFiles/File/Articles/barinov/barinov-12-2014.pdf

5. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. М. : Физматлит, 2012. 814 с.

6. Wilcoxon Frank. Individual comparisons by ranking methods // Biometric bulletin. 1945. Vol. 1. № 6. P. 80-83.

7. Зарядов И. С. Введение в статистический пакет R. М. : Издательство Российского университета дружбы народов, 2010. 207 с.

8. Кабаков Р. И. R в действии. Анализ и визуализация данных в программе R. М. : ДМК-пресс, 2014. 588 с.

9. Анисимова И. Н., Баринов Н. П., Грибовский С. В. Учет ценообразующих факторов в многомерных моделях оценки недвижимости // Вопросы оценки. 2004. № 2. С. 2-15.

10. Русаков О. В., Ласкин М. Б., Джаксумбаева О. И. Стохастическая модель ценообразования на рынке недвижимости: формирование логнормальной генеральной совокупности // Вестник УМО «Экономика, статистика и информатика». 2015. № 5. С. 116-127.