Суммируемость по Риссу спектральных разложений оператора Штурма-Лиувилля в пространстве c^1 [0, 1] Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. П. Гуревич, А. П. Хромов

УДК 513.88

СУММИРУЕМОСТЬ ПО РИССУ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ С1[0,1]*

Пусть Ь - оператор, порожденный дифференциальным выражением 1{у) = у"(х) + р(х)у(х), хе [0,1], р(х') е ¿[0,1], и регулярными по Биркгофу [1, с. 66, 671 краевыми условиями:

Ч(у) = а1ку'(0) + а2ку(0) + Ь1ку'(\) + Ьиу(1) = 0, к = 1,2. (1)

Обозначим через Кх резольвенту оператора Ь. Для случая р(х) = 0 будем использовать обозначения К-^ и Ь0 соответственно. Рассмотрим

обобщенные средние по Риссу функции /(х):—— \g(k,r)R}f сГк, где

интегрирование ведется по окружностям = г, на которых нет собственных значений оператора Ь, а g(X, г) - произвольная функция, удовлетворяющая следующим условиям:

а) при любом г > 0 g(k, г) непрерывна по X в круге |А,| < г и анали-

тичнав

б) существует С > 0 такое, что при всех г > 0 и < г выполняется неравенство ^(А,,г)\<С;

в) существует р>0 такое, что g(rехр(гср),г) = 0(|ср-я|Р) (оценка равномерна по г);

г) g(k, г)-> 1 при г -» оо и фиксированном к. Основным результатом настоящей статьи является

ТЕОРЕМА. Для того чтобы обобщенные средние по Риссу функции /(х) сходились к ней по норме С1 [0,1], необходимо и достаточно, чтобы /(х) е С'[0,1] и удовлетворяла краевым условиям (1).

Средние Рисса для дифференциальных операторов, когда к*

g(k,r) = (1 — , впервые изучались М. Стоуном [2]. Он показал равно-г

суммируемость в С[5,1 - 5] (0 < 8 < средних любых двух дифференци-

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 00-01-00075) и программы "Ведущие научные школы" (проект №00-15-96123).

альных операторов одного и того же порядка с произвольными регулярными краевыми условиями.

Полученный нами результат является усиление теоремы 15 из [3] для случая п = 2. Суммируемость по Риссу для интегральных операторов изучалась в [4].

Доказательство основной теоремы базируется на следующих вспомогательных утверждениях.

ЛЕММА 1. Пусть /(л) е С1 [ОД]', а /0О) е С'2[0,1] и удовлетворяет (1). Тогда если на окружностях |А,| = г нет собственных значений операторов Ь и Ь0, то справедливы формулы:

/№)(*) + \к(У^г)ОкхКх/ёХ =/№)«(1 - ё(м,г)) + £(*<>,'Х/^(х) -гш\х\=г л_0 1П1\Х\=г

- ~ ¡8(Х,г)ОкхЯх(д4(/ - /о)) ей.,

2п' |х.|=,

ак

где А: = 0,1; Ок =——; Х0 - произвольное комплексное число, не являющее-

(Ьс

ся собственным значением операторов Ь и Ь0, |А,0| < г и /0 = ]{Х() И0 .

1 я

Пусть Х = -р . Предположим, что 0<а^р<— (остальные случаи

4

аналогичны). В качестве фундаментальной системы решений уравнения у" + р2у = 0 возьмем ехрра и ехр(-ра). Введем в рассмотрение функцию

—ер,(хЧ\ если (<х 2р

—ерК'~х\ если 1>х 2р

ЛЕММА 2. Справедливо следующее представление:

4/ = -{е~р1х,еПМ-\р))ихШ Л + }*(дс,*,р)/(0 А,

о о

гдеМ(р) = ([/д)^=1; ия = и;(е-*ху,

и л = имр,хх их(8) =

(левые части краевых условий (1) применяются к £(х,г,р) как функции х).

ЛЕММА 3. Предположим, что f(x) е Сх[0,1] и удовлетворяет (1). Тогда ~ \g{-k,r)DkxRÍfdk = 0<lf\) при со, где ||/|| - норма /(*) в 2Ш |Х|=г

С1 [0,1]; к = 0,1.

Обозначим через Q¡ множество функций из С1 [0,1], удовлетворяющих (1), а через ß2 = Qx П С2 [0,1].

ЛЕММА 4. Замыкание Q2 в норме С1 [0,1] совпадает с Ql. Отметим, что замыкание в С[0,1] области определения дифференциального оператора впервые найдено в [5]. С помощью лемм 2-4 показывается, что правая часть (2) равномерно стремится к нулю при г —» °о.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. НаймаркМ. А. Линейные дифференциальные операторы. 2-е изд. M.: Наука,

1969. 526 с.

2. Stone M. H. A comparison of the serios of Fouries and Birkhoff // Trans. Amer. Math. Sos. 1926. Vol. 28. P. 695 - 761.

3. Kaufmann F. J. Derived Birkhoff-series associated with N(y) = XP(y) II Results in mathematics. 1989. Vol. 15. P. 256 - 289.

4. Гуревич А. П., Хромов А. П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений одного класса интегральных операторов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежской зимней математической школы.Воронеж, 1999. С. 75.

5. Хромова Г. В. О регуляризации интегральных уравнений 1-го рода с ядром Грина//Изв. вузов. Математика. 1972. Т. 8(123). С. 94 - 104.

УДК 519.853.3

С. И. Дудов, И. В. Златорунская

ОБ ОЦЕНКЕ ГРАНИЦЫ ВЫПУКЛОГО КОМПАКТА ШАРОВЫМ СЛОЕМ*

1. Пусть D - заданный выпуклый компакт из конечномерного пространства Rp, С - его граница, а функция п(х) удовлетворяет на Rp аксиомам нормы. Обозначим через

R(x) = max п(х - у), r(x) = min п(х - у).

уеС уеС

' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 98-01-00048.