CC BY
9
В. А. Халова
УДК 517.984
СУММИРУЕМОСТЬ ПО РИССУ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ОДНОГ О КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ *
В пространстве ¿[0,1] рассматривается интегральный оператор вида
х \-х т
АДх) = щ ¡А(х,0тЛ + а2 \ А(1~+ (1)
О 0 *=1
где A(x,t) = (x ' , ß = af -а\ * 0, v*(/)е <П0,П, gJxJeCLO.IJ, (и-1)!
К(о}Г и ЫЯ)(Х)}Г линейно независимые, (f,vk)=\f(t)vk(t)dt.
о
В данной статье рассматриваются средние по Риссу спектральных разложений оператора (1), представимые в виде
\g(X,r)Rxfdk, (2)
2т\х\tr
где Rx={E-XA) А - резольвента Фредгольма оператора А, Е - единичный оператор, X - спектральный парамегр. Функция g(X,r) удовлетворяет следующим условиям:
1) g(X,r) непрерывна по X в круге и аналитична по X в круге |А.|<г при любом г >0;
2) при фиксированном X lim g(X,r) = 1;
Г—>00
3) существует такая константа С > 0, что [ g(X,r) |< С при всех г > О и |Х|<г.
Средние по Риссу вида (2) обобщают средние по Риссу вида
i V
RxfdX, /> 0,
1 г (. А4
которые исследовал М. Стоун в [1], где - резольвента интегрального 1
оператора А/(х)= ^А(х,1)/(1)с11, в случае, когда А(х,I) - функция Грина
о
дифференциального оператора п-го порядка с регулярными по Биркгофу
' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003).
краевыми условиями. Он показал, что на каждом [а, Ь] с (0,1) имеет место равносуммируемость их с такими же средними обычных тригонометрических разложений в ряды Фурье.
В работе [2] А. II. Гуревичем и А. П. Хромовым для оператора (1) при п = 1 найдены необходимые и достаточные условия на /(х), обеспечивающие равномерную сходимость к ней на всем отрезке [0,1] обобщенных средних Рисса вида (2) с дополнительным условием на функцию g("K,r). В данной статье этот результат обобщается на случай произвольного п.
Важным достоинством оператора (1) является то, что для него условия существования обратного оператора выписываются в явном виде [3]. Кроме того, явно выписываются и константы в краевых условиях, получающихся при обращении оператора А, что позволяет проверить эти условия на регулярность. Существование А 1 и регулярность краевых условий необходимы для получения основной теоремы, и, вообще говоря, трудно проверяемы.
Пусть выполняется условие теоремы 1 из [3]. Тогда в силу теоремы 2 из [3] область значений оператора А состоит из всех функций, имеющих абсолютно непрерывные производные до (п - 1) -го порядка включительно, и удовлетворяющих условиям
= = / = 1,..., и, (3)
где
к=0
ф,- е С[0,1], 0 < о, < ... < ап < п -1, ст ■ < ау+2 , | | + | 6, |> 0, причем, если
аj = сту+1, то считаем, что а - = 1, ау+1 = 0, = 0, 6у+1 = 1.
Считаем, что условия (3), представляющие собой условия из теоремы 2 из [3] после приведения линейных форм к нормированному виду, регулярны по Биркгофу.
Обозначим через ю, различные корни п- й степени из 1,
<з? = в11 ¿/0 |ехр(<аге'/о), с/0 = - 1 + а2 , 0 < а^£/0 < 2л, X - спектральный па-" а1-а2
раметр. Положим Х = р" и разобьем область 0 < агцр < 2п/п на секторы у <аг§р<у ■ (/ = 1,...,ЛГ, 0 = у0 < ... < ущ = 2%/п) таким образом, что числа со¿/со,- (г = 1,...,п) можно перенумеровать через 65; (к = \,...,2п) так, чтобы при любых р из рассматриваемого сектора выполнялось
Яе рЗ) > ... > Яе р5„ > 0 > Яе рш„+1 > ... > Яе рй2и ■
Обозначим через - область, получающаяся из сектора
0,j
у< argp < уj удалением всех нулей квазимногочлена вида
a0iJ +alje-2pä" +а, +а, ,.е
г,,-......2р®"4 + <4/
-2р(ю„„,+5„)
где у ^ 0 (¡ = 0,2,3,4) асимптотически приближающихся к соответствующим корням и-й степени из собственных значений оператора А 1, вместе с их круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 50.
Пусть g(X,r) удовлетворяет еще одному условию:
4) для каждой области 55о у существуют числа И, > 0, > 0 такие,
что при ф + а - —
< h: имеет место равномерная по г оценка
g(r exp(j п ф), г) = О
Ъ
Ф + а — 2
где ф = arg р, а = argюп.
Примерами таких функций могут служить функции вида
где
giM= 1
1Д
р2
х j,
1 —-é г
(arg d-п/2)
Рз
^ _<C
1 _ ^g'(argii+n/2) r
Рз
4=1
ш
Mr(fk)
, / = 1,2,..., sk> 0, /¿(л.) целые по Л,
Mr (/) = max I /(A.) |.
ТЕОРЕМА. Для того чтобы выполнялось соотношение 1
lim
г—>00
2 tu
\gMRxfdk
\X\=r
= 0,
C[0,1]
необходимо и достаточно, чтобы /(х) принадлежала множеству всех непрерывных на [0,1] функций, удовлетворяющих тем краевым условиям из (3), которые не содержат производных.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Stone M. H. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff // Trans. Amer. Math. Soc. 1926. Vol. 28, № 4. P. 695 - 761.
2. Гуревич А. П., Хромов А. П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений для конечномерных возмущений одного класса интегральных операторов // Изв. вузов. Сер. Математика. 2003. № 2(489). С. 24 - 35.
3. Халова В. А. Задача обращения одного класса интегральных операторов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 125 - 127.
