Суммируемость по Риссу спектральных разложений для конечномерных возмущений одного класса интегральных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. А. Халова

УДК 517.984

СУММИРУЕМОСТЬ ПО РИССУ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ОДНОГ О КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ *

В пространстве ¿[0,1] рассматривается интегральный оператор вида

х \-х т

АДх) = щ ¡А(х,0тЛ + а2 \ А(1~+ (1)

О 0 *=1

где A(x,t) = (x ' , ß = af -а\ * 0, v*(/)е <П0,П, gJxJeCLO.IJ, (и-1)!

К(о}Г и ЫЯ)(Х)}Г линейно независимые, (f,vk)=\f(t)vk(t)dt.

о

В данной статье рассматриваются средние по Риссу спектральных разложений оператора (1), представимые в виде

\g(X,r)Rxfdk, (2)

2т\х\tr

где Rx={E-XA) А - резольвента Фредгольма оператора А, Е - единичный оператор, X - спектральный парамегр. Функция g(X,r) удовлетворяет следующим условиям:

1) g(X,r) непрерывна по X в круге и аналитична по X в круге |А.|<г при любом г >0;

2) при фиксированном X lim g(X,r) = 1;

Г—>00

3) существует такая константа С > 0, что [ g(X,r) |< С при всех г > О и |Х|<г.

Средние по Риссу вида (2) обобщают средние по Риссу вида

i V

RxfdX, /> 0,

1 г (. А4

которые исследовал М. Стоун в [1], где - резольвента интегрального 1

оператора А/(х)= ^А(х,1)/(1)с11, в случае, когда А(х,I) - функция Грина

о

дифференциального оператора п-го порядка с регулярными по Биркгофу

' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003).

краевыми условиями. Он показал, что на каждом [а, Ь] с (0,1) имеет место равносуммируемость их с такими же средними обычных тригонометрических разложений в ряды Фурье.

В работе [2] А. II. Гуревичем и А. П. Хромовым для оператора (1) при п = 1 найдены необходимые и достаточные условия на /(х), обеспечивающие равномерную сходимость к ней на всем отрезке [0,1] обобщенных средних Рисса вида (2) с дополнительным условием на функцию g("K,r). В данной статье этот результат обобщается на случай произвольного п.

Важным достоинством оператора (1) является то, что для него условия существования обратного оператора выписываются в явном виде [3]. Кроме того, явно выписываются и константы в краевых условиях, получающихся при обращении оператора А, что позволяет проверить эти условия на регулярность. Существование А 1 и регулярность краевых условий необходимы для получения основной теоремы, и, вообще говоря, трудно проверяемы.

Пусть выполняется условие теоремы 1 из [3]. Тогда в силу теоремы 2 из [3] область значений оператора А состоит из всех функций, имеющих абсолютно непрерывные производные до (п - 1) -го порядка включительно, и удовлетворяющих условиям

= = / = 1,..., и, (3)

где

к=0

ф,- е С[0,1], 0 < о, < ... < ап < п -1, ст ■ < ау+2 , | | + | 6, |> 0, причем, если

аj = сту+1, то считаем, что а - = 1, ау+1 = 0, = 0, 6у+1 = 1.

Считаем, что условия (3), представляющие собой условия из теоремы 2 из [3] после приведения линейных форм к нормированному виду, регулярны по Биркгофу.

Обозначим через ю, различные корни п- й степени из 1,

<з? = в11 ¿/0 |ехр(<аге'/о), с/0 = - 1 + а2 , 0 < а^£/0 < 2л, X - спектральный па-" а1-а2

раметр. Положим Х = р" и разобьем область 0 < агцр < 2п/п на секторы у <аг§р<у ■ (/ = 1,...,ЛГ, 0 = у0 < ... < ущ = 2%/п) таким образом, что числа со¿/со,- (г = 1,...,п) можно перенумеровать через 65; (к = \,...,2п) так, чтобы при любых р из рассматриваемого сектора выполнялось

Яе рЗ) > ... > Яе р5„ > 0 > Яе рш„+1 > ... > Яе рй2и ■

Обозначим через - область, получающаяся из сектора

0,j

у< argp < уj удалением всех нулей квазимногочлена вида

a0iJ +alje-2pä" +а, +а, ,.е

г,,-......2р®"4 + <4/

-2р(ю„„,+5„)

где у ^ 0 (¡ = 0,2,3,4) асимптотически приближающихся к соответствующим корням и-й степени из собственных значений оператора А 1, вместе с их круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 50.

Пусть g(X,r) удовлетворяет еще одному условию:

4) для каждой области 55о у существуют числа И, > 0, > 0 такие,

что при ф + а - —

< h: имеет место равномерная по г оценка

g(r exp(j п ф), г) = О

Ъ

Ф + а — 2

где ф = arg р, а = argюп.

Примерами таких функций могут служить функции вида

где

giM= 1

1Д

р2

х j,

1 —-é г

(arg d-п/2)

Рз

^ _<C

1 _ ^g'(argii+n/2) r

Рз

4=1

ш

Mr(fk)

, / = 1,2,..., sk> 0, /¿(л.) целые по Л,

Mr (/) = max I /(A.) |.

ТЕОРЕМА. Для того чтобы выполнялось соотношение 1

lim

г—>00

2 tu

\gMRxfdk

\X\=r

= 0,

C[0,1]

необходимо и достаточно, чтобы /(х) принадлежала множеству всех непрерывных на [0,1] функций, удовлетворяющих тем краевым условиям из (3), которые не содержат производных.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Stone M. H. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff // Trans. Amer. Math. Soc. 1926. Vol. 28, № 4. P. 695 - 761.

2. Гуревич А. П., Хромов А. П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений для конечномерных возмущений одного класса интегральных операторов // Изв. вузов. Сер. Математика. 2003. № 2(489). С. 24 - 35.

3. Халова В. А. Задача обращения одного класса интегральных операторов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 125 - 127.