CC BY
11
УДК 517.984
В.А. Халова
СУММИРУЕМОСТЬ ПО РИССУ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ИНВОЛЮЦИЕЙ
Рассматривается оператор вида
X 1 — X
Af (x) = aif A(x,t)f (t) dt + a2 J A(1 - x,t)f (t) dt+
0 0
m
+ E(/,Vk)gk(x), x G [0,1], k=1
(1)
—1
где ) = / /(£) ^(£) е Сп[0,1], §к(х) е Сп[0,1], системы функций о
(д^п)(х)}т и {4П)(*)}Г линейно независимы, в = а1 — = 0, ядро А(х,£) непрерывно дифференцируемо п раз по х и один раз по £ и АЛХ« (х,£)|^=Х = = Axs (х, £)|^=х—о — Ах« (х,£)|^=х+о = 1 (5 = 0,... ,п, - символ Кроне-кера).
В данной статье приводятся необходимые и достаточные условия на ](х), обеспечивающие равномерную сходимость к ней на всем отрезке [0,1] обобщенных средних Рисса вида
1 Г д(А,г)Ял/^А, (2)
2ni |A|=r
где ra/ = (E — AA)-1A — резольвента Фредгольма оператора (1) (E — единичный оператор, A — спектральный параметр), функция g(A,r) удовлетворяет следующим условиям:
а) g(A,r) непрерывна по A в круге |A| < r и аналитична по A в круге |A| < r при любом r > 0;
б) существует такая константа C > 0, что |g(A,r)| < C при всех r > 0 и |A| < r;
в) при фиксированном A lim g(A,r) = 1.
r—
Отметим, что исследования суммируемости по Риссу начались с работы [1], в которой М. Стоун рассматривал интегральный оператор, ядром которого являлась функция Грина дифференциального оператора n-го порядка
с регулярными краевыми условиями, а g(A,r) = — AA^ . В [2] А.П. Гуре-вичем и А.П. Хромовым суммируемость по Риссу была доказана для оператора (1) в случае ядра A(x, t) = A(1 — x, t) = 1 и обобщенных средних Рисса
вида (2) с дополнительным условием на g(A,r). В работе [3] автором был установлен аналогичный результат для оператора (1), когда A(x,t) — ядро оператора n-кратного интегрирования. В данной статье получено обобщение этого результата.
Пусть выполняется условие теоремы 1 [4]. Тогда в силу теоремы 2 [4] область значений оператора состоит из всех функций, имеющих абсолютно непрерывные производные до (n — 1)-го порядка включительно и удовлетворяющих условиям:
Vj (y ) = Uj (y) — (yw), j = 1,...,n, (3)
где Uj(y) — линейные формы производных y(x) в нуле и единице. Считаем, что условия (3), представляющие собой условия из теоремы 2 [4] после приведения линейных форм к нормированному виду регулярны по Биркгофу.
Введем следующие обозначения: pn = A; Uk (k = 1,..., 2n) — корни n-й степени из 1 и (а1 — a2)/(ai + а2) упорядоченные так, что на одной из границ сектора Yj—1 < arg Р < Yj (0 = Yo < • • • < Yn = 2n/n) выполняется Re pun—1 > Re pun = 0; S§0j — область, полученная путем удаления из сектора Yj—i < arg p < yj нулей квазимногочлена вида
öo + aie—2pLJn + а2в—р(Шп-1+Шп) + азе—2рШп-1 + а4е—2р(Шп-1+Шп), aoaA = 0,
асимтотически приближающихся к соответствующим корням n-й степени из собственных значений оператора A-1, вместе с их круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 60.
Пусть функция g(x, A) удовлетворяет еще одному условию:
г) для каждой области Ss0jj существуют положительные числа ßj и hj
такие, что при g(rein^, r) = O
п
arg pun — 2
< hj имеет место равномерная по r оценка
п
arg pun — 2
Теорема. Для того чтобы выполнялось соотношение
= 0,
lim
r—>OÖ
f (x) + 2~ / g(A,r)R\f (x) dA
|A|=r
необходимо и достаточно, чтобы /(х) принадлежала множеству всех непрерывных на [0,1] функций, удовлетворяющих всем тем граничным условиям (3), в которых линейные формы не содержат производных.
При доказательстве данной теоремы использовался метод, основанный на методе контурного интегрирования резольвенты Фредгольма интегрального оператора по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра.
оо
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Stone M.H. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff // Trans. Amer. Math. Soc. 1926. Vol. 28, № 4. P. 695-761.
2. Гуревич А.П., Хромов А.П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений одного класса интегральных операторов // Изв. вузов. Сер. Математика. 2001. № 8(47). С. 38-50.
3. Халова В.А. Суммируемость по Риссу спектральных разложений для конечномерных возмущений одного класса интегральных операторов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 144-146.
4. Халова В.А. Задача обращения одного класса интегральных операторов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 125-127.
УДК 518.91
А.В. Харламов
ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД В ПОСТРОЕНИИ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
Рассмотрим задачу построения модели ценообразования на вторичном рынке жилья. Общепринятый подход [1] предполагает построение глобальной зависимости, причем в качестве одного из регрессоров выбирается расстояние. Используя данные, полученные с сайта еженедельника газеты «Квадратный метр» (http://www.ks.sarbc.ru) за январь 2006 года, построим такую модель для Саратова. Регрессия строилась по следующим параметрам:
y — цена квартиры, тыс. руб.;
2
x1 — жилая площадь, м2;
x2 — площадь кухни, м2;
x3 — дополнительная площадь, м2;
x4 — логарифм расстояния до центра, 1п(м);
x5 — расположение на первом этаже;
x6 — расположение на последнем этаже;
x7 — дом малой этажности;
xg — пятиэтажка;
x9 — кирпичный дом;
x1o — в хорошем или отличном состоянии;
x11 — имеются балкон или лоджия.
В результате была получена следующая зависимость:
y = 1180,61 + 13,04 xi + 10,38 x2 + 11,17 xa - 116,40 - 36, 82 xs-
(1,04) (1,36) (0,79) (2,62) (5,70)
- 28,19 x6 - 122,10 x7 - 30,43 xg + 20,88 x9 + 19, 22 xw + 16,87 xn,
(5,34) (10,99) (5,06) (5,03) (4,20) (5,30)
в скобках указаны стандартные ошибки.
