Судовая ключевая операция - связанная пара "признак состояние" Текст научной статьи по специальности «Математика»

Судовая ключевая операция - связанная пара "признак -состояние"

1 2 А.Н. Анисимов , В.И. Меньшиков

1 Судоводительский факультет МГТУ, кафедра управления судном и промыслового рыболовства

2 Судоводительский факультет МГТУ, кафедра судовождения

Аннотация. Рассматриваются наиболее характерные принципы составления математических моделей судовых ключевых операций, которые способны создать условия для управления "человеческим фактором" в процессе выполнения экипажем производственных операций с целью минимизировать влияние этого фактора на безопасную эксплуатацию судна.

Abstract. The principles of constructing of mathematical models of ship key operations have been considered in the paper. These models should create some conditions for "the human factor" control during fulfilling the manufacturing operations by crew in order to minimize the influence of this factor on safe exploitation of a vessel.

1. Введение

По мере развития научно-технического прогресса возможности человека все больше и больше отстают от возможностей техники и, как следствие, все больше аварий и аварийных случаев происходит уже по вине человека, а не техники. Это явление, получившее название "человеческий фактор", стало отправным в понимании того, что безопасной эксплуатацией судов необходимо управлять. Именно поэтому усилиями Международной Морской Организации (ИМО) и классификационных обществ был сформулирован перечень правил, обеспечивающих минимизацию влияния "человеческого фактора" за счет применения способов управления безопасной эксплуатацией судов компаний.

Для предотвращения аварийных ситуаций в судоходных и рыболовных компаниях необходимо постоянно проводить мероприятия по управлению эксплуатацией судов и четко определять ответственность за такое управление. Способы управления "человеческим фактором" разработаны и нашли отражение в таких документах, как резолюция ИМО А.741 (18), вошедшая в состав Конвенции Солас-74, в Кодекс по управлению безопасностью, а также в Кодекс по подготовке и дипломированию моряков и несению вахты, ставший составной частью Конвенции ПДНВ-78/95. Эти документы обязывают судоходные и рыболовные компании создавать и поддерживать не только системы управления безопасной эксплуатацией, удовлетворяющие требованиям применяемых Кодексов, международных и национальных норм и правил, но создавать и использовать соответствующую систему качества при подготовке морских специалистов.

Для поддержания судов в безопасном состоянии судоходные и рыбопромысловые компании должны выделить и соответственно задокументировать все потенциальные риски, связанные как с типом судна, так и с особенностями производственного процесса, а также с деятельностью морских специалистов. Все выделенные потенциальные риски (Рекомендации по действиям..., 1999), в свою очередь, должны быть использованы, во-первых, при разработке планов по проведению безопасных судовых (ключевых) операций, а во-вторых, при разработке математических моделей сценариев развития аварийных ситуаций и управленческих процедур, минимизирующих нежелательные последствия развития этих ситуаций.

Качественный и количественный анализ сценария нежелательного развития ключевой операции, выполненный с помощью вычислительной техники и соответствующих средств отображения, позволит целенаправленно выделять наиболее опасные потенциальные риски и тем самым создавать условия по управлению "человеческим фактором", снижать степень влияния последнего на аварийность транспортных и промысловых судов. Поэтому возникает необходимость в строгом математическом описании ключевых операций, которые следует рассматривать как связанные пары двух состояний: состояние безопасности эксплуатации и состояние производственного процесса, идущего на судне. Составленные модели ключевых операций в виде объединения пары состояний в свою очередь позволят разработать множество сценариев, по которым и следует отыскивать нежелательные варианты развития этих операций, минимизировать их последствия, а также выделять в исследуемом развитии скрытые (потенциальные) риски.

Практическая реализация математических моделей ключевых операций может быть выполнена в виде электронного "советчика", построенного на принципах, присущих интеллектуальным системам. Ниже делается попытка дать математическое описание абстрактной ключевой операции как связанной пары состояний, привлекая для этой цели свойства множественности и иерархичности признаков безопасной эксплуатации.

2. Принципы разбиения производственного процесса на квазиоднородные участки производственной деятельности

Пусть в дальнейшем производственный процесс Q, реализуемый на судне, представляет собой циклическое замкнутое множество и, состоящее из N промежуточных образований, причем эти образования на множестве и получены с помощью разбиения так, что на этом множестве выделены следующие классы деятельности: Ь

Хь ..., Хь: ¥ = иX, причем такие, что ' = 1

п Х- = 0, (г, у) = 1, ..., Ь.

Далее примем, что в выделенных классах производственной деятельности, включающих в себя все промежуточные образования множества и, существуют как номинальные признаки X, если Ь > 1, так и универсальный признак Х°, если Ь = 1.

Теперь допустим, что на циклическом множестве и реализована еще одна классификация, выполненная с помощью признака У, заданного разбиением У1, .... Ум, и отражающая свойство однородности производственного процесса. Зафиксируем любой произвольный класс Ук из У и сопоставим этому признаку новый признак 2, полученный из У с помощью признака X. Для этой цели можно воспользоваться значением отображения Т(Х, Ук, У), составленного в виде следующей индикаторной функции:

,= / Х(Ур), р = к,

\ Х°(УР), р = 1, ..., к - 1, к +1, ..., Ь,

г = т (д у. У) = А* \ь , г (1)

где Х(Ур) и Х°(Ур) - разбиение промежуточных образований производственного процесса ¥ класса Ук в соответствии с признаками X и

В общем случае число классов 2 равно (Ь + М - 1), однако в соответствии с решаемой производственной задачей (М - 1) из них будут пустыми. Другими словами, отображение Т(Х, Ук, V) задает такое разбиение, что промежуточные образования производственного процесса на множестве Ук разбиваются на подклассы

Укп ..., Ук п Хь,

в то время как оставшиеся подклассы принимаются просто пустыми.

Полученное отображение (1) позволяет конкретизировать признаки в рассматриваемом производственном процессе, идущем на судне. Действительно, в соответствии с выражением (1) квазиоднородность участка производственного процесса и в целом достигается лишь в том случае, когда выполняется соотношение

г = Т (X, Ук, У) = Х°(УД р = 1, ..., к - 1, к + 1, ..., Ь,

т.е. когда признак X можно считать универсальным, соответствующим X0, для всего подмножества множества Ц- с и, у е Ь. Если же отображение (1) дает

г = т (х, Ук, У) = х(Ур), Р = к,

то признак X будет обладать только свойством номинальности, а рассматриваемый участок производственного процесса вида Цс. и, уже нельзя отнести к разряду квазиоднородных процессов.

Теперь найдем упорядоченный процесс детализации для универсального признака Х°. С этой целью рассмотрим последовательность признаков X', г = 1, £ и составим систему рекуррентных соотношений, дающую последовательность признаков 21 вида

г г = т(хг,г;- 1,- 1), х° = г0, (2)

где в качестве 1? - 1 выбирается некоторый класс признака 1г - \

Процесс детализации (2) более удобно представить с помощью композиции отображений

г г = т (х г, г г - 1 т (х, гг - 2( ), ..., х0),

показывающей в достаточно явной форме, каким образом через последовательность признаков и классов можно получить г0 = Х°(Ур) - конечный универсальный признак квазиоднородности для участка и-производственного процесса и. Однако если участок и- не обладает рассматриваемым выше универсальным признаком г0, а его можно характеризовать лишь некоторым множеством X = (X1, ..., X г, ..., ХЬ}, состоящим из Ь номинальных признаков, то это обстоятельство еще не является достаточным основанием для того, чтобы этот участок производственного процесса не мог считаться квазиоднородным.

Поиск участков и- квазиоднородности производственного процесса и зависит в первую очередь от условия, которое закладывается в основу формирования индикаторной функции (1), а также

последовательности выстраиваемых классов 2' - \ Поэтому, привлекая другие базовые признаки, не генерируемые разбиением Ь, и вводя иную систему иерархических признаков локальных образований для производственного процесса и, можно составить иные модели участков квазиоднородности, причем в терминах, отличающихся от ранее используемых понятий. Полученный результат свидетельствует лишь о том, что выделение квазиоднородного участка Ц на циклическом производственном процессе и следует относить к слабо структурированной проблеме (Сигорский, 1975), приводящей в конечном итоге к нечеткому результату.

Перейти от нечеткого результата к четкости в выделении квазиоднородных участков Ц производственной деятельности можно только за счет привлечения к операции композиции отображений (2) дополнительной информации. Именно поэтому признанная организация (Российский Морской Регистр) вынуждена дополнительно формулировать перечень свойств, присущих ключевой операции. В частности, композиция отображений (2) должна быть дополнена рядом следующих признаков, присущих ключевой операции:

— операции, для которых существующие обязательные нормы и правила устанавливают требования к их проведению или требования к составлению планов, процедур, инструкций, отчетных документов и контрольных листов;

— операции, используемые судоходной компанией и связанные с особенностями типа судна, а также влияющие на его безопасность;

— операции, для которых имеются рекомендации ИМО, Администрации, признанной организации и других организаций морской индустрии по их безопасному проведению;

— операции, которые, по мнению компании, могут создать опасные ситуации, если они не будут находиться в управляемых условиях.

Следовательно, объединение в единый комплекс композиции отображений (2) и перечня свойств, присущих ключевым операциям, позволяет осуществить более четкое разбиение циклического производственного процесса на отдельные квазиоднородные операции, характеризуемые состоянием (признаком) Ц, каждая из которых длится некоторый идентифицированный в рамках (2) временной интервал Т-, - е 3.

3. Модель судовой ключевой операции как связанной пары состояний

Для составления модели ключевой операции как связанной пары состояний далее будем считать, что существующие изменения состояния безопасной эксплуатации судна У на отдельном квазиоднородном участке производственного процесса и с состоянием Ц и с длительностью действий равной Т-, описываются системой нелинейных стохастических дифференциальных уравнений вида

<НШ - АУ = Е^, У, g(t)), (3)

где У - п-мерный вектор {у1, у2, ..., уп} параметров состояния безопасной эксплуатации при выполнении на судне отдельного участка производственного процесса с состоянием Ц-, причем t е Т-, а Б -измеримая нелинейная вектор-функция {/1,/2, ...,/„}Т.

Пусть далее g(t) - процесс, характеризующий случайные отклонения текущего состояния безопасной эксплуатации судна на Т- и определенный в пространстве Ьг, а функция Е^, У, х), при У, г е Ьг и t > 0, измерима по Борелю относительно У, У, х) и удовлетворяет следующим ограничениям:

||Е^, У, х) - Е^, X, х) || < д(х(?>) || У - X || а, 0 < а< 1, Е^, У, 0) = 0 (4)

с вероятностью равной или близкой к единице.

Для линейного аналога системы стохастических дифференциальных уравнений (3) всегда можно найти соответствующий этому аналогу характеристический полином

У(А) = А - ЛЕ, (5)

определить корни полинома р1, р2, ..., рт, установив кратность этих корней /¿2, ..., цт, и зафиксировать очевидное условие для их кратности и = тах 1 < / < т.

Далее рассмотрим вариант устойчивого изменения состояния безопасной эксплуатации судна, как объекта управления. Тогда, в силу требований к устойчивости изменения состояния объекта управления, допустима операция по расширению ограничений на спектр числовых значений корней характеристического полинома (5). При устойчивом изменении состояния безопасной эксплуатации можно принять, что корни в (5) не только ограничены по кратности, но и отрицательны, причем обладают структурой порядка следующего вида: 0 > р\ > р2 > ... > рп.

Чтобы найти условия, при которых траектории состояния безопасной эксплуатации судна (3) концентрируются на замкнутом фазовом пространстве Ф в области точки плотности У0 е Ф, связанной с

квазиоднородными производственными операциями, характеризуемыми состоянием Uj, перейдем от уравнения (3) к эквивалентному ему интегральному уравнению, записав его следующим образом:

t

Y(t) = W(t, b)Y(b) + \W(t - s) F(s,Y(s), g(s))ds, (6)

b

где m

W(t) = 2 2 Dkh th exp(pkt), (7)

k = 1 h = 0

причем для (7) можно ввести очевидную норму

IIW(t)|| <Р exp(| р+ е\ t). (8)

Используя (8), выполним преобразование первого выражения из общности (4), в результате чего получим

||Y(t)|| exp(- | pi + s\t) < ||Y(b)|| exp(| pi + г \ b) + 0 i ||Y(s)|| ag(s) exp(- | pi + г \ s) ds.

b

Если же дополнительно ввести обозначение

v(t) = ||Y(t)|| exp(- | pi + г\ t), то последнее неравенство можно упростить и записать его так:

v(t) < v(b) + р\va (s) q(g(s)) exp((a- 1) | A + г \ s) ds. (9)

b

Определим математическое ожидание для левой и правой частей выражения (9), предварительно возведя его в квадрат и выполнив операцию квадратического сложения. После таких преобразований выражение (9) принимает вид

t

M[v2] < 2{M[v(b)f + 01 i M[v2]a M[q(g(s))f exp(2(a- 1) | pi + s\ s) ds.

b

Если же ввести еще ряд дополнительных упрощающих обозначений таких, например, как:

да

Ci = 2 Mv(b)]2, L = ft i M[q(g(s))]2 exp(2(a- i) | pi + s\ s) ds,

b

Z(t) = Sup M[v2] при 0 < t < T, то преобразуемое неравенство может быть уже записано в достаточно компактной форме:

Z(t) < Ci + LZa. (i0)

Упростим выражение (i0), используя для этой цели очевидное с физической точки зрения соотношение

Lpa < LCia + dldp (Lpa)(p - Ci) = LCia + aLCia- 1(p - Ci). Тогда неравенство (i0) можно переписать так:

Z(t) < Ci + LZa + aLCia - 1(Z - Q),

причем

Если далее принять, что

Z(i- aLCia- i) < Ci + CiaL(i- a).

Z = (i- aLCia-i) l (i- aLCia- i) = С = const,

то можно окончательно наити математическое ожидание нормы для отклонении текущего состояния безопасной эксплуатации судна от установленной нормативными документами траектории, т.е.

М||¥ || 2 = С ехр((А + £)/). (11)

Здесь следует отметить, что полученный результат (11) может иметь смысл лишь при наличии еще одного ограничения, которое записывается так:

аЬСГ < 1. (12)

Следовательно, в силу выражения (11), на фазовом пространстве Ф случайных функций ¥(/), при устойчивом изменении состояния безопасной эксплуатации судна и выполнении условий (4) и (12), может существовать точка плотности с состоянием ¥0, связанная с состоянием и- производственного процесса и, и все интегральные кривые уравнения (3) стремятся к ¥0 с течением времени. В свою очередь, окрестность этой точки плотности при t ^ да зависит только от величины неопределенности, с которой задаются текущие нормы безопасной эксплуатации судна, поскольку рассеивание решений уравнения (3) вблизи ¥0 всегда стремится к нулю по закону, близкому к показательному закону.

4. Характер локализации текущего состояния безопасной эксплуатации судна при фиксированном состоянии производственного процесса

Монотонность изменения состояния безопасной эксплуатации судна У(^) при заданном состоянии Ц на квазиоднородном участке производственного процесса Ц позволяет выдвинуть и доказать правомочность гипотезы о наличии ограничивающего сфероида £ для состояния У0. Причем такого сфероида, у которого нижняя грань радиуса тГ £ равна неопределенности, внесенной в нормы безопасной эксплуатации судна, а текущие отклонения состояния безопасной эксплуатации У(^) от этой грани локализуются в заданной области £ с вероятностью

Р{Ит | У-/ ¿Ук2)ш< «> | у = у(ь)} = 1. (13)

t да к = 1

Практическое использование сфероида безопасной эксплуатации судна £ может быть связано не только с установлением самого факта его существования, но и с определением возможностей прогнозирования состояния У(^ в интервале Т- при движении У(^ к грани тГ £.

Чтобы определить характер стремления интегральных кривых к точке плотности, перепишем уравнение(3): т t

У(0 = Е !1[Вкк У(Ь) ехр - рф + 1Лк С- \(Ь - - кЕ(?, g(s),У(s))ds](У- Ь)к ехр рк^

к=1 к=0 -=к Ь

где С-1 - биномиальные коэффициенты.

Пусть на множестве ненулевых решений уравнения У, 0) = 0 существует такой оператор

^-1 t

Тк а, ^ У) = [Вкк У(Ь) ехр - ркЬ + I Вк С> 1(Ь - - ЬЕ(?, g(s),У(s))ds](У- Ь)ь ехр рк^

3=1 Ь

который удовлетворяет условиям вида

Тк1 = Т1 (да, ^ У). (14)

Т1 = 0, к = 1, 2, ..., I - 1; к = 0, 1, ..., [лк - 1, (15)

Т'С«-1) = = т^-1 = 0

Vх Ф 0.

Тогда, чтобы определить характер сходимости интегральных кривых уравнения (3) к точке плотности У0, необходимо в первую очередь доказать, что выражение (13) всегда имеет устойчивый предел. Очевидно, что предел существует для ситуации, когда

Р{ ||У || < «} = 1, - = 1, 2 , ..., я,

В то же время нельзя исключить и такую ситуацию, при которой операция по определению величины предела от выражения (13) приводит к неопределенности вида

Р{Ит | У,/ ¿Ук2)1'2 = V и/[Е (Тк!1)2)]1/2= 0 / 0} = 1.

^ ^да к = 1

Однако эта неопределенность способна появиться тогда и только тогда, когда решение У($) Ф 0 является корнем уравнения (3).

Пусть получено некое решение О(£) Ф 0 уравнения (3), которое удовлетворяет системе (14) и будет в данном случае тождественно равно

т ц-1 ц-1 да

О(Г) = -ЕЕ Е С-к (а - Ь)к \(Ь - - кЕ(?, g(s),Z(s)) ds ехр р( - s). (16)

к=1 к=0 -=к t

Введем дополнительное обозначение т 1 1

р= к=1 к=о 5кн || с-1,

и преобразуем (16) в неравенство вида 3

||О(0|| < Р}||Е(?, ехр^ -

ГО

а затем, упростив его, запишем t

||О(0|| = Р\^И адШ) ехр(рт^-5)) ds. (17)

№

Примем, что последнее выражение является единственным ненулевым решением с метрикой, равной

м[р2(у, о)]=тах (МЦУ- о || 2/ r(t)),

где r(t) = Л ь * 4 ^

Тогда, взяв введенную метрику и используя ее как норму, получим

М||Gfc|| 2 < ß2 } 52v + 1 M[q2] M[GnA2a] exp(2pm(l - a) s) ds exp(2pmt), (18)

да

где выражение

max (s2v+ 1 M[q2] M[G2a] exp(2pm(1 - a) s)} = у (19)

s > b

является некоторой постоянной величиной, т.е. у= const.

Если решение (17) определено на m корнях линейного аналога уравнения (3) с кратностью равной V, то, используя выражение (19) и выполняя ряд последовательных приближений для к = 1, 2, ..., m, можно конкретизировать выражение для нормы (18) и записать ее:

М|| Gm||2 <ß2 tv(1 "a) exp(2pmt).

Характер сходимости интегральных кривых уравнения (3) к нижней грани inf S окрестности точки плотности Y0, будет определяться величиной предела соотношения M[p(Y)] / r(t). В данном случае оно имеет предел, поскольку

lim M[p{Y)] / r(t) = lim ß2 t1/(1 " a) " к exp^t) = 0. (20)

t ^ да t ^ да

Наличие предела (20) свидетельствует, что все интегральные кривые уравнения (3), охваченные заданной областью сфероида эксплуатационной безопасности S, будут входить в нижнюю грань этого сфероида inf S, имея постоянный вектор скорости. Такое поведение интегральных кривых на фазовом пространстве Ф = Y х dY/dt можно объяснить, в первую очередь, наличием у них свойства равномерной сходимости, которое позволяет говорить о прогнозируемости состояния безопасной эксплуатации судна на участке производственного процесса с состоянием Uj, по крайней мере, для вариаций Y(t) в пределах заданного сфероида безопасности эксплуатации S и на временном интервале Tj.

В то же время достоверность траекторного прогноза зависит от вида функции F(t, Y, g(t)) в уравнении (3). Для того, чтобы предел (20) реально отражал возможность выполнения операции по прогнозированию элементов возможного изменения состояния безопасной эксплуатации, функция F(t, Y, g(t)) должна, во-первых, удовлетворять трем условиям вида

|| F(t, Y, g) - F(t, G, g) || = q (g(t)) || Y - G ||, l|F(t, Y, g) - F(t, G, g) || = к || Y - G || a при к < 1/(1 -a), (21)

F(t, g, 0) = 0,

а, во-вторых, допускать ограниченность интеграла

№

!М [q(g(t))]2s2v+1 exp{2[a<A+«) - p„]s} ds < да. (22)

b

Выполнение приведенных выше условий (21) для функции F(t, Y, g(t)) при заданном ограничении (22), обеспечивая прогнозируемость состояния безопасной эксплуатации Y(t), позволяет теоретически обоснованно вести как разработку сценариев судовых ключевых операций, так и осуществлять анализ этих сценариев с целью поиска потенциальных рисков, по крайней мере, в пределах сфероида безопасной эксплуатации S и на интервале времени Tj.

5. Заключение

Для поддержания судов в безопасном состоянии судоходные и рыбопромысловые компании должны выделить и соответственно задокументировать все потенциальные риски, связанные как с типом судна, так и с особенностями производственного процесса, а также с деятельностью морских специалистов. Все выделенные потенциальные риски должны использоваться при разработке планов проведения ключевых операций, сценариев аварийного развития судовых операций и составлении управленческих процедур, минимизирующих возможные последствия таких сценариев. Полученные в работе теоретические результаты позволяют обоснованно гарантировать, что качественный и количественный анализ аварийных сценариев, кроме выделения потенциальных рисков, будет создавать условия для управления "человеческим фактором", которое уменьшит степень влияния последнего на аварийность транспортных и промысловых судов.

Литература

Рекомендации по действиям в аварийных ситуациях. Под ред. А.Г. Карпенко, А.Ф. Глухова,

В.И. Дмитриева. СПб, ГУР Морского Регистра России, 52 е., 1999. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. Киев, Техника, 765 е., 1975.