CC BY
29
УДК 656(1-21)
ОБҐРУНТУВАННЯ МЕТОДИКИ ФОРМУВАННЯ МОДЕЛІ ПРИВАБЛИВОСТІ ДЛЯ ПАСАЖИРА ШЛЯХУ ПРЯМУВАННЯ
НА РОБОТУ
П.Ф. Г орбачов, доцент, ХНАДУ
Анотація. Наводиться обґрунтування розробленого автором підходу до моделювання процесу вибору пасажиром шляху прямування з дому на роботу міським маршрутним транспортом та можливостей моделі при розрахунку коефіцієнтів функції привабливості.
Ключові слова: пасажир, трудові пересування, шлях прямування, імовірність вибору шляху, функція привабливості шляху.
Вступ
Запропонована в попередніх роботах [1] методика визначення виду функції привабливості шляхів пересування пасажира в маршрутній мережі міського пасажирського транспорту представляє собою розвиток та подальшу деталізацію моделей дискретного вибору [2]. Формування таких моделей є необхідним та одним з найважливіших завдань серед усіх етапів роботи з підвищення ефективності функціонування маршрутного пасажирського транспорту в містах.
Але особливості відносного характеру процедури вибору пасажиром конкретного варіанта шляху прямування з дому на роботу зумовлюють певну складність трансформації емпіричних імовірностей використання цих варіантів в коефіцієнти значущості параметрів шляху. Для цього необхідний детальний аналіз та обґрунтування.
Аналіз публікацій
Основним механізмом трансформації отриманих в результаті обстежень імовірностей використання варіантів пересувань в коефіцієнти значущості параметрів шляху є використання „методу максимальної правдоподібності” [2, 3]. Він дозволяє безпосередньо отримати значення коефіцієнтів функції привабливості шляхом мінімізації функції правдоподібності. При цьому не виникає питань порівняння варіантів пересувань з різнома-
нітними характеристиками, розрахунок проводиться одноразово для всього масиву даних. Ця простота зумовила поширене використання методу максимальної правдоподібності, незважаючи на його суттєві недоліки з точки зору можливостей статистичної оцінки отриманих результатів [3].
Можливість безпосереднього визначення коефіцієнтів значущості факторів вибору варіанта пересування дозволяє дослідникам обходитись без чітко визначених базових понять, таких як корисність пересування та привабливість шляху. Це вважається припустимим при розгляді загальних питань поведінки людини, яка обирає спосіб пересування, наприклад пішки, на особистому автомобілі або громадським транспортом. Але розгляд поведінки пасажира маршрутного транспорту при виборі варіанта шляху не тільки потребує значно більшої деталізації питання, але і забезпечує дослідника необхідною для цього інформацією.
Мета та постановка задачі
Існують спостереження за варіантами поїздки т пасажирів з дому на роботу. Для кожного зі спостережень відомі транспортні райони початку й та закінчення е поїздки, кількість використаних варіантів шляху прямування г, статистичні імовірності їх використання рі, І є[1, г] та п параметрів
gli, і є[1,п] кожного варіанта шляху.
Необхідно визначити коефіцієнти а0, аі і є [1,п] лінійної функції привабливості шляхів прямування /і (gli)
/і(gu) - ao +хa • gli. (і)
і-1
Для цього потрібно розрахувати значення функції привабливості шляхів прямування на основі статистичних імовірностей їх використання. Ці та інші етапи моделювання поведінки пасажира у міській маршрутній системі потребують поглибленого обґрунтування.
Обґрунтування методики
Розроблені принципи моделювання поведінки пасажирів у маршрутній системі [1] дозволяють для кожного пересування сформувати систему г рівнянь, кожне з яких описує один з варіантів прямування пасажира з дому на роботу. ві г
Рі = ІПр{Уі-^ <Уі-Ч\-Д.Уі-О^і
a1
і-2
kz
Pk-I П р[Уі -ti < Ук -tk}• /(Ук -tk)dtk
ak
І-1;І ^k
(2)
Pz z-1
Pz - I П P [Уі - tl < yz - tz }• /(yz - tz )dtz ,
на основі відомих функцій розподілу випадкових величин та емпіричних значень імовірності перевищення одного значення випадкової величини іншим. Автору не відомі існуючі аналоги цієї задачі та способи її розв’язання, що й викликає потребу поглибленого дослідження властивостей системи.
Система (2) є системою інтегральних рівнянь [4] з мультиплікативною підінтегральною функцією. Кількість невідомих системи дорівнює кількості рівнянь z . Необхідно довести, що ця система має єдиний розв’язок.
У кожному рівнянні системи (2) умова порівнювання випадкових величин, зведеної до часу очікування ефективності пересування має такий вигляд:
Уі-ti <yk-tk; kфІ; Мє[1,z]• (3)
Умову (З) слід переписати так:
tk < ti + Уk - Уі; k ф І; k, 1 є[1, z], (4)
де невідомі Уі та Ук з точки зору їх змісту є сталими величинами
Уі - const - Z; Ук - const -у . (5)
Тоді, з врахуванням (5) і позначенням ЛУ - Ук - Уі, (4) прийме вигляд
tk < ti +ЛУ, ЛУ - Уk - Уі.
(6)
де ак, вк - відповідно нижня та верхня границі інтервалу значень випадкової величини хк = ук - tk ; хк - це зведена до часу очікування ефективність пересування або, іншими словами, ефективність пересування в одиницях часу. В розглянутій задачі вона є випадковою додатною величиною; ук - це ефективність пересування в одиницях часу без врахування часу очікування. Це детермінована додатна величина, для якої в подальшому використовується термін «детермінована привабливість шляху пересування».
Згідно з призначенням роботи на основі системи (2) необхідно визначити величини Уі, і є [і, г]. Ця система вперше дозволяє
розрахувати значення детермінованих складових умови порівняння випадкових величин
Індекси і та к є рухомими в межах [і, г],
залежно від рівняння, в якому вони зустрічаються. Необхідно визначити базу порівнювання, за яку розумно прийняти перший варіант шляху.
АУі = Уі - Уі, і є [2, г], (7)
де Ауі - детермінована привабливість першого варіанта шляху відносно і-го.
Відповідна кількість введених констант буде дорівнювати г — і. З врахуванням (7) для першого рівняння системи (2) умова порівнювання випадкових величин перетворюється так:
Уі - и < Уі - Ч ^ и +АУі ^ ^. (8)
Для інших г - і к -х рівнянь умова порівнювання випадкових величин записується таким чином:
Уі- *і < Ук- Ч ^ ^ ^ Ч +АУк, 1 = і;
Уі - *і < Ук - ік ^ *і +АУі ^ ік + АУк, 1 * 1
(9)
З врахуванням (8) та (9) система (2) перетвориться на систему (10).
Рі = І пР{і <і + Ау}• /(іі)(ііі
а1
і=2
Рк = |
ак
РК +АУк <*!}•
z
• П р{^ +Аук < ^і + Ауі }•
V і =1;і*к
•/ (ік +А.Ук )(*к
(10)
рг
Рz = І
V
ПP{tz + АУ <її +АУі}• V і=і
•/(ї2 + АУ )(Я^
вірки властивостей системи (і0) не існує, для доказу наявності її розв’язку та визначення його вигляду потрібно отримати загальні розв’язки для всіх можливих варіантів системи. Для цього доцільно розпочати з розгляду найпростішого варіанта системи, при г = 2. У цьому випадку вірогідна подія «вибір хоча б одного варіанта шляху прямування» О складається з двох несумісних подій «вибір першого варіанта шляху» Аі = [^ < t2 + Ау2 ] та «вибір другого варіанта
шляху» А2 = [^ > t2 + Ау ], О = Аі + А2. Система (і0) для цього випадку має такий вигляд:
Рі = І Р{Аі}-/(іі)Лі';
а1
в2 +Ау2
Р2 = і Р{ А2 } • /(ї2 +АУ2)^І2.
«2 +А.У2
(12)
Відповідно до імовірності нездійснення протилежної події [4]
р {д} = 1 - Р {4}.
(13)
Слід відзначити, що імовірність вибору другого варіанта шляху прямування можна також представити як
де аі =аі + Ау ; Рі =р і + ау; і = к ^ г.
Таким чином, система (і0) має г - і невідомих Ауі, замість г невідомих уі системи (2), при тій же кількості рівнянь г. Тобто кількість рівнянь в системі (і0) завжди перевищує кількість невідомих на одиницю, що дає підставу для виникнення сумнівів в існуванні єдиного її розв’язку. Однак, згідно з постановкою задачі існує лінійний зв’язок між рівняннями, оскільки вибір будь-якого варіанта шляху пересування з альтернативного набору є вірогідною подією [4], тобто
X Рі = 1.
і =1
(11)
Завдяки цьому як мінімум одне рівняння системи (і0) потенційно може бути виражено через інші, а кількість лінійно незалежних рівнянь цієї системи, яка дорівнює г - і, може співпадати з кількістю невідомих системи при відсутності інших зв’язків між рівняннями. Оскільки формальних інструментів пере-
Р2 = і Р {А2 } • /(0^1 .
“1
(14)
Після підстановки (13) в (12) з врахуванням (14) отримується
л = І(1 - Р {А2}) •/ 01Н;
а1
(15)
в1 в1 , ,
А = І /(і1Н - І Р {А2 } • /(0^1 = 1 - Р2,
а1 а1
тобто умова (і3) виконується та розв’язання одного рівняння системи одночасно означає отримання розв’язку іншого рівняння. Це також означає, що система (і2), яка описує імовірність вибору двох варіантів шляху прямування, має єдиний розв’язок відносно Ау2. Цей розв’язок визначає взаємне розміщення розподілів ^ та t2, який забезпечує виконання умов обох рівнянь системи (і2).
а
z
Для загального випадку, коли г > 2 слід представити вірогідну подію - «вибір хоча б одного варіанта шляху» О, як сукупність двох несумісних подій - «вибір першого варіанта шляху» А1 та «вибір будь-якого з інших г -1 варіантів шляху» А.,-1, О = А1 + А.,-1.
Альтернативою першому варіанту тепер стане прибуття першого транспортного засобу будь-якого з г -1 маршрутів, якими починаються відповідні шляхи. Мінімальний час очікування будь-якого, крім першого, варіанта шляху позначається У , загальна детермінована привабливість цих шляхів Ау'. Тоді
А =[?! < У + Ау'] та Аг-1 = [^ > У + Ау'], (16)
де У - мінімальний час очікування будь-якого, крім першого, варіанта шляху У = тіп {ґІ}; І є [2, г].
Функція щільності розподілу випадкової величини У визначається згідно з формулою закону розподілу мінімальної із г -1 незалежних випадкових величин [5].
г-1 г-1
/(У) = X /((,)-П(1 -р(іг))/(1 -^)). (17)
І =1 г=1
Тепер можна сформувати нову систему з двома рівняннями та однією невідомою Ау ' аналогічну (12).
Р = І Р {4}- /^Н;
а1
Рг-1+АУ
(18)
Р-1 = I Р {Аг-1 } • /(У + АУ)dУ,
а2-1 +А_у
де а г-1 + Ау , де Р г-1 + Ау - відповідно нижня та верхня границі інтервалу значень випадкової величини у + Ау.
Згідно з наведеним доказом система (18) має єдиний розв’язок відносно величини Ау,
який визначає зсув /(у) відносно /(ґ1) для заданих р1 та рг-1. Після цього як вихідну можна розглянути сукупність г -1 варіантів, тобто вірогідною подією у цьому випадку буде подія: вибір будь-якого з цих г -1 варіантів.
Імовірності вибору кожного з цих варіантів у межах нової сукупності РІ визначаються як
Р
Р= —
1 - Р
(19)
Повторюючи кроки (16) - (19) отримаємо єдиний розв’язок системи (18) відносно нової сукупності г - 2 варіантів шляху прямування. Виконання цих кроків г -1 разів дає відповідну кількість невідомих системи (12).
Таким чином можна стверджувати, що розв’язання системи (12) забезпечується взаємним розміщенням вихідних функцій щільності розподілу часу очікування, яке визначається шуканими величинами АуІ.
Розв’язок системи (12) відносно АуІ ще не означає отримання моделі вибору пасажиром шляху прямування. Кінцевий вигляд моделі передбачає наявність значень коефіцієнтів при детермінованих параметрах шляху прямування, які розраховані на основі результатів обстежень фактичних пересувань пасажирів і адекватно описують переваги пасажирів при виборі варіанта шляху прямування.
Тому необхідно визначити можливості використання методів математичної статистики для набуття значень коефіцієнтів при детермінованих параметрах в моделі імовірності вибору пасажиром шляху прямування і розробити порядок розрахунку коефіцієнтів. Розв’язання системи (12) дозволяє сформувати таку систему рівнянь в межах множинного регресивного аналізу для однієї кореспонденції, яка відрізняється від стандартної системи правою частиною:
ао +Х аг • gгl = У1
г=1
ао +Х аг • gгl = У1 -АУі , (20)
г=1
ао +Х аг • giг = У1 - АУг
де у1 - значення детермінованої привабливості першого варіанта шляху пересування для розглянутої кореспонденції.
п
і=1
У правій частині системи (20) зустрічається невизначена величина y1, яка згідно з (12) ніяк не впливає на імовірність вибору пасажиром шляху пересування, тобто її значення для однієї кореспонденції може визначатися вільно. Наявність такої вільної змінної цілком логічна і обґрунтована, адже пасажир порівнює можливі варіанти пересування між собою, і результат тут може бути тільки відносний. Більш того, наявність невизначеної «базової» змінної підтверджує коректність підходу, оскільки повністю відповідає відносному характеру процедури вибору шляху прямування між заданою парою пунктів відправлення і прибуття. В цьому випадку вільний коефіцієнт регресії а0 лінійно залежить від величини y1,
а0 = У1 + та, та = const, (21)
а коефіцієнти регресії аі,і є[1, п] при факторах ga не залежать від величини y1
а = f(gii, 4у);і є [^ п];1 є [ 2 п]. (22)
Зміст (21) та (22) підтверджує можливість вільного вибору значення y1 при розгляді однієї кореспонденції. Але в цьому випадку значення а0 не можуть розглядатися як розвиток, оскільки вони повністю визначаються вільною величиною y1. Таке становище є зрозумілим з врахуванням того, що значення ao в рівнянні регресії відображає наведену до часу корисність пересування, яка вважається сталою величиною. Ця величина, як вже відмічалось раніше, не може бути визначена на основі лише транспортних факторів, тому наявність інформації про варіанти задоволення потреб пасажирів у пересуваннях недостатньо для однозначного визначення вільного коефіцієнта регресії.
Аналогічні результати можна одержати при розгляді будь-якої сукупності кореспонденцій, якщо використовується умова постійності коефіцієнтів регресії.
аі = const = ті, і є [0, п]. (23)
Тоді для отримання коефіцієнтів моделі привабливості шляхів пересування достатньо задати лише одне базове значення детермінованої привабливості першого варіанта
шляху пересування, зробити це розумно для першого респондента. Для інших рівнянь системи (20), значення y1 визначаються за розрахунковими формулами залежно від кількості факторів в моделі. Автором отримані залежності y1 для однофакторної та двофак-торної функції регресії. Аналітичні залежності для випадків з більшою кількістю факторів не формувалися у зв’язку з швидким зростанням масштабів розрахунків. Для них виконано числові експерименти, які підтвердили справедливість аналітичних висновків для випадків з кількістю факторів n < 6.
Висновок
У роботі вперше визначено поняття корисності та привабливості шляхів пересування маршрутним пасажирським транспортом. Наведені викладення дозволяють вважати, що запропонований підхід до моделювання імовірності вибору пасажиром шляху прямування дає можливість адекватного врахування імовірнісного характеру процедури вибору пасажиром варіанта прямування при формуванні моделі привабливості шляхів пересування з дому на роботу.
Література
1. Методика определения вида функции при-
влекательности пути следования в городе // Автомобильный транспорт: Сб. на-учн. тр. - Харьков: ХНАДУ. - 2007. -Вып. 20. - С. 122 - 124.
2. Orttzar, J. de D. and Willumsen, L.G. Model-
ing Transport. Third Edition. John Wiley & Sons Ltd, 2006. - 499 p.
3. Математическая энциклопедия / Гл. ред.
И.М. Виноградов. - Т. 3. - М.: Советская энциклопедия, 1982. - і і84 сокр. библиогр.
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математи-
ке для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1970. - 720 с.
5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные
задачи теории вероятностей. - М.: Радио и связь, 1983. - 416 с.
Рецензент: М.А. Подригало, професор, д.т.н., ХНАДУ.
Стаття надійшла до редакції 17 жовтня 2008 р.
