Структурное моделирование процессов теплопроводности с замыканием распределенных обратных связей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 613.21

А. Т. Лелеков

СТРУКТУРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАМЫКАНИЕМ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ

Предложена формальная методика построения моделей объектов с распределенными параметрами в виде структурной схемы. Представлен вариант замыкания распределенной обратной связи, обеспечивающий высокую точность моделирования при низких затратах вычислительных ресурсов.

При расчетах и моделировании реальных объектов и систем не всегда удается пренебречь их распределенностью в пространстве. Построение распределенных моделей объектов само по себе является достаточно сложной задачей, решение которой привело к широкому распространению приближенных методов моделирования объектов с распределенными параметрами (ОРП) [1...3]. При этом преобладающей тенденцией является стремление к построению эквивалентных сосредоточенных моделей, поскольку с их помощью можно описать ОРП простой сосредоточенной моделью с любой желаемой точностью и с сохранением ее аналитических свойств, а после аппроксимации применить привычный фундаментальный математический аппарат теории автоматического управления.

Решим в общем виде краевую задачу параболического типа методом Гринберга, или обобщенным методом Фурье [4] (при решении были использованы обозначения [5]). Для упрощения возьмем одномерную тепловую задачу.

Пусть имеем распределенную краевую задачу, описывающую процессы диффузии, с постоянными по времени коэффициентами, решение которой Т = Т (х, ,) удовлетворяет неоднородному дифференциальному уравнению (ДУ) в частных производных:

Ьх {Т}+М, {Т} = ^(х, ,), х е [с, ё], , е [0, ,

где Ьх {Т} и М, {Т} - линейные дифференциальные операторы:

К [Т } =

і

'э/

дх

Р (х )дТ V Ч (х )•т дх

/

М{ {Т} = А ^ + в — + СТ ; Э,2 д, ’

у которых функции р(х), р(х), д(х), г (х) непрерывны на интервале [с, ё ], р (х )> 0 , г (х )> 0 .

Кроме того, функция Т = Т (х, ,) удовлетворяет по переменной х граничным условиям (ГУ) одного из следующих типов:

- ГУ I рода

Т (х,, )|

- ГУ II рода

— Т (х, і) дх '

= ус (), т (x, і^ =у, ();

= Та(і);

д

- ГУ Ш-IV рода

дхт(х,і)-Ис •т(х,І)

_Э

дх

Т(х,і)-Иа • Т(х,і)

= Тс (і),

= Та(і)

а по переменной ґ - начальным условиям

Т(хіI=0 = Т0Ф(х), дт(х,і) = Ті¥(х),

дІ і=0

где Т0 и Ті - масштабные коэффициенты.

Пусть функцию внутреннего воздействия можно представить в виде F (х, і ) = а(і )Р(х), где Р(х) - известная аналитическая функция пространственного распределения входного воздействия, фиксированная на все время моделирования; функция а (і) - времязависимый компонент воздействия, который может иметь любой вид и быть заранее неизвестный. Таким образом, уравнение диффузии запишется в виде

К [Т}+М [Т} = а(і)р(х).

Преобразуем по Лапласу исходные уравнения задачи по переменной і. Получим Кх [Т}+Мэ [Т} = А(^)Р(х), или, с учетом вида выражения для оператора М1 [Т},

К Ім, [Т } = А + В — + СТ 1 ^ Т (2 + Вэ + С )-ді ді І

-Пэ • Ті^(х)- Е • Т0ф(х) =

= Т • Мэ ()-ТіП У(х)-Т0Е ф(х

1х [Т}+Т • МЛ, (э ) = А (э )в(х) +

+ТПэ у (х) + Т0Е • ф(х).

Рассмотрим соответствующую задачу Штурма-Лиу-вилля (разложение решения исходного однородного уравнения в ряд по собственным функциям по координате х с нулевыми ГУ) и найдем нетривиальные решения уравнения Кх [Х ( х)}+ XX(х) = 0 , удовлетворяющие нулевым ГУ. Запишем Кх [Т} в явном виде:

і

(1)

Іх)

р(х)X(х) J -ч(х)• X(х) или (рХ') + (Хг - ч )Х = 0

+ ХХ (х ) = 0,

(2)

удовлетворяющее соответствующим нулевым граничным условиям. При сделанных предположениях задача регулярна [4; 6] и имеет дискретный спектр собственных значений Хп . Пусть X = Хп (х) - собственные функции поставленной задачи. Найдем решение задачи по методу Гринберга [4] в виде

Т (х*) = ХС, )х. (х),

-=1

а

|г (х)Т(х, 5^ (х)ах т ^

IX- (х)!

IX- (х )11

Изображение времязависимого коэффициента Тп ^) получим по исходному уравнению задачи. Умножим выражение (1) на г (х)Xn (х) и проинтегрируем его по х :

(х)

' ( )дТ 1 ( ) г

Р (х Ь— Ч (х )•Т

дх

/

йх +

+І т • мэ (э )г (х )xn (х )ах =

с

а

= ІА (э )Р(х )г (х )Xи (х )йх +

с

а

+|Бэ• у(х)г(х)Xи (х)йх +

с

а .

+|Е-ф(х)г(х)Xи (х)йх.

с

Взяв по частям первый интеграл, имеем [4]:

X,, дТ - X:■ Т

4С М

+ 1 ( РX»,) - йх + М (э )|Т •

сЦ 4 4 2 4 4 43 с 4 2 43

-Xnг•Xn =-%пТп

A(s )|в(х )гХпёх + TlDs |^(х )гХпёх +

С #2 4 Я ^24«

Рп ¥п

ё

+Т0Е |ф(х )гХпёх

С #2 4 «

_ Фп

где Тп ^) , К , Рп > ¥п, Фп - функции координаты х . С учетом (2) получаем уравнение для Тп ^):

Т-М, (э)-ХиТи = А(э)р„ +5ТіП¥и + Т0Еф, -Оп (э).

В [4] показано, что функция Оп (э) имеет вид сп (э) = ®пгс (э) + ^пга (э), где коэффициенты га, и ^ находятся в зависимости от вида граничных условий задачи.

Таким образом, получаем следующее решение:

Т ( ) = А (э )Рп + эТ1П¥п + Т0ЕФп - гапГс (э )+ ^пГа (э )

п (э)= М5 (э)-Хп

Учитывая Сп (э), получим

Т(х,э) = У Тп (э)Хп (2х) = А()В(х,э) + Т1¥(х,э) +

п=і X (х)||

+Тoф(x,э)-Гс ()Цхэ)+Га ()S(x,э)•

Это выражение может быть представлено в виде структурной схемы (рис. 1).

Решение Т (х, э) получено путем подстановки интересующих значений координаты х и дальнейшего обратного преобразования Лапласа аналитически или численно. В статье [7] приведена структурная схема задачи нагрева бесконечного цилиндра, результаты моделирования и их сравнение с известными аналитическими решениями из монографии [5].

Представленный выше вид решения (2) и структурную схему (см. рис. 1) возможно получить и другими методами. Например, в [1] приведено доказательство правомерности такого подхода с использованием метода функций Грина. Там же введено понятие переходного х-блока с сосредоточенным управлением, если решение получено для всей области объекта, и переходного х£ -блока, если решение получено для конкретных значений точек х = хк.

Более сложная ситуация возникает, если убрать допущение об известном виде пространственно-зависимой

Начальные

условия

Внутреннее

управление

Граничное

управление

Рис. 1. Структурная схема решения распределений задачи без получения фундаментального решения: я - оператор Лапласа; Т (х, э) - изображение решения исходного ДУ процессов диффузии

Т

составляющей Р(х) функции внутреннего управления. В этом случае решение может быть получено в виде пространственной композиции, представляющей собой операцию пространственного интегрирования произведения функции Грина и Р(х) в пределах области объекта [1]. Эта операция сама по себе достаточно сложная, редко может быть решена аналитически, мало пригодна для инженерных расчетов и имитационного моделирования в пакетах прикладных программ, а затраты вычислительных ресурсов в этом случае сравнимы с методом конечных элементов.

В монографии [3] приведен инженерный метод имитационного моделирования, основанный на приближенном вычислении интеграла пространственной композиции. Для этого в области объекта выделяют точки или линии приложения воздействия (входы), интерполирующие функцию в (х). Далее подбирают некоторые весовые коэффициенты, при которых сумма функций отклика от приложенных в выбранных точках воздействий повторяет точное решение распределенной задачи. Точность решения определяется размерностью модели по входу, а функции отклика получают, интегрируя функцию Грина заранее.

Используя описанный выше метод получения структурной схемы распределенной задачи без получения фундаментального решения, можно получить решение даже при изменяющейся во времени зависимости в (х). Если функция внутреннего управления представлена в виде конечной суммы, то вследствие свойства линейности уравнения диффузии решение уравнения (3) будет иметь вид

Т(х) = ХАк ()Вк (^ ) + ^(хs) +

к

+Т0 Ф(^ s )-Г с ( •5' )+Г ё ( ^(^ •5' )•

Оно может быть представлено в виде структурной схемы (см. рис. 1), в которой функция внутреннего управления будет иметь к входов.

Удобный способ такой аппроксимации функции внутреннего управления - это приближение управления полиномиальной зависимостью по координате с времяза-

N

висимыми коэффициентами Г(х,,) = ^ак (,)хк.

к=0

Точность решения будет определяться только точностью аппроксимации, т. е. порядком многочлена k.

В любом случае при неизвестном заранее управлении должен производиться такой подбор коэффициентов

ак (), чтобы Г(х,г) = Хак ()вк (х), где вк () может

к

быть любой функцией. В модели должен быть реализован блок подбора ак (,), например с использованием методов Гаусса-Ньютона, Левенберга-Марквардта или модифицированных методов для аппроксимации полиномами.

Таким же образом через блок подбора ак (,) может быть заведена распределенная обратная связь. Используя теорему о непрерывной зависимости решения от параметров уравнения и правой части, можно сократить время вычислений, если производить поиск коэффициентов на г-м шаге ак (,,) в окрестности значений предыдущего шага интегрирования ак (,1-1).

Пусть функция внутреннего тепловыделения имеет

вид

Г (х,, ) = N {и (, )• V (х), Т (х,,)},

где N - некоторый оператор; и (,)• V (х) - внешний фактор тепловыделения; Т (х,,) - температура объекта. И пусть пространственную составляющую функции Г (х,,) можно интерполировать многочленом первого порядка Г (х,,) = а(,)х + Ь (,), где а и Ь - коэффициенты, зависящие от V и Т, т. е. Vи Т сами имеют линейный вид зависимости по координате. Тогда структурная схема объекта с замкнутой по Т (х,,) обратной связью будет иметь вид, показанный на рис. 2.

Г раничное управление

Блок подбора С и1

коэффициентов <—^—<— N {, Т, х}

а, Ь 1 1

Внутреннее

управление

и (* )

Рис. 2. Структурная схема объекта замкнутой по Т(х, {) обратной связью

В случае когда пространственная составляющая функции внутреннего тепловыделения имеет простой вид, алгоритм блока подбора коэффициентов можно записать аналитически и объединить его с оператором N в одну нелинейность. Помимо этого, разумным выбором координаты и количества точек х функции Г (х, s), т. е. переходом от бесконечномерного распределения х к вектору х = [х1, х2 ,К , хт ] ,по которым производится аппроксимация, можно существенно сократить размерность задачи, сохранив точность и быстроту решения.

Таким образом, сделаем следующие выводы:

- автором предложен метод, позволяющий рассчитывать передаточные функции объектов с распределенными параметрами, описываемые уравнениями диффузии с постоянными коэффициентами при входных воздействиях, приближаемых линейным оператором время-и пространственно-зависимой компоненты. Метод основан на решении задачи в области изображений без получения фундаментального решения, с допущением об известном характере пространственного распределения функции управляющего воздействия;

- представлен вариант замыкания распределенной обратной связи, основанный на представлении поля решения линейным оператором время- и пространственно-зависимой компоненты;

- предложенный метод позволяет существенно уменьшить размерность задачи, обеспечивает высокую точность моделирования при низких затратах вычислительных ресурсов, допускает простую реализацию в пакетах имитационного моделирования;

- модель объекта с распределенными параметрами может быть получена в аналитической форме, что по-

зволяет производить анализ системы при переменных коэффициентах дифференциального уравнения.

Библиографический список

1. Раппопорт, Э. Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами : учеб. пособие / Э. Я. Раппопорт. М. : Высш. шк., 2003.

2. Данилов, А. И. Моделирование объектов с распределенными параметрами. [Электронный ресурс] : компьютерный практикум по курсу «Теория управления» / А. И. Данилов. Электрон. док. Режим доступа : http:// www.exponenta.ru/educat/systemat/danilov/4.asp, свободный. Загл. с экрана.

3. Modeling, control and design of distributed parameters system [Electronic resource]: Internet monogr. / G. Hulko, C. Belavy, J. Belansky, et. al. ; Slovak Univ. of Technology. Electronic data. Bratislava, 2003. Mode of access : http:// www.dpscontrol.sk/book/Atitul.htm, free. Title from a display.

4. Голоскоков, Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple : учеб. для вузов / Д. П. Голоскоков. СПб. : Питер, 2004.

5. Лыков, А. В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. М. : Высш. шк., 1967.

6. Мартинсон, Л. К. Дифференциальные уравнения математической физики : учеб. для вузов / Л. К. Мартинсон. М. : Наука, 2002.

7. Лелеков, А. Т. Моделирование теплофизических характеристик никель-водородного аккумулятора эквивалентной электрической схемой / А. Т. Лелеков // Вестн. Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т им. акад. М. Ф. Решетнева / под ред. проф. Г. П. Белякова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Вып. 6. Красноярск, 2005. С. 139-142.

A. T. Lelekov

STRUCTURAL MODELING OF HEAT-TRANSFER PROCESSES WITH CLOSING DISTRIBUTED PARAMETERS FEEDBACK

The formal method for building structural-diagram models of distributed parameters objects is offered. The alternate technique of closing of distributed parameters feedback with high accuracy and small requirements to computational power is proposed.

Принята к печати в мае 2006 г.