СТРУКТУРНО-ВРЕМЕННáЯ ТЕОРИЯ РАЗРУШЕНИЯ КАК ПРОЦЕССА, ПРОТЕКАЮЩЕГО НА РАЗНЫХ МАСШТАБНЫХ УРОВНЯХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.42

Структурно-временная теория разрушения как процесса, протекающего на разных масштабных уровнях

Ю.В. Петров12, А.А. Груздков3, В.А. Братов12

1 Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, 199178, Россия

2 Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, 199034, Россия 3 Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Санкт-Петербург, 190013, Россия

В работе излагается структурно-временной подход к анализу многомасштабного характера процесса разрушения твердых тел. Предлагается практическая методика оценки прочностных характеристик материала на одном масштабном уровне по данным испытаний на другом уровне.

Ключевые слова: структурная макромеханика разрушения, динамическая прочность, структурно-временной подход, инкубационное время, иерархия масштабных уровней

Structural-temporal theory of fracture as a process occurring

on different scales

Yu.V. Petrov12, A.A. Gruzdkov3 and V.A. Bratov12

1 Institute of Problems of Mechanical Engineering RAS, St. Petersburg, 199178, Russia

2 St. Petersburg State University, St. Petersburg, 199034, Russia

3 St. Petersburg State Institute of Technology (Technical University), St. Petersburg, 190013, Russia

The paper reports on the structural-temporal approach to analysis of multiscale fracture of solids. A practical procedure is proposed for estimation of strength characteristics of material on one scale from test data on another scale.

Keywords: structural fracture mechanics, dynamic strength, structural-temporal approach, incubation time, scale hierarchy

1. Введение

Многочисленные исследования прочности материа-

лов и условий их разрушения, проводимые в последние десятилетия, выявили серьезные разногласия как отно-

сительно значений прочностных характеристик многих

материалов, так и относительно качественного характера зависимости прочностных характеристик от усло-

вий нагружения. Представляется, что одной из наиболее

важных причин разногласий является то обстоятельст-

во, что под одним и тем же термином «разрушение»

понимаются различные события, которым предшеству-

ют разные физические процессы, относящиеся зачастую к разным масштабным уровням.

Важность понимания разрушения твердых тел не как

критического события, а как процесса, протекающего

во времени на многих масштабных уровнях, в последние десятилетия была осознана многими исследователями. Проблеме описания иерархии различных уровней разрушения посвящены многочисленные работы [1-5]. Процесс разрушения не является простым, а представляет собой одновременное протекание процессов, которые характеризуются различными значениями характерного линейного размера, энергии активации, порогового значения напряжения, времени релаксации. Это обстоятельство во многом является причиной затруднений при попытках связать макроскопические параметры инженерных моделей с изучением процессов на микроуровне. Важным моментом является наличие масштабного эффекта, заключающегося в зависимости прочностных характеристик от размеров конструкции. Ис-

© Петров ЮЗ., Груздков A.A., Братов B.A., 2012

пытания, соответствующие ГОСТ, чаще всего проводятся на образцах лабораторных размеров. Однако измеренные в этих условиях параметры материала, вообще говоря, неприменимы для прогнозирования прочности выполненных из него микрообъектов, также как и крупномасштабных конструкций. Непринятие во внимание этого обстоятельства может приводить к ошибочным расчетам и даже являться причиной техногенных катастроф.

Ввиду трудности, а во многих случаях и невозможности проведения согласованных испытаний на многих масштабах появляется задача определения прочностных характеристик одного масштабного уровня по данным испытаний на ином уровне. Соответствующих методик, пригодных к непосредственному использованию в инженерной практике до настоящего времени не разработано. Отметим также, что общепринятых представлений о том, что именно считать различными масштабными уровнями разрушения, также не выработано.

Принципиально важными нам представляются следующие вопросы, ответам на которые посвящена данная статья: как выделить конкретный масштабный уровень, какие испытания являются корректными для данного масштабного уровня, можно ли установить связь между параметрами прочности на разных масштабах?

2. Структурная механика разрушения

Высокая степень универсальности уравнений механики сплошных сред имеет свою оборотную сторону — минимальное число параметров не позволяет описать многообразие свойств, проявляемых различными материалами. Действительно, движение линейно-упругой изотропной среды описывается уравнениями Ламе

ри = (X + ц)graddiv и + цАи, где и — вектор перемещений; р — плотность; X, ц — константы Ламе. Скорость продольной волны, несущей изменение объема, равна с1 =у/(Х + 2ц)/р, а поперечной волны — с2 = л/ц/р. Таким образом, описание всего многообразия материалов, имеющих различную структуру, сводится к значению двух параметров с1 и с2, а с учетом механического подобия—только к одному параметру— отношению скоростей продольной и поперечной волн.

Адекватное описание прочностных свойств требует введения дополнительных характеристик, учитывающих структурные особенности рассматриваемых материалов. Основные требования к таким характеристикам следующие — они должны обладать достаточной универсальностью, т.е. не должны зависеть от особенностей конкретных условий нагружения, их число должно быть небольшим, а значения должны допускать экспериментальное определение. С точки зрения практических расчетов, одной из важнейших характеристик является критическое значение напряжения — предел

прочности. Условие сохранения целостности в этом случае имеет вид:

°(0 <ас, (1)

где ст(0 — приложенное напряжение; ос — предел прочности. Однако в задачах, связанных с большими градиентами напряжений (например при наличии концентратора) или быстрыми перепадами нагрузки (высокая скорость напряжений), классический критерий критического напряжения оказывается неприменим.

Для тела с трещиной за условие разрушения (т.е. роста трещины) берется факт достижения критического значения коэффициентом интенсивности напряжений:

ВД < Кс, (2)

где К1(г) — текущее значение коэффициента интенсивности напряжений; К1с — его критическое значение. Критерий (1) применим для «бездефектных» твердых тел, а критерий (2) — для тел с макроскопическим дефектом типа трещины.

Наличие двух принципиально разных характеристик прочности ставит ряд вопросов: какой размер дефекта следует считать макроскопическим, каким условием разрушения пользоваться для задач, где напряжение имеет сингулярность отличную от случая плоской трещины (тело с угловым вырезом) и т.п.? Очевидно также, что, зная характеристики К 1с и ос, можно получить константу материала с размерностью длины

d = -К1с. (3)

П Ос

Введение характерного линейного размера в качестве параметра прочности материала позволяет дать единый критерий прочности твердых тел, переходящий в предельных случаях в (1) или (2):

-1 ] 0(5, г)& <0с. (4)

Критерий (4) предлагался в работах В.В. Новожилова [6], а еще ранее в работах Г. Нейбера. После того, как попытки связать параметр d с характерными размерами структуры материала (межатомные расстояния, размер зерна и т.д.) не имели успеха, был сделан вывод, что он является характеристикой самого процесса разрушения, точнее, того масштабного уровня, на котором происходит рассмотрение. Критерий (4) отражает дискретный характер процесса разрушения.

Аналогичная проблема возникает при рассмотрении динамической прочности твердых тел, например, при моделировании откольного разрушения. В случаях когда длительность внешнего воздействия достаточно мала, критерий (1) утрачивает силу— в течение короткого времени материал способен без разрушения выдерживать напряжения, существенно превосходящие статический предел прочности ос. Вероятно, наиболее ярко этот эффект проявляет себя наличием двух ветвей — статической и динамической на диаграмме долговеч-

ности, т.е. зависимости времени до разрушения от амплитуды приложенной нагрузки [7-9] (рис. 1). Для статической ветви время до разрушения может сильно варьироваться, в то время как разрушение происходит при одном уровне напряжений, соответствующих статическому пределу прочности. Для динамической ветви существенное изменение амплитуды напряжений не приводит к заметному уменьшению времени до разрушения, причем в ряде случаев регистрируется отсутствие разрушения при напряжениях, заметно превосходящих статический предел прочности.

Динамический рост предельного напряжения может качественно определяться критерием критического импульса, предложенного, например, в [10]:

г*

/ст(^ г < С, (5)

о

где г* — время до разрушения. Однако критерий вида (5), хотя и находится в качественном соответствии с экспериментальными наблюдениями, противоречит квазистатическому критерию (1) и потому применим лишь качественно для достаточно быстрого нагружения, т.е. он не описывает как статическую ветвь диаграммы временной зависимости прочности, так и переход к ней. При этом положение динамической ветви на диаграмме временной зависимости прочности оказывается неопределенным, и остается без ответа ряд существенных вопросов: какую длительность нагружающего импульса считать достаточно короткой, чтобы применять критерий (5); какое нагружение считать достаточно медленным, чтобы применять критерий (1); какой критерий использовать в промежуточном случае?

Эти проблемы могут быть решены, если наряду с пространственной структурой, задаваемой параметром d, ввести структурный параметр по оси времени [1113] — инкубационное время т. Единый критерий разрушения может быть записан в виде:

Т I °©^<°с- (6)

т г -т

6- *

4-

1 •1

2- 1 02

о V

J °' 1

СП 1

-2- 1 1

-4- 1 1 1

-6-

Э 200 400 600 800 1000 1200

°тах1 МПа

Рис. 1. Статическая и динамическая ветви откольной прочности для алюминия по данным работы [7]. Зависимость времени до разрушения от амплитуды напряжений: результаты квазистатических испытаний (1), импульсное растяжение (2)

Критерий (6) единым образом определяет как динамическую, так и статическую ветви [11].

Подход, основанный на понятии инкубационного времени, оказался эффективным для моделирования широкого круга физических явлений — текучести металлов, кавитации жидкостей, электрического пробоя и т.д. Полученные результаты обобщены во многих публикациях по структурно-временному подходу, в частности, в монографии [13].

Важно отметить, что в рамках данного подхода прочность материала определяется тремя характеристиками: статическим пределом прочности ос, характерным линейным размером d и инкубационным временем т, которые являются экспериментально определяемыми параметрами материала. Предел прочности может быть непосредственно определен по данным квазистатичес-ких испытаний, характерный линейный размер определяется сопоставлением данных для «бездефектных» образцов и образцов с трещинами, инкубационное время можно определить сопоставлением прочности, соответствующей двум различным скоростям нагружения. В общем случае критерий разрушения можно представить в виде [11, 12]:

Т- II о(х, г)йхйг >ос. (7)

т d х^ г -т

3. Масштабные уровни разрушения

Иногда упускается из виду то обстоятельство, что вопрос о значениях прочностных характеристик материала неизбежно связан с вопросом о том, что считать фактом разрушения. В квазистатических испытаниях под разрушением традиционно считается полное разделение образца на части (фрагментация). В то же время при проведении испытаний на откол момент разрушения обычно определяется скачком на осциллограмме скорости свободной поверхности образца, что соответствует образованию дефекта внутри образца. Поскольку образованию крупного дефекта предшествуют образование, рост и слияние дефектов меньшего масштаба, неизбежно возникает вопрос о критическом размере дефекта, появление которого можно считать макроскопическим разрушением. Этот вопрос связан, в свою очередь, с характеристиками используемой измерительной аппаратуры. Так, в предельном случае разрушением можно считать разрыв одной элементарной связи.

Проведенные расчеты показывают, например, что для полиметилметакрилата в условиях импульсного нагружения с длительностью в микросекундном диапазоне значительное изменение сигнала интерферометра, измеряющего скорость свободной поверхности, могут вызывать подповерхностные трещины размером в 100200 мкм. В связи с этим естественно ожидать, что при

▲ 1

▲ с 2

▲ • 3

▲ ■ 4

▲

—

_ Л -■ -

■■■ ■ ■

60 100 140 180 220

Амплитуда напряжения, МПа

Рис. 2. Наличие двух динамических ветвей откольной прочности для полиметилметакрилата: результаты квазистатических испытаний (1), откольное разрушение стержней (разделение на части) [8] (2), многоочаговый откол в пластинах [8] (3), данные работы [9] (4)

сопоставлении экспериментов по отколу в стержнях и пластинах может обнаруживаться заметное расхождение в положении динамической ветви. Такое расхождение действительно удалось выявить при обработке экспериментальных данных из работы [8] и сопоставлении их с данными [9] и других работ (рис. 2).

В рамках описанного выше структурно-временного подхода под разрушением на данном масштабном уровне понимается образование дефекта с характерным линейным размером d. Появление дефектов меньшего размера рассматривается как стадия предразрушения. Характерный линейный размер d, как указывалось выше, может быть определен соотнесением данных по квази-статическому разрыву «бездефектных» образцов и образцов с концентраторами напряжений (трещинами): 2/2

d ~ К1с/ стс. При этом важно иметь в виду, что некорректно соотносить прочность и трещиностойкость, взятые из испытаний на заведомо разных масштабах. Данному характерному линейному размеру разрушения d соответствует некоторое значение критического напряжения стс (статический предел прочности) и характерное время протекания подготовительных процессов т (инкубационное время). Эти параметры (стс, К1с, т) являются характеристиками прочности на данном масштабном уровне.

Поскольку под разрушением на данном масштабном уровне понимается образование дефекта с характерным линейным размером d, испытания образцов меньшего размера оказываются некорректными. Параметры, определенные по данным таких испытаний, будут соответствовать предразрушению и существенно отличаться. Следует также учесть, что в процессе разрушения может участвовать упругая энергия, запасенная в области, размеры которой не превосходят

D = т с,

где с — скорость упругой волны. Поэтому прочностные характеристики данного масштабного уровня корректно определять на образцах, размеры которых удовлетво-

ряют неравенствам d < L < D.

Таким образом, масштабный уровень разрушения определяется не одним, а двумя линейными размерами — верхним и нижним. Для корректного определения прочностных характеристик должны сопоставляться результаты испытаний, проведенных на одном и том же масштабном уровне. Определение параметров сопоставлением результатов испытаний, относящихся к различным масштабным уровням, является некорректным. Данное обстоятельство важно учитывать при планировании испытаний материалов.

Ясно, что имеет место иерархия масштабных уровней разрушения. Разрушению на большем масштабном уровне предшествует разрушение на меньшем (стадия предразрушения), формированию магистральной трещины предшествуют образование, рост и слияние микротрещин. Предполагаем, что верхняя граница масштабного уровня соответствует нижней границе следующего уровня, т.е. что иерархию масштабных уровней можно представить в виде:

... < ^-1 < Д-1 = ^ < Д = ^+1 < Д+ <....

Важным следствием данного предположения является то, что связь между различными масштабными уровнями осуществляется через инкубационное время. Более того, инкубационное время может быть определено сопоставлением данных квазистатических испытаний, соответствующих различным масштабным уровням:

т = Д =

'-I ~ ~ .

с с

Таким образом, по данным квазистатических испытаний, проведенных на различных масштабных уровнях, можно предсказывать результаты динамических испытаний и, наоборот, по данным динамических испытаний предсказывать прочностные характеристики следующего масштабного уровня.

Возможность установления связи между характеристиками различных уровней принципиально важна для инженерной практики. Параметры материала, определенные на лабораторных образцах стандартных размеров, могут оказаться непригодными для адекватного анализа характеристик крупногабаритных конструкций, что в настоящее время можно считать общепризнанным фактом.

4. Нелокальный вариант структурно-временного критерия

В ряде случаев для практической реализации требуется обобщение структурно-временного подхода на случай нелинейной механики разрушения. Такое обобщение может быть существенным при развитом пластическом деформировании, предшествующем разрушению (например, в очень вязких сталях), или при больших зонах процесса (например, в квазихрупких мате-

риалах, таких как бетоны и горные породы, которые отличаются ярко выраженной гетерогенной структурой). При этом большие зоны процесса, наблюдаемые на лабораторном уровне, стабилизируются для образцов большого размера и начинают работать как малые линейные размеры при разрушении на больших масштабах, что сопровождается картинами катастрофического хрупкого разрушения, как, например, при быстром распространении трещин в магистральных трубопроводах или разрушении больших бетонных плит [14, 15]. Для анализа разрушения в таких процессах эффективен «нелокальный» вариант структурно-временного подхода. В этом случае соответствующий критерий инкубационного времени записывается в виде:

I X

| | ст(х , (') /(х') dx'd{ > Gl т, (8)

I -т х-1р

где / (х) = -&м/ ёх — весовая функция модели раскрытия (с функцией раскрытия w = и’(х)), описывающая диссипацию энергии в зоне процесса; 1р — размер зоны процесса; Gl — удельная энергия разрушения. В работах [14, 15] предлагаются различные модели зоны процесса, выражающиеся по-существу в разных вариантах выбора весовой функции f (х). В простейшем частном случае линейной функции раскрытия /(х) = 1 и 01 = стс1р, где стс — временное сопротивление (квази-статическая прочность), а т — инкубационное время, найденные из лабораторных испытаний на статическую и динамическую прочность «бездефектных» стандартных образцов. Критерий (7), являющийся динамическим обобщением классических критериев линейно-упругой механики разрушения, получается из (8) в предельном частном случае линейного раскрытия и малой зоны процесса.

Рассмотрим удобный для практических качественных оценок случай линейного раскрытия. Будем считать, что при испытаниях достаточно больших для данного масштабного уровня образцов размер зоны процесса стремится к верхнему пределу [15]: 1р ^ ^ 1р ^ = Д = с т иGl ^ GD = стсД. Тогда для предсказания разрушения в достаточно больших конструкциях из нелинейных (вязких) материалов или хрупких материалов с большими зонами процесса можно в простейшем случае (линейной зоны процесса) воспользоваться предельным условием:

| ] ст(х'/) ёх'ёI' > GDт. (9)

I -т х-Д

5. Примеры анализа экспериментальных данных

5.1. Динамическая прочность полиметилметакрилата

Приведенные на рис. 2 данные по временной зависимости прочности полиметилметакрилата показывают, что двум динамическим ветвям соответствуют различные значения инкубационного времени — т1 ~ 0.8 мкс,

т2 = 30 мкс. Первое значение, как было показано в работе [16], соответствует характерному времени релаксации, определяемой микрорастрескиванием материала. Динамическая ветвь, соответствующая второму значению инкубационного времени была воспроизведена в исследовательском центре «Динамика» при испытаниях на откол стержней из полиметилметакрилата, в которых нагружающий импульс создавался магнитно-импульсной установкой. Следует отметить, что второе значение инкубационного времени практически совпадает со значением (32 мкс), определенным по испытаниям образцов с трещиной [17].

5.2. Моделирование распространения динамических трещин в магистральных трубопроводах

Диаметр труб, для которых выполнялся расчет, был равен 1.22 м, в развернутом виде они представляют стальные листы шириной около 8 м, что, разумеется, многократно превосходит размеры образцов для лабораторных испытаний. Трещина в трубопроводах может пробегать десятки метров, что делает натурные испытания чрезвычайно дорогостоящими. В лабораторных условиях были испытаны образцы трех марок стали — Х80, Х90 и Х100. Статический предел прочности составил соответственно — 625, 711, 748 МПа. Инкубационное время для всех испытанных материалов составило 15 мкс, модуль Юнга и коэффициент Пуассона — Е = = 2-1011 Па и V = 0.3.

Продвижение трещины влечет за собой падение давления в трубопроводе, что в конечном итоге приводит к остановке трещины. Хотя материал труб обладает достаточной вязкостью, разрушение крупногабаритной конструкции происходит за счет накопленной энергии деформации, т.е. по квазихрупкому сценарию. Для предсказания расстояния, которое успеет пробежать трещина до остановки, необходимо знать критический коэффициент интенсивности напряжений или характерный линейный размер зоны разрушения для данного масштабного уровня. Этот параметр был определен по описанной выше методике. Зависимость длины прорастания трещины от времени определялась на основе расчетов, проводимых методом конечных элементов (рис. 3).

Полученные результаты расчетов продемонстрировали хорошее соответствие с данными проведенных натурных экспериментов [18, 19]. Заметим, что непосредственное использование в расчетах трещиностой-кости, определенной на лабораторных образцах, оказалось бы, разумеется, совершенно неадекватным моделируемому процессу.

5.3. Динамическая прочность бетонов

Особо сильно масштабный эффект выражен для материалов с гетерогенной структурой, таких как бетоны и горные породы. В этом случае следует применять нелокальный критерий (9).

Рис. 3. Зависимость длины прорастания трещины от времени для различных марок стали (результаты расчета методом конечных элементов)

Рис. 4. Зависимость пиковой нагрузки от скорости нагружения: кружки — экспериментальные данные из [20], линия — расчет на основании критерия инкубационного времени

В работе [20] приводятся данные испытаний на разрушение образцов из высокопрочного бетона при различных скоростях нагружения. Испытания проводились по схеме трехточечного изгиба, поперечное сечение образцов— 100x100 мм, расстояние между опорами составляло 300 мм. Начальная длина трещины в балке составляла 50 мм. Нагружение образцов производилось силой, прикладываемой к ударнику, причем обеспечивалась заданная скорость перемещения точки контакта ударника и образца. Для шести различных скорос-тейперемещения точки контакта (5.5-10-7, 5.5-10-4, 1.74 -10—3, 8.81 -10-1, 1.76 и 26 м/с) определялась наибольшая сила, возникающая в ходе проведения эксперимента.

При анализе экспериментальных данных использовались следующие параметры материала (высокопрочный бетон): удельная энергия образования новой поверхности — 147.5 Н/м, прочность на разрыв — 6.8 МПа (Р = 40 кН/мм).

Для всех шести скоростей нагружения, реализованных в экспериментах, измеряемая зависимость перемещения точки контакта от нагружающей силы близка к линейной вплоть до момента разрушения образца.

Для каждой скорости нагружения, используя критерий инкубационного времени, можно рассчитать момент разрушения и пиковую нагрузку. Было найдено, что для испытываемого материала инкубационное время равно 1.3 мс.

На рис. 4 представлены расчетная и экспериментальная зависимости пиковой нагрузки от скорости нагружения. Видно, что они находятся в хорошем согласии.

Таким образом, для высокопрочного бетона было найдено инкубационное время процесса разрушения в условиях проводимых экспериментов (т.е. для данного масштабного уровня). Следуя изложенному выше подходу, можно определить верхний масштаб D, который согласно сделанному выше предположению является характерным размером дефекта d для следующего масштабного уровня: D = Ст.

Поскольку для высокопрочного бетона скорость продольной волны составляет с = 4.3 -103 м/с, нижний характерный размер следующего масштабного уровня оказывается равным 5.85 м. Это значение находится в хорошем согласии с многочисленными экспериментами, например [15], в соответствии с которыми для оценки условий разрушения конструкций из бетона с размерами начиная с 6 м возможно применение линейной механики разрушения, т.е. для анализа прочности бетонных конструкций с характерным размером более 6 м можно использовать модель однородного изотропного «бездефектного» материала. Этот факт служит подтверждением применимости разрабатываемого подхода для предсказания разрушения на следующем масштабном уровне.

6. Выводы

Хотя высказанные в работе идеи и полученные предварительные результаты требуют дальнейшего экспериментального и теоретического обоснования, можно зафиксировать ряд моментов, принципиально важных для исследования многомасштабной природы процесса разрушения:

- Корректное выделение масштабных уровней разрушения возможно только на основе учета динамических особенностей процесса и пространственно-временного подхода.

- Масштабный уровень определяется условиями экспериментального измерения параметров и характеризуется двумя линейными размерами — верхним и нижним.

- При тестировании материала необходимо отслеживать неявные (некорректные) переходы с одного масштабного уровня на другой, являющиеся следствием изменения условий эксперимента и техники измерений.

- Имеется принципиальная возможность прогнозирования динамики процесса разрушения на одном масштабном уровне по параметрам, определенным на другом. Разработка индустриальных способов такого прог-

ноза является важнейшей для инженерной практики задачей.

Литература

1. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Данилов В.И Структурные уровни пластической деформации и разрушения. - Новосибирск: Наука, 1990. - 255 с.

2. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 229 с.

3. Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление. - М.: Мир, 1989. - 488 с.

4. Кукуджанов В.Н. Компьютерное моделирование деформирования,

повреждаемости и разрушения материалов и конструкций. - М.: МФТИ, 2008. - 215 с.

5. Petrov Y.V., Gruzdkov A.A., Morozov N.F. The principle of equal powers for multilevel fracture in continua // Doklady Physics. - 2005. -V. 50. - No. 9. - P. 448-451.

6. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой

прочности // ПММ. - 1969. - Т. 33. - № 2. - С. 212-222.

7. Златин Н.А., Мочалов С.М., ПугачевГ.С., БраговА.М. Временные закономерности процесса разрушения металлов при интенсивных нагрузках // ФТТ. - 1974. - Т. 16. - № 6. - С. 1752-1755.

8. Беллендир Э.Н. Экспериментальное исследование хрупкого разру-

шения твердых тел в волне растягивающих напряжений / Дис. канд. физ.-мат. наук. - Л.: ФТИ им. А.Ф. Иоффе АН СССР, 1990. -171 с.

9. Евсеенко Е.П., Зилъбербранд Е.Л., Златин Н.А., ПугачевГ.С. Дина-

мическая ветвь временной зависимости прочности полиметил-метакрилата // Письма в ЖТФ. - 1977 - Т. 3. - № 14. - С. 684687.

10. НикифоровскийВ.С., ШемякинЕ.И. Динамическое разрушение твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1979. - 291 с.

11. Петров Ю.В. О «квантовой» природе динамического разрушения хрупких сред // Докл. АН СССР. - 1991. - Т. 321. - №1. - С. 6668.

12. Petrov Y, Morozov N. On the modeling of fracture of brittle solids // ASME J. Appl. Mech. - 1994. - V. 61. - P. 710-712.

13. Bratov VA., MorozovN.F., Petrov Y.V Dynamic Strength of Continuum. - St-Petersburg: St-Petersburg University Press, 2009. - 224 p.

14. Karihaloo B.L. Size effect in shallow and deep notched quasi-brittle structures // Int. J. Fract. - 1999. - V. 95. - P. 379-390.

15. KarihalooB.L., AbdallaH.M., Xiao Q.Z. Deterministic size effect in the strength of cracked concrete structures // Cement. Concrete Res. - 2006. - V. 36. - P. 171-188.

16. Глебовский П.А. Микрофизические особенности разрушения при импульсном нагружении // Вестник молодых ученых. Т. 12. Прикладная математика и механика. - 2003. - № 2. - С. 49-54.

17. Кривошеев С.И., МорозовН.Ф., Петров Ю.В., Шнеерсон Г.А. Инициирование разрушения твердых тел при интенсивном импульсном нагружении // Изв. РАН. Механика твердого тела. -1999. - Т. 65. - № 5. - С. 165-172.

18. Abakumov A.I. Numerical Simulation of Crack Propagation in Trunk Gas Pipelines // Proc. 16th Int. Conf. Pipes 2008, 15-17 September 2008, Chelyabinsk, Russia.

19. Igi S., Akiyama T. Dynamic Ductile Fracture Analysis for Large Diameter X80 Pipelines // Proc. 16th Int. Conf. Pipes 2008, 15-17 September 2008, Chelyabinsk, Russia.

20. Ruiz G., Zhang X., del Viso J., Yu R., Carmona J. Influence of the loading rate on the measurement of the fracture // Anales Mec. Fract. -2008. - V. 25. - P. 793-798.

Поступила в редакцию 27.01.2012 г.

Сведения об авторах

Петров Юрий Викторович, чл.-к. РАН, д.ф.-м.н., зав. отд. ИПМаш РАН, проф. СПбГУ, yp@yp1004.spb.edu

Груздков Алексей Андреевич, д.ф.-м.н., доц. СПбГТИ(ТУ), gruzdkov@mail.ru

Братов Владимир Андреевич, к.ф.-м.н., снс ИПМаш РАН, доц. СПбГУ, vladimir@bratov.com