Структурно-параметрический синтез системы управления с учетом инвариантного множества Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 225-237 Прикладная математика и информатика

УДК 519.81

Структурно-параметрический синтез системы управления с учетом инвариантного множества

М. В. Грязев, О. А. Кузнецова

Аннотация. Рассмотрены вопросы структурно-параметрического синтеза системы управления динамическим объектом с учетом инвариантного множества. Многокритериальная оптимизация осуществляется на основе использования точек ЛПТ-последовательности.

Ключевые слова: ЛП Т-последовательность, пространство

параметров, оптимизация, оптимальное управление, макропеременные.

Введение

Задача управления динамическим объектом заключается в построении такой системы управления, которая реализует оптимальные режимы функционирования с учетом неопределенности внешних факторов и параметров модели и требуемых показателей качества. Задачи оптимального управления могут быть решены с использованием ЛПт-оптимизации.

Многокритериальная оптимизация сложного динамического объекта в первую очередь связана с формированием эффективного множества расчетных вариантов (критериев), на котором принимают окончательное решение.

1. Структура модели управления

Динамические объекты имеют сложную структуру, в состав которой входят источники энергии, элементы, доставляющие энергию к исполнительному органу и упругие связи. Л.А. Растригин в работах по оптимальному управлению сложными объектами [1,2] ввел определения модели, параметров и структуры объекта. Модель объекта управления необходима для синтеза управления. Только с помощью модели объекта можно построить управление и, переводящее сложный объект в требуемое (целевое) состояние объекта, определяемое критериями или одним критерием.

Под моделью системы управления динамическим объектом будем понимать зависимость F, связывающую состояние у с его входами -неуправляемым x и управляемым и:

у = F (x,u).

Для статических объектов F — функция, а для динамических F — является оператором.

Зависимость F определяется некоторым алгоритмом, который указывает, как располагая информацией о входах x и и, определить выход у. Вид

этого алгоритма с точностью до его параметров определяет структуру F.

Если процесс управления объектом представить моделью, то процесс синтеза зависимости F модели управления сводится к определению структуры st этой модели и ее параметров A = (a1,...,ak), т.е. оператор модели F представляется парой

F = (st, A), (1)

а связь входов и выходов модели (1) виде

у = Fst(x,u,A). (2)

Систему управления объектом можно характеризовать структурными категориями: линейность, статичность, детерминированность, дискретность. Например, для линейной, статической, непрерывной, детерминированной модели структура однозначно определяет следующий вид для F : у = = aixi + ... + anxn, причем конкретные значения параметров a1,...,an структурного синтеза пока несущественны. Важен лишь вид зависимости F от этих параметров и входов.

Сам по себе структурно-параметрический синтез модели является сложным и многоэтапным процессом и подразумевает следующие подэтапы:

- определение входов и выходов объекта, т.е. синтез модели на уровне «черного ящика»;

- экспертное ранжирование входов и выходов объекта;

- декомпозиция модели;

- выбор структурных элементов модели.

При этом следует рассматривать следующие задачи оптимизации:

- параметрическая: A = var, st = const;

- структурная: st = var, A = const;

- структурно-параметрический синтез: st = var, A = var.

Если множество структур st содержит только одну структуру, |st| = 1, то получаем задачу параметрического синтеза системы управления.

Рассмотрим вопросы анализа и синтеза, когда объект управления имеет математическое описание в форме дифференциальных уравнений.

2. Свойства динамического объекта

Динамический объект задан в виде системы дифференциальных уравнений (3), начального состояния (5), установлены критерии качества управления (8) и ограничения (9). Если считать, что для измерения доступны все координаты динамического объекта, то необходимо к системе уравнений объекта (3) добавить уравнение регулятора (4):

х = /(х, п), (3)

у = х(ж,п), (4)

где х = [хі,...,хп]Т — вектор параметров объекта в пространстве

состояний, х Є Еп, п = [п1,...,пг]Т — вектор управления, п Є и С Ег,

и — ограниченное замкнутое множество, /(х,п) = [/1(х,п),...,/п(х,п)]Т, х(х,п) = [х1(х,п),... ,хі(х,п)]Т — вектор функции, соответственно размерности п и I, описывающий непрерывное однозначное отображение [3]:

/(х, п): Кп х Ег ^ Еп,

х(х, п): Еп х Кг ^ Е1.

Каждая такая система уравнений удовлетворяет условиям существования решений, отвечающих любой совокупности начальных данных

х0 = [хі,..., хп]Т, х0 Є Еп, і ^ 0. (5)

Каждое управление п и пара начальных данных х0, і° определяют полное

движение системы х, п, т.е. кривую в п + г-мерном пространстве [4].

Система алгебраических уравнений (4) для рассматриваемого варианта является моделью наблюдателя. Для объекта управления (3), (4) добавляем модель регулятора следующего вида:

Р = Ч'Р,У), (6)

п = Y(Р,У), (7)

где р = [р1,... ,Рд}т — вектор состояния регулятора, р Є Ед.

Для системы дифференциальных уравнений регулятора (6) заданы нулевые начальные значения

р° = 0Т = [ 0,..., 0 ].

д

Оценка режимов управляемого динамического объекта определяется критериями следующего вида [5-7]

Ф(п)і = &і(х(іу)) + ! ¥і(х(і), п(і)) (І ^ шіп, і = 1,ш, (8)

где Ьу — длительность процесса управления. Первое слагаемое выражения (8) характеризует точность управления конечным состоянием системы. Второе слагаемое определяет качество процесса управления на интервале [0, Ьу] и выполнение ограничений

о

Необходимо найти оптимальное управление и(х, Ь) за счет решения оптимизационной задачи (3)—(8) с учетом соответствующих ограничений. Считаем, что определен класс однозначных отображений

где А — вектор параметров, вЬ(х, А): Ет х Кп ^ Кп.

Обобщением уравнения (10) может служить ситуация [1], которая определяет возможности анализируемой системы от контролируемых и неконтролируемых факторов. Если рассматривать, что можно подразделить 5 на два подмножества ситуаций - управляемых Js, когда заданная цель всегда достигается и неуправляемых Js-, когда цель не достигается.

Решение задачи (3)-(9) представляет оптимальное множество Парето

Критерии (8) и ограничения (9) должны выполняться при работе регулятора, обеспечивающего достижение цели управления. Решением исходной задачи оптимального управления является построение такой системы уравнений (6), (7) для которой первоначально не заданы

размерность ц и конкретный вид соотношений. Единственным свойством системы уравнений (6), (7) является то, что она описывает непрерывное, не обязательно дифференцируемое, однозначное отображение:

Необходимо при поиске вида уравнений (5) учитывать ограничения на управление, п Є и.

В [8] приведен пример для регулятора, который определяется в классе типовых линейных звеньев, а система уравнений (6) может быть заменена следующей системой

где С(() — матрица размерности д х д, элементы которой зависят от значений вектора ( = [(1,..., (,с}Т искомых параметров, ( Є Б С Ес, Б — ограниченное множество значений параметров, Н — постоянная матрица размерности I х д. Регулятор (6), (7) может искаться в классе адаптивных,

Іу

(9)

Б = [віі (х, А): і = 1, ш},

(10)

Р = [зіїі. (х, А) Є Б: і = 1,ш, і = 1, п}.

(11)

\(р, у): Ед х Е1 ^ Ед, у(гр, у): Еп х Ег ^ Ет.

р = С(й)р + Ну,

нелинейных, а также других видов регуляторов. Система уравнений (6), (7) с неизвестной правой частью в этом случае заменяется системой с заданным видом правой части, но с неизвестными значениями параметров:

р = \(р,<1,у), и = ч(р,й, у),

где векторные функции правых частей выбираются из заданного множества структур.

В работах [9,10] приведены исходные положения оптимизации систем с учетом нескольких критериев. Многокритериальная оптимизация

электромеханической системы и электропривода приведена в [11-14].

В [15,16] приведены обобщения по формированию ЛПТ- поиском решения задач оптимизации параметров и синтеза закона управления динамическим объектом. Реализация ЛП Т - поиска осуществляется в программном

комплексе АМИПП [17-19], в котором выполняются действия, связанные с поиском оптимальных параметров А при известной структуре вЬ объекта.

Примеры оптимизации различных объектов показывают, что оптимизация достигает определенного уровня улучшения критериев. Вопросы дальнейшего поиска оптимальных параметров связаны с

незначительными улучшениями отдельных критериев [16].

Также установлено, что дальнейшее улучшение критериев связано в первую очередь с изменением структуры решаемой задачи, с изменением функциональных связей элементов, т.е. с рассмотрением новой структуры.

При параметрической оптимизации осуществляется поиск параметров А при неизменной структуре ^ = (вЬ,А), где А — варьируемые, а вЬ — постоянные параметры.

Математическое описание динамического объекта принято в следующем виде

Х(Ь) = fst(x,t,A), (12)

а для управляемого динамического объекта целесообразно иметь

Х(Ь) = fst(x,t,u,A). (13)

В этом уравнении предполагается, что воздействие на объект осуществляется управляющим воздействием и, варьируемые параметры которого вынесены в А. Уравнение (13) отражает процесс управления.

Задача параметрического синтеза относится к классу задач нелинейного программирования, а задача структурно-параметрического синтеза - к классу задач смешанного программирования [8].

Исходная система дифференциальных уравнений (3) динамического объекта должна быть преобразована с учетом цели управления, списка варьируемых параметров, параметрических, функциональных ограничений, а также ограничений на управляющие воздействия.

Перепишем исходные уравнения (3) в следующем виде

х к (і) = /к (хі, ...,хп) + Ск мк (і),

к = 1,..., у — 1, у ^ п,

х к+і(і) = /к+і(хі ,...,хп)+ Ьк+іпк+і + Ск Мк (і), к = 1,...,у — 1, у ^ п,

х п(і) = /п(хі, ...,хп)+ Ь,пп,п + Сг Мг (і),

где ик+1,... ,ип — управления, Ы\,..., Мг — внешние возмущающие воздействия.

К системе уравнений (14) необходимо добавить уравнения, учитывающие проблему предсказания и подавления возмущений:

Конечное соотношение между переменными Х1,...,Хп, т.е. 'фs(Хl, ... ..., Хп) называется инвариантным [20-22] по отношению к исходным дифференциальным уравнениям (14), если все их решения удовлетворяют равенству ф = 0 при любом значении переменной Ь. Многообразие ф = 0 отражает некоторое свойство, характерное только для тех решений системы

(15), начальные условия которых подчиняются соотношению ф = 0. В фазовом пространстве (интегральные кривые) многообразия ф = 0 описывают гиперповерхность, размерности п — 1.

Для того чтобы многообразие было инвариантным необходимо и достаточно [22], чтобы функция ф(Х1,... ,Хп) оставалась равной нулю при изменении Ь для всех тех управлений, начальные условия которых обращают эту функцию в ноль. Это утверждение эквивалентно тому, чтобы для всех указанных решений полная производная от ф по Ь

(14)

І (і) = Зі (гі,..., гг ,хі,.. .,хп), і = 1,...,г.

Поэтому система уравнений объекта примет вид

(і) = Зі(гі,..., г<і,хі,.. .,хп),

хі (і) = /і(хі,...,хп) + гі,

хі+і(і) /i+l(xl, . . . , хп) + пі+і + гі+і;

І = 1,...,(;

і = ( + 1,... ,у, у ^ п;

(15)

хп(і) = /п(хі, ...,хп)+ пг + гл.

3. Структурно-параметрический синтез

взятая в силу уравнений (14)

вф п дф(хі,... ,хп)

Еі(хі,.. .,хп),

(16)

ві ^ дхі

і=і

должна быть тождественно равна нулю [21].

В общем случае [21] производную (16) можно приравнять некоторой произвольной функции Ф(ф,Х1,... ,Хп), обращающейся в ноль на заданном интегральном многообразии, т.е.

где Ф(ф, Х1,..., Хп) = 0.

Поиск инвариантного многообразия с использованием уравнений (16) или (17) допускает обобщение на несколько функций. Если объект управления имеет т каналов управления

Хг(Ь) = Ь(Х1,...,Хп) + и (Х1,...,Хп), г = 1,п, з = 1, т, т<п, управление и выбрано, то система (15) примет вид

где Яг = ^ + из.

Построенная расширенная модель (15) позволяет сформировать задачу синтеза законов: требуется найти такой вектор управления и(и,1,... ,и^), который обеспечивает перевод изображающей точки расширенной системы из произвольного исходного состояния (в допустимой области) сначала на целевые инвариантные множества

а затем в результате движения вдоль фs = 0 (21) попадания изображающей точки в заданное конечное состояние [21].

Применение ЛПТ-поиска в задачах управления рассматривалось в работах [23-25]. Анализ особенности многокритериальной оптимизации параметров устанавливает, что оптимальная совокупность параметров формировалась критериями и их ограничениями. Следовательно, набор критериев (8) придает оптимизируемой системе требуемые свойства. Оптимальный вариант выбирается из множества Парето (11). Введение критериев при оптимизации эквивалентно введению макропеременных, уравнений движения и сопровождающего функционала, что позволяет существенным образом влиять на управление. Возникла необходимость разработать методологию ЛПТ-поиска решения задачи формирования оптимального закона управления.

Еі(хі, ...,хп) = Ф(ф,хі,.. .,хп), (17)

ві ' дхі

і=і

х і(і) = Еі(хі, ...,хп),

(18)

ф3(хі,... ,хп, гі,..., гг) = 0, в = 1,у, у ^ п,

Формирование макропеременных определяется основными целями управления. Относительно макропеременных необходимо различать внешнее и внутреннее управление.

Можно привести несколько форм записи в форме уравнения с учетом внутренней переменной

Фз = Ъ\(Хг+1 - У\) + ... + (Хп - Уи), в = (19)

или

п

Фз = Е взк Хк + Сз(Х1,...,ХД (20)

к=1

где 7з, — весовые коэффициенты, и, £ — «внутренние» управления.

Движение изображающей точки синтезируемой системы должно удовлетворять системе функциональных уравнений относительно макропеременных

Тзфз(Ь) + £з(фз)=0, в = 1,...,у. (21)

Уравнения (21) являются уравнениями Эйлера-Лагранжа и доставляют минимум сопровождающего функционала (22), который отражает интегральные свойства синтезируемой системы

т

ъ = /1Е £2(Фз) + Е т2Ф2(1) + и

з=1

з=1

м.

(22)

2

0

Уравнения определяют устойчивые экстремали фз(Ь), доставляющие минимум сопровождающего функционала (22), с выполнением ранговых условий [21], уравнения (21) определяют в фазовом пространстве координат х1 ,... ,хп некоторое п — т-мерное многообразие переменных, образованное интегральными кривыми системы (21), из которых только одна проходит через данную точку указанного многообразия. В окрестности этого многообразия функции фз непрерывны вместе с производными ^Ха., джг ,

..., , в = 1, т, т.е. Нш Фз(х1, . . . ,Хт) = Фз(а1,...,йт).

дХп Ха^Ча

Исходя из приведенных уравнений (19)—(22) в систему уравнений (15) добавляем уравнения, которые определяют макропеременные и управление:

% (1) = 9] Ы,... ,Хг ,Х1,.. .,Хп), 3 = 1,...,г;

Хк(1) = !к(х1,...,Хп) + СкМк(г), к = 1,...,у — 1, у ^ п;

Х к+1(г) = !к+1(х1 ,...,Хп)+ Ък+1Пк+1 + Ск Мк (г), к = 1,...,у — 1, у ^ п;

Хп(1) = !п(Х1, ...,Хп)+ ЪпПп + Сг Мг (г),

Фз(г) = —1/Тз£з(Фз), в = 1,..., у;

ф(гъ = £ £2(Фз) + £ Т?ф2(г) + и2.

з=1 з=1

(23)

При необходимости к системе уравнений (23) добавляются критериальные уравнения, учитывающие энергетические и другие свойства.

Разработанная модель оптимизационного расчета обладает следующими особенностями:

- обеспечивает учет нескольких критериев, имеющих разную физическую природу,

- обеспечивает учет желаемых свойств движения системы,

- выполняет учет влияния внешних возмущающих факторов за счет перевода их в дифференциальные уравнения,

- возможность управления не только координатами системы, но и внутренними (производными) координатами.

Отличительная особенность постановки проблемы синтеза системы состоит в способе генерации такой совокупности обратных связей - законов управления и(ф) = и(х), которые переводят систему из произвольного исходного состояния в окрестность желаемых многообразий фз(х) = 0, а затем обеспечивают асимптотически устойчивое движение вдоль этих многообразий вплоть до попадания на заданный аттрактор.

Необходимо, опираясь на модель объекта и системы управления сформировать закон управления и.

Возможны следующие решения данного вопроса:

- управление и может иметь скалярную и векторную форму реализации;

- управление и может иметь аналитическую зависимость и от координат и внешних факторов;

- при формировании закона управления могут закладываться принцип «черного ящика»;

- использовать создание структуры с генетическим алгоритмом;

- поисковый метод в сочетании с аналитическим способом формирования структуры.

Задача поиска оптимального закона управления может решаться различными методами, которые широко представлены в соответствующей литературе, например в юбилейном выпуске [26].

Исходя из сформулированной ранее цели управления, рассмотрим схему поиска оптимального закона управления методом ЛПТ- поиска применительно к задаче структурно-параметрического синтеза системы управления динамическим объектом.

На этапе поиска структуры управления используем принцип декомпозиции расширенной системы [21]. Размерность декомпозиция определяется соотношением

ё1шИ = п + г — Хш, (24)

где п + г — размерность исходной расширенной системы, ш — размерность вектора управления, Х — число вводимых инвариантных многообразий.

Из соотношения следует, что с увеличением числа каналов управления процесс динамической декомпозиции системы значительно ускоряется, а процедура аналитического синтеза векторных законов управления существенно упрощается.

Выполняются обратные действия с полученными уравнениями (15) и уравнениями расширенной системы (23), отсюда получим, что уравнения вычисляются по формулам

иг+\ = —^+1(Х1, . . . , Хи) — 2у+1 — И1/И,

...................................... (25)

ии = —/и(х1, . . . , Хи) — — /

где

111 112 . . 11т Ф1 112 . . 11т

И = 121 122 . . 12т = 0, И1 = ф2 122 . . 12т

1т1 1т2 . . 1тт Фт 1т2 . . 1тт

= 0, при Ф8 = 0,

111 112 . . 11,т-1 Ф1

Ии = 121 122 . . 12,т-1 Ф2

1т1 1т2 . . 1т,т-1 Фт

= 0, при Ф8 = 0,

Ф« = 1(^ + %2 и2&) + ... + 7зпйи{£) — -1 Фз(^з).

тя

Выражения (25) позволяют установить перечень элементов, входящих в управления и соотношения между элементами.

На основании уравнения (25), введем следующую запись для управления в виде

и г

и = ^2 агХг + Е С3 г3.

1=1 з=1

Коэффициенты параметров хг, образуют многомерное пространство

варьируемых параметров аг, с^ € А. Решение исходной задачи (3)-(9) выполняется ЛПТ-поиском с использованием равномерного зондирования пространства параметров А точками ЛПТ-последовательности. Решение задачи (3)-(9) представляет оптимальное множество Парето (11), на основе которого окончательно принимается решение относительно вектора управления и = {вЬ, А).

Заключение

Дополнение исходной системы дифференциальными уравнениями макропеременных позволяет построить желаемое движение системы. Решение (25) определяет вид зависимости и значения параметров А управления от координат и внешних факторов. Для поиска решений используется программный комплекс, основанный на использовании ЛП Т-поиска.

Список литературы

1. Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами. М.: Сов. радио, 1980. 232 с.

2. Растригин Л.А. Адаптация сложных систем. Рига: Зинатне, 1981. 375 с.

3. Методы классической и современной теории автоматического управления:

Учебник в 5-и тт. Т.4: Теория оптимизации систем автоматического

управления / под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 744 с.

4. Зубов В.И. Лекции по теории управления. СПб.: Лань, 2009. 496 с.

5. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960. 400 с.

6. Грязев М.В., Кузнецова О.А. Применение ЛП т- последовательности при оптимизации динамического объекта // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 142-153.

7. Грязев М.В., Кузнецова О.А. Возможность использования ЛП т-последовательности при оптимизации динамического объекта // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 1. С. 137-147.

8. Дивеев А.И., Софронова Е.А. Задача структурного синтеза системы автоматического управления // Вестник РУДН. Сер. Инженерные исследования. 2007. № 1. С. 48-58.

9. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969. 288 с.

10. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями: учебное пособие для вузов. М.: Дрофа, 2006. 175 с.

11. Грязев М.В., Кузнецова О.А. Формирование оптимального управления электромеханическими системами // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. 5. С. 130-135.

12. Кузнецова О.А. Многокритериальная концепция энергоэффективных режимов электроприводов // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып. 6. Ч. 1.

С. 191-196.

13. Кузнецова О.А. Энергетические особенности регулируемого электропривода // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып. 6. Ч. 1. С. 196-203.

14. Грязев М.В., Кузнецова О.А. Оптимальное управление асинхронным электроприводом // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып. 5. Ч. 2.

С. 212-220.

15. Кузнецова О.А. Многокритериальная оптимизация асинхронного электропривода. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. 104 с.

16. Кузнецова О.А. Адаптивный метод исследования пространства параметров. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. 288 с.

17. Афанасьева С.М., Кузнецова О.А. Программный комплекс многокритериальной оптимизации // Сб. научных трудов SWorld по материалам международной научно-практической конференции. Одесса: КУПРИЕНКО, 2013. Т. 9. Вып. 1.

С. 22-24.

18. Кузнецова О.А., Сушкин В.А. Диалоговая система многокритериальной оптимизации и синтеза оптимальных законов управления // Сб. научных трудов Sworld по материалам международной научно-практической конференции. Технические науки. Одесса: Черноморье, 2010. Т. 4. С. 47-55.

19. Кузнецова О.А. Формирование управления в пространстве варьируемых параметров // Сб. научных трудов Sworld по материалам международной научно-практической конференции. Технические науки. Одесса: Черноморье, 2010. Т. 5. С. 61-63.

20. Синергетические методы управления сложными системами: Механические и электромеханические системы / под общ. ред. А.А. Колесникова. М.: КомКнига, 2006. 304 с.

21. Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управления / под ред. А.А. Колесникова. Ч. II. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. 559 с.

22. Колесников А.А. Синергетические методы управления сложными системами: Теория системного синтеза. М.: КомКнига, 2006. 240 с.

23. Грязев М.В., Кузнецова О.А. ЛП т- поиск при решении задач оптимального управления динамическим объектом с упругими связями // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 1. С. 148-160.

24. Кузнецова О.А., Сушкин В.А. Формирование оптимального управления асинхронным электроприводом средствами АМИПП // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2010. Вып. 3. Ч. 1. С. 160-167.

25. Хлебников М.В., Поляк Б.Е., Кунцевич В.М. Оптимизация линейных систем при ограниченных внешних возмущениях (техника инвариантных эллипсоидов) // Автоматика и телемеханика. 2011. № 11. С. 9-59.

Грязев Михаил Васильевич ([email protected]), д.т.н., профессор, ректор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Кузнецова Ольга Алексеевна ([email protected]), к.т.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Structured-parametric syntheses managerial system with provision for invariant ensemble

M.V. Gryazev, O.A. Kuznetsova

Abstract. The Considered questions structured-parametric syntheses managerial system by dynamic object with provision for invariant ensemble on several criterion. The Method is founded on use to Sobol sequences.

Keywords: Sobol sequences, method of parameters’ space, optimization, optimal control, macrovariable.

Gryazev Michael ([email protected]), doctor of technical sciences, professor, rector, department of mathematical modeling, Tula State University.

Kuznetsova Olga ([email protected]), candidate of technical sciences, associate professor, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 07.05.2014