ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ И СИНТЕЗ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ $\mbox{ЛП}_{\tau}$-ПОИСКА И ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДИНАМИЧЕСКОГО "РАСШИРЕНИЯ СЖАТИЯ" ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА ДИНАМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 214-224 Прикладная математика и информатика =

УДК 519.81

Оптимизация параметров и синтез закона управления методом ЛПт-поиска и применение принципа динамического «расширения — сжатия» фазового пространства динамического объекта

М. В. Грязев, О. А. Кузнецова

Аннотация. Рассмотрены вопросы оптимизации параметров и синтез закона управления методом ЛПТ-поиска и применение принципа динамического «расширения - сжатия» фазового пространства динамического объекта. Метод основан на использовании точек ЛПТ-последовательности.

Ключевые слова: ЛП Т-последовательность, пространство

варьируемых параметров, оптимизация, оптимальное управление.

Введение

Построение эффективных систем управления (регуляторов) различных объектов связано в первую очередь с удовлетворением совокупности технических требований, которые определяют качество движения в переходном процессе и в установившемся режиме работы. Требования к переходным и установившимся режимам настолько разнообразны, имеют противоречивый характер, что существенно затрудняет построение системы управления с помощью одного неизменного для всех режимов работы критерия качества. Проблема многокритериального управления возникает также, если цели и критерии управления достаточно сложны и требуемое поведение системы на всем интервале ее функционирования не сводится к стандартным задачам управления.

Проблема синтеза регуляторов является кардинальной в теории и технике построения сложных систем автоматического управления (САУ)

[1]. В работах А.М. Летова, Р. Калмана была впервые поставлена, а затем в работах А.А. Красовского, М.М. Атанса, П. Фабла получила существенное развитие теория аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР). Обширный обзор работ, связанных с оптимальным управлением динамических объектов, приведен в журнале «Автоматика и телемеханика»,

посвященной памяти А.М. Летова [2]. Эта теория, согласно определению А.М. Летова, представляет собой процедуру синтеза закона управления в функции координат состояния объекта чисто аналитическим путем, т.е. на основе математического анализа, исходя из единых требований к качеству переходного процесса в форме минимума некоторого выбранного оптимизирующего функционала (критерия качества) [1,3—7].

В работах [8,9] А.А. Колесниковым предложен конструктивный подход к решению обозначенной проблемы. При этом подходе реализуется переход от задачи управления непосредственно самими переменными в пространстве состояний к управлению агрегированными макропеременными, которые задаются в виде некоторых априори функций фазовых координат и некоторых параметров обратных связей.

В [6,10] предложен другой подход решения исходной проблемы, в которой рассмотрен численный метод структурно-параметрического синтеза системы управления. Метод основан на построении множества функциональных зависимостей управления от координат пространства состояний и поиске решения на этом множестве. При поиске решения в построенном множестве используется генетический алгоритм. В отличие от задачи вариационного оптимального управления, в [10] учитываются в формулировке задачи все свойства синтезированного управления.

Оптимизация, основанная на ЛПт- последовательности (в англоязычной литературе - Sobol sequences) [11,12] позволяет решать как задачи поиска оптимальных параметров и оптимальных режимов работы, так и решать задачи синтеза систем управления. Адаптивный метод исследования пространства параметров (АМИПП) является модернизацией PSI-метода [13-16], в основе которого лежит корректное определение допустимого множества решений, расширяющее возможности прямых методов, не использующих в процессе поиска решения необходимые и достаточные условия оптимальности, обеспечивает равномерное зондирование пространства параметров, учет нескольких критериев и принятие решения из множества Парето.

1. Особенности динамического объекта

Динамические объекты имеют сложную структуру, в состав которой входят упругие связи, доставляющие энергию к исполнительному органу. Управляемый динамический объект представим следующей системой дифференциальных уравнений

x = f (x,t,u), (1)

где x = [xi,..., xn]T — вектор параметров объекта в пространстве состояний, x € Rn, u = [u1,..., ur]T — вектор управления, u € U С Rr, U — ограниченное замкнутое множество, f (x,u) = [fi(x, u),..., fn(x, u)]T — вектор функции,

соответственно размерности п, описывающий непрерывное однозначное отображение:

/(х,и): Еп х Ег ^ Еп

Во многих задачах, связанных с анализом и синтезом автоматических систем, вектор х или часть его компонентов представляют собой координаты движущихся частей управляемого объекта. Вектор и имеет размерность г и представляет собой управляющее воздействие. Кроме того считаем, что все возможные положения регулирующих органов можно описать вектором и, заполняющими некоторое замкнутое множество О € Ят.

Предполагаем, что правые части системы (1) заданы при х € Лп, и € О, £ ^ 0, вещественными и непрерывными по совокупности переменными. Если задано некоторое управление и = и(£, х), то рассматриваемую систему (1) на этом управлении можно записать в следующем виде

X = / (£, х, и(£, х)).

Каждая такая система уравнений удовлетворяет условиям существования решений, отвечающих любой совокупности начальных данных

х0 = [х?,...,хП]Т, х0 € Еп, £ ^ 0.

Каждое управление и и пара начальных данных х0, £0 определяют полное движение системы х, и, т.е. кривую в п + г-мерном пространстве [19].

2. Варьируемые параметры и оптимизация

При решении практических задач оптимизации динамических объектов и задач оптимального управления средствами ЛПт-поиска целесообразно выделить п переменных параметров А = (а1, а2,..., ап), природа которых безразлична и они образуют пространство параметров П размерности Еп. Пространством параметров П называется п-мерное пространство, состоящее из точек А с декартовыми координатами (а1; а2,..., ап). Таким образом, каждой точке А пространства параметров соответствует конкретный набор параметров (а1, а2,..., ап) и наоборот. Параметры А целесообразно представить двумя группами А = (А1, А2), где А1 —- конструктивные параметры, А2 — параметры системы управления динамического объекта. Через изменения значений параметров А2 осуществляется процесс оптимизации динамического объекта и, следовательно, задачу оптимизации в этом случае можно рассматривать как задачу управления динамическим объектом. Вопросы оптимизации параметров динамического объекта подробно рассмотрены в [17,18].

Рассмотрим вопросы, связанные с формированием оптимального управления динамическим объектом. В общем случае запишем систему уравнений управляемого динамического объекта в следующем виде:

х = / (£, х, и(£, х, А))

(2)

Если функционирование системы описывается дифференциальными уравнениями, то в качестве варьируемых параметров можно выбирать коэффициенты или начальные значения этих дифференциальных уравнений.

При решении конкретной задачи оптимизации можно всегда указать разумные пределы изменения каждого параметра, которые будем называть параметрическими ограничениями

а* ^ а ^ а**, г = 1,п. (3)

В [11,12,14] приведены основные вопросы, связанные с оптимизацией параметров, поэтому целесообразно рассмотреть условия оптимального управления динамическим объектом, представленного системой уравнений

(2).

Пусть задано некоторое множество М элементов а, природа которых безразлична [19].

Определение 1. Если задан закон или некоторое правило, согласно которому любому элементу а € М соответствует вещественное число Ф(а), то говорят, что на множестве М задан функционал Ф: М ^ Д.

Значения варьируемых параметров а^-, функционалов Ф^ вычисляются с помощью последовательности чисел qi,j, которые формируются ЛПт-поиском, где 3 — номер расчетной точки.

Определение 2. Элемент а0 € М называется оптимальным элементом множества М по отношению к выбранной совокупности функционалов Фj, 3 = 1, т, или просто оптимальным, если среди всех значений а € М элемент доставляет наименьшее возможное значение функционалу Ф0 при а0 и условии выполнения ограничений Фj ^ ^, 3 = 1, к, где ^ — некоторые вещественные числа.

Обозначим через М0 множество всех оптимальных элементов. Множество М0 будем называть оптимальным подмножеством множества М.

При Ф (ау) = 1 для любого а € М оптимальное подмножество М0 будет состоять из всех тех элементов, которые удовлетворяют ограничениям

Фj ^ У, 3 = 1, к.

Основной задачей теории управления является отыскание множества М0. Эта задача в общем случае сводится к нахождению экстремума функции многих переменных. Это утверждение позволяет вывести ряд необходимых и достаточных условий оптимальности, которые используются для построения последовательных приближений, позволяющих отыскивать с наперед заданной точностью оптимальные элементы.

Рассмотрим управляемую динамическую систему (2). Каждому кусочно-непрерывному управлению и(£), заданному при £ € [£1, £2], и(£) € и, соответствует кусочно-непрерывно дифференцируемая функция х = х(£,и),

заданная при £ € [£ 1, £2] и удовлетворяющая системе (2) при и = и(£). Считают, что управление и(£) переводит систему (2) из состояния х1 в х2 за время £2 — £1, если xi = х(^, и), г = 1, 2.

Управление и(£) будем называть допустимым, если определяемое им движение удовлетворяет граничным условиям

Допустимое управление ад(£) будем называть оптимальным по отношению к функционалу

если функционал (5) принимает наименьшее возможное значение среди всех допустимых управлений.

Предполагаем, что оптимальное управление зд(£) существует, управление и0 (£) и движение х0(£) заданы на промежутке [£1, £2] и система при этом переходит из состояния х1 в состояние х2 с соблюдением граничных условий (4). В этом случае необходимые условия оптимальности опираются на условие минимума функции одного переменного [19]. Предположим, что существует семейство управлений и = и(£,е), и пусть х = х(£, е) — соответствующее ему семейство движений, которые удовлетворяют условиям:

- вектор-функция и = и(£, е) задана при всех достаточно малых е и при £ € [£1 (е),£2(е)] кусочно-непрерывна по отношению к £;

- вектор-функция х = х(£, е) задана при всех достаточно малых е и при £ € [£1 (е), £2 (е)] кусочно-непрерывна по отношению к £ и удовлетворяет системе (2);

- и(£, е) = и0(£), х(£,е) = х0(£) при е = 0, и(£,е) € и для всех достаточно малых е и £ € [£ 1 (е),£2(е)];

- управление и(£, е) допустимо при любом достаточно малом е, т.е. qj (х1(£1 (е), е), х2 (£2 (е), е), £1 (е), £2 (е)) =0, 3 = 1,к;

при е = 0, п(£) — кусочно-непрерывная вектор-функция; £(£) — кусочнонепрерывно дифференцируемая функция; т — вещественные числа; п(£) — вариация управления, а £(£) — вариация движения.

qj (х1,х2,£1,£2) = 0, 3 = 1,к.

(4)

Ф(и) = 0(х1, х2, £1, £2) + у ^0(£,х,и) ^£,

*1

/

(5)

существуют производные ^и(£, е) = п(£), ^е’£) = £(£), = ri, г = 1, 2,

Необходимое условие оптимальности управления ад(£) и движения х0(£)

выполняются если

Полученные необходимые условия оптимальности управления зд(£) и движения х0(£) для функционала (5) распространим на совокупность т

критериев

У

Ф(«)г = 0г(ж(£у)) + ^(ж(Ь), и(Ь)) ^ ^ ш1п, г = 1, Ш, (6)

0

где Ьу — длительность процесса управления. Первое слагаемое выражения (6) характеризует точность управления конечным состоянием системы. Второе слагаемое определяет качество процесса управления на интервале [0, Ьу] и выполнение ограничений

Необходимо найти оптимальное управление и(ж, Ь) за счет решения оптимизационной задачи (1)—(3) с учетом соответствующих ограничений. Считаем, что определен класс однозначных отображений

где А — вектор параметров, зЬ(ж, А): Ет х Ка ^ Ега.

Решение задачи (1)—(4) представляет оптимальное множество Парето

Множество Парето сформировано при следующих условиях [6]: если У«Ь(ж, А) € 5, УА € Ега, то ЗзЬ(ж, А) € Р ЗА € Ка и Ф(«Ь(ж,А)) ^ ^ Ф(«Ь(ж, А)), где Ф(зЬ(ж, А)) = [Ф^^ж, А))... Фт(«Ь(ж, А))]Т — вектор выполненных критериев (3), считая, что и = зЬ(ж, А) и выполняются условия Ф(«Ь'(ж, А)) ^ Ф(5Ь"(ж, а)), если Фг(«Ь'(ж, А)) ^ Фг(5Ь"(ж, А)), г = 1,Ш, и

зФк(«Ь'(ж, А)) < Фк(5Ь"(ж, А)), 1 ^ к ^ ш.

Критерии (6) и множество (9) позволяют оценивать эффективность функционирования динамического объекта и влияние принятых отдельных критериев на оптимальное решение. С другой стороны для оценки качества переходных процессов используем интегральные критерии качества (6).

3. Расширение системы дифференциальных уравнений

Модели оптимизационного расчета связаны с решением системы дифференциальных уравнений (2) динамического объекта и с вычислениями интегральных критериальных оценок (6) при варьировании параметров А. При разработке модели оптимизационного расчета предложено перевести интегральные критерии в систему дифференциальных уравнений (1), (2) динамического объекта, расширив ее размерность до п + ш. Это позволяет существенно влиять на качество переходных процессов и на формирование оптимального управления за счет критериальных оценок.

0

5 = {«^(ж, А): г = 1,ш} ,

Р = (ж, А) € 5: г = 1, ш, ] = 1, п} .

(9)

На качество протекающих процессов динамического объекта также можно влиять через изменения вектора варьируемых параметров, а также за счет использования инвариантных преобразований. Изменение числа дифференциальных уравнений связано с динамическим расширением фазового пространства динамического объекта. Введение макропеременных и их уравнения движения на многообразиях связано с добавлением необходимого числа уравнений [8,9,20,21].

Законы управления обеспечивают обязательный перевод изображающей точки (ИТ) системы из произвольного начального состояния в окрестность заданного многообразия

■0(ж1,... ,ж„) = 0 или пересечения многообразий

^8(ж1,..., жп) = 0, « = 1, 2,..., к ^ п.

Размерность пространства этих многообразий, куда попадает ИТ в результате действия указанных законов управления, равна п — 1 — для скалярного или п - к — для векторного управлений соответственно. В начальный момент времени Ь = 0 ИТ находится в пространстве размерности п, в конечный же момент, т.е. после завершения процесса управления, ИТ попадает в точку жп = (0,..., 0) с нулевой размерностью для начала координат или установившегося режима работы системы. ИТ под действием выработанного управляющего воздействия постепенно переходит из исходного пространства размерностью п в пространство п — 1, затем п — 2, п — 3 и т.д. до одномерного многообразия, двигаясь вдоль которого на финишном участке ИТ попадает в начало координат фазового пространства. Происходит под действием направленного управления постепенное сжатие объема фазового потока, в котором движется ИТ объекта. В работе [21] определен оптимальный закон управления упругим моментом динамического объекта с упругими связями. Особенности формирования оптимального управления динамического объекта с электрическим двигателем рассматривались в [22-26].

Для синтеза оптимального закона управления в математическую модель двухмассовой системы [21] необходимо ввести макропеременные Ф1, Ф2, которые выбираются из условий формирования желательных свойств системы [8].

Закон управления должен обеспечивать движение системы с макропеременными Ф1, Ф2 на инвариантных многообразиях с постоянными времени Т1, Т2 [9].

В качестве критериев оптимальности приняты:

£у

ф1 = J (т^ф2 + ф2 + т22Ф21 + ф2 + и2) ^, (10)

у

■у

у

ф2

/

Ф?^, Фз

/

ф2^^, ф4

I И(И

(11)

о

о

о

Закон управления динамическим объектом представлен в пространстве состояния и имеет линейную форму

где хз — производная упругого момента, Мс — момент сопротивления, й1, ...

... ,04 — коэффициенты поисковой оптимизации.

Перевод критериев Ф1-Ф4 и введение макропеременных Ф1 — Ф2 в исходную систему дифференциальных уравнений объекта расширяет размерность системы до п = пп + п& + Пф, где пп — число уравнений объекта, Пк — число критериев, Пф — число макропеременных.

Для установившегося режима работы динамического объекта происходит обратный процесс сжатия фазового пространства до нулевого состояния.

Пример решения подобной задачи приведен в [17].

1. Применение адаптивного метода исследования пространства параметров, использующий точки ЛПТ-последовательности, позволяет решать задачи поиска оптимальной совокупности параметров с учетом нескольких критериев и выполнять синтез законов управления динамического объекта.

2. Применение принципа динамического «расширения-сжатия» фазового пространства динамического объекта путем введения макропеременных Ф1 и Ф2 обеспечивает желаемое движение системы.

3. Исследования, проведенные методом АМИПП для электропривода, подтвердили эффективность разработанного регулятора упругого момента, несмотря на допущения, принятые при синтезе алгоритма управления. Амплитуда динамической нагрузки на элементы при использовании разработанного регулятора уменьшилась до 4% по сравнению с 50 % при нерегулируемом варианте.

1. Рапопорт Э.Я. Аналитическое конструирование агрегированных регуляторов в системах с распределенными параметрами // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2012. № 3. С. 38-54.

2. Хлебников М.В., Поляк Б.Е., Кунцевич В.М. Оптимизация линейных систем при ограниченных внешних возмущениях (техника инвариантных эллипсоидов) // Автоматика и телемеханика. 2011. № 11. С. 9-59.

3. Летов А.М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 360 с.

и = а?х3 + а2Мс + а3 х 3 + а4 х3,

(12)

Заключение

Список литературы

4. Методы классической и современной теории автоматического управления:

Учебник в 5-и тт. Т.4: Теория оптимизации систем автоматического

управления / под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 744 с.

5. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

6. Пупков К.А., Фам С.Ф., Дивеев А.И. Синтез оптимального управления динамическим объектом со случайными начальными значениями // Наука и образование. 2012. № 3. http://technomag.edu.ru/doc/376455.html

7. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987. 711 с.

8. Синергетические методы управления сложными системами: Механические и электромеханические системы / под общ. ред. А.А. Колесникова. М.: КомКнига, 2006. 304 с.

9. Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управления / под ред. А.А. Колесникова. Ч. II. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. 559 с.

10. Дивеев А.И. Численный метод сетевого оператора для синтеза системы управления с неопределенными начальными значениями // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2012. № 2. С. 63-78.

11. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969. 288 с.

12. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями: учебное пособие для вузов. М.: Дрофа, 2006. 175 с.

13. Афанасьева С.М., Кузнецова О.А. Программный комплекс многокритериальной оптимизации // Сборник научных трудов Б^^огМ по материалам международной научно-практической конференции. Одесса: КУПРИЕНКО, 2013. Т. 9. Вып. 1. С. 22-24.

14. Кузнецова О.А. Адаптивный метод исследования пространства параметров. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. 288 с.

15. Кузнецова О.А. , Сушкин В.А. Диалоговая система многокритериальной оптимизации и синтеза оптимальных законов управления // Сб. научных трудов Б’ОгЫ по материалам международной научно-практической конференции. Одесса: Черноморье, 2010. Т. 4. С. 47-54.

16. Сушкин В.А. Применение многокритериальной оптимизации на основе точек Соболя // Сб. научных трудов БШогЫ по материалам международной научно-практической конференции. Одесса: КУПРИЕНКО, 2013. Т. 9. Вып. 1. С. 19-21.

17. Грязев М.В., Кузнецова О.А. Применение ЛП Т- последовательности при оптимизации динамического объекта // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 142-153.

18. Грязев М.В., Кузнецова О.А. Формирование оптимального управления электромеханическими системами // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. 5. С. 130-135.

19. Зубов В.И. Лекции по теории управления. СПб.: Лань, 2009. 496 с.

20. Грязев М.В., Кузнецова О.А. Возможность использования ЛП т-последовательности при оптимизации динамического объекта // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 1. С. 137-147.

21. Грязев М.В., Кузнецова О.А. ЛП т-поиск при решении задач оптимального управления динамическим объектом с упругими связями // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 1. С. 148-160.

22. Грязев М.В., Кузнецова О.А. Оптимальное управление асинхронным электроприводом // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып. 5. Ч. 2.

С. 212-220.

23. Кузнецова О.А. Многокритериальная оптимизация асинхронного электропривода. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. 104 с.

24. Кузнецова О.А. Формирование управления в пространстве варьируемых параметров // Сб. научных трудов Sworld по материалам международной научно-практической конференции. Технические науки. Одесса: Черноморье, 2010. Т. 5. С. 61-63.

25. Кузнецова О.А. Многокритериальная концепция энергоэффективных режимов электроприводов // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып. 6. Ч. 1.

С. 191-196.

26. Кузнецова О.А. Энергетические особенности регулируемого электропривода // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып. 6. Ч. 1. С. 196-203.

27. Кузнецова О.А, Сушкин В.А. Формирование оптимального управления асинхронным электроприводом средствами АМИПП // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2010. Вып. 3. Ч. 1. С. 160-167.

Грязев Михаил Васильевич ([email protected]), д.т.н., профессор, ректор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Кузнецова Ольга Алексеевна ([email protected]), к.т.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Optimization parameter and syntheses of the law of method management LPт- searching for and using the principle dynamic «expansions-a compressions» phase space of the dynamic object

M. V. Gryazev, O. A. Kuznetsova

Abstract. The Considered questions to optimization parameter and syntheses of the law of method management LPT-searching for and using the principle dynamic «expansions-a compressions» phase space of the dynamic object. The Method is founded on use to Sobol sequences.

Keywords: Sobol sequences, method of parameters’ space, optimization, optimal control.

Gryazev Michael ([email protected]), doctor of technical sciences, professor, rector, department of mathematical modeling, Tula State University.

Kuznetsova Olga ([email protected]), candidate of technical sciences, associate professor, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 07.05.2014