Структурная идентификация стохастических динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Литература

1. Булгаков А.Г., Бок Т.О., Паршин Д.Я. Роботизация технологии стройпроизводства // Новые технологии управления движением технических объектов: Материалы 2-й междунар. науч.-техн. конф. Новочеркасск, 1999. С. 57-60.

2. Пат. 2171343 Ш С2, МКИ 7Е04021/06. Устройство для уплотнения бетонной смеси в скользящей опалубке / А.Г.

Булгаков, Т.О. Бок, Д.Я. Паршин Заявл. 29.02.2000, опубл. 27.07.2001. // 2001. Б.И. № 21.

3. Bulgakow A., Parshin O. Adaptionssysteme der Robocarrier // 45 Internationales Wissenschaftliches Kolloquium (04. -06.10.2000). Ilmenau, TU Ilmenau, 2000, S. 601-606.

4. Паршин О.Д. Автоматизация процесса возведения монолитных объектов // XV Междунар. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях». ММТТ-15: ТГТУ. Тамбов, 2002. Т. 9. С. 199-203.

Южно-Российский государственный технический университет

(Новочеркасский политехнический институт) 4 ноября 2004 г.

УДК 62-50

СТРУКТУРНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

© 2005 г. С.В. Соколов, Н.И. Гриненко, Д.В. Швалов, А.В. Гольцев, С.В.Прокопец

В современной теории идентификации в основном решены задачи идентификации неопределенного вектора состояния динамической системы с неизменной структурой на всем интервале наблюдения [1-4]. В то же время на практике часто возникает необходимость решения задачи идентификации динамических систем (процессов), структура которых изменяется с течением времени. В этом случае уже требуется идентифицировать тип (номер) структуры из совокупности структур, известных аргюп. Анализ известных в настоящее время методов идентификации показывает, что получить решение подобных задач на их основе в общем случае не представляется возможным.

В связи с этим в настоящей статье предлагается один из возможных подходов к решению проблемы структурной идентификации, которую более детально сформулируем следующим образом.

Пусть нелинейная динамическая система со случайной структурой, в общем случае [3] описываемая в 1-м состоянии векторным уравнением

4 = f (lt) + f S^ t)n

(i)

4(to ) = 4o, (!)

Z = H (4, t)+ Wt

(2)

сти М; Wt - белый гауссовский вектор-шум с нулевым

средним и матрицей интенсивностей (/).

Плотность апостериорного распределения р процесса 5, как известно [3], может быть представлена в виде

р(5, z , t ) = £ю(5, z , i, t ) = £ю Zl) (5, t),

l=1 l=1

где ff>Z(i)(5, t) - апостериорная плотность вероятности

(АПВ) расширенного вектора

(i - номер состояния).

В наиболее характерном для практики случае непрерывного процесса 5, когда восстановленные значения 1-го состояния совпадают с конечными значениями г-го состояния, функции I = 1, £, описываются следующей системой обобщенных уравнений Стратоновича [3]:

э41 45, t)

dt

= L

ю

(i)

(5, t)

+ Q

ю

(i)

(5, t)

-Ev (5, t Я )(5, t )+Ev (5, t )ю (5, t);

r=1 r=1

= -1 ю(1),

(3)

где l = 1, S - номер состояния (структуры);

f(l ^ t), fo(l) (4, t)- нелинейные векторные и матричные функции соответствующей размерности n® < N и m(l)xn(l), N = max(n(1),...,n(S)); £(t) - вектор состояния размерности N в любой структуре, n(l) -белый гауссовский нормированный вектор-шум размерности m(l), наблюдается нелинейным измерителем, который описывается уравнением

Q

ю

(i)

(5, t)

= —ю;

'(5, t )х

У (5,2,t)-£/у(5,2,t^5,t) dl

к =1

м В (t)г т(5,2,t)= Е ^[2р -Нр (5,t)]х

х[^ - Нд ^t)], где v¡Г(5,Z,t) - интенсивность переходов из состояния I в состояние г; В рд () - алгебраическое дополнение

рд-го элемента в определителе ()| матрицы

(t); р, д - индексы соответствующих компонен-

где 2 - М-мерный вектор выходных сигналов измерителя; Н (5, t) - вектор-функция наблюдения размерно-

мого «принципа Ферма») в качестве ограничения на искомый вектор у0 минимума его квадратичной формы на текущем интервале времени для

тов векторов; Ь - оператор Фоккера - Планка -Колмо горова; I = 1,5.

Введем вектор интенсивностей смены состояний [3]

I

V(5,г) = |0У12 (5,г)... (5,г)у21 (5,г)2Ъ (5,г)... 5е 5. :шп/ / V0т (5, г,г)0 (5, г,г)А5А. Учиты-

(5,7, г К (5,7, г^ (5,7, г (5,7, г)... г 0 5 *

вая, что при введении вектора ю7 выражение для

плотности р имеет вид р(5,7,г) = 15ю7 (5,г), окончательно минимизируемый функционал представим как

■ ■■ V„

t) 0|

и вектор юz (l,^=ю()(1,^..^(l,t)

.Так как

вектор V содержит нулевые компоненты, то в дальнейшем будем использовать вектор v0, связанный с V соотношением v=Е0v0, где v0 - вектор, образованный из вектора v исключением нулевых компонент; Е0 -матрица, образованная из единичной добавлением нулевых строк для формирования соответствующих нулевых элементов в векторе v. С учетом этого представим систему уравнений (3) в более компактном общем виде:

Эю 7 (5, г) г ,

= и [ю7 (5, г)]--[п[ю7 (5,г)]( ®1, )-ю7 (5,г)®к, ]х

хЕ0V0 (5,7,г), (4)

где ЕБ - единичная матрица размерности Б; 1Б - единичная строка размерности Б; ® - символ кронеке-ровкого произведения; и [ю7 ] = Ь [ю7 ] + Q [ю7 ];

Цюz ) =

ю

(1)

0

ю

(2)

0

ю

(s )

Анализ системы (4) показывает, что сам факт перехода объекта (1) из одной структуры в другую, т.е. смены структур, полностью определяется только вектором v0. Это обстоятельство позволяет сделать следующий вывод: процедура идентификации номера текущей структуры объекта должна представлять собой поиск такого вектора v0, который доставлял бы оптимум заданному функционалу качества (т.е. обеспечивал бы адекватность модели (1) реальному состоянию объекта), с последующим определением номера максимальной компоненты вектора вероятно-

стеи состоянии

P (t) = J ю z (l, t) dl [3] - наиболее

вероятной в текущиИ момент времени структуры объекта. В качестве критерия оптимальности идентификации вектора состояния объекта по измерениям (2), полученным в текущиИ момент времени t, можно использовать критерий минимума классического квадратичного функционала

min/ = min J [Z -H(l,t)]TD^[z -H(l,t)]p(l,Z,t)dl,

дополнительно потребовав (для обеспечения физической реализуемости системы (3) в силу так называе-

/ = J [Z - H(51)]T DW [Z - H (l,t)]Isюz (l,t)dl + l *

+ J J VT (l,Z,t)0 (l,z,t)dldt

t о l *

(5)

и перепишем для упрощения последующего решения векторное уравнение (4) следующим образом:

Эю

dt и(юz ) - ["(юz )(s ® Is ) -ю2 ® Es ] EоV о =

= U(юz)-F(°z )v0- (6)

Тогда окончательно поставленную задачу можно сформулировать как задачу поиска вектора V0, доставляющего минимум функционалу (5), существующему на множестве решений системы (6), с последующим формированием оптимального вектора otz, немедленно позволяющим решить задачу идентификации (выбора) искомой структуры путем определения максимальной компоненты вектора вероятностей состояний

объекта (1) P(t)= J юz (l,t)dl. Для последующего

решения задачи используем тот известный факт, что при неотрицательно определенной критериальной функции для обеспечения ее минимального значения в каждый момент времени достаточно, чтобы производная ее по времени, взятая с обратным знаком, имела максимум [3, 5]. В рассматриваемом случае для функционала (5) это приводит к условию

min / = max (-/) =

V 0 V 0

-J[ Is ю z (l, t) + [ z - H (l, t)] T x

max

V0

xDW1 [z - H (l, t)]T Is ^M +

dt

+V T (z, l,t)V 0 (z, l, t)] dl

или с учетом правой части уравнения (6) - к условию

-J[ Is ю z (l, t)+[ z - H (l, t)] T x

max

v 0

xDW [z - H(l,t)]T Is (U(юz )- F(юz )V0 ) + +V T (z, l,t)V 0 (z, l,t)] dl

z

z

z

Из условия максимума полученного выражения имеем исходное уравнение для определения вектора v0:

-[ Z - H (4, t )] T DW [ Z - H (4, t )] IsF (ш z ) + v *t = 0,

откуда искомый вектор

v0 = 2 FT (шz )Ist [Z - H (4, t)]t DW [Z - H (4, t)] . (7)

Подстановка найденного вектора v0* (7) в уравнение (6) позволяет сформировать уравнение, описывающее вектор œZ плотностей распределений расширенных векторов состояний системы с интенсивностью их смены, обеспечивающей оптимум функционала идентификации (5):

^ = U (ш — )-2 F (со — )FT (со — )х

xlj [Z - H (4, t)]t х DW [Z - H (4, t)]. (8)

Очевидно, что интегрирование полученных уравнений (8) завершает решение задачи идентификации (выбора) структуры объекта (1) путем последующего определения максимальной компоненты вектора вероятностей состояний P(t)= J ш— (4,t) d4.

Следует отметить, что с точки зрения вычислительных затрат решение уравнений (8) оказывается ненамного сложнее исходной системы интегро-дифференциальных уравнений (6) - базовой в теории динамических систем со случайной структурой [3]. Для оценки практической эффективности предложенного подхода рассмотрим следующий пример.

Пример. Для нелинейного стохастического процесса со случайной структурой, описываемого уравнением

4 = f (l ) (4, t )+nt,

где l = 1,2; f (1)(4,t)=-42, f(2)(4,t) = -4+ 0,0143, nt - нормированный белый гауссовский шум, уравнение наблюдателя имеет вид

z = h (4, t )+wt,

где H (4, t) = 0,542 ; Wt - нормированный белый гауссовский шум.

Требуется осуществить идентификацию структуры процесса 4 на основе минимизации критерия (5),

где v 0 =

'12

р(4, t ) = ш( (4, t )+ш(2) (4, t ).

Система уравнений апостериорных плотностей в данном случае выглядит так:

1 Э 2ю«

эш«

Э4

2 (1) шу

1

---ш

2

(1)

(4, t )х

3t Э4^ 2 / 2 Э42 (z - 0,542 )2 J (z - 0,5x2 )2 ш —) (x, t)dx

k =1

-v

12 Ю!1) +v21

ш

(2) .

Эш(2) д

dt

(2)

df[(4-0,0143)

1 »^(4, t )|"(z - 0,542)

1 Э2 ш(2) +--—

2 Э42

2

2 ~ , k=1

(x, t )dx

Z -0,5x2 )2 ш—к)

(2) , (1)

-V 21ш У +V 12ш У ,

или в векторной форме

Эш, / \ / \

■ = U(ш — )-F(ш — )v0, ш — =

dt

ш(1) Ю(2)

F (ш — ) =

ш?) -ш—2)

-ш?)

ш

(2)

Уравнение (8) для оптимального вектора т2 в этом случае принимает вид

Эш — dt

= U(ш — )-1F(шz)FT (ш—)1 T (-0,542)2.

Решение данного уравнения осуществлялось на основе аппроксимации функций ю2(1)(2) рядами Фурье на интервале [-5; 5] с точностью до четырех членов разложения [6, 7] и интегрирования полученной системы уравнений для коэффициентов разложения на временном интервале [0; 300] с. По завершении интегрирования и формирования приближенных значений функций ю2(1), ю2(2) номера структур, выбранных по признаку максимальной вероятности состояния в текущий момент времени, оказались распределенными во времени следующим образом:

- на интервале [0; 63] с - вторая структура;

- на интервале [63; 129] с - первая структура;

- на интервале [129; 300] с - вторая структура.

Таким образом, полученные результаты позволяют сделать вывод не только о теоретическом решении общей проблемы оптимальной структурной идентификации стохастических динамических систем, но и о возможности эффективного практического применения разработанного метода.

Литература

1. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М., 1987.

2. Войтенков И.Н. Методы и средства дифференциального оценивания и идентификации моделей. Киев, 1989.

3. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. М., 1980.

4. Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М., 1976.

5. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М., 1977.

6. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М., 1994.

7. Хуторцев В.В., Соколов С.В., Шевчук П.С. Современные

принципы управления в стохастических системах. М., 2001.

Ростовский государственный университет путей сообщения

18 января 2005 г.

21