CC BY
42
РАДИОФИЗИКА
УДК 681.51
СТРУКТУРНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ МНОГОКАНАЛЬНЫХ ДАННЫХ
© 2008 г. К.Г. Кирьянов
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского,
ННИПИ «Кварц»
Поступила в редакцию 09.09.2008
Предложен и проверен экспериментально метод структурной идентификации динамических систем (ДС) на основе оптимальной дискретизации по базовым параметрам (ОБП) векторных (многоканальных) входных, выходных и взаимных аналоговых и дискретных процессов.
Ключевые слова: оптимальная дискретизация экспериментальных векторных (многоканальных) данных, оптимальные базовые параметры (ОБП) векторных данных, структурная идентификация грубых (структурно-устойчивых) ДС по ОБП исходных аналоговых или дискретных процессов.
Введение
Проблемам идентификации - получению математических моделей (ММ) на основе экспериментальных и априорных данных с целью последующего моделирования и управления -посвящено чрезвычайно много публикаций с самыми различными конкретными целями и постановками задач (см., например, [1, 2] и цитированные там публикации). Многообразие подходов указывает, с одной стороны, на теоретическую и практическую их актуальность, а с другой - на некоторую неудовлетворённость полученными теоретическими результатами и, в большей степени, результатами их практического применения в различных областях знаний, в том числе и в радиофизических исследованиях. Недостатками традиционных подходов, на наш взгляд, являются: несогласованность между собой существующих процедур структурной и параметрической идентификации сложных динамических объектов (систем); большие различия в подходах и методах идентификации аналоговых и дискретных (цифровых) сигналов и систем; «негрубость» идентифицированных математических моделей, то есть сильная чувствительность параметров моделей как к малым изменениям исходных экспериментальных данных, так и к изменениям априорных сведений о структуре моделей.
Настоящая работа направлена на решение указанных проблем. В работе показана исключительная важность предварительной дискретизации экспериментальных данных не только по времени, но и по уровню, фактически определяющей результат структурной идентификации в форме грубой, структурно-устойчивой математической модели динамического объекта (системы). Дискретизация (или передискретизация) исходных аналоговых или дискретных экспериментальных процессов по уровню и времени, а также введение зависящей от этой дискретизации размерности ММ динамической системы (ДС) в известных работах, как правило, происходит по отдельным и не связанным друг с другом критериям (см., например, [1, 2]). Эти обстоятельства приводят к всевозможным коллизиям (см., например, [3]) и неточностям при идентификации параметров ММ ДС источников данных и интерпретации результатов моделирования. Поэтому целями настоящей работы являются:
1) обобщение метода дискретизации скалярных данных, рассмотренного в работах [4, 5], на многоканальные векторные данные;
2) рассмотрение метода оптимальной дискретизации («оптимального загрубления») ОБП исходных аналоговых и/или дискретных входных и выходных данных, существенно влияю-
щих на ММ ДС, для решения задач идентификации грубых (структурно-устойчивых) ДС.
1. Дискретизация исходных данных в методе прототипа
Суть метода прототипа оптимальной дискретизации исходного формата эквидистантного скалярного временного ряда экспериментальных данных, ограниченных по уровню и времени Т по совокупному критерию минимума энтропии (минимума потерь исходной информации), состоит в вычислении дискретных оптимальных базовых параметров (БП) Мор, дор, пор1 для последующего форматирования данных. Здесь Мор1 и дор1 - оптимальные числа дискрет по осям координат, а пор, - оптимальная размерность (порядок) динамической модели источника-генератора экспериментальных данных, а, например, шаг оптимальной дискретизации по времени !^ор1 = Т/Мор, определяется без применения спектрального анализа и теоремы о выборках данных В.А. Котельникова. Для этого постулируем:
- ММ любых исходных экспериментальных данных, связанных с анализируемой ДС, в виде эквидистантного временного ряда
Уг = (уо,У1’-"уг’■■■’Ум-2,Уы-\) е ’ (1)
где у,-е0 = {0, д - 1}, о < г < М- 1, М = [т/А^ -целая часть Т/Л t ;
- ММ дискретной ДС (ДДС) источника временного ряда в форме дискретного абстрактного конечного автомата с алгебраической структурой из конечных множеств входящих в них переменных у и уравнением динамики (или т.н. прогнозирующего оператора (ПО) временного ряда (1) в виде уравнения нелинейной регрессии) размерности (порядка) п:
у + п = Жуь у, + Ъ ••• , у1 + п - 1; р) = /ь
0 < г < М-п, (2)
и вектор-параметра (р е П = {0, д - 1}). Величина п является порядком ММ ПО ряда данных;
- ограничения по уровню («размаху») и продолжительности непрерывных и разрывных аналоговых исходных данных
-<» < Ушш < У() < Ушах < (3)
Г е [0,т]; ()
- способ приведения данных к форме (1) за счет их предварительного «АЦП-преобразова-ния»
У
уЦ -М) - ут[п [0,Г ]
.Ушах [0,Т]- Утш [°’Т]
(? - 1)
(3')
Из введенных обозначений следует утверждение [5], что для временного ряда (1), удовлетворяющего условиям (3), всегда существует математическая модель источника в виде уравнения нелинейной регрессии (2) в форме прогнозирующего оператора, который по п начальным, следующим подряд с шагом Лt = Т/М, д-значным выборкам исходного ряда (1) позволяет вычислить все оставшиеся М - п выборок, а при заданном Т параметры М, д и п могут быть подобраны оптимально по критерию минимума энтропии (минимума потерь исходной информации). Процедура оптимизации состоит в нахождении минимального «объёма» (числа точек-состояний) (Ыу1)тт= дп дискретного фазового пространства (ФП) ДДС (2) или, что то же, условной энтропии Е(у) = 1о§2(Жу1-)т;п = n■log2q данных у, путём восстановления по экспериментальным данным (1) фазовой траектории (ФТ) без её самопересечений в ФП [5]. Скалярные, как и рассматриваемые далее векторные данные, после процедуры оптимальной дискретизации путём нахождения оптимальных БП (ОБП) будем называть «стационарными» Мдп-рядами [5], так как в ПО (2) не входит явно время г.
2. Дискретизация исходных многоканальных данных для идентификации ДДС
В настоящей работе метод получения стационарных Мдп-рядов обобщается на синхронные многоканальные аналоговые и дискретные экспериментальные данные (1), что позволяет применять его для анализа и структурной идентификации по доступным для измерения ОБП входных и выходных процессов аналоговых и дискретных динамических систем, заданных в определённых алгебраических структурах (АС), а также использовать для оценки параметров внутренней структуры систем (блоков) и непосредственно не наблюдаемых в них внутренних процессов, проходящих согласно уравнениям «динамики» и «выходов» в схеме рис. 1. Заметим, что форма ДДС ПО (2) всегда преобразуется в более общую форму ДДС Хаффмана-Глушкова (рис. 1).
Идея применения метода оптимальной дискретизации доступных для измерения входов и выходов динамических систем для их структурной идентификации ясна из рис. 1 и сводится к получению ОБП доступных для измерения входного (uг•), выходного (у,-) и взаимного ^у,-) синхронных векторных рядов данных:
“< = -»5*1 Г- у, = [у!11 -у5'’] и
цу, = [»«'-1 у I'1 ...у!'1 ]т.
Метод имеет чисто внешнее сходство с взаимно-корреляционным анализом, как правило, ММ линейных ДС, так как основан на математической модели дискретного по уровню и времени абстрактного автомата с векторными связями. Для всех векторных стационарных Мдп векторов uI-, у, и uyг• , как следует из работ [5, 6], соответствующие объёмы Ыи^, Nу и фазовых пространств (далее индекс дискретного времени г опущен) равняются:
Ми = ( У = (Чи У"*. Му = (Ч'у }’ = (чу )'’' ■
= (С' ’ У = («„ У4'**'’. (4)
где 1 - число компонент во входном сигнале ^ г - число компонент в выходном сигнале у, (1 + г) - число компонент во взаимном сигнале (рис. 1). Теперь для целей идентификации ДДС, как и в разделе 1 для скалярного случая, проводится процедура минимизации увеличенных по
размерам фазовых пространств (4) путём восстановления в них фазовых траекторий без их самопересечений уже по векторным данным
y е Qr = {0,q - l}r, 0 < i < M- 1. Процедуры оптимальной дискретизации дают теперь векторные стационарные синхронные «Mqn-ряды». При этом минимизированные энтропии связаны монотонно с минимальными фазовыми объёмами (4) и ОБП соотношениями (5):
Е(u) = log(N„)min = (пи)opt х
х log(qu) opt < пиk log Чи,
Е(У ) = log(Ny )min = (ny )opt х х log(qy) opt < пyr log qy >
E(иУ) = log(Nuy )min = (nuy )
(З)
uy S opt
X log(quy )opt < nuy (k + r )log(4uy ) •
uy
uy
Ранее в работе [7] рассматривались ОБП д и п только одного векторного ряда. Из формул (5) видно, что условные энтропии Е (и/у) и
Рис. 1. Структурная схема связей в ДС в форме ММ синхронного дискретного автомата Хаффмана-Глушкова
и ,к
г у i
Рис. 2. Схема ДДС рис.1 в виде «чёрного ящика» с доступными для измерения ОБП контрольными точками её входного (и,), выходного (у,) и взаимного (иу,, реализуемого операцией «объединения векторов» вместо внутреннего ненаблюдаемого (х,)) векторных текстов
E(y/u) для учёта «направленности, несимметричности связей входа и выхода» в рамках принятой ММ ДДС могут определяться по минимальным объёмам фазовых пространств с оптимально вложенными в них реализациями векторных входных, выходных и объединенных данных и им соответствующих ОБП:
Е(u/y) = Е(uy)-Е(y) = log(N„y)min -
- log(Ny )min = (nuy ) opt log(qMy )opt - (6)
- (ny )opt l0g(qy )opt >
E(y/u) = E(uy)- E(u) = log(N„y )min -
- log(Ny )mln = (nuy )opt log(qMy )opt - (7)
- (nu )opt log(<7u )opt ■
Далее, где не возникает неопределенностей, обозначения ОБП несущественно изменены в соответствии c форматом данных в программах, использованных при апробации метода идентификации.
3. Апробация метода и его практических приложений
Метод апробировался на различных модельных и природных дискретных и аналоговых динамических системах и процессах. Можно предложить различные полезные для практики модификации метода идентификации приёмы и методики его апробирования. Далее рассмотрены лишь некоторые наглядные примеры результатов структурной идентификации различных ДС описанным методом на основе априорной или постулируемой информации об АС исходных экспериментальных данных и их источника.
При любом выборе области возможных значений ОБП всегда получаем значения ОБП, которые всегда можно назвать «правильными», так как именно они соответствуют выбранной области поиска возможных значений ОБП. Однако эти правильные значения ОБП будут действительно правильными с точки зрения наших представлений о функционировании идентифицируемой ДС, когда они оказываются внутри области поиска и не меняются при малых изменениях её границ, что должно подтверждаться экспериментом.
Особенность предложенного метода идентификации состоит в том, что проведя дискретизацию исходных данных и получив стационарные Mqn-ряды, требующиеся для реализации, и найдя ОБП Mopt, qopt, nopt «внешних» по отношению к объекту исходных экспериментальных данных, мы «автоматически» получаем основные параметры («скелет») внутренней (!)
структуры (показывающей уровень точности, «грубости» qopt возможной реализации всех элементов, число nopt проводников во внутренних шинах, связывающих безынерционную и инерционную (память) части внутренней структуры и др.) идентифицируемой математической модели общего вида (рис. 1).
В приводимых ниже выбранных нами примерах тестовых динамических объектов - преобразователей дискретных и аналоговых сигналов - о правильности идентификации можно судить по совпадению её результатов при малых вариациях границ областей поиска с полностью известными параметрами структуры, указанными в начале каждого тестового примера.
Поэтому к каждому из приводимых далее примеров объектов даются разъяснения как динамическим источникам тестовых экспериментальных процессов (как скалярных, так и векторных (многоканальных, блочных) входных, выходных и взаимных процессов), использованных для структурной идентификации динамических объектов по ОБП.
Пример А. Дискретный автономный автомат (рис. 3а) в алгебраической структуре -кольце K(q), q = 4, k = 1,r=4;u = w(1) = = "1111..." = const - вход, i = 0, 1, 2, ....
Уравнение «динамики» - x,- + i = y(x; , u; ; p) = = А-x,- +Bu,-, где x t = (x1, x2, x3 )T - внутреннее
состояние; начальное состояние - нулевое: (x0 = 0,x2 = 0,x^ = 0)T ; p = (a,a2,a3)T - вектор-параметр,
a,j = 1, a2 = 2, a3 = 3 ;
a,j a 2 a3 1
A = 1 0 0 , B = 0
0 1 0 0
Уравнение «выходов», «наблюдения» -у,- = ^(х,- , и,-; p) = О-ж, +В-иь 1 0 0
где С = 0 1 0 , Б = 0.
0 0 1
Дополнительный выход для контроля за со-
4 4 12
стоянием объекта - у = хг- = а1х!- + а2хг- +
3
+ а3х1 .
Результаты структурной идентификации автомата рис. 3а в области поиска ОБП -Ме [985, 985], д е [2, 100], п = [1, 100] представлены на рис. 3б. Вариации верхних границ поиска
Рис. 3а. ДДС - дискретный автомат на триггерах Tk, k = 1, 2, 3, в АС в K(q), q = 4, «+» - сумматоры по mod4, x;- = (xi, x2, x3 )T - внутреннее состояние объекта, u = w(1) = "1111..." = const, ie[0,1,. ..M - 1] - вход
Оптимальные БП 5-мерного процесса qopt = 3 nopt = 1 Emin = 1.58496
Оптимальные БП входа - "1111 м(1) ".txt
qopt = 2 nopt = 1 Emin = 1
Оптимальные БП подвектора - "1111_-A".txt qopt = 3 nopt = 3 Emin = 4.754887
Оптимальные БП подвектора - "1111 — B".txt
qopt = 3 nopt = 3 Emin = 4.754887
Оптимальные БП подвектора - "1111 — C".txt
qopt=3 nopt=3 Emin=4.754887
Оптимальные БП подвектора - "1111 — D".txt
qopt = 3 nopt = 3 Emin = 4.754887
Рис. 3б. ОБП, полученные в результате структурной идентификации
Рис. 4а. ДДС - дискретный неавтономный автомат со структурой, аналогичной примеру А, с изменяющимся входом и = и(1) =( "3307"); Ф const , г'е[0, 1,...M - 1]
Оптимальные БП 5-мерного процесса qopt = 2 nopt = 18 Emin = 18
Оптимальные БП входа - w(1) = "3307".txt qopt = 4 nopt = 11 Emin = 22
Оптимальные БП подвектора - "3307-A".txt qopt = 4 nopt = 3 Emin = 6
Оптимальные БП подвектора - "3307-B".txt qopt = 4 nopt = 3 Emin = 6
Оптимальные БП подвектора - "3307-C".txt qopt = 4 nopt = 3 Emin = 6
Оптимальные БП подвектора - "3307-D".txt qopt = 4 nopt = 3 Emin = 6
Рис. 4б. ОБП, полученные в результате структурной идентификации
q и n - ± 80. По ОБП на рис. 3б видим, что входное воздействие представляет собою константу, параметр nopt = 3 каждого из выходов с триггеров и контрольный выход характеризует число элементов памяти, а параметр qopt =3 < 4 - минимальное эффективное значение числа уровней выходов, так как два из четырех возможных уровней (при, см. выше, АС - кольце К(4)) появляются, как показал просмотр гистограмм выходов, одинаково часто. Отметим также, что значение параметра nopt = 1 показывает достаточность числа r наблюдаемых выходов для характеристики размерности вектора внутреннего состояния исследуемой системы, который, как известно, зависит от объема её инерционной части -памяти.
Пример Б. Дискретный неавтономный автомат, в АС - кольце К(4), преобразует входную посимвольно закодированную числами 0, 1, 2 и 3 природную шумоподобную последовательность нуклеотидов (м(1) = ("3307");) одного из генов митохондрии дрожжей, М = 958, k = 1, r = = 4, начальное состояние - нулевое. Результаты идентификации автомата рис. 4а в области поиска ОБП - Me [985, 985], q е [2, 100], n = = [2, 100] при вариации верхних границ поиска q и n ± 80 представлены на рис. 4б.
Результаты компьютерного эксперимента в примерах типа А и Б позволяют определить порядок исследуемой ДДС (в данном случае n = 3) как по анализу ОБП синхронных скалярных, индивидуальных выходов, так и по анализу векторных (многоканальных, блочных) ОБП сразу всех выходов (n = 1), если их достаточно для характеристики состояния системы [5], а также проверять, диагностировать автономность (стационарность) ДДС на анализируемом интервале времени [0, M - 1] только по их выходам. Примеры А и Б показывают, что для автономного и неавтономного случаев имеем, соответственно, nopt = 1 и nopt = 18 > 1.
Пример В. Аналоговая неавтономная динамическая система (рис. 5) с АС - в кольце действительных чисел R, k = 1, r = 4 при шумоподобном скалярном воздействии u = w1 (t) = = ("3307"); Ф const , t = /At, i e [0, 1, ... M- 1], (как и в примере Б с М = 958, но в другой АС).
Спектр широкополосного входного воздей-1
ствия и перекрывает полосу пропускания канала u ^ x3 трехканального фильтра с fc ~ « 700 Гц, представленного на рис. 5б.
Все подобласти ОБП на рис. 5в, полученные с помощью метода структурной идентификации ДДС, описанного в разделе 2, являются грубыми, робастными. При изменении параметров АДС, например, на более низкой частоте /с ~
« 700 Гц, получены качественно подобные результаты. Участки одинаковых соседних значений наборов ОБП в разных интервалах поиска д е [2, дтах], отмеченные одинаковым цветом, разбивают всю обследованную область поиска & = {М е [958, 958], д е [2, дтах = 1000], п = [1, 200]} на 2 Мдп-подобластей &°, а = = 1, 2,..., 2 с одинаковой степенью грубости, робастности. Подобласти ОБП векторного 4-мерного выхода (к = 1, г = 3) с пор1 = 1 каждого из наборов наблюдаемых выходов указывают исследователю, проводящему структурную идентификацию, на достаточность и полноту набора из г > п выходов для правильного суждения о размерности исследуемой ДДС.
Влияние шумов на результат идентификации АДС рис. 5а проверялось добавкой малого регулируемого по размаху аддитивного шума ко всем исходным процессам в точках съёма информации. Оцениваемые по таблицам типа приведённых на рис. 5в по ОБП границы грубости, робастности идентифицированных ДС не изменялись при достаточно малых шумах, если их
размах не превышает величин 1/дОр( .
Пример Г. Условные энтропии входов и выходов АДС.
Значения условных энтропий входа, выходов и их совокупностей, соответствующих схеме рис. 5а примера В, вычисленных по формулам (5)-(7), представлены на рис. 6. Результаты моделирования показывают, что условные энтропии:
- выходных процессов с АДС уменьшаются при искажении широкополосного входного процесса в доступных для наблюдения каналах;
- входных процессов при их значениях, равных нулю, полностью определяются достаточным количеством выходных процессов и мест их съёма (в наших случаях при г, равном 2 и 3), так как в этом случае добавление компоненты входного сигнала в совокупный вектор входных и выходных данных не изменяет значения совместной энтропии.
Пример Д. Связь структурной и параметрической идентификации
Структурная идентификация, так или иначе, должна методически предшествовать последую-
Рис. 5а. АДС - аналоговая неавтономная ДС в АС в R, u = u1(t) = ("3307"); Ф const , te [0,1,...M - 1] - вход
f f f Рис. 5б. АЧХ | K1 (f) | каналов u(t) ^x‘(t), i = 1, 2, 3. Параметры АДС - фильтра нижних частот со срезом на частоте fc = 700 Гц (юс=2п-700 рад/сек),
At = 10 5 сек, C = 0.1 мкф, Cj = 0.25 мкф, L = 0.52 мГн, R = 2 кОм, r = 8 кОм
№ qmin 2, qmax ОБП входа u(1) ОБП трёх скалярных выходов ОБП векторного 4-мерного выхода k = 1, r = З
yf (2) (3) m "К "sy с I y u
1 5O qopt = 4 qopt = 2 qopt = 2 qopt = 43 qopt = 37
nopt = 11 nopt = 42 nopt = 23 nopt = 6 nopt = 3
Emin = 22 Emin = 42 Emin = 23 Emin = 32.557 Emin = 15.628
2 15 qopt = 4 qopt = 2 qopt = 2 qopt = 43 qopt = 72
nopt = 11 nopt = 42 nopt = 23 nopt = 6 nopt = 2
Emin = 22 Emin = 42 Emin = 23 Emin = 32.557 Emin = 12.339
З
4 lOO qopt = 4 qopt = 89 qopt = 2 qopt = 79 qopt = 72
nopt = 11 nopt = 6 nopt = 23 nopt = 5 nopt = 2
Emin = 22 Emin = 38.854 Emin = 23 Emin = 31.518 Emin = 12.339
5 lll qopt = 4 qopt = 89 qopt = 2 qopt = 79 qopt = 72
nopt = 11 nopt = 6 nopt = 23 nopt = 5 nopt = 2
Emin = 22 Emin = 38.854 Emin = 23 Emin = 31.518 Emin = 12.339
б ll8 qopt = 4 qopt = 89 qopt = 2 qopt = 79 qopt = 118
nopt = 11 nopt = 6 nopt = 23 nopt = 5 nopt = 1
Emin = 22 Emin = 38.854 Emin = 23 Emin = 31.518 Emin = 6.882
7
8 2OO qopt = 4 qopt =139 qopt = 2 qopt =182 qopt = 118
nopt = 11 nopt = 5 nopt = 23 nopt = 4 nopt = 1
Emin = 22 Emin = 35.594 Emin = 23 Emin = 30.031 Emin = 6.882
9
1G 3OO qopt = 4 qopt = 255 qopt = 2 qopt =182 qopt = 118
nopt = 11 nopt = 4 nopt = 23 nopt = 4 nopt = 1
Emin = 22 Emin = 31.997 Emin = 23 Emin = 30.031 Emin = 6.882
11
12 4OO qopt = 4 qopt = 255 qopt = 2 qopt =182 qopt = 118
nopt = 11 nopt = 4 nopt = 23 nopt = 4 nopt = 1
Emin = 22 Emin = 31.997 Emin = 23 Emin = 30.031 Emin = 6.882
1З 5OO qopt = 4 qopt = 457 qopt = 2 qopt = 491 qopt = 118
nopt = 11 nopt = 3 nopt = 23 nopt = 3 nopt = 1
Emin = 22 Emin = 26.508 Emin = 23 Emin = 26.818 Emin = 6.882
14
15 lOOO qopt = 4 qopt = 457 qopt = 719 qopt = 326 qopt = 118
nopt = 11 nopt = 3 nopt = 2 nopt = 3 nopt = 1
Emin = 22 Emin = 26.508 Emin = 18.958 Emin = 25.0461 Emin = 6.882
Рис. 5в. ОБП скалярных и векторного (одного дискретного входного и трёх аналоговых выходных) процессов в области поиска М є [958, 958], q є [2, ^шах], п = [1, 100]. Участки столбцов с одинаковыми значениями ОБП и зависимой от них энтропии £шіп выделены фоном
№ (см. ОБП Условные энтропии векторного входа и выхода
рис. 5в) к =1, г =3 к = 1, г = 1 к = 1, г = 2 к = 1, г = 3
Чшш=2? Чшах ■! ОБП Векторного 4-мерного выхода Е(0/1) = =Е(01)- Е(1), Е(1/0)= =Е(01)- Е(0) Е(0/2)= =Е(02)-Е(2), Е(2/0)= =Е(02)-Е(0) Е(0/3)= =Е(03)- Е(3), Е(3/0)= =Е(03)-Е(0) Е(0/12)= =Е(012)-Е(12), Е(12/ 0)= =Е(012) - Е(0) Е(0/13)= =Е(013)- (13), Е(13/ 0)= =Е(013)- Е(0) Е(0/23)= =Е(023)- Е(23), Е(23/ 0)= =Е(023)- Е(0) Е(0/123) = =Е(0123)- Е(123), Е(123/ 0) = =Е(0123)- Е(0)
4 117 qopt =72 пор1=2 Ешт=12.339 -2= =20- 22, -18.854= =20- 38.854 -2= =20- 22, -3= =20- 23 -2= =20- 22, -11.518= =20- 31.51 0= =18.800- 18.800, -3.2= =18.800- 22 -4.502= = 17.498- 18, -4.502= = 17.498- 22 -0.225= =18.575- 8.800, -3.425= =18.575- 22 0= =12.339- 12.339, -9.661= =12.339 - 22
5 118 qopt=118 пор1=1 Ешт=6.882 -2= =20- 22, -18.854= =20- 38.854 -2= =20- 22, -3= =20- 23 -2= =20- 22, -11.518= =20- 31.518 0= =18.800- 18.800, -3.2= =18.800- 22 -0.502= = 17.498- 18, -.502= = 17.498- 22 -0.225= =18.575- 18.800, -3.425= =18.575- 22 0= =6.882- 6.882 , -15.118= =6.882- 22
Рис. 6. Условные энтропии векторного входа Е(и/у) = Е(иу) -Е(и) = Е(012...) - Е(0) и выхода Е(у/и) = Е(иу) -Е(у) = Е(012...) - Е(12...) при значениях ОБП (дор=72, пор=2 ) и (^0р=118, и,,р,=1), взятых из рис. 5в на бифуркационной границе области поиска дтах: 117 -118
щей параметрической идентификации. Определяемый при структурной идентификации параметр пор1 является ключевым, так как он (при подходящих М и дор) может использоваться в любом известном методе [1, 2] для последующей параметрической идентификации. У нас параметрическая идентификация сводится, в общем случае, к определению вектор-параметра р (набора коэффициентов) в уравнениях X и у и начальных условий на рис. 1 при найденных ограничениях на М = Ыор,, д = дор,, п = пор, для векторных стационарных синхронных «Мдп-рядов» исходных данных.
Например, в качестве результата параметрической идентификации ДС при «минимальной реализации» функций X и у в АБСБ-форме и тех же векторных экспериментальных данных, использованных в примерах А и Б при оптимальной структурной идентификации, в соответствующей АС можно получить при параметрической идентификации несколько эквивалентных ДС, точно повторяющих выходные данные при исходных входных. При этом при минимальной реализации линейных векторных функций X и у в АС К(4) каждого из примеров А и Б объем перебора параметров (коэффициентов) матрицы А, представленной в «первой естественной форме», при фиксированных коэффициентах матриц В, С, Б и начальных условиях составит 43 = 64 вместо 49 = 262144, то есть будет меньше в 4096 раз. Ясно, что примерно такое же сокращение перебора будем иметь и для минимальной реализации линейной АДС примера В.
Поэтому параметрическую идентификацию грубой ММ ДС методически правильно проводить по параметрам уравнений, входным и выходным данным, целевым критериям (функционалам точности, надёжности, стоимости и т.д.) на основе алгебраических структур, совместимых с использованными при структурной идентификации ММ ДС по значениям ОБП, полностью определяющих её структуру.
Разделение задачи идентификации ММ сложного объекта на последовательно выполняемые этапы (структурной и параметрической идентификации), как это бывает в науке, превращает при существующем уровне знания сложную теоретическую и/или прикладную задачу в более простую и выполнимую практически. Классический тому пример - это разделение переменных дифференциального уравнения в частных производных, делающее возможным его решение сведением к последовательному решению двух уравнений в обыкновенных производных.
Заключение
1. Предложены и проверены моделированием:
- метод оптимальной дискретизации («оптимального загрубления») экспериментальных аналоговых и дискретных данных по оптимальным базовым параметрам, обобщенный на векторные (многоканальные) синхронные временные ряды данных (разделы 1, 2);
- метод структурной идентификации грубых математических моделей как аналоговых, так и дискретных динамических систем на основе единой дискретной ММ абстрактного цифрового автомата «оптимальной грубости», синтезируемого путём оптимальной дискретизации векторных (многоканальных) по ОБП входных, выходных и взаимных синхронных данных (раздел 2);
- метод выделения областей с одинаковыми наборами ОБП совокупных векторных данных со входов и с выходов ДДС и определения среди них подобластей, характеризующих при векторном ОБП nopt = 1 для такой ММ ДДС достаточность и полноту набора из r наблюдаемых выходов (раздел 3);
- метод оценки влияния шума на результаты структурной идентификации по пороговой величине «размаха» 1/qopt (раздел 3);
- метод подсчёта условных энтропий векторных входных, выходных и совокупных процессов ДДС по соответствующим изменениям конечных мощностей минимальных фазовых пространств источников-генераторов этих процессов (разделы 2, 3).
2. Метод структурной идентификации изучаемого объекта рекомендован как предварительный этап для возможной последующей параметрической идентификации.
Список литературы
1. Льюинг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ. / Под ред. Я.З. Цып-кина. М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1991. 432 с.
2. Идентификация систем и задачи управления // Труды VII Международ. конф. SICPRO'08/ ИПУ РАН. М., 2008.
3. Финк Л.М. Сигналы. Помехи. Ошибки // Заметки о некоторых неожиданностях, парадоксах и заблуждениях в теории связи. 2-е изд. М.: Радио и связь, 1984. 255 с.
4. Kiryanov K.G. To a choice of the basic parameters of mathematical model of experimental data source // Proceedings 5-th International Specialists Workshop in area nonlinear dynamics of electronics systems (NDES-97). Moscow, Russia, June 26-27, 1997. Pp. 400-403.
5. Кирьянов К.Г. Оптимальная дискретизация экспериментальных данных для последующей цифровой обработки // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2008. № 1. С. 39-46.
6. Кирьянов К.Г. Соотношение неопределенно -сти для базовых параметров генетических карт и применение его для идентификации нестационарных
источников экспериментальных данных // Идентификация систем и задачи управления. Труды V Меж-дународ. конф. 81СРЯ0'08/ ИПУ РАН. М., 2006. С. 155-182.
7. Кирьянов К.Г. Идентификация базовых параметров динамики «сцен» // Труды IV научной конференции по радиофизике. Н. Новгород, 2000. С. 176-177.
STRUCTURAL IDENTIFICATION OF DYNAMIC SYSTEMS ON THE BASIS OF OPTIMAL DISCRETIZATION OF MULTICHANNEL DATA
K.G. Kiryanov
The method of dynamic system structural identification on the basis of optimal discretization over the basic parameters of vector (multichannel) input, output and concatenated analog and discrete processes has been proposed and checked up experimentally.
