CC BY
26
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Посвящается 65-ой годовщине со дня рождения профессора Сергея Михайловича Воронина
Том 12 Выпуск 1 (2011)
СТРУКТУРНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСТАТКОВ
»« _ _ _ ___и
ax (mod m) И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ЦЕПНОЙ
ДРОБИ, СВЯЗАННОЙ С КВАДРАТИЧНЫМ НЕВЫЧЕТОМ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
И. И. Ильясов (г. Актобе, Казахстан)
Для доказательства соответствующего результата приведем теоремы и леммы аналогичные в работе [2] без подробного обоснования.
Пусть 1 ^ a < m, n — целые, (a,m) = 1. Рассмотрим видоизмененный алгоритм Евклида для этих чисел.
m = a ■ ai — w1, 0 < w1 < w0(a = w0)
w0 = w1a2 — w2, 0 < w2 < w1
wn-2 wn-1an wn, 0 < wn < wn—1, wn 1
wn-1 -- wnan+1 0 wn+1 - 0
Ясно, ЧТО
a
m
a1-
a2-
(1)
(2)
an
и a, ^ 2, i =1, 2,...,n +1, Определение 1. xo = 1, x1 = a1, ..
yo = 0, У1 = 1 ..
xfc+1 ak+1xk xk—1,
Ук+1 = ak+1yk — Ук-1,
an+1
xn+1 -- an+1xn xn-1,
yn+1 -- an+1yn yn-1.
1
1
1
1
Замечание: Так как xi-1yi — xiyi-1 = 1 i = 1, 2,..., n + 1, то m = xn+1, a = yn+1.
Определение 2. Последовательность остатков rk: ak = rk (mod m) (k = = 0,1, 2, ...,m — 1) обозначим R (a, m).
Определение 3. Последовательность w0,w1, ...,wn называется базисной R (a, m) .
Ясно, что w0 > w1 > ... > wn =1.
JIemma 1.
axk = wk + myk, k = 0,1, ...,n.
Обозначение, ai — 1 = pi, i = 1, 2, ... ,n +1.
x < m
представляется в виде
x = Xot1 + X1^2 + ... + Xk tk+1 (3)
с условиями:
V tk+1 = 0;
2) 0 ^ ti ^ pi, ti — целые i = 1, 2,... ,k + 1;
3) для, любых i и j, где 1 ^ i < j ^ k + 1 (k ^ 1)
(ti,ti+1,... ,tj-1,tj) = (pi,Pi+1 — 1,... ,Pj-1 — 1,pj).
И каждое число
X = Xot1 + X1t2 + ... + Xk tk+1 m.
Лемма 2. При 1 ^ i < j ^ n + 1 (x-1 = 0)
Xj + Xi-2 = Xi-1Pi + Xi(pi+1 — 1) + ... + Xj—2 (pj — 1 — 1) + Xj — 1 Pj Лемма 3. При выполнении условии 1), 2), 3)
X = Xot1 + X1t2 + ... + Xktk+1 < Xk+1.
Следствие 1. Если
X = Xot1 + X^2 + ... + Xk tk+1
! f f j
X = Xot1 + X^2 + ... + Xk tk+1
с условиям,и 1), 2), 3), то при tk+1 = t/k+1, ...,ti+1 = t!i+1, ti <ti X < X.
Теорема 2. Каждое натуральное число I Е Я(а,ш) единственным образом представляется в виде
I = Wotl + ^2 + ... + ык Ьк+1, (4)
с условиям,и 1) tk+l = 0
2) 0 ^ ti ^ р^, и~целые, г = 1, 2,..., к + 1
3) для, любых г и ], где 1 ^ г < ] ^ к + 1
(к ^ 1) (ti,ti+l ,...,tj-1,tj) = (pi,pi+l - 1,... ,р— - 1,Р]).
И всякое число указанного вида, с условиям,и 1), 2), 3) принадлежит Я(а, ш).
Доказательство теоремы следует из следующих лемм.
Лемма 4. При 1 ^ г < ] (w-l = ш)
Wj + Wi-2 = Wi-lPi + Wi(pi+l - 1) + ... + Wj—2 (pj—l - 1) + Wj-lPj.
Лемма 5. I вида (4) с условиям,и 1), 2), 3) меньше ш.
Доказательство, (теоремы)
Возможность представления. Пусть х — произвольное натуральное число. По теореме 1 х представляется в виде
х = Хо^ + Xlt2 + ... + Хк tk+l с условиями 1), 2), 3). По лемме 1
ах = а(хо^ + х^2 + ... + Хк tk+l) = (аxо)tl + (ах^2 + ... + (ахк )tk+l =
= (wо + Шуо)Ь + (Wl + шу^2 + ... + (Wk + шyk) tk+l =
= Wоtl + Wlt2 + ... + Wktk+l + ш (уои + Уlt2 + ... + Уktk+l)
По лемме 5
I = Wоtl + Wlt2 + ... + Wktk+l < ш,
а уо^ + ylt2 + ... + уktk+l — неотрицательные целые, следовательно I Е Я (а,ш).
Единственность представления. Пусть I = w0t/l + wlt'2 + ... + wstls+l.
Тогда
ах' = а (хо^ + Xlt/2 + ... + Xst's+l) = I + ш (yоt/l + ylt/2 + ... + Уst's+l) .
Следовательно, имеем
ах = I + шу у = уо^ + ... + yk tk+l ах = I + шу' у' = уо^ + ... + Уst/s+l
Отсюда
а(х - х') = ш(у - у')
х - х' ш (а, ш) = 1
х = х'и у = у'.
Тогда по теореме 1 5 = к и ^ ^ = ^2, .. ., tk+l = t/k+l. Теорема доказана.
Определение 4. Число х = хо^+xlt2 +...+хktk+l с условиями, 1), 2), 3) называется, координатой числа I = w0tl + wl^ +... + wktk+l в последовательности, Я (а, ш)
Определение 5. Пусть I и I' Е Я (а,ш). Будем говорить, что I предшествует V в Я (а, ш), если х < X, где х и х' соответствующие координаты, I и
V в Я (а,ш). Предшествование I по отношению к I' обозначавтся, I -< I'.
Обозначения, М(Т1,Т2, ...,Т-) - множество чисел I Е Я (а,ш), l<w0Tl+wlT2+ ... + wk-lTk где Т1,Т2, ...,Т- с условиями 1), 2), 3) и
Mk = М(р1 - 1, р2 - 1, ..., pk-l - ~1, pk), к ^ 2 М1 = М (р1)
Теорема 3.
Ть+1-1
М (Tl,T2, ...,Tk, Tk+l) = ^ (Mk + wk tk+l) ^(М (Tl,T2, ...,Tk)+ wk Tk+l). (5)
^к+1=0
Доказательство. Разобьем множество М(Т1,...,Т-,Tk+l) на два подмножества вида первое: {w0tl + ... + wk-ltk + гyktk+l} где tk+l ^ Т-+1 - 1 второе: {wоtl + Wlt2 + ... + Wk-ltk + Wkt,k+l}
При tk+l ^ Tk+l - 1 для всевозможных значений tl,t2, ...,tk с условиями 1), 2), 3), включая (0, ... , 0)
Wоtl + ... + Wk-ltk + Wktk+l WоTl + ... + Wk-lTk + WkTk+l.
так как
x0tl + ... + xk—ltk + xktk+l < х0Т1 + ... + Xk—lTk + xkTk+l.
С другой стороны для всевозможных значений tl,t2, ...,tk с условиями 1), 2), 3), включая (0, ... , 0)
{1^о1^1 + и^2 + ... + wk—ltk} =k .
Действительно, во-первых, в силу х0^ + ... + Xk-ltk < х-имеем, что
Wоtl + Wlt2 + ... + Wk-ltk ^ Wk,
во-вторых
х0(р1 - 1) + ... + Xk-2(Pk-l - 1) + хк-т = хк - 1.
Следовательно
Xоtl + ... + х--^к ^ хо(р1 - 1) + ... + х--2(р--1 - 1) + х—Рк И по определению
{w0tl + wlt2 + ... + wk—ltk} =к для всевозможных значений tl,t2, ...^кс условиями 1), 2), 3), включая (0, ... , 0)
Поэтому первое подмножества совпадает с
Тк+1-1
1^1 (Мк + 'Шк tk+l)
^к+1=0
Теперь, так как во втором подмножестве
Wоtl + ... + Wk—ltk + Wktk+l^ WоТ + ... + Wk— lТк + WkТ-+1 то отсюда следует что
Wоtl + ... + Wk—ltk^ WоTl + ... + Wk—lTk, то есть второе подмножество содержится в
М (Tl, Т2, ..., Тк ) + 'Шк Тк+Ь
Если же
w0tl + и^2 + ... + ^^к-^к + "Шкtk+l Е М(Т1 ,T2, ..., Тк) + '^кTk+l,
ТО
Xоtl + ... + хк-^к ^ хоТ + ... + хк-\Гк.
И следовательно
x0tl + ... + хк-^к + хкТ-+1 ^ х0Т1 + ... + хк-\Тк + хкTk+l,
то есть w0tl + wlt2 + ... + wk—ltk + wktk+l принадлежит второму подмножеству. Теорема доказана.
Обозначение. Я (па < I, ш) обозначает множество чисел Я (а,ш) меныних I. Теорема 4.
Я (па < w0, ш) =
Доказательство. Пусть па = и011 + и112 + ... + ик-1Ьк + ик^к+1(то^т). Если и0^1 + и1Ь2 + ... + ик-11к + £к+1 < и0, то Ь1 = 0 т.е
па = и^2 + ... + ик-^к + Шк Ьк+1(тойт)
с условиями 1), 2), 3) для Ь2, ..., £к+ь Тогда то теореме 2 при а = и1, т = и0 и1 Ь2 + ... + ик-11к + ик^k+1 € Я(и1,и0). Верно и обратное утверждение. Теорема доказана.
Из этой теоремы получаем последовательность
Я (а,т) Э Я(и1,и0) Э Я(и2,и1) Э ...
Обозначения. х'0 = 1, х1 = а2, х'2 = а3х1 — х0, ..., х'п = ап+1х1п-1 — х'п-2,
у0 =0, у1 = 1,у2 = азу/1— у0,..., уП = ап+1уП-1— уП-2
Лемма 6. и1 х'п = ип+1 + и0уП, п = 0,1,2,....
Доказательство. Доказательство аналогично доказательству леммы 1. Следствие 1.
и1 (х0^1 + х1^2 + ... + хк-1^к+1) = и1^2 + ... + ик-1^к + Шк tk+1 + и0 (Уо ^1 + ... + Ук-1^к+1).
Следствие 2. Если х^2 +... + хк£к+1 координаты /в Я (а, т), то х0^1 + х^2 + ... + х'к_ 1^к+1 координаты /в Я (и1,и0).
Теорема 5. Если, _ наименьший квадратичный невычет по простому модулю р > 2, то в разложении в полурегулярную цепную дробь
6_____________1__________
р1
а1
а2
ап--------
ап+1
а^ ^ _, г = 2,...,п +1.
Доказательство. Пусть
р = и0а1 — и1, 0 < и1 <и0 (ш0 = _)
и0 = и1а2 — и2, 0 < и2 <и1
и п- 2 = и п- 1 а п — и п 0 < и п < и п- 1 , и п = 1 ип-1 --- 0пап+1 0 ип+1 -- 0
1
1
Из определения _ следует, что числа 1, 2,...,_ — 1 квадратичные вычеты по р.
По теореме 4 Я (п_ < и0, т) = Я(и1, и0), следовательно множество чисел и1^2 + ... + икЬк+^ условию 1), 2), 3), совпадает с множеством чисел 1, 2,...,_ — 1. Так как
_ (х1Ь2 + ... + хкЬк+1) = и1^2 + ...+икЬк+1 (тоф) и и1^2 + ...+икЬк+1 квадратичный вычет по модулю рто х1^2 +... + хкЬк+1 квадратичный невычет по модулю р. Если предположить что аг > _ при некотором г = 2,...,п + 1, то отсюда получаем _ ^ рги следовательно иг-1_ Е Я (и1,и0) и это противоречие так как,иг-1_ должно быть меньше чем _,следовательно аг ^ _ г = 2,..., п.
Теорема доказана.
Отметим что из этой теоремы в силу х1 = а1 ^ _ легко получить известную оценку
Некоторые важные сведения об исследованиях наименьшего квадратичного невычета по простому модулю можно найти в [1].
[1] Гельфонд А. О., . Iннннк Ю. В. Элементарные методы в аналитической теории чисел. — М., Физматгиз, 1962 г., С. 214 — 220
[2] Ильясов И.И. Структурная формула для последовательности {ив} и ее некоторые приложения в вопросах теории чисел. // Чебышевекий сборник. Т.11. Вып.1-Тула: Изд-во Туп, гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого. 2010. С. 152 —
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
172
Актюбинекий государственный университет им. К. /Кубанова Поступило 13.06.2011
