CC BY
68
Рис. 5. Рассчитанная зона анаэробного заражения
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Якушев Е.В, Сухинов AM. и др. Комплексные океанологические исследования Азовского моря в 28-м рейсе научно-исследовательского судна «Акванавт». Океанология, 2003, т. 43, №1, с.44-53.
2. . ., . . . .
Математическое моделирование, 2003, т.15, №10, с. 17-34.
3. A.I. Sukhinov, A.A. Sukhinov (2005). 3D Model of Diffusion-Advection-Aggregation Suspensions in Water Basins and Its Parallel Realization. Parallel Computational Fluid Dynamics, Mutidisci-plinary Applications, Prcoceedings of Parallel CFD 2004 Conference, Las Palmas de Gran Canaria, Spain, ELSEVIER, Amsterdam-Berlin-London-New York-Tokyo, 2005, 223-230.
4. A.I. Sukhinov, A.A. Sukhinov (2005). Reconstruction 0f 2001 Ecological Disaster in the Azov Sea on the Basis of Precise Hydrophysics Models. Parallel Computational Fluid Dynamics, Mutidis-ciplinary Applications, Prcoceedings of Parallel CFD 2004 Conference, Las Palmas de Gran Canaria, Spain, ELSEVIER, Amsterdam-Berlin-London-New York-Tokyo, 2005, 231-238.
УДК 519.17;519.6;519.8
12 3
АЖ. Кочкаров , А.А. Кочкаров , С.П. Никищенко
Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия, г. Черкесск Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва 3Северо-Кавказский государственный технический университет, г. Ставрополь
СТРУКТУРНАЯ ДИНАМИКА И ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРНОВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ*
Структурная динамика и предфрактальные графы
Современные исследования сложных систем таких, как электроэнергетические, ¥¥¥ (Мете!), нейронные сети, метаболические сети клеток, сети научного
,
претерпевает определенные изменения, вызываемые различными внешними обстоятельствами [1]. Структуру системы, произвольной природы (социальной, со-
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 04-01-00510).
циально-экономической, технической, химико-биологической и т.п.) можно представить в виде графа. Граф [2] - это абстрактный объект, как правило, вершины графа соответствуют элементам системы, а ребра - связям между элементами этой системы. Изменения, происходящие в структуре сложной системы, могут быть описаны простейшими теоретико-графовыми операциями: стягивание ребра, уда-( ) , ( ) . системы могут быть разовыми, а могут быть постоянными. Для второго случая разумно ввести понятие структурной динамики [3] - изменение структуры системы с течением времени. Несомненно, для описании структурной динамики лучше всего подходит аппарат теории графов.
Одним из наиболее распространенных сценариев структурной динамики является рост структуры. Рост структуры - это регулярное появление новых элементов и связей в структуре системы. Рост структуры происходит по строго сфор-, .
Фрактальные графы [4] используются для моделирования структур растущих в дискретном времени по одним и тем же правилам. Формальным отражением этих правил является операция замены вершины затравкой [4], она же и лежит в основе определения фрактальных графов. Затравка - произвольный связный граф.
Предфрактальный граф - конечный аналог фрактального графа будем обозначать через GL = V, EL ) , где VL — множество вершин графа, а EL — множество его ребер. Определим его рекуррентно, поэтапно, заменяя каждый раз в построенном на предыдущем этапе l = 1,2,...,Ь — 1 графе Gl = (V,El) каждую его вершину затравкой Н = (Ж, Q). На этапе I = 1 предфрактальному графу соответствует затравка G1 = Н . Об описанном процессе говорят, что предфрак-тальный граф GL = (Уь, Еь ) порожден затравкой Н = (Ж, Q) . Процесс порождения предфрактального графа GL , по существу, есть процесс построения последовательности предфрактальных графов G1,G2,...,Gl,...,GL , называемой траекторией. Фрактальный граф G = (V, Е), порожденный затравкой Н = (Ж, Q) , определяется бесконечной траекторией. Ранг Ь , фактически, определяет “возраст” (число этапов порождения) и размер (число вершин) предфрак-.
Особенности многокритериальной дискретной оптимизации на предфрактальных графах
Интерес к многокритериальным постановкам не случаен, т.к. при математическом моделировании достаточно сложных систем и объектов постановка скаляр-( . . ) лица, принимающего решения (ЛПР) [5, 6], в связи с тем, что построение обобщенных функций полезности [7] (интегральной эффективности) является проблемой
[8]. В то же время потребности практики разработки и эксплуатации сложных систем различной природы требуют учета и согласования значительного числа разнородных требований и целей [9, 10, 11]. К настоящему времени уже сложилась схема решения многокритериальных задач. В самых общих чертах её можно представить как двухэтапную.
Основу первого этапа составляет тот или другой алгоритм построения мно-( ), -
решений. В идеале МА представляет паретовское множество (ПМ) [12]. Основу второго этапа составляет некоторая система поддержки принятия решений (ППР), с помощью которой ЛПР выбирает из МА наилучшее компромиссное (т.е. наиболее целесообразное) решение [5, 6]. Накоплен определенный опыт практической реализации этой схемы. На базе этого опыта уже осознан и сформирован ряд актуальных научных проблем. Среди них - разработка принципиально нового подхода к отысканию наилучшего компромиссного решения [13]. Исследованиям в области этой проблемы и посвящена настоящая работа.
Предлагаемый подход базируется на априорном знании структуры множества значений векторной целевой функции задачи в критериальном пространстве. Если структура множества этих значений известна, то при формировании МА можно учесть механизм работы процедур системы ППР, которую использует ЛПР. Если эти процедуры, например, решающие правила системы ППР достаточно формали-, -можность формировать МА, которое обозримо для ЛПР. Более того, можно предложить метод ранжирования элементов МА по убыванию их предпочтительности, . . .
Идея предлагаемого подхода реализована и строго подтверждена рядом работ [14-18], в основе которых лежат методологии двух направлений анализа сложных систем в условиях неопределенности - многокритериальной дискретной оптимизации и фрактальной геометрии [4, 19, 20].
Обобщенная постановка многокритериальной задачи для работ [14-18] определяется следующим образом.
Будем говорить, что предфрактальный граф GL = (VL, EL ) -взвешен, если
каждому его ребру e(l) е EL приписано действительное число
w(e<yl)) е (в1 — в1 *Ъ), где l = 1, L - ранг ребра, а > 0, и в < —.
Ъ
Рассмотрим взвешенный предфрактальный граф GL = (VL, EL ) порожденный затравкой H = (W, Q) .
Покрытием графа GL будем называть подграф x = (VL, Ex) , Ex С El .
В зависимости от решаемой задачи (см. [14-18]) подграф может быть как связным так и несвязным, т.е. состоять из различных компонент.
Всевозможные покрытия {х} предфрактального графа GL образуют множество допустимых решений X = X(Gl ) = {x} (МДР).
x GL -
(ВЦФ): ____
F(x) = (F1(x),F2(x),...,Ft(x),...,Fn(x)), Ft(x) ^ min, i = 1,N .
Все критерии Ft (x), i = 1, N векторно-целевой функции F(x) имеют конкретную содержательную интерпретацию в соответствии с моделью исследуемой системы и решаемой задачей [14-18].
Поиск решений рассмотренных многокритериальных задач [14-18] осуществляются приближенными алгоритмами (тгоритмы с оценками). Эти алгоритмы позволяют строить решения оптимальные по нескольким критериям, если существования такого решения доказано, или решения, с заданными отклонениями от
оптимального. Кроме того, приближенные алгоритмы позволяют строить решение конкретной задачи вне зависимости от “возраста”, т.е. ранга L, структуры моделируемой системы. Это очень важно, когда структура системы претерпевает постоянные, нередко случайные изменения, т.е. наблюдается структурная динамика.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Евин ИЛ. Самоорганизующиеся сети // Синергетика. Труды семинара. Т.6. Естественные, социальные и гуманитарные науки. М.: МИФИ, 2003.
2. Емеличев В.А., Мельников (ХМ., Сарванов В.И., Тышкевич Р.К Лекции по теории графов. - М.: Наука, 1990. - 383 с.
3. Кочкаров АЛ., Салпагаров С.И., Кочкаров РЛ. О количественных оценках топологических характеристик предфрактальных графов // Известия ТРТУ. Специальный выпуск. -Таганрог, 2004. - № 8. - С. 298-301.
4. Кочкаров А. М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. Нижний Архыз: РАН CAO, 1998. 170с.
5. Емельянов С.В., Ларичев (ХМ. Многокритериальные методы принятия решений. - М.: Знание, 1985.
6. . . . - .: , 1979.
7. . . //:
качественных оценок. - М.: Статистика, 1972.
8. Современное состояние теории исследования операций / Сб. статей под ред. Moисее-ва КН. - М.: Наука, 1979.
9. . ., . ., . .
выбора вариантов системы. - М.: Наука, 1986.
10. . ., . . -ния сложных систем. - М.: Наука, 1982.
11. . ., . ., . . -плексных программ. М.: Наука, 1985.
12. . ., . . - -дач. М.: Наука, 1982.
13. . ., . . : , , . .: ,
1979.
14. . . -
ками для векторных задач об остовных деревьях: Автореф. дис. ... канд. физ.-математ. наук. Черкесск: Кар.-Чер. гос. технолог. ин., 2000.
15. . . .
ранговых типов: Автореф. дис. ... канд. физ.-математ. наук. Черкесск: Кар.-Чер. гос. технолог. ак., 2004.
16. . .
цепями: Автореф. дис. ... канд. физ.-математ. наук. Черкесск: Кар.-Чер. гос. технолог. ак., 2004.
17. . . .
Черкесск, КЧГТА, 2004, Деп. в ВИНИТИ, № 1870-В2004. - 14 с.
18. . . -
. , 2004 . . 1729- 2004. - 25 .
19. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991.
20. . . - .: , 2002.
