Структура определяющих соотношений изотопных материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

3 Горелышев Н. В Асфальтобетон и другие битумо-минеральные материалы. -М.: Можайск: Терра, 1995. -176 с.

4. Рекомендации центра лабораторного контроля, диагностики и сертификации по применению модифицированных битумов в дорожном строительстве. - М.: Федеральная дорожная служба России. -1999.

5 Мелик - Багдасаров М., Гиоев К. И прочнее, и долговечнее //Автомобильные дороги. -2000. - №2. -С. 8-9.

6. Богуславский А. М., Богуславский Л. А. Основы реологии асфальтобетона. /Под ред. Н. Н. Иванова. - М.: Высшая школа. - 1972. -200 с.

7. Веденеев Б. В, Михайлов Н. В. Трубопроводный транспорт горячего битума.-М.: Госстройиэдат, 1962.-219 с.

8. Золотарёв В. А. Долговечность дорожных бетонов. -Харьков: Вища школа, 1977. - 114 с.

9. Лысихина А.И. Применение поверхностноактивных и других добавок при строительстве асфальтобетонных и подобных им дорожных покрытий. - М.: Автотрансиздат, 1958 -56 с

10 Борщ И М. Процессы структурообразования в асфальтовых материалах. // Опыт строительства

асфальтобетонных покрытий: Труды МАДИ.- Вып.23. - М.: Автотрансиздат. 1958.-С.37-41.

11. Ворожейкин В. М. Повышение качества и регулирование свойств асфальтового бетона направленным структурированием битума в процессе смешивания//Изв. вузов. Строительство.-2001. - №12-С. 24-26.

12. Кузмичёв В. А. Вибрационное перемешивание битумноминеральных смесей в вибросмесителях: Автореф... канд. техн. наук. - Л, 1973.-22 с.

13. Гринберг Г.Г. Виброперемешивание мелкозернистого асфальтобетона. - Рига. Изд- во АН Латвийской ССР, 1961.-22 с.

14. Трекслер Р. Н. Реология и реологические модификаторы (за исключением эластомеров): структура и время. // Битумные материалы (асфальты, смолы, иски)/ Под ред. А. Дж. Хойберга; пер. с англ. -М.: Химия, 1974,-С.104-153.

ВОРОЖЕЙКИН Владимир Михайлович, кандидат технических наук, профессор.

С. А. КОРНЕЕВ

Омский государственный технический университет

УДК 531

СТРУКТУРА ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ ИЗОТОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ _

С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА МАТЕРИАЛЬНОЙ СИММЕТРИИ И ПРИНЦИПА ОБЪЕКТИВНОСТИ ПОВЕДЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ СРЕД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА ПОЛУЧЕНЫ ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ, ВЕКТОРА ТЕПЛОВОГО ПОТОКА И УДЕЛЬНОЙ ВНУТРЕННЕЙ ЭНЕРГИИ.

1. Введение

У материалов дифференциального типа состояние каждой точки Хв момент времени I определяется набором параметров р, С, 0, Р"). берущихся в той же точке среды и в тот же момент времени [1]. Здесь в - абсолютная температура. Р = гх(/, Х)/аХ и С = дв{(,Х)/дХ -градиенты деформации и температуры по отношению к отсчетной конфигурации среды. х(/,.\) и в(1,Х) - закон движения и закон изменения температуры при лагранжевом описании, 9 = дв(!,Х)/б! и Р = д¥(1,Х)/д1 - полные (материальные) производные по времени.

Класс материалов дифференциального типа является довольно широким. Помимо сред, изучаемых в классической теории упругости и классической гидрогазодинамике, он охватывает нелинейные вязкие жидкости, вязкоупругие среды Кельвина-Фойхта, а при определённых ограничениях и пластически деформируемые тела [2,3,4]. Поэтому крайне важно знать общий вид определяющих соотношений для тензора напряжений Т. вектора теплового потока и удельной (на единицу массы) внутренней энергии е. Это позволит более эффективно моделировать свойства реальных материалов.

В общей поставке решение данной задачи можно получить для изотропных материалов, имеющих широкое практическое применение.

2. Исходные положения

Введем понятия приведенного тензора напряжений Тс и приведённого вектора теплового потока , определив их выражениями 1

2 р ' Р

Между плотностью среды р в актуальной конфигурации и плотностью р„ в отсчетной конфигурации имеет место соотношение [11

р = р„14е1¥. 2

Прямыми вычислениями нетрудно убедиться в справедливости равенств

Т: Э = рТг : С, % = Ъ, р = р„Ц&1С . 3

где

0 = 0.5[Уу+(УУ)'] 4

- тензор скоростей деформации (V - скорость),

g = V6 = G Г"1 5

- градиент температуры по отношению к актуальной конфигурации,

С = РГ Р 6

- мера деформации Коши, связанная стензором конечной деформации е простой формулой е = (С -1)/2.

Исходя из первичных выражений

с помощью принципа объективности поведения материалов можно получить [5]

тг = тс(0,с,сдс). .1, = -1>с,сДс), 7

е = е(0,С,СДС)-Все величины, входящие в выражения (7), сохраняют свое значение при замене системы отсчета:

т;.=ту, е=е. &=о> е=о. С=С

с=с ,с=с

Если среда изотропная, а в качестве отсчётной взята неискажённая конфигурация, в которой материал про-

являет одинаковые свойства во всех направлениях, то определяющие соотношения (7) должны быть ковариант-ны относительно ортогональных преобразований начальной (лагранжевой) системы координат [2]. Чтобы применить данное положение, нужно располагать конкретными соотношениями для анизотропной среды. Например, можно положить приведённый тензор напряжений зависящим лишь от меры деформации Коши, разложить его в ряд Тейлора и ограничиться линейным приближением:

(Т,),=«,+6

Из условия ковариантности данного соотношения при переходе от одной лагранжевой системы координат Х: к другой лагранжевой системе координат Х\ (с общим началом) следует, что

</,' = а'„, Ь'ы - Ь1Л .

Иными словами, тензоры я„ и Ьпк, должны быть изотропными тензорами второго и четвёртого порядка соот-ветственно [6, 7]:

а =«<*, Ь . =ЛДД + + ЗА«).

где <$. - символы Кронекера

Поскольку общие определяющие соотношения для анизотропных материалов дифференциального типа неизвестны, применить указанную процедуру для выяснения свойств изотропных материалов не представляется возможным. Поэтому для достижения поставленной цели нужен иной подход.

3. Определяющие соотношения изотропных твёрдых тел

Чтобы получить общие определяющие соотношения для изотропных твёрдых тел дифференциального типа, рассмотрим следующую ситуацию. Пусть кж -естественная конфигурация (в ней среда находится в термодинамическом равновесии, а напряжения равны нулю). Возьмём некоторую материальную точку, занимающую положение М,, и выделим вокруг этой точки шарообразную область (рис. 1). Если к границе указанной области приложить какие-то напряжения и подвести теплоту, то она к моменту времени перейдёт в актуальную конфигурацию а- , а точка М, займёт положение д/ . При этом переходе градиент деформации и градиент температуры в данной точке среды будут меняться по некоторым законам р(/) и С(/)

Представим теперь, что материал из конфигурации к без изменения формы и температуры переведён в конфигурацию V , например, за счет поступательного перемещения на некоторое расстояние и поворота на определённый угол вокруг произвольно выбранной оси. При этом точка среды займёт новое положение /v/,. Указанное

движение среды будет описываться градиентом

©

к"

С-Н

т

I С: = 0 Рис. 1. Деформация изотропной среды.

деформации Р, который совпадёт с некоторым ортогональным тензором н (Рис-1) Если затем нагрузить и нагреть окрестность рассматриваемой точки среды точно так же, как в первом случае, то материал испытает некоторую деформацию и за промежуток времени ( перейдёт из конфигурации к. в конфигурацию £ (при этом точка среды перейдёт из положения М, в положение ). Понятно, что как таковые конфигурации к и % отличаются друг от друга, ибо у нашей точки изменилось соседство с другими точками среды. Если материал анизотропен, то изменение соседства обязательно скажется на величине тех или иных параметров. Напротив, для изотропного материала указанное изменение взаимного расположения точек среды не окажет никакого влияния. Поэтому свойства материальной точки в положениях и д/ будут одинаковыми (например, Х = Т> = I, • е = е)■ В частности, эволюция градиентов деформации и температуры при переходе из конфигурации к, в конфигурацию % будет описываться теми же законами, как при переходе из конфигурации к в конфигурацию к Р, = р(/), С,=С(<).

Согласно первым формулам в (1), (7) истинный тензор напряжений определяется зависимостью

т = 2рртг(0,сдс,с)-р',

отвечающей положению м выбранной точки среды (рис. 1).

Соответственно, в положении $ будет выполняться выражение / _ • • \

Т = 2РР-ТС(6»,С,0,С,С}Р7 8

Поскольку среда изотропна, то

р = р.в=в-ё = в- 9

Используя очевидные зависимости

х = х[/>Х_,(Х,)],0 = 4>Х:(Х|)],

дифференцированием нетрудно установить формулы преобразования градиентов деформации и температуры при замене отсчётной конфигурации:

Так как в рассматриваемом случае Рг = Н , то, приняв обозначения

6=0,.? = ^, 10

находим

р = р н с;=с н и

В соответствии с теоремой Коши о полярном разложении [1]

Р = V К , 12

где Я - сопутствующий деформации ортогональный тензор вращения:

И Н' = И' И = 1. 13

а V- левый тензор растяжения, являющийся симметричным тензором: V' = V • Мера деформации Грина [8]

В = У2 14

обладает аналогичным свойством.

Положим,

Н = ИГ 15

и вычислим значения величин р\ С - с и С ■ входящих в выражение (8). На основании формул (11)-(15) и соотношений (5), (6) имеем

Р = р Н = У I* я' =у = в'. £ = Р Н=Р И7' С = ? = У: = в.

+у (V я+у к) л' =в+в и 11-11 в,

Если ввести понятие ассоциированной производной по времени

в=в+в й и'-к и' в 16

и подставить найденные значения величин р, С' б в зависимость (8), то с учётом равенств (9) получим

Поскольку т _ '"[■, окончательно находим

Г = 2рВ Т (<9,В.<9,В^В:)в: 17 Аналогичным образом, используя выражения

нетрудно найти зависимости для истинного вектора теплового потока и удельной внутренней энергии:

^ = /Я'' Л вД В,£ ■ В*), е = ф, вД В,В ■ В*)■ 18

Замечание 1 Мера деформации Грина в является объективным тензором. При замене системы отсчёта данный тензор преобразуется по закону

В =0 В 0', 19

где ()(;) - зависящий от времени ортогональный тензор, задающий переход от одной системы отсчёта к другой системе отсчёта. Поскольку для тензора вращения имеет место формула перехода [1 ]

Я" =<3 1*, 20

то при замене системы отсчёта поведение полной производной в и ассоциированной производной д различно. Согласно выражениям (16), (19), (20)

(в) в•<}'■ +0 в <ув О', (в) = д в су

Другими словами, полная производная по времени от объективного тензора не является объективным тензором, а ассоциированная производная по времени (16) от объективного тензора представляет собой объективный тензор Отметим, что из научной литературы известны и другие типы ассоциированных производных (см., например, [8]). В отличие от выражения (16) многие из них вводятся на основании тех или иных эвристических соображений.

Замечание 2. Зависимость

т, - вД• в ].

которая получается из зависимости

т,. = з(#,сДс,с)

путём замены аргументов по схеме, С-»В. С—>В' С -> ё В при переходе от одной системы отсчёта к другой системе отсчёта ведёт себя не как инвариантный тензор (Тг" = Т(.), а как объективный тензор (Т(" = Т(.). Это следует из формулы (17) и ниже иллюстрируется формулам (22)-(27).

Поскольку все величины, входящие в выражения (17) и (18). являются объективными величинами соответствующего тензорного ранга, к ним можно применить известные теоремы о изотропных (скалярных, векторных и тензорных) функциях [9]. С этой целью введём следующие обозначения:

П(А .А..а)={П,,П......П„.}, 21

I I. = сг(Л,) II, = 1г(А;). П, = и(а;), Пл = 1г(А.).

ii. -1г(А ) п„ = сг(А;). п. = 1г(А,-А.).

П, = ег(А,: ■ А,), Г1, = 1г(А, • А;), П,„ = Гг(А; ■ А;),

П,. = а ■ А. а. П|; = а • А,! а, П,, = а • А. а,

11м - а А, а , 11|; - (А. а) (А; - а), =а?,

где А ; и А. - некоторые тензоры второго ранга, а - вектор. В результате получим (знак ® указывает на диадное умножение)

"I;В.6».В.Б■ В■■)=//,I + //,В + ,цВ: + В+д в +

+ //.(в■ в+ в- в)+ и.(в: • в+ В- в:^

+ М,, + М»

(8в')®(в:.(е.в=))+(в!(8.в!))®(8.в=)]+

(е.в4)®(в.(Ев'))+(в(в.в4))®(евО]+

(е.в=)®Гв2.(8-в=)1+Гв2-(е.в=)1®(8в=)

+ ¿<|в- в"+в"- • в+в'- в:]+я,(е- в-)®(е- в-)+

■и

(б>, в Д в, е в=)= -^1,1 + ягв + я3в! + я4 в+ я5 в'+ + А,в-в+л,в-в)-(в-в*), 23

Коэффициенты д (г = 1, 14) и Х1 (у'= 1, ..., 7) являются скалярными функциями вида (24). С помощью теоремы Гамильтона-Кэли данные выражения можно при необходимости преобразовать к другому виду. Если в зависимостях (22)-(24) произвести замену аргументов по обратной схеме В->С, В->С' -»в, то им можно придать компактную форму записи:

Тс (б,сДс,с)= д! + + + м£+М, С: +

+д(сс+сс)+л(с:с+сс:)+ + Д,(с■ С: + С: ■ с)+ р.,(с2 ■ С: + С: • С:)+ц0С ® С + 25

+ //„[С®(СС)+(СС)®С] + /;1:[С®(С;С)+(С:С)®С.]+ + д,[с ® (с ■ с)+ (с • с)® с]+ ® (с: • (с: • с)® в],

■ГДб.сД С,С)= -(я,1 + я,с + л,с2 + Л,С + Л3Сг + + я6С-С + я;С-с)-С, 26

е((9,с,(9,с,с)= фдп(с,с,с)]. 27 Теперь коэффициенты д (/ = 1,..., 14) и Я. (= 1,..., 7) будут уже скалярными функциями вида (27).

Зависимости (25)-(27) представляют собой искомые общие определяющие соотношения для изотропных твёрдых тел дифференциального типа. Следует подчеркнуть, что их удалось получить благодаря совместному применению принципа материальной симметрии (для изотропных сред) и принципа объективности поведения материалов. Первый принцип накладывает на определяющие соотношения ограничения, отражающие свойства данного материала. Второй принцип, близкий к первому, накладывает ограничения, вытекающие из свойств пространства и времени. Поэтому полученные соотношения обладают высокой степенью достоверности. 4. Определяющие соотношения текучих сред Перейдём к рассмотрению текучих сред (газов и жидкостей). Помимо самостоятельного значения, данный случай интересен тем, что выше температуры плавления все твёрдые тела проявляют текучие свойства.

Как учит опыт, 1) все текучие среды изотропны, 2) каждая равновесная конфигурация текучей седы является неискажённой, 3) при квазистатических деформациях сдвига, протекающих в изохорно-изотермических условиях (р =солз{, в -сопз^, свойства текучих сред не меняются (с логической точки зрения данные утверждения являются определением термина "текучая среда").

Рассмотрим неравновесный процесс, в ходе которого текучая среда перешла из равновесной конфигурации к в неравновесную конфигурацию к (рис. 1). Положим, что плотность р) выделенной точки среды в положении М совпадает с плотностью р этой же точки в положении д/ (р = р,). Согласно формуле (2) наложенное условие означает, что

(^ = 1- 28 Примем, что переход среды из равновесной конфигурации к^ в другую равновесную конфигурацию к, происходит в ходе квазистатической изохорно-изотермической деформации сдвига и, может быть, квазитвёрдого движения, состоящего из жёсткого поворота и некоторого поступательного перемещения. В ходе

указанного движения рассматриваемая точка среды перейдёт из положения М, в положение М, (рис. 1). Очевидно, что в обозначенных условиях

<1«Н = 1. р,=р,.в,=в,. 29

Затем среда переходит из равновесной конфигурации л в неравновесную конфигурацию £ вышеописанным образом При этом точка среды смещается из положения М в положение у . Понятно, что р = р.. Благодаря равенствам (28), (29) можно положить

Н = Р _ 30

Ввиду ограничения р. = р. = р = р в соотношении (8) следует в явном виде указать на зависимость от плотности р,

Т = 2рРтДрДс.£,С,с)-Р' 31 На основании формул (10), (11), (30), соотношений (4)-(6) и очевидного равенства

ем сV (5Х • ,

V V = — =---= Ь • Р 32

дх дХ дх

можно вычислить значения величин р, ¿¡,

входящих в выражение (31):

р = р Н = Р Т ' = I ■ ? = Р Н = Р Р"'=Уу' с = Г • ? = I ■ С = Г ■ ? + • ? = (V V)' + V V = 2Э.

б=С Р^тт ^ Отсюда получаем

Т = 2рТг(р^в,\,в,20,ц).

ибо р = р, 0=0. 0=0 Поскольку х = 'Г и Л = Р> окончательно находим

Т = 2рТ1{р,в,С = 1,0,20^) 33 Аналогичным образом, исходя из выражений

3 , = Л^в.сжся). е=е(р„в.с,в,с,с).

можно установить следующие зависимости для истинного вектора теплового потока и удельной внутренней энергии:

<> = е{р,0, С =1,(9,20^) 34

С помощью теорем о изотропных функциях [9] из соотношений (33). (34) находим

Т(р.в.в.ъ Э) = + + ^ + ил ® g, 35

|;(р,б,^8,в)=-(А11+Я20 + Я30г)Е, 36

е{р,вЛ&0)= £(рД0^1|1МгО:,1гО\£- О ^ 37

Коэффициенты /*,(/ = 1,.. , 4) и Я, (у = 1,2,3) являются некоторыми скалярными функциями от тех же аргументов, что и функция (37)

Общие выражения для приведённого тензора напряжений и приведённого вектора теплового потока, как функций параметров (0,С,С,0,С), имеют вид

тг =

vdetC

2 А

С 1 С

с1 с

+ //4(c-'-G)®(C-|-G)

■С- +

38

J,=-

VdetC

Я

41+¿J

с1 с

с1 с

•СЧ-G

39

Выражения (38), (39) вытекают из определений (1), соотношений (3), (5), (6), (35), (36) и простого равенства

20 = (Р"')' -С-Р".

которое нетрудно установить по формулам (4), (6), (32). Зависимость е(0,С,СДс) для внутренней энергии получается из соотношения (37) простой заменой переменных, основанной на равенствах (п - 1,2,...)

Г 1

Р =

VdetC

= G С ' G

trD" = tr

С1 С

g D" g = G

С 1 С

С ' G

В определяющих соотношениях (38), (39) коэффициенты Д- (г = 1. ■ , 4) и Я (у = 1,2,3) имеют вид, аналогичный

зависимости e(e,C,G,e,c) Из соотношений (22), (38) i

3) следует, что диссипативные свойства изотропных твёрдых тел и текучих сред описываются разными тензорами (ассоциативной производной g в первом случае и тензором скоростей деформации d в0 втором). Причём для задания свойств твёрдых тел необходимо иметь 22 скалярные функции, а для текучих сред только восемь. Перечисленные отличительные признаки отражают принципиально важное различие между твёрдыми и текучими средами: при изохорно-изотермических деформациях сдвига состояние первых меняется, а состояние вторых - нет.

Благодарность. Хочу поблагодарить зав. каф. "Теория упругости" МГУ, профессора Кийко И.А. за замечания, работа над которыми привела к публикуемым результатам.

ЛИТЕРАТУРА

1 Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред -М.: Мир, 1975. -592 с.

2. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. - М.: Изд-воМГУ, 1978.-287 с.

3. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: Иэд-во АН СССР, 1963. - 271 с.

4. РаботновЮ.Н. Механика деформируемого твёрдого тела. -М.: Наука, 1988. -712с.

5. Корнеев С.А. Применение метода Кпауэиуса-Кельвина к анализу локально-неравновесных процессов // Изв. РАН. Энергетика. - 2001. - № 4. - С. 106-116.

6. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовяэкоупругости,- М.: Наука, 1970. -280 с.

7. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. - М.: Наука, 1980. -512 с.

8. АстаритаДж , МарруччиДж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. - М.: Мир, 1978. -309 с.

9. Wang С.-С. A New Representation Theorem for Isotropic Functions //Arch. Rat. Mech. Anal. -1970. - Vol. 36. - N 3. - P. 198-223.

КОРНЕЕВ Сергей Александрович, кандидат технических наук, доцент кафедры "Основы теории механики и автоматического управления".