Нетермодинамический метод построения тензорных и векторных определяющих соотношений на основе принципа объективности поведения материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

удк 531 с. А. КОРНЕЕВ

Омский государственный технический университет

НЕТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ТЕНЗОРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА ОБЪЕКТИВНОСТИ ПОВЕДЕНИЯ МАТЕРИАЛА

Усовершенствована традиционная техника применения принципа объективности поведения материала с целью развития нетермодинамических методов построения тензорных и векторных определяющих соотношений с точностью до скалярных коэффициентов. Приведен альтернативный вывод известной формулы Нолла, описывающей замену системы отсчета, выявлены характерные особенности. Порядок применения предложенного метода проиллюстрирован на конкретных примерах.

Принцип объективности поведения материала1 термальной однородности и изотропности самою ма-

подразумевает наличие изотропии и однородности териала, материально неоднородные и анизотропные

пространства: изменение сис темы отсчета (т.е. наб- материалы также удовлетворяют этому принципу,

людате ля) не должно сказываться на поведении мате- Особенности традиционной техники применения

риала. Данный принцип не связан с требованиями ма- принципа объективности поведения материала мож-

но иллюстрировать на примере упругого материала (1,2]. По определению упругим называется материал, у которого определяющее соотношение для тензора напряжений'Тявляется функцией градие1гга деформации Р:

Т = Ф(Р).

(1)

Здесь Р = дх(1,Х)/5Х, х^.Х)— закон движения (X, х - радиус-векторы одной и той же материальной точки в отсчетной и актуальной конфигурации соответственно, I - время). По принципу объективности поведения материала если в одной из систем отсчета (без звездочки) выполняется соотношение (1), то в другой системе отсчета (со звездочкой) имеет место аналогичное по виду соотношение

Т = ф(р’).

С помощью формул перехода

Г = ОТ Ог. Г=О Р.

(2)

(3)

где О = 0(0 —ортогональный тензор, характеризующий относи тельный поворо т систем отсчета, на основании (1), (2) получается равенство

0-Ф(Р)-0т=Ф(0-Г).

(4)

Если учесть формулу полярного разложения Коши 11,2|

р=Я-и = УЯ (5)

и положить в (4) 0 = Яг, будем иметь

Ф(Р)=К-Ф(и)Ят. (6)

Здесь V, и - левый и правый тензор чистою растяжения соответственно (симметричные, положительно определенные тензоры), I* — сопутствующий деформации ортогональный тензор вращения.

Таким образом, на основании (1), (б)

Т = И Ф(и) Кт.

Установить большее о свойствах симметричной тензорной функции Ф(1!) из принципа объективности поведения материала не удае тся по причине того, что тензор и инвариантен: и’ = и.

Если ограничиться случаем изотропного материала и взять в качестве отсчетной неискаженную конфигурацию (11, то тогда в дополнение к (1) можно записать

ф(р) = ф(р-0т), (7)

где О - ортогональный тензор, описывающий произвольный поворот неискаженной конфигурации. Заменив в (7) тензор Р тензором О^, получим

ф(о-р)-ф(ор-о7)-

(8)

Но, согласно принципу объективности поведения материала, записанному в форме (4) при 0 = 0, имеем

ОФ(Р)От=Ф(ОР). (9)

Совместно (8), (9) приводят к равенству

о-ф(р)-от = ф(о-г-от). (10)

С другой стороны, благодаря произвольности тензора О, в (7) можно принять О = Я и получить со ссылкой на формулу (5) выражение

Ф(Р)=Ф(У),

которое означает допустимость замены в (10) тензора Р тензором V:

ОФ(У)От=Ф(ОУОт).

Таким образом, согласно (И) для изотропных упругих материалов функция Ф(У) является изотропной тензорной функцией симметричного тензора V. Только после этого можно применить известную теорему об изотропных тензорных функциях (6) и установить зависимость Ф(\0 с точностью до скалярных коэффициентов:

Т=Ф(У)=Хо1 + Х,У+х2Уг,

X. =хЛ1гУ'1гу2-,гУ‘) (к =0,].2).

(12)

Пример вывода соотношения (12) наглядно показывает, каких усилий требует традиционный метод получения определяющих соотношений даже в случае изотропного упругого материала. Поэтому при построении сложных математических моделей материалов полезно располагать усовершенствованной методикой применения принципа объективности поведения материала, которая позволяла бы достаточно просто устанавливать определяющие соотношения с точностью до скалярных коэффициентов.

1. Формулы перехода при замене системы отсчета

Подсистемой отсчета понимается совокупность тела отсчета, связанной с ним базисной декартовой системы координат (О.ц.^.т,) и некоторых часов (7, 8|. Тело отсчета считается абсолютно твердым. Поэтому относительное движение систем отсче та является жестким движением, складывающимся из поступательного перемещения и поворота вокруг некоторой оси на определенный угол.

По теореме Нолла (9) переход от «старой» системы отсчета (без звездочки) к «новой» системе отсчета (со звездочкой) описывается формулами

хв -ха = 0(х„ -хА), 1‘ = 1+а,

(13)

где а - число, определяющее сдвиг отсчета времени; А и В — некоторые точки, имеющие в моменты времени ЬI* радиус-векторы хл ,Хд и хв, х£ в «старой» и «новой» системе отсчета соответственно; О = О(0 — собственный ортогональный тензор (с!е10 = 1).

Практически во всех известных литературных источниках формулы (13) приводятся без вывода со ссылкой на первоисточник (9|, который довольно труден для восприятия из-за применения сложного математического аппарата, позволяющего описывать одновременно геометрию Евклида и хронометрию Минковского. Поэтому для достижения цели, поставленной в начале статьи, поясним порядок (альтернативного) вывода первой формулы Нолла (13), что позволит лучше понять ее физический смысл.

Пусть имеются две системы отсчета, у которых базисные системы координат (О,!,,^,!,),^*.!^,^) меняют взаимное расположение стечением времени

МАШИНОСРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

машиносіюїниі и машиноєшяиі

а б

Рис. 1. Взаимное расположение систем отсчёта и материальных точек А, В в произвольный момент времени

(рис. I, а). Зафиксируем произвольно выделенный момент времени, которому отвечают показания часов I, Г соответствующей системы отсчета. Возьмем две ма териальные точки А и В, которые в общем случае могут принадлежать разным телам. Обозначим через АВ* вектор, характеризующий взаимное расположение точек А, В по отношению наблюдателю @* новой системы отсчета, а через ЛВ — вектор, характеризующий взаимное расположение точек А, В но отношению к наблюдателю @ старой системы отсчета:

(14)

Так как оба наблюдателя используют одинаковый математический аппарат тензорного исчисления, а орты і; расположены относительно наблюдателя @* новой системы отсчета точно так же, как расположены орты \к относительно наблюдателя @ старой системы отсчета (рис. 1. а), то с формально-математической точки зрения

(15)

где эк - абстрактные (обезличенные) единичные векторы (к = 1, 2, 3).

В абстрактном базисе векторы АВ, АВ связаны формулой (рис. 1, 6)

AB - О-АВ(

(16)

где 0 = 0(1)- некоторый ортогональный тензор. Формула (16) указывает, что вектор АВ получается из вектора АВ жестким поворотом. Согласно рис. 1, а

ав' = х;(г)-х;(г). ав = х,(0-х.(0-

Отсюда на основании (16) приходим к первой формуле Нолла (13). Остается только выяснить кинематический смысл тензора О.

Для наблюдателя (§> старой системы отсчета орты переходят в орты ¡¡; посредством жесткого движения:

= 0(1).

'ib.

(17)

где O(t) - собственный ортогональный тензор, характеризующий вращение новой системы отсчета относительно старой системы отсчета. С другой стороны. принимая в формулах (14), (16) заточку А начало вектора , а за точку В - его конец, имеем

Подставляя (17) в (18), находим

(18)

или с учетом (15)

эк =0 O(t)-эк.

Отсюда следует, что О 0(t)= I и по свойству ортогональных тензоров

0 = 0'(t). (»9)

Таким образом, тензор О характеризует вращение старой системы отсчета относи тельно новой системы отсчета. На основании (17), (19) он равен

oW-toWl*.

Начальное значение тензора 0(t„) зависит от выбора взаимной ориентации ортов базисных систем координат it. \ в начальный момент времени. Если при 1 = t„ базисные системы координат обеих систем отсчета совпадают, то Q(t0)=IJt =1, где I - единичный тензор.

При использовании принципа объективности поведения материала могут возникнуть две принципиально разные ситуации, которые приводят, как кажется на первый взгляд к взаимно противоречивым результатам.

Первая ситуация заключается в следующем. Есть два наблюдателя (две системы отсчета, одна из которых, например, связана с Землей, а другая - сЛуной), у каждого из них одинаковые экспериментальные установки, на которых проводятся опыты с одним и тем же материалом по единой методике. В ходе измерений каждый из наблюдателей определяет свое значение тензора напряжений в соответствующей точке материала, в соответствующий момент времени:

По принципу объективности поведения материала у обоих наблюдателей численные значения компо-ненттензора напряжений должны быть равными:

т* =т I

Ч#* «І«'

Отсюда с учетом (17)-(19) приходим к цепочке равенств

Рис. 2. Процесс деформирования среды в разных системах отсчёта

T'L- =t;¡xL- =t~Uoí:U°-¡:U =

жений (в данной точке среды, в данный момент времени) при замене системы отсчета.

Обращаясь к формулам (13), положим, что отсчет = = ТпМ.1а = т1$? ■ (2°) времени в обеих системах отсчета одинаков (а = 0), и

совместим точку А (полюс) с началом базисной сис-которая показывает, что у обоих наблюдателей будет темы координат О* «новой» системы отсчета, а точ-

получаться одинаковый результат не только д\я ком- ку В с материальной точкой среды М (рис. 2). В этом

понент, но и для тензора напряжений в целом. Такой случае по формулам (13) будем иметь вывод в общем-то и следовало ожидать, если исходит!»

из требования равноправности обоих наблюдателей 1* = 1, х’(1.Х‘) = О(01х(1.Х)-х .(0|. (25)

и тождественности методик проведения экспериментов. Однако здесь сразу же встает вопрос о непроти- Здесь (рис. 2)

воречивости результата (20) и первой формулы (3).

Чтобы показать, что возникшее противоречие яв- , . . . . ./ |

ляется кажущимся, рассмотрим вторую возможную х°' * ' гоо*1» • х‘1, '= г«м|®» х ' ’ '

ситуацию: оба наблюдателя описывают один и тот

же процесс деформирования материала и сопоставля- — закон движения точки О* относительно «старой»

ют результаты своих измерений с результатами изме- системы отсчета, законы движения среды относи-

рений другого наблюдателя (рис. 2). Для согласования тельно «старой» и «новой» системы отсчета соответ-

с первой формулой (3) примем следующие обозна- ственно; X, X* — радиус-векторы точки М при 1 = 1„

чення для значений тензора напряжений в точке (в отсчетной конфигурации относительно соответст-

среды М относительно каждой из систем отсчета: вующей системы отсчета):

\т «Т^.М^. =Т„(Г.м)е1(1*.мК(»‘.м|1<.. Х = х(|0,Х), Х* = х*(1(„Х*).

[т а ТО.МХд, = ТП1(г,М)е|(11М)е,(|.М)|в, ^ Для двух бесконечно близких точек среды из (25)

вытекают равенства

где (е,, ег, ед) - некоторый, произвольно взятый базис (рис. 2). По принципу объективности поведения с1х’=0-с1х. <1Х'=0„-с1Х, (26)

материала для обоих наблюдателей численные значения компонент тензора напряжений должны бы ть где для простоты записи приняты обозначения 0 = равны: =Ой), Оп = 0(0. С другой стороны, по определению

ТДГ.М)^. =Т„(1,М)1Г. (22) градиента деформации (1,2)

С другой стороны, принимая в (14), (16) заточку А р ^Х . ¿х = Р

начало вектора ек. а за точку В - его конец, придем Совместно выражения (26), (27) приводят к фор-

к равенству

муле перехода

е.Мг-ООКО.МЦ,. (23) F'=OFO;. (28) :

В

На основании (21 )-(23> можно записать цепочку поскольку |

равенств "

Т' =Т1.еге.|г. =Т„ОегО-е.|4 =

= 0-(Tnefe.|j0r=0TQ\ (24)

dx* = F* dX* = F*-Q0 dX ,dx* = Qdx =QFdX

=>F* Q0 dX=O F dX. I

По формуле полярного разложения (5) и формуле Из существа вывода (24) становится понятным, перехода (28) имеем что первая формула (3) является формулой перехода,

по которой пересчитывается значение тензора иапря- F* = R* • U* = О ■ (R • U)-Q* = (о• R ■ Q¡| )• (q0 U О'■),

1002 (9S) I ** ХИН1ЭЭ8 ИГЯНКАУН ЦИХЭИО

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МЛШИНОИАЕНИІ

F' = V’ R' = О (V R) Оо = (О V 0Т) (О R Oj).

Отсюда ввиду единственности разложения (5) находим

R'=QRQ,T. (29)

U*=O0UQÎ. (ЗО)

V*=QV-Q7. (31)

В частном случае, когда О0 = І. формули (28) -(31) принимают традиционный вид:

F'=O F. R' -О R. IT = U. V*=O V OT.

В соответствии с этим тензор нулевого ранга (скаляр) а, тензор первого ранга (вектор) а и тензор второю ранга (просто тензор) А будем называть инвариантным, если при замене системы отсчета имеют место равенства

a‘(t) = a(t). a*(t) = Qe a(t), A’(l) = Q, A(t) О,'. (32)

Если же при замене системы отсчета выполняются равенства

a*(0=a(t). a’(0cQ(0 a(t).

а*(0=о(0а(0оЧі). (зз)

то величины а, а, Л будем называть объективными тензорами соответствующего ранга. Ясно, что объективные и инвариантные скаляры принадлежат одному множеству2, тогда как векторные и тензорные величины в общем случае либо объективны, либо инвариантны, либо ни то и ни другое. Исключение составляют нулевой вектор, нулевой тензор и единичный тензор. Для последнего

Г =0(1) 1О (1) = О0) О (1)=1. Г=О0 І ОІ = О0 О? = 1.

2. Эквивалентные формулировки принципа детерминизма

По принципу детерминизма во всех системах отсчета тензор напряжений-1 описывается одинаковым по виду определяющим соотношением (1-3]. Иными словами, если в одной из систем отсчета тензор напряжений описывается функционалом

Т(«.х)= 3 |х(т,V).0(т.у)| 134,

«*-г ^

то влюбой другой системе отсчета снравеми во аналогичное соотношение

[х-(,,у)в-(х-.у)1. ,35,

уУ

напряжений можно использовать тензор напряжений с исключенным вращением Т” (10| или энергетический тензор напряжений Pr (1):

Ти = R1 T R • (тк)‘ =(r’V T* R‘; (36)

Pr =0.5det(F)F',T(F,)V.

P(: = 0.5del(F*XF*)' -T* -¡И’Т• (37)

Приведенный тензор Pt. энергетически сопряжен с мерой деформации Коши С:

—Т: D = ~Р< :С. С = Fr F. (38)

Р Ри

где р, Ро — шчотность в актуальной и отсчетной кон-фигурациях соответственно, D = 0.5(vv + VvT) - тензор скоростей деформации, V = д/Зх — оператор градиента по отношению к актуальной конфшурацни, точка сверху обозначает полную (материальную) производную по времени. На основании (34)-(37) нетрудно установить, что если в одной системе о тсче та выполняются соотношения

TR(t,X)=3*[x(T,Y)iO(T.Y)]i

VY

Pc(1.X)=3,'-[x(t.Y),0(t,Y)1, ,39,

«•-« VY

го в другой системе отсчета будутсправедливы анало-гичные по виду соотношения

(T")r(l’.X')= Ь" [x-(t.Ylo-(t-.Y-)l.

« VY-

P;(l' X')= Зс [x‘(t.Y‘)o‘(t*,Y‘)] ,40,

*’»-« W

Введение мер напряжений (36), (37) удобно тем, что они носят инвариантный характер:

(Т* )• = Q0 Т" О I. Pt*. = О,, • Р,- О!. (41)

В общем, можно использовать и другие известные меры напряжений (см., например, [1-3, 10]). Всякий раз будет получаться результат, подобный (39), (40).

На практике при ма тематическом моделировании свойств конкретного материала приходится исходи ть из частных случаев функционала (34), задавая его вид на основании тех или иных физических соображений. К примеру, можно считать, что тензор напряжений T(t, X) является функцией некоторых параметров термомеханического состояния n(t, X), значения которых берутся В ГОГ же момент времени и в той же точке среды. В частности, интересуясь упругими свойствами материала, можно взять за основу функцию (1). Если необходимо учесть влияние скорости деформации, то можно исходить из функциональной зависимости

T = <J>(x.x,F,f). (42)

Если требуется охватить эффект релаксации напряжений, то можно взять соотношение

где о — абсолютная температура, х < I — предшествующие моменты времени, У - произвольная точка среды.

Принцип детерминизма допускает множество эквивалентных формулировок. Например, вместо истинного тензора напряжений Т в качестве меры

і* = ф(р,р.т).

В качестве характеристики деформации в исходных соотношснияхтипа (I), (42), (43) вместо градиента деформации И можно брать любую другую известную меру деформации или тензор деформации, например, меру деформации Генки или тензор конечной деформации (см. (1-3, 10)).

3. Усовершенствованная методика применения принципа объективности

Для большей наглядности проиллюс трируем методику получения определяющих соотношений (с точностью до скалярных коэффициентов) на конкретных примерах. Пусть в одной из систем отсчета (без звездочки) имеет место соотношение (42). Тогда в любой другой системе отсчета (со звездочкой)

(43) двух симметричных тензорных аргументов. В этом дополнительном результате и состоит усовершенствование техники традиционного применения принципа объективности поведения материала. Благодаря данному результату и теореме об изотропных тензорных функциях (см. приложение) удается установить общий вид соотношения (46) с точностью до скалярных коэффициентов:

ф(и,и)=х„1+Х,и+х2иа+х,и+х,и1+хДи • и)* +

Т* = ф(х*,х\Р*,Р*).

Примем, что О0= 1, т.е. в начальный момент времени соответствующие орты базисных декартовых систем координат обеих систем отсчета коллине-арны. Осуществим переход от исходной системы отсчета к сопутствующей системе отсчета, относительно которой рассматриваемая точка среды неподвижна, а ее бесконечно малая окрестность деформируется без квазитвердого вращения: Я*(0 = I • Совместив полюс О* с данной точкой среды, будем иметь х .(1)=х(|). Принимая во внимание (29), находим 0(0= ИОС помощью формул (3), (5), (25), (28), (42) получим

Т* =О Т От = Кт-ф(х.х,р.р)к. х* = 0. х’ -О,

(45)

+ Х«(и* ■ и)Г + х,(и ■ и’)1 + хДи1 • О2} ■ (48)

Здесь А'=0.5(а + Дт) - симметричная часть тензора А. Скалярные коэффициенты 7л (к = 0, 1....8) в

общем случае являются функциями инвариантов (см. приложение)

(44) 1ги. ни2. Ігил. ІгО. 1г0*. 1г0‘. 1г(и и), 1г(и2 0).

г=о^-и = и, г = и.

Подставляя (45) в (44), находим

кгФ(х.х.р,р)н = Ф(о.о.и,и) или со ссылкой на (36), (42)

Т" = Ф(и,0). (46)

Вновь обратимся к принципу объективности поведения материала, осуществив на этот раз переход от одной инерциальной системы отсчета к любой другой инерциальной системе отсчета. Очевидно, что во второй формуле перехода (25) данному случаю отвечает произвольный независящий от времени ортогональный тензор О = Он. Тогда на основании (30), (40), (-11) удается уточнить свойства функциональной зависимости (46):

0„ • Ф(и,0)- О? = ф(ов • и • ,Оп • 0 • 0£), (47)

ибо, с одной стороны,

(т")’=о0-т|'о;=о„.ф(и.и)о;,

и, с другой —

(Т*)• = ф(и*,и*)= ф(о0 • и -Оо.Оо • и -о").

Равенство (47) означает, что зависимость (46) является изотропной симметричной тензорной функцией

1г(и-и2). 1г(и2 О2). (49)

Так как по формуле полярного разложения (5) У«Я-и-Яг.и*Кт-У-К. (50)

на основании (36), (46), (48) окончательно получаем Т = Я Ф(и,0)- 1*т = х.,1 + X,V+ХтУ2 +

+х^+х^у+х1^-уу+х,(у2.уу +

+х>

(51)

Здесь

УаЯ.СыГ = У-О-У + УО

(52)

— коротационная производная тензора V (объективный тензор) (3),

а=йкт

(53)

— тензор спина, характеризующий относительную угловую скорость вращения сопутствующей и исходной системы отсчета. В формуле (51) по списку (49)

Х*=Х*

ІгУДгУ\ігУ\ігУ,1г^Уу.Іг^ ,1г^У• V\ 1г^У*.У^У-(у) ЭДу2-^ |

Замечание. Если в определяющем соотношении (51) положить Хз =- = Х» = 0, получится соотношение (12), которое имеет место для изотропных материалов. Однако в этом совпадении нет противоречия с исходной зависимостью (1), справедливой д\я произвольной анизотропной упругой среды. Просто в (1), как и в (42), указан полный список аргументов, характерный для изотропных тел, у которых список параметров анизотропии в неискаженной конфигурации пуст. Чтобы получить определяющие соо тношения для (начально) анизотропных упругих сред, перед применением теоремы об изотропных функци-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВІСТНИК № 2 №6) 3007

ях надо в число, аргументов функции (1) явно указать те параметры, которые характеризуют анизотропию свойств материала в неискаженной конфигурации. К примеру, чтобы установи ть определяющее соотношение для трансверсально изотропных упругих тел, свойства которых в неискаженной конфигурации остаются неизменными при повороте на произвольный угол относительно некоторой оси с направляющим ортом п, в число аргументов функции (I) следует ввести орт п, который является инвариантным вектором: п* = Оп п . Действительно, параметры начальной (в момент времени t = t0) анизотропии должны сохранять постоянное значение, а в разложении по базису ек (рис. 2) ор т п должен иметь одинаковые компоненты для обоих наблюдателей. Отсюда в соответствии с формулой (23) имеем

п* = п;е4(1*.м)в. = nke,(t;.M]u. =

= nkO(t0)-ek(t0.Mji3. = 0(t„)n.

Тогда, исходя из зависимости Т = <t>(F,n), вместо (46) получится выражение Т" =Ф(и.п), а вместо (47) - выражение

Q0 Ф(и.п) Oj = Ф(о0 -U-Oj.Qe • п).

Последующее применение теоремы об изотропных симметричных тензорных функциях даст следующее соотношение (см. приложение):

Ф(и. п) = Хо> + X.U + XZU2+х,п ® п +

+ хЛи-(п®п)]‘ +Хз[и!,,(п®п)]‘. (54)

Здесь® - знакдиадногоумножения.Скалярные коэффициенты X* (к = 0,1,.... 5) в общем случае являются функциями инвариантов (см. приложение)

irU. trU’i tr(n®n) = n¿ = 1, tr[U (n®n)]=n U n. tr[u2*(n®n)]= n-U2 n.

Влннейпом приближении (потензору U) д\я трансверсально изотропного упругого материала из (54) получается выражение

Ф(и,п) = (о, +a2trU + a;,nUn)l + a,U +

+ (ал + a„lrU + а,п • U • n)n®n + aH(U (п ® п)]\

которое в силу равенств

а. + Заг + а, + а, = 0, а4 + 3а„ +о, +а. = 0 (55)

содержит шесть независимых коэффициентов. Равенства (55) вытекают из требования

Ф(и = I.n) = (а, + 3cij + а, +а< )1 + (а5 + За,, + а, + а„)п ® п = 0,

которое означает, что в отсчетной конфигурации, когда U = I, материал находится в ненагруженном

состоянии: Т= 0. Следует подчеркнуть, что у трансверсально изотропного гиперупругого материала имеется только пять независимых коэффициентов (в линейном приближении) (11,12). Это отличие между упругими и гиперупругими телами связано с дополнительным требованием: у гиперупругого тела (материала) существует упругий потенциал (1,2].

В качестве второго примера, иллюстрирующего дополнительные возможности усовершенствованной техники применения принципа объективности поведения материала, рассмотрим определяющее соотношение (43), которое принимается за исходное в одной из систем отсчета (без звездочки). По принципу объективности поведения материала в любой другой системе отсчета (со звездочкой) будет выполняться аналогичное соотношение:

Т* = ф(р\Г.г). (56)

На первом шаге примем О0 = 1 и осуществим переход от исходной системы отсчета к сопутствующей системе отсчета, для которой Я*(0 = 1 и> соответст венно, 0(1)= Я'(0 - Отсюда с помощью (3), (5), (28) получаем

т* =отот = 1*т-т-1*=т|\ т* = тй. г = о-я-и = и. г = и.

Подставив эти значения в (56), будем иметь

Тн=ф(и.и,Тй). (57)

На втором шаге осуществим переход от одной инерциальной системы отсчета к другой инерци-альиой системе отсче та (в этом случае О = 0„). Благо-даря этому шагу на основании (30), (40), (41) удается уточнить свойства правой части (57):

О0 ф(и.и1Т,,)о1 = ф(о()-и о;.О0 и о1.О0-Тв 0.1).(58) ибо, с одной стороны,

(+")’ =о0-Тй о1 =0,) ф(и,и.Тк) О7, и, с другой -

(г*)Г«Ф(и-.0,.(г*)Г)Вф(Ов-и-о;.о0-0-о1.ои-т"-о;).

Равенство (58) позволяет применить теорему об изотропных симметричных тензорных функциях трех симметричных тензорных аргументов (см. приложение) и получит», общий вид правой части (57) с точностью до скалярных коэффициентов:

ф(и.0.Т* )= х.1+Х,и * Х.Ч1 +Х.0+Х.01 + хд" + х»(г" 7 *

+ Х,(и-0)Г +х.(и,и)‘ + х,(и.и,)Г + х1(,(и2 ■ и')Г +

+х„(ит-)Г+х11(и1.т',)г+х„(и(т«)')+х14(и,(т"),) +

+Х„(т« 0)Г +х,.((т" У и) «■ х„(т“ и*)Г + х„|т" У - и1} (59)

Скалярные коэффициенты Хк (к = 0,1.....18)воб-

щем случае являются функциями соответствующих инвариан тов тензоров и, 0, Тй и их комбинаций (см. приложение).

2

ІбеІВ

Х0В + Х,Вг + Л,В3 + X ,В'2 • в в‘2 + х4ви •(В} • В'3

♦ \7ви-(в-в) •в'*+х,в''2-(в1-в^ -в'* + +х„в*2^в-(в) | •в*1+л,иви^ва-(в) | -в'

♦ Х^Т^В^-В-В*7) | + +ХП^Т^В-^.В-В,7|| +

+ ^у^кт• В*1 т + X,,(в т• В’’ т)* + хм(в* Т-В'1 т)* + + Х|(|т'-В-,,2-В Ви^ + Х,^Т2 (ВЧ2-ВВ‘2) ^

Е

. (63)

Здесь

Тт‘ «Т-?\' Т-Т Ууг+Т^у

— производная Трусделла тензора Т {объективный тензор) [3, 10],

Принимая во пнимание (50), (52), (53), из (57), (59) получаем

т^т-пт+тп = к-Ф(и.и,тн)ят =

= Х„1 + X,V + X,V1 + х, V* х.( V)1 * ХД+ХД’ +

+х,(у-у]‘+х,(у,-уу+х,^-[у]^ +

♦ х„(у Т)'+х„(у’ т)1 П>'Т’> ♦ х,.(у! т1)-+ +Х,5(т-^%Х|.(т2-у)’ + Х„[т (у]!|♦

+х,,(т,-(у)2). (во)

Как видим, в соотношение (60) входит однотипная коротационная производная тензоров Т, V, что соответствует положению, выдвинутому в [3].

Замечание. В конце первого шага, получив соотношение (57), можно перейти от инвариантной меры напряжений Т“ и инвариантной меры деформации и к другой инвариантной мере напряжений и другой инвариантной мере деформации, например, к энергетически сопряженным тензорам Р(. и С соответственно. Тогда на основании (5), (36)-(38), (41) будем иметь

тн-яттк = ии-'ят*т-ки-1-и = ^^<с=и2

Благодаря последним равенствам соотношение (57) можно представить в виде

Р<; = ФС(С.С.РС). (61)

Осуществив после этого второй шаг, вместо (58) получим

00 Фс(с,С,Рс)-0* = Фс(О0 С Оо.О,, С 0о,0„ Рс• О.Т)•

Отсюда по теореме об изотропных тензорных функциях (см. приложение)

Фс(с.О,Рс)= Х„1+Х,С + ХаС2 + х:,с + Х4С2 + Х4РС + Х6Р2 +

+ хДс сУ+х,(с*-с)Г ► хДс с2)1+л10(с2 с2)1 +

+ X,,(с• Рсу «.х„(с2 рс)г+х,з(с • р’)Г+х„(с2 ■ Р2} +

♦ *»(Рс-с)Г + Х,„(р2 с) + Х17(рс Сг)Г + Х>Г2 •С2)'. (62)

Принимая во внимание (37) и учитывая, что

Чур-?-'. ^"="Р', уу.

= с1е1р1г(рр',)=г с1е1РУ-у,

на основании (61), (62) имеем

ТТ.-Р»С(с.^.Рс)РТ

0^е1Р

В*РРТ = V2

- мера деформации Грина. Несмотря на сущест венные внешние отличия, определяющие соотношения (60) и (63) эквивалентны между собой, каждое из них можно получить из другого путем тождественных математических преобразований.

4. Заключение

В формулах перехода (29)-(31), (41). имеющих место при замене системы отсчета, следует учитывать все возможные значения ортогонального тензора О0, характеризующего взаимный поворот систем отсчета в начальный момент времени. Благодаря этому удае тся достаточно просто получать доказательство изотропности соответствующих функциональных зависимостей и, используя известные теоремы об изотропных функциях, находить общий вид тензорных и векторных определяющих соотношений (уравнений состояния) с точностью до скалярных коэффициентов. Это небольшое, но принципиальное изменение традиционной техники применения принципа объективности поведения материала является весомым дополнением к термодинамическим методам получения определяющих соотношений, особенно в тех случаях, когда возникают трудности с выбором диссипативного неравенства, описывающего необратимые изменения материала (см., например, [13]).

Примечания

' Принцип объективности поведения материала называют также принципом материальной индифферентности, принципом объективности, принципом материальной независимости от системы отсчета, принципом равноправия систем отсчета или условием реологической инвариантности |1-5|.

: Скаляры включены и оба определения (32), (33), так как нет веских причин ддя того, чтобы отдать предпочтение какому-то одному из них.

'То же самое касается определяющих соотношений для вектора теплового потока и удельной внутренней энергии.

Приложение [6]

Обозначения. Здесь А, V, \Л/ - симметричный тензор. вектор и кососимметричный тензор соответственно, ® - знак диадного произведения, Т* = = 0.5 (т + Т') - симметричная часть тензора Т, V = = 0.5 (т - Т') - кососимметричная часть тензора Т.

Определение. Скалярнозначная функция Г(л,.......

А^у^.л'ьЛ'У....V/,) называется изотропной функци-

ей. если для всех ортогональных тензоров О выполняется условие

Г(0 А, От..0-А4-0т,0 у|1..,0-уь.0^|-0т,..,

....О-Ч ■ О) = ((А.А.,у..........Щ)

Таблица I

Первая группа инвариантов для каждого аргумента в отдельности______________

Переменная Инварианты

А 1гА , НА1. 1гЛ ’

V V1

\У 1г\У*

Таблица 2

Вторая группа инвариантов для нар аргументов

Переменные Инварианты

А, . А, МЛ,-А,). и(А?А,). *Ка,.Л*). и(А?-А*,)

А. V у-А-у , у-А1-у

А. XV 1г(а\У'). Гт(д' - л). 1г(л’-Ш'-А-№)

V,, V, V, V,

V. V/ у.\л^-у

W|, wl

Таблица 3

Третья группа инвариантов для троек аргументов

Переменные Инварианты

Л, . А,, А, 1г(А,А,.Аэ)

А,. А,.V (л, • у)-(А, -у)

Л. V,. V, у,Ау,

Л. ЧУ,. 'Л', »Кал^.л^). 1г(а■ УУ*• \У,). и(а \у,^/)

А, , А,, Ш ^А.А,^). и(А? А,Л\'). 1г<А, А5 ЛУ). ^А,^1 А,ЛУ)

^. IV,, \У,

V,. V,. Ш У,-\Л/-у,, у,^а-у,

V. Wl. V/, К-уЖ-у), (\7,, у)(\^ у), (^у)^.у)

А,у^ (А у) (ЧУ у), (а1 • у)-(\\' у), (А УУ у) (\У> у)

Теорема общего представления скалярнозначной изотропной функции. Для трехмерного пространства полное и несократимое представление скалярной изотропной функции Г(А,.......Ал1у,,..,у|(,\М,.УУ,.) дается в

виде

Ка,....А..у,....уь.^..'4.)=

где !л л .» \у — все инварианты, составленные

из одного! двух, трех, четырех аргументов (А.........А„.

..\^,) в соответствии с табл. 1 -4.

Определение. Векторнозначная функция Г(А,...........

Аи.V,...,V,,,\У, Шс), симметричная тензорнозначная

функция Н(А,......А,,у|,..,уь,^....W<) и кососимметричная тензорнозначная функция z(A,...........А^л^.-.л,,.

XV,,...,\^ ) называются изотропными функциями, если для всех ортогональных тензоров О они удовле творяют следующим условиям соответственно:

Г(О А, От....О А„•0г,0'У|„.,0'У|1,0 ^ От>...

....ОДЛГс Четвёртая Г1 •От|=ОГ(А, А..» \ЛГ,). Таблица 4 >уппа инвариантов для четвёрок ар|ументо»

Переменные Инварианты

А,. А,.у,. V, (А, -у,)-(А, -у,). (А, у,) (А1у|)

> < (А у.ИШ-у,). (Л у,И^ у,)

Таблица 5

Первая группа базисных векторов для каждого аргумента в отдельности_______________

Переменная Базисные векторы

У У

Таблица 6

Вторая группа базисных векторов для пар аргументов

Переменные Базисные векторы

А . у А-у , А3•у

у, \У \у.у , \л/г-у

Таблица 7

Третья группа базисных векторов для троек аргументов

Переменные Базисные векторы

> > < Д,-А,-у, А,-А,-у

А . у. Л М-у . \ЛГ • А • у

У . и/,. щ • ЧУ, • У. ЛУ. у

Таблица 8 Первая группа базисных тензоров для каждого аргумента в отдельности

Переменная Симметричные базисные тензоры

I

А А . А*

V У©У

\У

Н(0 А, От......О Аи От.О у,,..,0 Уь.0 XV, От,...

..,0'^,0т) = 0Н(А, Ал, V,.... V,,. XV, ХЛ^-СТ.

ВДА.О1.........ОА.О'^у..........Оу^О^О1,...

....О 0Т) = 0 2{А}...А1|.у,,...уь<иг1.

Теорема общего представления векторнозначной изотропной функции. Для трехмерного пространства полное и несократимое представление

векторной изотропной функции Г(А..............Ао1у.уь,

...\у_) дается в виде

*(А,..Ли,у|,..1у|,,Ш,..\МГ) =

= р'( А А„.у,,...у,^,.......У*,)-

!,(А..А„.у.....у„.Ш,...W. X

Таблица 9

Вторая группа базисных тензоров для нар аргументов

Переменные Симметричные базисные тензоры

A.. A, (A, Aj. (Af-A.MA.-AîMAf A’y

A . V [v ®(A • v)j-. [v ©(a1 • v)f

A , W (A W)‘. W ■ A • W . (a* - w) . W • A* • W , (WA-Wj)r

V,. V, (Vi ® vj)*

v. W (Wv)©(W v), [v©(W ■ v)]‘ , [(w-v)®(w’-v)j

W,. W, (w,• w,)*. (w, w.;y. (w’.wj

Таблица 10

Третья группа базисных тензоров для троек аргументов

Переменные Симметричные базисные тензоры

A, v,. v, (v,©(A v,))* . [v,®(A-v,)f

v,. v3. W [v,e(W>v,ÿ. [v,®(W-v,^

Таблица 11

Первая группа базисных тензоров для каждого аргумента в отдельности_______________

Переменная Кососимметричные базисные тензоры

W W

Таблица 12

Переменные Кососиммегричные базисные тензоры

А,. А, (А. Л, ) . (А?-А, ). (А, -А*У. (А,- А, А?). (А, А, А])

А . v |v0(A-vJ , [v®(a'.v| . [(л v)@(a,-vJ .

Л . W (A W)'. (л w’)

V,. V, (v.QvJ

v, W (vö(Wv)f . [v©(wJ -v)f

w,, w, (w, • w,)r

Таблица 13

Третья группа базисных тензоров для троек аргументов

Переменные Кососимметричиые базисные тензоры

A, , A,. A, (А,-Аа А,)г. (А, А, А,) . (А. А. Л,)

> < < ((А, - v)©(Aj • v))

A. v,, v, [v, ©(A-v,)} . (v,©(A v,)t

V„ V,. W (v, ®(W v,)J . (vj©(W-v,)J

где!'...Г' - скаляриозначные изотропные функции,

(1,..1д| — базисные векторы, составленные из одного, двух, трех аргументов (А........А1,,у„..,у„,\У|.УЮе)

в соответс твии с табл. 5 — 7.

Теорема общего представления симметричной тензорнозначной изотропной функции. Для трехмерного пространства полное и несократимое представление симметричной тензорной изотропной функции н(А1,...гАа,у1,..,у1,,^...\Л/Г) дается в виде

Н(А,....................

= £н'(А,....Аи.г„...у„Щ......Щ)*

»1

•н,(А.....А0,у..у„.ы,.....Ч1Л

где Ы1,.... Н" — скалярнозначные изотропные функции, {Н,...Н,,) — симметричные базисные тензоры,

составленные из одного, двух, трех аргументов (А,........

А„,у....уь^,....\¥с) в соответствии с табл. 8- 10.

Теорема общего представления кососимметричной тензорнозначной изотропной функции. Для трехмерного пространства полное и несократимое представление кососимметричной тензорной изотропной функции г(А,......А1|.у,...,уь,^...\л/, )дастся в

виде

г(л,......а„.у„...у„\у,.«0-

■¿г'(А......Ац.у„..,уь.Ш,....ш,).

1-1

•2, (А А..у

где 2...Ъ — скалярнозначные изотропные функции, {2.— кососимметричные базисные тензо-

ры, составленные из одного, двух, трех аргументов (А,..Ав,у,|...у|11ЛЛ/,1.\\|ГС) в соответствии с табл. 11-13.

Библиографический список

1. Лурье, А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье -М.: Наука, 1980. — 512 с.

2. Трусделл. К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред/К. Трусделл - М.: Мир, 1975. - 592 с.

3. Поздеев, Л.Л. Большие упругопластнческие деформации / АЛ. Поздеев, П.В. Трусов, Ю.И. Нишнн - М.: Наука, 1986. — 232 с.

4. Астарнта, Дж. Основы гидромеханики неныотонооских жидкостей / Дж. Астарнта, Дж. Марруччи - М.: Мир, 1978. - 309 с.

5. Можен, Ж. Механика электромагнитных сплошных сред / МоженЖ. - М.: Мир. 1991. - 560 с.

6. Wang, С.-С. A New Representation Theorem for Isotropic Functions /С.-С.Wong //Arch. Rat. Mech. Anal. - 1970. - Vol. 36. -Ne3. — P. 198-223.

7. Айзерман, М.А. Классическая механика / М.А. Айзерман — М.: Наука. 1980, - 368 с.

8. Медведев. Б.В. Начала теоретической физики / Б.В. Медведев — М.: Наука. 1977. — 496 с.

9. Noll. W. Euclidean geometry and Minkowskian chronometry / W. Noll // Amor. Math. Monthly. - 1964. - N»71. - P. 129-144.

10. Коробейников, C.H. Нелинейное деформирование твердых тел / С.Н. Коробейников - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 262 с.

11. Новацкнй. В. Теория упругости / В. Новацкий - М.: Мир, 1975. - 872с.

12. Победря, Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности / Б.Е. Победря — М.: Изд-во МГУ. 1995. — 366 с.

13. Корнеев. С.А, Термодинамические методы получения определяющих соотношений / С.А. Корнеев // Математ. моде* лир. систем и процессов. - 2005. — № 13. — С. 61-79.

КОРНЕЕВ Сергей Александрович, доктор технических наук, доцен т, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов».

Статья поступили п редакцию 06.06.07 г.

© С. А. Корнеев

УД« 539.3 е. Г. ХОЛКИН

С. А. КОРНЕЕВ

Омский государственный технический университет

ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ ПРИ ВЫПУЧИВАНИИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН____________________________

В статье приводится алгоритм численного исследования устойчивости равновесия системы прямоугольных пластин, составляющих тонкостенный профиль. Задача решается в упругой области, при шарнирном опирании двух противоположных граней и произвольном для остальных. Рассматривается задача для пластины, имеющей ребра жесткости, а также если пластина многократно изогнута на некоторый угол а (профнастил).

Введение

Задача устойчивости равновесия сжатой прямоугольной пластины широко применяется при оценке опасности выпучивания пластинчатых элементов тонкостенных профилей 11 ]. При этом используется модель пластины с линейными шарнирами по граням, перпендикулярным сжимающей нагрузке. Такая модель допускает разделение переменных методом Фурье и сводится к краевой задаче для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. При простых краевых условиях, для симметричных пластин ступенчатой жесткости и в некоторых других случаях известны точные аналитические решения, а также приближенные решения на основе теоремы Лагранжа-Дирихле и методов Ритца, Бубнова-Галеркина и др. (2). Соответствующие результаты приводятся в справочной литературе (3].

Многообразие требуемых практически решений лишь частично перекрывается решенными задачами. Например, неизвестны решения для произвольной пластины со ступенчатой жесткостью, д\я пластины, многократно изогнутой под некоторым углом (нроф-настил), для пластины, имеющей дефекты профиля и др. Круг решенных задач можно существенно расширить непосредственным численным интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений

и анализом устойчивости равновесия сжатой пластины на основе его результатов, например, с применением метода «неидеальностей» (4]. При этом единственными ограничениями являются линейный шарнир по сжимаемым граням и ступенчатое изменение жесткости. Соответствующий алгоритм рассматривается в настоящей работе. Алгоритм тестируется на известных решениях.

1. Математическая модель

Рассмотрим систему к прямоугольных пластин, составляющих профиль, толщина каждой из которых 1( мала по сравнению с размерами сторон. Длина всех пластин в направлении мембранных нагрузок равна а (рис.1а).

Изгиб пластины при потере устойчивости будем описывать с помощью обычных классических допущений теории изгиба тонких пластин:

• Нормаль к недеформированной срединной поверхности при изгибе пластины не искривляется и остается нормалью к деформированной срединной поверхности;

• Нормальные напряжения в плоскостях, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы;

• Срединная поверхность иерастяжима;