Структура неоднородности вихревого поля при течении жидкости между коаксиальными вращающимися цилиндрами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.516

СТРУКТУРА НЕОДНОРОДНОСТИ ВИХРЕВОГО ПОЛЯ ПРИ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ КОАКСИАЛЬНЫМИ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ЦИЛИНДРАМИ

О. Н. ШАБЛОВСКИЙ, Д. Г. КРОЛЬ, И. А. КОНЦЕВОЙ

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого», Республика Беларусь

Введение

Задача о течении вязкой жидкости между двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами относится к классическим проблемам гидродинамики. Прикладные аспекты данного вопроса связаны с гидродинамической теорией смазки, с формированием вихревых структур в природных и технических гидродинамических системах. В данной работе рассматривается неклассический вариант задачи о течении жидкости между соосными вращающимися цилиндрами. А именно: учитывается рэлеев-ская сила сопротивления F = -Си, где С > 0 - коэффициент «внешнего» трения; и - вектор скорости. Модель сопротивления Рэлея оказалась эффективной в задачах тепломассообмена при кристаллизации полупроводников в условиях орбитального полета [1]. Основная идея этого подхода состоит в том, что гидродинамическое описание расплава учитывает наличие кластерных образований, которые оказывают сопротивление течению. Обычно в теоретических расчетах используется линейный вариант силы трения: С = const. Далее полагаем, что коэффициент сопротивления

монотонно растет при увеличении |и| и является четной функцией скорости:

С = С(и2, T, r), дС/ д(и2) > 0. Несколько новых аналитических решений стационарных уравнений гидродинамики вязкой жидкости с учетом нелинейной внешней силы сопротивления течению построены и изучены в [2]-[4]; в этих статьях были рассмотрены плоские двумерные движения.

Цель работы: изучить воздействие силы F = -Си на завихренность течения жидкости между вращающимися цилиндрами.

Постановка задачи

Для вязкой несжимаемой жидкости в полярных координатах (r, ф) рассмотрим следующий класс стационарных цилиндрических течений:

U - 0, Оф=и(г), p = p(r), T = T(r); (1)

fr- 0; Fp = FT,r); qu = q T,r); cp, ^ ^ p- const;

л л Г du иЛ т - 0; т - 0; т = ц|---I.

rr ' фф ' rp Я dr r)

Здесь и(иг, иф) - вектор скорости; р - плотность; F(Рг, ) - вектор массовой силы; т гг, тфф, тгф = тфг - компоненты девиатора тензора напряжений; Т - температура; ср - удельная теплоемкость; X - коэффициент теплопроводности; д - коэффициент динамической вязкости. Объемный источник энергии (и2, Т, г) моделирует воздействие внутренних источников тепла и теплообмен жидкости с внешней средой. Для диссипативной функции Ф принимаем оценку Ф<< |, т. е. рассматриваем процессы, для которых можно пренебречь выделением тепла за счет вязкой диссипации энергии.

Движение (1) определяется уравнениями Навье-Стокса и уравнением энергии [5], которые можно записать в виде динамической системы:

й 2и 1 йи и Fф й 2Т 1 йТ д

—г+—=-г —ф; —т+— = -—; (2)

йг г йг г V йг г йг X ^р = -Си; С^^ T, г); ДиT, г); / р.

Давление р(г) подсчитывается автономно от системы (2):

1 dp и2 р dr r

(3)

Очевидно, что уравнение неразрывности выполняется тождественно. Далее будем применять безразмерные величины, обозначая их чертой сверху: й = и/и1, т = т / и1, r = r/r0, где T - T0 = и1т / с1; с1, r0, и1 - положительные постоянные,

имеющие размерность удельной теплоемкости Дж/(кг • град), длины и скорости, соответственно; T0 - отсчетное значение температуры.

Для коэффициента сопротивления и источника энергии применяем частные зависимости следующего вида:

С-Го2С / V = [2(1 - 3т2 +Ü2) -1]/ r2; (4)

qu - с^2qu /(Хц2) = 2т(т2 -3U2 -1)/r2. (5)

В этом случае система (2) имеет точное решение [6]:

U = 2s • sin(2a)/ 5; т = (1 -е2)/5; (6)

5 = 1 + е2 + 2е • cos(2a); a - R /2 = ln(r/r0).

Здесь s - параметр решения. В частном случае е2 = 1 получаем изотермическое течение, T = T0 - const. Для функций (4), (5) явная зависимость от радиальной координаты характеризует структурную неоднородность, присущую внешней силе сопротивления за счет образования кластеров. В формуле (5) разность т2 - 3U2 можно интерпретировать как конкуренцию между выделением тепловой энергии и потерями кинетической энергии вязкого потока. Динамические и тепловые свойства коэффициента сопротивления определяются неравенствами дС / д(т2) < 0, дС / д(и2) > 0. Условие С > 0 выполнено при

ТС А ТС .

---Л< 2а < — + Л;

2 2

18-л/224 2 18 + >/224

10

<8 <-

10

где Л > 0 - малое конечное число.

Данная работа является продолжением нашего исследования [6] и содержит результаты численного анализа структуры неоднородности вихревого поля при течении жидкости в зазоре между вращающимися цилиндрами.

Цилиндрическое течение Куэтта: неклассический вариант. При 8 = 1 решение (6) имеет вид:

_ Бт Я и = •

1 + СОБ Я

р =

( Р-Ро)_тт Я

Ри1

=и-т;

(7)

£ = г02С/у = (1 + 2и2)/г2; г * ехр(я/2).

Условие р > 0 обеспечивается подходящим выбором константы р0 > 0. Данное

решение справедливо на конечном отрезке г и определяет течение между двумя непроницаемыми коаксиальными цилиндрами. На обеих граничных окружностях выполнено условие прилипания.

Возможны следующие три варианта (рис. 1). Вариант 1: г е [г0, г1], 0 < г0 < г1. Вариант 2: г е [г2, г0], 0 < г2 < г0. Вариант 3: г е [г2, г1], 0 < г2 < г0 < г1. Для варианта 1 имеем: внутренний цилиндр г = г0 неподвижен, иф(г = г0) = 0, а внешний цилиндр г = г1 вращается с постоянной угловой скоростью ш1 = иф (г = г1)/ г1. Для варианта 2 имеем: внешний цилиндр г = г0 неподвижен, иф(г = г0) = 0, а внутренний цилиндр г = г2 вращается с постоянной угловой скоростью ш2 = иф(г = г2)/г2. Вариант 3 является объединением вариантов 1 и 2: внутренний (г = г2) и внешний (г = г1) цилиндры вращаются вокруг их общей оси; на линии г = г0 жидкость неподвижна. Ясно, что при г = г0 функция р = р(г) имеет перегиб: г = г0, Я = 0, и = 0, ёр/ёг = 0, ё2р /ёг2 = 0, ё3р/ёг3 * 0.

а)

б)

в)

Рис. 7. Схема расположения подвижного и неподвижного цилиндров для трех вариантов течения: части а, б, в соответствуют вариантам 1, 2, 3

Вихрь скорости ш(шг, шф, шг) имеет только одну компоненту:

Шг = 0; Юф = 0; шг = + г (ё^ / ёг )]/(2г),

где 2 - координата, отсчитываемая вдоль оси цилиндра. В результате вычислений получаем:

ш = шЛ

/ и1 = [1 + р + (Я /2) + (р + (Я / 2))2 ]/(2г ).

Зависимость (7) показывает, что для всех представленных здесь вариантов отсутствуют точки с нулевой завихренностью: Ш(Я, р) ^ 0. Безразмерные градиент давления и вязкое касательное напряжение вычисляются по формулам:

_ = йр = (й)2. т йг г

т =

— ' гф

Р°1

V I

г

- гф- = -|2^-й

V =■

Рй1г0

йй ж

1

1 + соб Я

Величина 1/ V есть число Рейнольдса; при проведении вычислений оно принято для определенности равным единице. В данном классе решений нет ограничений на выбор числа Рейнольдса.

Изотермическое течение: результаты расчетов. Известно, что безразмерное число Тейлора Та и функция Рэлея Я6, = й(огг)2 /йг позволяют анализировать условия стабилизации профиля скорости в зазоре между цилиндрами. Обсуждение этого вопроса и библиография проблемы приведены в [7]. Для качественного и количественного описания свойств неклассического течения (7) здесь применяются два способа подсчета числа Тейлора. Число Та) строим на основе функции завихренности Ш = ш(г):

Та! = й [([2)2 ]]

г5 ( § I

(8)

Число Та2 строим на основе угловой скорости О = и / г :

Та2 = йТ [2)2]/

йО

йг

(9)

Функция Рэлея имеет вид:

я=й [(сг)22 ]-

(10)

Еще одним важным источником информации является зависимость момента М1 вязких сил и момента М2 сил сопротивления от радиальной координаты. Для подсчета этих величин получены следующие формулы:

М1 = 2тстгфг2; М2 = -^Сог3.

(11)

Приведем здесь некоторые результаты расчетов. На рис. 2 для варианта 3 (рис. 1, в) показаны зависимости завихренности Ш, угловой скорости О и суммарного момента

М = М1 + М2 от радиальной координаты г; темным кружком отмечена линия торможения г = 1. Хорошо видно, что перемена знака функции М (г) происходит на конечном удалении от окружности г = г0.

2

а) б) в)

Рис. 2. Изотермическое течение в зазоре между двумя вращающимися цилиндрами: а - завихренность; б - угловая скорость; в - суммарный момент вязких сил

и сил сопротивления

Графическая информация, представленная на рис. 3 и 4, позволяет сопоставить друг с другом свойства течений для вариантов 1 и 2, соответственно. Из рассмотрения рис. 3, а и 4, а следует, что различаются знаки функции Рэлея Я6, (г) и знаки моментов

М2(г) сил сопротивления. Знаки моментов М1(г) вязких сил одинаковые: по мере удаления от неподвижного цилиндра г = 1 момент М1(г) возрастает. На рис. 3, б и 4, б показаны зависимости числа Тейлора Та1 от градиента давления Я, от завихренности Ш и от вязкого касательного напряжения тгф. Для обоих вариантов функциональные связи Та1(Я) и Та1(Ш) одинаковые в качественном отношении. Принципиальное различие между течениями с подвижным внешним (рис. 3, б) и подвижным внутренним (рис. 4, б) цилиндрами состоит в том, что для варианта 1 зависимость Та1(тгф) неоднозначная: одному значению вязкого касательного напряжения соответствуют два значения критерия Та1. Аналогичная неоднозначность наблюдается для зависимости Та2(тгф) (рис. 3, в). Для варианта 1 каждая из функций Та2(Я) и Та2(Ш)- немонотонная, имеет отчетливо выраженный максимум (рис. 3, в). Вместе с тем для варианта 2 функции Та2(Ш), Та2(тгф) и Та2(Я) имеют по два экстремума -

один минимум и один максимум (рис. 4, в). Здесь максимум функции Та2(Я) не показан - соответствующая точка находится вне интервала, представленного на рис. 4, в.

а) б) в)

Рис. 3. Свойства изотермического течения для варианта 1: неподвижен внутренний цилиндр

R, M „ M 2

20

Ta,

10

M i( r )

M 2(7 )

-10

0,2 /0,4 0,6 0,8 7

R (7 )

■ l,

4} •

2 -

1 I/ Та1^гф)

Ta, (к)

/ /

\V

Ta,( ш)

Ta2

-0,18

0,2

-0,22 ■

1 ,2 |3 Vf4--. T«p -0,24 ■

0,2 0,4 0,6 0,8 Ш,к

2,5 5 7,5 т rp

1 1 1 0 0,5 1 1,5 ш,К

' 1 ' ! ; < | Ta2( Ш) .Ta2(^rp )

1 1 • \ | : 1/ : 1 1 V'

а)

б)

в)

Рис. 4. Свойства изотермического течения для варианта 2: неподвижен внешний цилиндр

Неизотермическое течение: результаты расчетов. Дальнейший анализ основан на формулах (6). Радиальный тепловой поток qr = -Х(ёТ/ёг) в безразмерном

виде записывается так: q = с1г0qr / Х^2 =-ёг / ёг. Для количественного описания структуры неоднородности данного течения применяем формулы (8)—(11). Из (6) следует, что 5 > 0 при в2 ^ 1. Если в2 < 1, то г > 0, течение происходит в «горячей» области, Т > Т0. Если в2 > 1, то г< 0, имеем «холодную» область, 0 < Т < Т0. Результаты расчетов вариантов 1 и 3 (рис. 1) для «горячей» области даны на рис. 5 и 6.

Та1

4000

3000 • :^Та1(г)

2000 '

1000

11

ЛМ q )

■ Ta2 \ 8' *

\ 6" » ♦

\ 4' • Ta2(q) ^Ta2(7 )

» *

2 r, q

а)

Q

0,4

Q(q ) /Л_0,3

M, M1, M2

-0,5 0 0,5 dp/dr, zrp, q

в)

- 5'

-10-1-

1 2 r,

б)

M 1(7) / ., -

..... M (r )

1 """1,5... 2 r

M2(r)^

г)

Рис. 5. Неизотермические свойства вихревого поля в «горячей» области для варианта 1: неподвижен внутренний цилиндр; е = 0,6, г1 = 2,19, г0 = 1,05

0

1

0

п 0,2

-0,1

П (ёр / ёг)

П (х)

п

0,2 ; ёр / ёг, х, щ П(Щ)

-0,2--

-0,4--

\ ПХф)

0 < ,5 \ 1,5 Хгф,

П(Ш) \ ^ \

в)

г)

Рис. 6. Неизотермические свойства вихревого поля в «горячей» области для варианта 3: внутренний и внешний цилиндры вращаются в противоположных направлениях;

е = 0,6, г1 = 1,3, г0 = 0,7

Из рис. 5, а и б следует, что числа Тейлора Та1 и Та2 по-разному реагируют на

увеличение модуля теплового потока. А именно: ё(Та1)/ёЩ < 0, ё(Та2)/ёЩ > 0.

Значит, убыванию функции Та1 (Щ) соответствует возрастание функции Та2(щ|).

Градиент давления и вязкое касательное напряжение оказывают конкурентное воздействие на угловую скорость течения: при росте ёр / ёг наблюдается рост П, а при

увеличении хгф угловая скорость уменьшается (рис. 5, в). Момент вязких сил М1 и модуль момента сил сопротивления М21 монотонно растут по мере удаления от неподвижного внутреннего цилиндра, рис. 5, г. Заключение

Подробно изучено новое точное аналитическое решение (6), определяющее стационарное течение вязкой жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами. Центральным пунктом применяемой гидродинамической модели является внешняя сила трения Рэлея. Рассмотрены изотермический и неизотермический режимы движения жидкости. Проведены числовые расчеты и представлены варианты течения, относящиеся к подвижному/неподвижному внешнему и внутреннему цилиндрам. Установлены функциональные связи числа Тейлора с градиентом давления, с вязким касательным напряжением, с удельным тепловым потоком и с завихренностью течения. Вычислены моменты вязких сил и сил сопротивления.

Литература

1. Кластерная модель структуры расплавов в погранслое и ее гидродинамическое описание при моделировании процессов кристаллизации полупроводников в космосе / А. В. Картавых [и др.] // Поверхность. Рентгенов., синхротрон. и нейтрон. исслед. - 2004. - № 6. - С. 91-98.

2. Шабловский, О. Н. Тригонометрический профиль скорости сдвигового течения вязкой жидкости / О. Н. Шабловский // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. «Математика. Механика. Физика». - 2011. - Вып. 5, № 32 (249). - С. 77-82.

3. Шабловский, О. Н. Внешняя сила трения и стационарные вихревые процессы при течении вязкой жидкости на плоскости / О. Н. Шабловский // Техн. механика. -2012. - № 2. - С. 83-93.

4. Шабловский, О. Н. Вихрь скорости и производство энтропии в релаксирующем потоке вязкой жидкости с внутренними источниками / О. Н. Шабловский // Изв. высш. учеб. заведений и энергет. об-ний СНГ. Энергетика. - 2011. - № 5. - С. 55-65.

5. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. - М. : Наука, 1974. - 712 с.

6. Шабловский, О. Н. Нелинейное сопротивление и завихренность течения жидкости между коаксиальными вращающимися цилиндрами / О. Н. Шабловский, Д. Г. Кроль, И. А. Концевой // Ученые записки Забайкал. гос. ун-та. Физика. Математика. Техника. Технология. - 2016. - Т. 11, № 4. - С. 59-68.

7. Белоцерковский, О. М. Турбулентность: новые подходы / О. М. Белоцерковский, А. М. Опарин, В. М. Чечеткин. - М. : Наука, 2003. - 286 с.

Получено 29.12.2016 г.