Структура фронта ударной волны в гетерогенной смеси двух изотермических газов с вязкостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Челябинский физико-математический журнал. 2018. Т. 3, вып. 4- С. 461-475.

УДК 532.529 Б01: 10.24411/2500-0101-2018-13407

СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ГЕТЕРОГЕННОЙ СМЕСИ

ДВУХ ИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ГАЗОВ С ВЯЗКОСТЬЮ

С. М. Воронин1", В. А. Адарченко2,6, А. В. Панов1,с

1 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия 2РФЯЦ-ВНИИТФ имени академика Е. И. Забабахина, Снежинск, Россия "[email protected], ь[email protected], [email protected]

Исследована задача о структуре фронта ударной волны в гетерогенной смеси двух вязких газов при наличии сил парного взаимодействия. В использовавшейся физической модели смеси предполагались изотермические уравнения состояния обоих компонентов и парное взаимодействие посредством обмена импульса между ними. Сила обменного взаимодействия считалась линейной по разности скоростей компонентов. Путем анализа предельного перехода к модели без вязкости в рамках теории быстро-медленных систем обоснован способ построения решений с разрывами для идеальных газов. Отмечено, что в этом предельном случае возможны четыре типа ударных волн с различной структурой фронта. Для каждого из четырех типов приведены результаты численных расчетов структуры фронта ударной волны.

Ключевые слова: ударная волна, структура фронта, гетерогенная смесь, парное взаимодействие, изотермический газ.

1. Введение

Построение аналитических решений задачи о поршне для различных моделей гетерогенных сред позволяет качественно понять закономерности взаимодействия компонентов смеси на фронте ударной волны. Знание структуры фронта ударной волны в многокомпонентных средах необходимо при решении важных практических задач. В качестве примера можно указать на актуальную проблему сепарации компонентов дейтерий-тритиевого топлива в мишенях инерциального термоядерного синтеза [1].

Вопросу о структуре фронта ударных волн в смесях было посвящено большое число монографий и статей отечественных и зарубежных авторов, в которых данная задача решалась в различных газодинамических и кинетических приближениях (см., например, [2-8] и библиографию в них).

При исследовании фронта ударных волн решение системы, как правило, ищут в виде стационарной бегущей волны. Это позволяет перейти в одномерном случае от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ). Значения искомых функций в стационарных состояниях перед и за фронтом ударной волны оказываются связанными через первый интеграл системы ОДУ. Задача сводится к нахождению интегральной кривой, соединяющей в фазовом пространстве независимых переменных две точки, соответствующие стационарным состояниям. В моделях без учёта вязкости при определённых значениях

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ (проекты №18-31-00226-мол_а, №18-08-00156-а) и Минобрнауки России (задание №1.6462.2017/БЧ).

параметров задачи возникают конфигурации, при которых всякая кривая, проведённая от начальной точки к конечной, проходит через особые точки системы ОДУ, так что краевая задача не имеет непрерывных решений. В этом случае применяют искусственный прием построения разрывного решения. Краевую задачу формулируют лишь для отрезка интегральной кривой, не содержащего особых точек. Выбор новых краевых условий однозначно определяется из требований монотонности профилей величин в ударной волне с учётом первого интеграла системы ОДУ. Замена краевых условий интерпретируется как разрывы в профилях функций в ударной волне.

В данной работе рассмотрен вопрос о структуре фронта ударной волны в модели с парным взаимодействием компонентов [9] смеси двух изотермических газов с вязкостью. С помощью теории динамических систем в приложении к быстро-медленным системам обоснован метод построения решений с разрывами для течений жидкостей без вязкости.

2. Физическая модель смеси

Система уравнений, описывающая течение гетерогенной смеси изотермических вязких газов с учётом парного взаимодействия, имеет вид

дьр1 + дх(р! щ) = 0,

,2 , .. я „.А__-1 р1р2

Н

др + дх(р2 тО = 0

дг(р1щ) + дх (р1(Щ + с2) - ^дх^) = т 1—(щ - щ),

р1 + р2

(2.1)

дь(р2П2) + дх (р2(Щ + с2) - ^2дхЩ>) = т 1 р1р2 (П1 - и2)

р1 + р2

где р1, р2 — парциальные плотности компонентов, щ1, и2 — их скорости. При записи системы учтено, что изотермические уравнения состояния газов имеют вид Рг = с2рг, а парциальные р1 и физические Д плотности связаны через объёмные концентрации а соотношениеями р^ = а^, г = 1, 2. Благодаря использованию изотермического уравнения состояния компонентов в систему уравнений объёмные концентрации входят только в комбинации с истинными плотностями. Параметр т — характерное время парного взаимодействия компонентов. Выражение для силы парного взаимодействия выбрано в виде

г? 1 р1р2 ( \

#12 =--:-(и - и1).

т р1 + р2

Аналогичная система рассматривалась в [9], но без учёта вязкости г = 1, 2.

3. Система уравнений для ударной волны

Частное решение системы уравнений ищется в виде бегущей волны:

иДх,Ь) = ) + Б, рДх,Ь) = Рг(г), г = х - БЬ, г = 1, 2.

Параметр Б имеет смысл скорости бегущей волны, а щ, и2 — скорости компонентов в системе отсчёта, сопутствующей волне. При таком выборе вида решения исходная система сводится к системе четырёх обыкновенных дифференциальных уравнений, два из которых сразу интегрируются:

р1щ = -р0Б,

Р2«2 = — Р0А

1

(р1 (с2 + «2) — ^м!)' = 1 ,Р1р1 (м — гц),

ТР1 + Р2

1

(р2 (с2 + г2) — Р2Й/1)' = 1 ,Р1р1 («1 — М2)

ТР1 + Р2

Первые два соотношения выражают законы сохранения массы в предположении, что вещество перед волной в лабораторной системе отсчёта покоится, а парциальные плотности компонентов в этой области равны р1, р0. Используя эти соотношения, из оставшихся двух уравнений можно исключить плотности компонентов. Удобно ввести безразмерные скорости компонентов и1, 12 и волны М, выбрав в качестве характерной величины скорость звука первого компонента. Без ограничения общности можно считать, что она меньше скорости звука второго компонента с1 < с2. Система обыкновенных дифференциальных уравнений в безразмерных переменных относительно скоростей компонентов примет вид

/

м ( и +1) +

кем

и*- и

ем (

а

+ ^ + ^212 Здесь введены следующие обозначения:

квМ

12 + ви'

и1 — и2

(3.2)

12 + в! '

в = Р0,

Р1

а

С2, к = ^,

V,;

Рг

Р0с1 1

1, 2.

с1 с1Т

Штрих означает производную по г. Эта система может быть разрешена относительно производных:

11 = Р,

д,

и2

VlP/ = квм

= квм

и2 — и1 — м Л — -1 1Р 12 + ви м V1 и?,1 р 11 — 12 12 + в11

(3.3)

вм (1 — £

Система (3.2) обладает первым интегралом

м

(и + ^ + вм ^12 + и2) + ^Р + + 1 + м2 + в(а2 + м2) = 0. (3.4)

Уравнение (3.4) определяет равновесные состояния системы перед и за фронтом ударной волны. Если скорости компонентов равны, а течение однородно (Р = д = 0), (3.4) имеет два решения:

11 = 12 = —м, р = д = о

1 + ва2

11 = 12 = --

р = д = о.

(3.5)

(3.6)

м (1+ в)

Решение (3.5) соответствует состоянию покоя перед фронтом волны в лабораторной системе отсчёта. Состояние (3.6) описывает равновесие за фронтом волны. Для системы (3.3) обе эти точки являются особыми.

Таким образом, задача о структуре фронта ударной волны свелась к построению решения (3.3), выходящего из особой точки (3.6) и приходящего в особую точку (3.5).

4. Решение для ударной волны с разрывами при нулевой вязкости

Решение задачи о структуре ударной волны для модели (2.1) без вязкости было получено в работе [9]. Здесь мы повторим результат этой работы в принятых нами обозначениях. На примере этой задачи продемонстрируем общепринятый подход к построению разрывных решений для ударных волн в смесях.

Рассмотрим систему уравнений (3.3) и закон сохранения (3.4) для случая нулевой вязкости компонентов = = 0:

и = вк и2 = к

и2

и - и

и2 + виг 1 - и2 ' и2 иг - и2

и2 + виг а2 - и22 ,

1

иг

а

и2

1

иг + 7Т + в и + ^ + М + — + в М + —

М

а

2

0.

(4.1)

(4.2)

и

М

Качественный анализ задачи о структуре фронта ударной волны в смеси удобно проводить на плоскости годографа (иг, и2). Закон сохранения (4.2) описывает в этой плоскости замкнутую кривую. Взаимное расположение этой кривой и линий особых точек системы иг = - 1 , и2 = - а определяет тип волны, возникающей при заданном наборе параметров М, а, в. В поставленной задаче скорости компонентов могут принимать только отрицательные значения, поэтому при анализе взаимного расположения кривых следует ограничиться третьим квадрантом плоскости.

Обозначим через А и В точки пересечения прямой особых точек иг = и2 с законом сохранения (4.2), а через а и Ь — точки пересечения прямых иг = — 1,и2 = —а с прямой иг = и2. В зависимости от значений параметров М, а, в могут существовать четыре различных варианта взаимного расположения точек А, В, а, Ь на прямой иг = и2, которые соответствуют четырём типам структур фронта ударной волны в смеси.

При выполнении неравенств

-0.8-1-1.2-1.4 -1.6 -1.8-2-2.2

__3-1-«._I_&

----

^Э-- -4— 1 ^ «ч "ч N

¿¿^ ¿с Г ^ - ' я? - ^ X \ N \ \ \ \ \

V / / ^ ' /У ч \\ \ ^

4 [/ Р Ф ^ от /у ? / 1тЭл «л_-л- \ \ 1 V ^ 11 ^ Т / 4 Д ■н 1 \ 1 1 1 1

*£> ТТ ■51 ? ч Ч V. \ / / -Г- \ / К1

> \ \ \ \> ^ 41 --1ч-^ -Г -[Л-

К \ \ М ч - / 4 / * /Ж

^ ^ ^^ Ьа ^ гч ^ ^ ^ ^^ ^ —в-4— ^ ^ —— / У/ / х^/ / 7 1 1 1 / 1

^ ^ ^ N1 ^ ^^ ^ У / ' ^ / / 1

^^ ^^ ^^ ^^ ГЧ ^^ ^«к ^^ ^»ь —-— / У / ' ^ У / / ; -¿—А / /

■1.6 -1.4 -1.2

-1

-0.8

-0.6

и

Рис. 1. Взаимное расположение закона сохранения (сплошная линия) и линий особых точек (пунктир), соответствующее дисперсной ударной волне (а = 1.5, в = 0.9, М = 1.4, к = 1). Стрелками на графике изображено векторное поле системы (4.1)

М < а,

1 + ва2

М<

(4.3)

1+ в

точки а,Ь лежат вне отрезка [А, В]. В этом случае на плоскости годографа существует единственная непрерывная траектория, соединяющая начальную и конечную равновесные точки. Этот случай соответствует так называемой дисперсной ударной волне [10], в которой все величины в обоих компонентах изменяются непрерывно. Пример такого взаиморасположения кривой закона сохранения (4.2) и линий особых точек приведён на рис. 1 для набора параметров а = 1. 5, в = 0.9, м = 1.4, удовлетворяющих неравенствам (4.3). На рис. 2 построены профили скоростей в дисперсной волне.

-1.1

Если выполнено неравенство

м < а,

м> 1 + ва2

(4.4)

-1.3

-1.4

4 5 т.

Рис. 2. Профили скоростей в дисперсной волне (а = 1.5, в = 0.9, М = 1.4, к = 1). Сплошная и пунктирная линия соответствуют первому и второму компонентам

(4.5)

1+ в

либо неравенство м > а,

м < ^,

1+ в

то одна из общих точек линий 11 = -1, 12 = -а, лежит внутри, а другая вне отрезка [А, В] (см. рис. 3 и 4). При этих условиях непрерывный переход из точки А в В вдоль закона сохранения оказывается невозможным. Реализуется конфигурация с разрывом в одном из компонентов. Неравенству (4.4) отвечает разрыв в первом компоненте, а неравенству (4.5) — разрыв во втором компоненте.

Направление движения от А к В вдоль закона сохранения определяется предположением о монотонности изменения величин в ударной волне. Тогда связь скоростей перед и за разрывом в этих случаях однозначно определяется законом сохранения (4.2). При выполнении неравенства (4.4) траектория изображающей точки начинается в равновесном положении А (3.6) , затем скачком переходит в полол/ ( М(1+в) 1+ва2 \ / \ жение А = I—1+ва2 , — М(1+в) ) (разрыв в первом компоненте), после чего следует

непрерывно в конечную точку В вдоль закона сохранения. Описанный переход иллюстрируется рисунками 4 и 6, на котором графики построены для значений параметров а = 1.5, в = 0.2, м = 1.4. При выполнении неравенства (4.5) траектория изображающей точки из положения А непрерывно следует вдоль закона сохранения до точки

а2

В'

—м,--

' м)

где изображающая точка скачком переходит в конечную точку В (3.5), как показано на рис. 3 (а = 1.5, в = 2, м = 1.6). Профили скоростей для этого случая построены на рис. 5.

Наконец, если справедливо неравенство

м > а,

1 + ва2

м>

(4.6)

1 + в

Рис. 3. Взаимное расположение закона сохранения (сплошная линия) и линий особых точек (пунктир), соответствующее ударной волне с разрывом во втором компоненте (а = 1.5, в = 2, М = 1.6, к = 1). Стрелками на графике изображено векторное поле системы (4.1)

-0.6

Рис. 4. Взаимное расположение закона сохранения (сплошная линия) и линий особых точек (пунктир), соответствующее ударной волне с разрывом в первом компоненте (а = 1.5, в = 0.2, М = 1.4, к = 1). Стрелками на графике изображено векторное поле системы (4.1)

Рис. 5. Профили скоростей в ударной волне с разрывом во втором компоненте (а = 1.5, в = 2, М =1.6, к =1). Штрих-пунктирная линия и линия из точек соответствуют первому и второму компонентам

Рис. 6. Профили скоростей в ударной волне с разрывом в первом компоненте (а = 1.5, в = 2, М =1.6, к = 1). Штрих-пунктирная линия и линия из точек соответствуют первому и второму компонентам

обе точки а,Ь лежат внутри отрезка [А, В]. В этом случае переход из начального состояния в конечное возможен, если допустить существование двух разрывов с переходом из А в А' и из В' в В (см. рис. 7 и 8 для набора параметров а = 1.5, в = 1.2, м = 2). Обосновать описанный способ построения решений с разрывами для уравнений (4.1) можно используя теорию быстро-медленных систем, применительно к исходной системе (3.3) с вязкостью. Схема доказательства существования разрывных решений для медленной системы (4.1) приведена в следующем разделе.

-1

-1.5

-2

-2.5

UM1

\ \ 1 1 V \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ■> \ \ \ \ V \ \ \ v \ ч \\> ч \\\ 'ччччч \ \ ч \ ч ч ч ч v \ ч \ ч \ ч ч ч ч ч ч ч ч ч . ч . ч V

ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧ

\ \ \ \ \ \ \ ч ч 'ч -> s > Ч Ч Ч Ч \ Ч ч Ч ч Ч ч ч ч ч -. Ч ч Ч \ Ч ч .. . . V . ч .. .. ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч

ч Ч ч Ч ч Ч ч Ч ч ч ч ччччччччччччччччч-^-^-ЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧчЧ"-.ччч~ч

Рис. 7. Профили скоростей в ударной волне с двумя разрывами (а = 1.5, в = 1.2, М = 2, к = 1). Штрих-пунктирная линия и линия из точек соответствуют первому и второму компонентам

Рис. 8. Профили скоростей в ударной волне с разрывом в первом компоненте (а = 1.5, в = 2, М = 1.6, к = 1). Штрих-пунктирная линия и линия из точек соответствуют первому и второму компонентам

5. Качественный анализ

5.1. Качественный анализ системы уравнений с вязкостью

Очевидно, что формальное решение системы уравнений без вязкости (4.1), состоящее из нескольких компонент связности и соединяющее точки (3.5) и (3.6), не имеет физического смысла. Профили скоростей Ui(z) и U2(z) для такого решения не будут являться функциями. Поэтому для обоснования существования разрывных решений системы (4.1) необходим анализ предельного перехода решений (3.3) к решениям (4.1) при вязкости, стремящейся к нулю.

Для качественного анализа системы (3.3) при малых положительных значениях вязкости используем стандартную технику исследования быстро-медленных систем [11]. В дальнейшем условимся называть независимую переменную z «временем»

Пусть v1 = v2 = v. Наряду со временем z будем рассматривать быстрое время t = z/v. Точкой обозначим дифференцирование по t. Система (3.3), записанная для быстрого времени, примет вид:

U = vP, и = vQ,

P = - M о - UF )P (5.1)

q=kßMUFTM -ßM 0 - UF )Q.

Она имеет тот же первый интеграл, что и система (3.3). Устремим v к нулю; получим так называемую «быструю» систему

Ui = 0, U = о,

P = - M i1 - UF) P (5.2)

q=^US- ßM 0- S)Q

Соответственно, полагая V = 0 в (3.3), получим «медленную» систему (4.1).

Для быстро-медленных систем, каковой является система (3.3) при малых V, характерен следующий факт: траектории, составленные из отрезков траекторий быстрой и медленной систем, хорошо аппроксимируют траектории быстро-медленной системы [11]. Ниже мы попытаемся установить аналогичное утверждение для системы (3.3) в наиболее сложном случае двух разрывов.

5.2. Быстрая система

Решая первые два уравнения системы (5.2), получим Ц = Ц0, Ц2 = Ц0. Точка (и0, и0) лежит на кривой Г, заданной законом сохранения (4.2). Два оставшихся уравнения образуют линейную неоднородную систему, которая также может быть решена явно. Особые точки системы (5.2), суженной на поверхность Г х К2, лежат на некоторой кривой Г*. Эта кривая представляет собой так называемое медленное многообразие.

В зависимости от положения точки (Ц^Ц0) особая точка суженной системы (5.2) на Р^-плоскость есть

1) при —1 <Ц0 < 0, — а < Ц0 < 0 неустойчивый узел;

2) при —1 < Ц0 < 0, —а > Ц0 седло;

3) при —1 > Ц0, —а < Ц0 < 0 седло;

4) при —1 > Ц0, — а > Ц0 устойчивый узел.

Таким образом, медленное многообразие Г* состоит из четырёх компонент связности. Они лежат над соответствующими областям 1), 2), 3), 4) участками кривой. Только четвёртая из этих компонент устойчива. Отсюда следует, что стандартная техника теории быстро-медленных систем не может гарантировать существование траекторий, идущих из особой точки (3.6) (на компоненте связности 1)) в особую точку (3.5) (лежащую на компоненте связности 4)).

5.3. Инвариантные подмногообразия быстро-медленной системы

Для быстрой системы (5.1) особыми точками являются все точки прямой Ц1 = Ц2, Р = Q = 0 и только они (для её сужения на поверхность (3.4) — это точки (3.5) и (3.6)). В одной из особых точек системы можно найти собственные значения матрицы её линейной части. Выкладки показывают, что при малых положительных V все эти собственные значения Л^, г = 0,1, 2, 3, вещественны. Для собственных значений и векторов справедливо следующее:

1. Л0 = 0; соответствующий Л0 собственный вектор направлен вдоль прямой особых точек;

2. Л1 = Лр + О^); собственный вектор е1 близок к вектору ^;

3. Л2 = Лд + О^); соответствующий собственный вектор е2 близок к вектору ^;

4. Л3 = О^), т. е. собственный вектор е3 близок к вектору, лежащему в плоскости Р = Q = 0 и касательному к Г.

Для точки (3.6) Л1 > 0, Л2 > 0, Л3 < 0, а для точки (3.5) Л1 < 0, Л2 < 0, Л3 > 0. По теореме Адамара — Перрона в окрестности особой точки (3.5) существует аналитическое инвариантное для сужения (5.1) на (3.4) неустойчивое многообразие м^, касающееся в точке (3.6) векторов е1, е2. Продолжим его, то есть рассмотрим объединение всех фазовых кривых с начальными точками на м^. Получим двумерное неустойчивое многообразие ми. Аналогично для особой точки (3.5) построим двумерное устойчивое многообразие мДва двумерных подмногообразия

трехмерного многообразия, заданного уравнением (3.4), вообще говоря, пересекаются по некоторому одномерному подмногообразию 7 = ми П мЭто одномерное подмногообразие и даёт фазовую кривую, выходящую из особой точки (3.6) и входящую в особую точку (3.5).

5.4. Локализация кривой Г

Можно показать, что в области 1 имеют место неравенства 0 < ЛР < Лд. Это означает, что переменная Q растёт существенно быстрее переменной Р, за исключением случаев специального выбора направлений выхода из особой точки. Следовательно, траектория изображающей точки быстро уходит на бесконечность вдоль оси Q. Исключительным в окрестности особой точки (3.6) является направление , вдоль которого происходит экспоненциальный рост переменной Р.

Аналогичная картина имеет место в окрестности точки (3.5). При обращении времени все траектории системы (5.2), кроме сепаратрисной, соответствующей вектору , быстро уходят на бесконечность вдоль координаты Р. Поэтому для гипотетической траектории 7 возможна лишь следующая конфигурация. Траектория изображающей точки выходит из особой точки (3.6) вдоль направления -—; при этом существенен рост по модулю переменной Р, а Q изменяется незначительно. В соответствии с первыми двумя уравнениями системы (5.1) скорость первого компонента Ц1 будет изменяться значительно быстрее скорости второго компонента Ц2. В результате проекция траектории на плоскость годографа окажется почти горизонтальной. Когда траектория точки окажется в области 3, переменная Р резко уменьшится. В результате обе переменные Р и Q станут в некотором смысле не очень большими: их вклад в уравнение (3.4) окажется незначительным, так что проекция траектории 7 на плоскость годографа будет близка к Г. Те же рассуждения для обращённого времени приводят к заключению, что конечным участком траектории 7 окажется кривая, проекция которой на плоскость (Ц1, Ц2) будет почти вертикальным отрезком.

5.5. Заключительные замечания

Проведённый выше качественный анализ, безусловно, не является доказательством существования траектории, соответствующей эмпирически построенному профилю ударной волны с двумя разрывами. Однако этот предварительный анализ говорит в пользу возможности поиска решений такого типа. Рассмотренная выше схема рассуждений даёт эскиз теоремы существования и единственности траекторий для систем с малой вязкостью.

6. Некоторые примеры численных расчётов

Для системы уравнений (3.3) эмпирически было установлено, что построить траектории, соединяющие точки (3.5) и (3.6), можно за счёт специального подбора соотношений между коэффициентами вязкости v1 и

На рис. 9 на плоскости годографа построены траектории изображающей точки для набора параметров а = 1.5, в = 2.00, м = 1.6, к = 0.01, v1 = 0. Трём траекториям, идущим из особой точки (3.5) в (3.6), соответствуют значения вязкости во втором компоненте ^ = 1, 10 и 40. Видно, что с уменьшением вязкости траектория изображающей точки стремится к разрывной траектории, построенной для системы без вязкости. На рис. 10 сравниваются профили скоростей для системы без вязкости (4.1) и системы (3.3) для v1 = 0 и ^ = 1. Уже при значении коэффициен-

та вязкости во втором компоненте = 1, вязкий профиль скоростей оказывается близок к разрывным решениям системы без вязкости.

-1.2

-1.3

-1.4

-1.5

-1.6-

"ч. Ч-.

NN V ч

V

\ \ V

\ V. у-

1

\ 1

N 1 ^ 1

V

-3

-1

о

кг

Рис. 9. Взаимное расположение закона сохранения для системы (4.1) без вязкости (сплошная линия) и траекторий для решений системы (3.3) с различными значениями вязкости ^ = 1,10,40 (сплошная линия, штрих-пунктир и точки). Значения параметров в уравнениях а = 1.5, в = 2, М = 1.6, к = 0.01 соответствуют решениям системы (4.1) с разрывом во втором компоненте

Рис. 10. Профили скоростей в ударной волне с разрывом во втором компоненте при значениях параметров а =1.5, в = 2, М = 1.6, к = 0.01. Штрих-пунктиром и точками построены профили скоростей первого и второго компонента для системы (4.1) без вязкости. Сплошной линии и пунктиру соответствуют профили скоростей 1-го и 2-го компонентов в ударной волне для системы (3.3) при значениях VI =0 и = 1. По оси абсцисс отложено значение независимой переменной г в безразмерных единицах кг

Аналогичные графики построены на рис. 11 и 12 при значениях параметров а = 1.5, в = 0.2, М = 1.4, к = 0.01, = 0, и1 = 1,10, 40 для случая, когда разрыв в профиле скорости при нулевой вязкости возникает в первом компоненте.

Наконец, на рис. 13 построена траектория изображающей точки для набора параметров а = 1.5, в = 2.00, М = 2, к = 0.01, соответствующих гипотетической волне с двумя разрывами. Данная траектория, как было отмечено в разделе 5, крайне чувствительна к начальным значениям переменных. Для её построения вязкости были взяты равными и1 = и2 = 1, а начальные значения переменных определены как

1 + ва2

и2. = -

и = -

М (1 + в) 1 + ва2

Я = -ки22-

М(1 + в)

и - и2

- е,

-5.

(и2 - а2)(и + ви1)

Р определялась из закона сохранения (4.4). Величины е = 0.015 = 0.000719 задавали смещение начальной точки из положения равновесия.

7. Выводы

Таким образом, в работе исследована структура фронта ударной волны в гетерогенной смеси вязких изотермических газов. Рассмотрен предложенный в [9]

-2.5

-о.;

-0.9

-1

-1.1

-1.2

-0.6

Рис. 11. Взаимное расположение закона сохранения для системы (4.1) без вязкости (сплошная линия) и траекторий для решений системы (3.3) с различными значениями вязкости VI = 1,10,40 (сплошная линия, штрих-пунктир и точки). Значения параметров в уравнениях а = 1.5, в = 2, М = 1.6, к = 0.01 соответствуют решениям системы (4.1) с разрывом в первом компоненте

-1.3

—

1 ^ Л

\ \

ч V S

V N •N

V4 ч\

»V VV ч

-1.4

кг

Рис. 12. Профили скоростей в ударной волне с разрывом во втором компоненте при значениях параметров а = 1.5, в = 0.2, М = 1.4, к = 0.01. Штрих-пунктиром и точками построены профили скоростей первого и второго компонента для системы (4.1) без вязкости. Сплошной линии и пунктиру соответствуют профили скоростей 1-го и 2-го компонентов в ударной волне для системы (3.3) при значениях V2 =0 и VI = 1. По оси абсцисс отложено значение независимой переменной г в безразмерных единицах кг

Рис. 13. Взаимное расположение закона сохранения для системы (4.1) без вязкости (сплошная линия) и траектории для решения системы (3.3) со значениями вязкости vi = V2 = 1. Значения параметров в уравнениях а = 1.5, ß = 2, M = 2, k = 0.01 соответствуют решениям системы (4.1) с двумя разрывами

метод построения разрывных решений для системы без учёта вязкости. Отмечено, что формальное решение системы уравнений без вязкости при исходных краевых условиях не всегда возможно. В этих случаях метод [9] допускает их замену, что интерпретируется как разрывы в профилях величин в ударной волне. Новые краевые условия, вообще говоря, не следуют из исходной физической постановки задачи. Их выбор предполагает монотонность профилей величин в ударной волне. В данной работе приведены аргументы в пользу возможности использования такого способа построения разрывных решений. На основе теории быстро-медленных систем построена схема доказательства существования разрывных монотонных решений. Замену краевых условий можно обосновать, если показать, что решения медленной системы без вязкости аппроксимируют решения быстро-медленной системы уравнений при малой вязкости. Приведены примеры численных расчётов структуры фронта ударной волны для системы уравнений с учётом вязкости. Отмечено, что при уменьшении вязкости полученные решения приближаются к решениям системы уравнений без вязкости, построенным по методу, предложенному в [9].

Список литературы

1. Species separation in inertial confinement fusion fuels/ C. Bellei, P. A. Amendt, S. C. Wilks [etal.] // Physics of Plasmas. - 2013. - Vol. 20. - P. 012701.

2. Sherman, F. S. Shock-wave structure in binary mixtures of chemically inert perfect gases / F. S. Sherman // Journal of Fluid Mechanics. — 1960. — Vol. 8, no. 3. — P. 465480.

3. Goldman, E. The structure of shock-waves in gas mixtures / E. Goldman, L. Sirovich // Journal of Fluid Mechanics. — 1969. — Vol. 35, no. 3. — P. 575-597.

4. Руев, Г. А. Структура ударной волны в смесях газов / Г. А.Руев, В.М.Фомин, Н. Н. Яненко // Докл. АН СССР. — 1981. — Т. 261, № 2. — C. 285-290.

5. Буряков, О. В. Распространение волны разрежения и ударной волны в гетерогенной смеси двух изотермических газов / О. В. Буряков, В. Ф. Куропатенко // Вопр. атом. науки и техники. Сер. Методики и программы числ. решения задач мат. физики. — 1981. — Вып. 2 (8). — С. 3-7.

6. Казаков, Ю. В. Структура изотермических ударных волн в газовзвесях / Ю. В. Казаков, А. В. Федоров, В. М. Фомин // Проблемы теории фильтрации и механика процессов повышения нефтеотдачи: сб. ст. — М. : Наука, 1987. — С.108-115.

7. Ударно-волновые процессы в двухкомпонентных и двухфазных средах / С.П.Киселев, Г. А. Руев, А.П.Трунев, В.М.Фомин, М. Ш. Шавалиев. — Новосибирск : Наука, 1992. — 261 c.

8. Skews, B. W. Shock wave propogation in porous media / B. W. Skews, A. Levy, D. Levi-Hevroni // Handbook of Shock Waves, ed. by G. Ben-Dor, O. Igra, T. Elperin. — Boston : Academic Press, 2000. — P. 546-780.

9. Буряков, О. В. Структура фронта ударной волны в гетерогенной смеси двух изотермических газов при наличии сил взаимодействия компонент / О. В. Буряков, В. Ф. Куропатенко // Вопр. атом. науки и техники. Сер. Методики и программы числ. решения задач мат. физики. — 1985. — Вып. 3. — С. 19-24.

10. Федоров, А. В. Структура ударной волны в смеси двух твердых тел (гидродинамическое приближение) / А. В. Федоров // Моделирование в механике. — 1991. — Т. 5, № 4. — C.135-158.

11. Теория бифуркаций / В.И.Арнольд, Ю. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. проблемы математики. Фундамент. направления. — 1986. — Т. 5. — С. 5-218.

Поступила в редакцию 14-08.2018 После переработки 26.09.2018

Сведения об авторах

Воронин Сергей Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Адарченко Владимир Анатольевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Российский федеральный ядерный центр — Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики имени академика Е. И. Забабахина, Снежинск, Россия; e-mail: [email protected].

Панов Александр Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

474

C. М. BopoHHH, В. А. Agap^eHKO, A. B. naHOB

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2018. Vol. 3, iss. 4. P. 461-475.

DOI: 10.24411/2500-0101-2018-13407

THE STRUCTURE OF A SHOCK WAVE'S FRONT IN A HETEROGENEOUS MIXTURE OF TWO ISOTHERMAL VISCOSITY GASES

S.M. Voronin1", V.A. Adarchenko2b, A.V. Panov1c

1 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia

2Russian Federal Nuclear Center — Zababakhin All-Russian Research Institute of Technical Physics, Snezhinsk, Russia

"[email protected], [email protected], [email protected]

The problem of a shock wave frontline structure is studied for a heterogeneous mixture of two viscous gases with pair interaction forces. In the pending physical model we assume that the both components of the mixture have isothermal equations of the state and the pair interaction is carried out through the momentum exchange between the components. The pair interaction force is assumed to be linear with respect to the difference of the components velocities. In the work we justify the method of construction of discontinuous solutions for ideal gases by the analysis of the limiting transition from viscous mixture to ideal one in the framework of the theory of fast-slow dynamical systems. It is noted that in the limit case only four shock wave types with different structures of the frontline are possible. For all four types we provide results of numerical calculations of the shock wave frontline structure.

Keywords: shock wave, structure of front, heterogeneous mixture, pair interaction, isothermal gas.

References

1. BelleiC., AmendtP.A., WilksS.C. [et al.]. Species separation in inertial confinement fusion fuels. Physics of Plasmas, 2013, vol. 20, p. 012701.

2. Sherman F.S. Shock-wave structure in binary mixtures of chemically inert perfect gases. Journal of Fluid Mechanics, 1960, vol. 8, no. 3, pp. 465-480.

3. Goldman E., SirovichL. The structure of shock-waves in gas mixtures. Journal of Fluid Mechanics, 1969, vol. 35, no. 3, pp. 575-597.

4. Ruev G.A., Fomin V.M., YanenkoN.N. Struktura udarnoy volny v smesyakh gazov [Shock wave structure in gase mixtures]. Doklady Akademii Nauk SSSR [Reports of the USSR Academy of Sciences], 1981, vol. 261, no. 2, pp. 285-290. (In Russ.).

5. Buryakov O.V., Kuropatenko V.F. Rasprostraneniye volny razrezheniya i udarnoy volny v geterogennoy smesi dvukh izotermicheskikh gazov [The propagation of a rarefaction wave and a shock wave in a heterogeneous mixture of two isothermal gases] Voprosy atomnoy nauki i techniki. Ser. Metody i programmy chislennogo resheniya zadach matematicheskoy fiziki [Issues of nuclear science and engineering. Ser. Methods and programs for the numerical solution of mathematical physics problems], 1981, iss. 2 (8), pp. 3-7. (In Russ.).

6. Kazakov Yu.V., FedorovA.V., Fomin V.M. Struktura izotermicheskikh udarnykh voln v gazovzvesyakh [The structure of isothermal shock waves in gas suspension].

The work is supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects No 18-31-00226\18-mol_a, No 18-08-00156\18-a) and by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (task No 1.6462.2017/BCh).

Problemy teorii fil'tratsii i mekhanika protsessov povysheniya nefteotdachi [Problems of the filtration theory and mechanics of oil recovery processes]. Moscow, Nauka Publ., 1987. Pp. 108-115. (In Russ.).

7. Kiselev S.P., RuevA.P., TrunevA.P., FominV.M., Shavaliev M.Sh. Udarno-volnovye protsessy v dvukhkomponentnykh i dvukhfaznykh sredakh [Shock-wave processes in two-component and biphasic media]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1992. 261 p. (In Russ.).

8. Skews B.W., Levy A., Levi-Hevroni D. Shock wave propogation in porous media. Handbook of Shock Waves, ed. by G.Ben-Dor, O.Igra, T.Elperin. Boston, Academic Press., 2000. Pp. 546-780.

9. Buryakov O.V., Kuropatenko V.F. Struktura fronta udarnoy volny v geterogennoy smesi dvukh izotermicheskikh gazov pri nalichii sil vzaimodeystviya komponent [The structure of the front of the shock wave in a heterogeneous mixture of two isothermal gases in the presence of interaction forces of the components]. Voprosy atomnoy nauki i techniki. Ser. Metody i programmy chislennogo resheniya zadach matematicheskoy fiziki [Issues of nuclear science and engineering. Ser. Methods and programs for the numerical solution of mathematical physics problems], 1985, iss. 3, pp. 19-24. (In Russ.).

10. Fedorov A.V. Struktura fronta udarnoy volny v smesi dvukh tvyordykh tel (gidrodinamicheskoye priblijenie) [Structure of the shock wave front in a mixture of two solid bodies]. Modelirovanie v mekhanike [Modelling in mechanics], 1991, vol. 5, no. 4, pp. 135-158. (In Russ.).

11. Arnold V.I., AfrajmovichV.S., Il'yashenko Yu.S., Shil'nikov L.P. Dynamical Systems V. Bifurcation Theory and Catastrophe Theory. Berlin, Heidelberg, SpringerVerlag, 1994. IX+274 p.

Accepted article received 14.08.2018 Corrections received 26.09.2018