CC BY
36
УДК 533.6.011.8
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 2
О ВЛИЯНИИ МНОГОКВАНТОВЫХ ОБМЕНОВ НА ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ В РЕЛАКСАЦИОННОЙ ЗОНЕ ЗА УДАРНОЙ ВОЛНОЙ*
Л. Д. Мишин, Е. В. Кустова
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9
В данной работе изучается влияние многоквантовых УТ-переходов на параметры течения газа в релаксационной зоне ударной волны. Численно решается система уравнений поуровне-вой колебательно-химической кинетики и газодинамики, записанная в нулевом приближении метода Энскога—Чепмена. Коэффициенты скорости УТ-переходов вычисляются на основании результатов траекторных расчетов Биллинга. Получены распределения гидродинамических переменных для смеси N и N2 с колебательной релаксацией и диссоциацией при различных условиях в набегающем потоке. Отмечается существенное влияние многоквантовых обменов на заселенности колебательных уровней и молярную долю атомов вблизи фронта ударной волны. При учете только одноквантовых обменов максимальная ошибка вычисления температуры составляет 10—12%, для скорости — не превышает 6—8%. Библиогр. 7 назв. Ил. 5.
Ключевые слова: неравновесная кинетика, многоквантовые переходы, поуровневое приближение, ударная волна, диссоциация.
1. Введение. Расчет течения за фронтом ударной волны в гиперзвуковом потоке разреженного газа является важной задачей при конструировании летательных аппаратов и выборе материала для их тепловой защиты, моделировании входа спускаемого аппарата в верхние слои атмосферы. В условиях сильных отклонений от равновесия наиболее точным является детальное поуровневое описание колебательно-химической кинетики [1], при котором макропараметрами потока являются заселенности каждого колебательного уровня молекулярных компонентов, числовые плотности атомов, скорость и температура. Задача о течении газа за фронтом прямой ударной волны в такой постановке решалась ранее в предположении слабого влияния многоквантовых обменов на параметры течения [1—3]. Однако при высоких температурах вероятности многоквантовых обменов достаточно велики, в связи с чем их вклад в релаксационные члены может оказаться существенным. Целью данной работы является исследование влияния многоквантовых УТ-переходов колебательной энергии в поступательную на газодинамические параметры течения за сильной ударной волной при различных начальных условиях.
2. Постановка задачи. Рассматривается диссоциирующий азот, колебательный спектр молекул моделируется ангармоническим осциллятором Морзе. Динамика и кинетика газа описывается системой уравнений поуровневой кинетики, полученных в нулевом приближении метода Энскога—Чепмена [1]. Используется модель диссоциации Тринора—Маррона [4], обобщенная для поуровневого приближения [1], а также аналитические аппроксимации траекторных расчетов Биллинга [5] для коэффициентов скорости УТ-обмена. Для расчетов параметров непосредственно за фронтом ударной волны используются соотношения Рэнкина—Гюгонио, записанные при условии замороженных химических реакций и обменов колебательной энергией во фронте ударной волны.
* Работа выполнена при поддержке СПбГУ (проект 6.37.163.2014) и РФФИ (проект 15-08-03371).
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016
Для описания течения газа за ударной волной решается система уравнений колебательно-химической кинетики в одномерной стационарной постановке [1]
= + г = 0,...,ь, (1)
<1(упа) _ _2 V-4 дйзз—гес
¿X г
г
с учетом условий динамической совместности
ро«о = ру, (3)
ро«2 + ро = ру2 + р, (4)
2 2 = + (5)
Здесь у — скорость, р — плотность, р — давление, пг — заселенность г-го колебательного уровня, Ь — число колебательных уровней, па —числовая плотность атомов, Н — энтальпия единицы массы, — скорость УТ-обменов, цЧг>1>1-гес — скорость диссоциации и рекомбинации; индекс 0 соответствует параметрам газа до ударной волны. Поскольку влияние УУ-обменов колебательной энергией на динамику газа за ударной волной мало, в уравнении (1) УУ-переходы не учитываются.
Скорости УТ-переходов и диссоциации можно выразить по формулам
ДГ = Е пч Е к г пг' - 4, пг) , (6)
Ч г'=г
^-гес = Е пч(кЧсгпа - кЧ^пг), (7)
Ч=а,т
где ¿, — химический сорт партнера по столкновению (индексы т, а соответствуют молекулам и атомам), кчг' — поуровневые коэффициенты скорости УТ-переходов, кчгвв г, кГ:есг —коэффициенты скорости диссоциации и рекомбинации. Рассмотрим коэффициенты скорости УТ-переходов при столкновении с молекулой и атомом:
N2(г) + N2 ^ N2(1 - 1) + N2, Ж2(г) + N ^ N2(г') + N.
Выражения для коэффициентов скорости данных переходов можно найти в работе [6], они являются аппроксимацией траекторных расчетов Биллинга [5]. Для столкновений молекула—молекула имеем
= :кМ2 Яут (г 1) кг, г-1 = гк10 е , где
к{02 = ехр [-3.24093 - 140, 69597/Т0 '2] ,
5ут = 0.26679 - 6.99237 • 10-5Т + 4.70073 • 10-9Т2.
Здесь Т — температура газа, коэффициенты имеют размерность см3-с-1.
В случае столкновения молекулы с атомом согласно работе [5] необходимо учитывать многоквантовые переходы (\г' - г\ > 1):
= ехр [Ьо + Ь1(г - г') + &2(г - г')2 + г (со + С1(г - г') + С2(г - г')2)], г>г',
константы Ьг, сг приведены в [1].
Наряду с рассматриваемой моделью также существует ряд других моделей, учитывающих многоквантовые обмены, например, модель нагруженного гармонического осциллятора FHO [7]. Вероятности многоквантовых обменов, рассчитанные по модели FHO и по аппроксимациям результатов Биллинга, имеют близкие значения. Поэтому в настоящей работе используется более простая модель Биллинга.
3. Сравнение коэффициентов скорости УТ-обменов кN. Рассмотрим зависимость коэффициентов скорости одноквантовых и многоквантовых УТ-обменов от температуры. На рис. 1 приводится зависимость коэффициентов скорости УТ-обменов от температуры для различных колебательных уровней.
к-, см3/с 10"10
1012 1014 10"16 10"18 10
¿ = 20
0
5000 10000 15000 20000
г, к
к-, см3/с ю10
10 1
10 1
5000 10000 15000 20000
г, к
Рис. 1. Зависимость коэффициентов скорости УТ-обменов от температуры для различных колебательных уровней.
Из приведенных графиков видно, что при переходе с одного и того же энергетического уровня коэффициенты для многоквантовых обменов на несколько порядков меньше коэффициентов для одноквантовых обменов. Но если сравнивать переходы с различных уровней, видно, что коэффициенты для многоквантовых обменов могут быть сравнимы с коэффициентами для одноквантовых обменов с более низкого уровня. Поэтому суммарный вклад различных многоквантовых обменов в релаксационные члены (6) может оказаться значительным. Проверим это утверждение для случая течения за ударной волной.
4. Результаты расчетов. Были проведены расчеты газодинамических параметров в релаксационной зоне за ударной волной. При расчетах рассматривались различные начальные условия перед фронтом ударной волны, варьировались начальные скорость и давление. Также учитывалось различное количество возможных многоквантовых обменов. Были получены результаты с учетом:
— только одноквантовых обменов Дг = \г — г'\ = 1 (1д),
— многоквантовых обменов с Дг < 20 (20д),
— многоквантовых обменов с Дг < 40 (40д).
Первым был рассмотрен случай умеренной интенсивности ударной волны: ро = 100 Па, начальная скорость соответствует числу Маха М0 = 10, Т0 = 293 К. Колебательное распределение в набегающем потоке предполагалось больцмановским с температурой То, число атомов пао равно нулю. Анализ результатов показал, что при таких начальных условиях многоквантовые переходы практически не влияют на газодинамические параметры, отличие результатов не превосходит десятых долей процента.
пх!п 0.30 0.29 0.28 0.27 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.20
—20ц —40я
\ \ N. -
0
п2(]/п, х 10
0.5
1.5
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
и46/и,х 10"7 4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5 0
-Ц
—40д
5 и
1Е\ II \
11 \ 1 \ \ 1 V >
\
\
Ч
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
д пх!п, 1
0 -1 -2 -3 -4
"50
дп20/л, 100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100.
0.5
0
Д"46/и, 100
80
60
40
20
0
-20,
0
0.5
1.5
0.5
1.5
— -20я
2.5
3 х, м
—ц
—-20я
у-----
1.5 X, м
—ц
1 * 1
\ \
2.5
3 X, м
Рис. 2. Зависимость безразмерной заселенности колебательных уровней г = 1, 20, 46 от х (слева); отклонение результатов от значений, полученных при |Дг| < 40 (справа).
Рассмотрим ударную волну большей интенсивности при М0 = 15, р0 = 100 Па, Т0 = 293 К. На рис. 2 (левый столбец) приведены заселенности колебательных уровней г = 1, 20, 45 как функции расстояния х от фронта ударной волны. На графиках в правом столбце приводится отклонение результатов от значений, полученных в пред-
п„/я 0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0.5
Т, К,х Ю-7 1.4г
1.3. 1.2 1.1 1
0.9 0.8 0.7,
0
0.5
V, м/с 900
850
800
750
700
650
600
550.
0
0.5
—1,
■ ---20ч -40я """""
//
/
7 /
1.5
2.5
--Ц —-20я -40с
»\
------------
1.5
2.5
--Ц —-20я -40с
\
1.5
2.5
Апа/п, % 30
25 20 15 10 5 О -5
ЛТ,<Н 2
0 -2 -4 -6 -8
-10
Ду, %
1
О -1 -2 -3 -4 -5 -6.
0.5
0.5
О
0.5
1.5
1.5
1.5
—1ч —20а
Ч^
2.5
3 х, м
—Ц] —-20д_
1
2.5
3 х, м
—14 20ч
\ '"" " ""
2.5
3 X, м
Рис. 3. Зависимость молярной доли атомов, температуры и скорости от х (слева); отклонение результатов от значений, полученных при |Дг| < 40 (справа).
Дп,„/«>'
-н
/ У
0.5
1.5
2.5 3 3.5
0.5
1.5
А п40/п, 90
х, м
/ / -Ц 20я
2.5 3 3.5
X, м
Н
—20ч
Л
0.2
0.4
0.6
0.8
1
х, м
Рис.4- Зависимость безразмерной заселенности колебательных уровней г = 1, 20, 40 от х (слева); отклонение результатов от значений, полученных при |Дг| < 40 (справа).
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
V, м/с 900
850
800
750
700
650
600
550
500.
-40ч
к
V- ---------
0
0.2
0.4
0.6
0.8
д«й/и. 14
12 10 8 6 4 2 О -2
ДГЛ 2
О
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
- Ц —-20я
0.2
0.4
0.6
0.8
1
х, м
О
0.5
ду, <
1 О -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8.
О
0.5
—20д-
/ V7
1.5
2 х, м
-1ч
/
1.5
2
х, м
Рис. 5. Зависимость молярной доли атомов, температуры и скорости от х (слева); нение результатов от значений, полученных при |Дг| < 40 (справа).
положении Ai < 40,
Ащ _ Iщ - m(Ai < 40)| п ~ щ{Аъ < 40)
Из рисунка видно, что отклонение от наиболее точных расчетов для нижних уровней невелико (в пределах 4-5%), а для верхних уровней становится существенным. При этом для последнего уровня отклонение меняет знак, что, видимо, связано с влиянием диссоциации, которая идет более эффективно при учете многоквантовых обменов.
На рис. 3 (левый столбец) приведены молярная доля свободных атомов, температура и скорость как функции х. Приводится отклонение результатов от полученных при А г < 40. Как видно из графиков, учет многоквантовых переходов существенно меняет значения газодинамических величин и длину релаксационной зоны. Наибольшее различие наблюдается для случаев Аг = 1 и Аг < 40. Следует отметить, что влияние многоквантовых обменов на скорость и температуру заметно меньше, чем на заселенности и концентрации атомов. Так, отклонение значений скорости и температуры для Аг < 20 от соответствующих значений при Аг < 40 не превосходит 2-3%. Таким образом, учет первых 20 многоквантовых обменов дает удовлетворительную точность расчета V, р, Т и при этом заметно экономит вычислительные ресурсы.
Рассмотрим случай Мо = 18, ро = 100 Па, То = 293 К, соответствующий максимальной интенсивности ударной волны. На рис. 4, 5 приведены заселенности различных колебательных уровней, молярная доля свободных атомов, температура и скорость как функции х. Также приводится отклонение результатов от полученных при Аг < 40. В целом на графиках видим ту же картину, что и в предыдущем случае — наибольшее расхождение результатов для заселенностей средних и высших уровней и расхождение в пределах 2-3% при Аг < 20 и Аг < 40 для других газодинамических переменных. При других начальных значениях давления (ро = 1000 Па, ро = 2 Па) характер отклонений остается тем же, но меняется ширина релаксационной зоны.
5. Выводы. Показано, что суммарное влияние большого количества многоквантовых обменов вносит существенные изменения в величины газодинамических параметров в релаксационной зоне ударной волны, а также существенно сокращает длину этой зоны. Из результатов видно, что для расчета таких параметров как скорость, температура, давление, плотность, плотность свободных атомов и заселенности нижних колебательных уровней достаточно учитывать первые 20 многоквантовых обменов, а при расчете заселенностей средних и высших уровней приходится учитывать практически все возможные обмены.
Полученные результаты можно применять для исследования высокотемпературных неравновесных течений, например, при расчете входа спускаемого аппарата в атмосферу Земли.
Литература
1. Нагнибеда Е.А., Кустова Е. В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 272 с.
2. Кунова О. В., Нагнибеда Е. А. О влиянии моделей обменных химических реакций на параметры течения воздуха за сильными ударными волнами // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Серия 1. 2014. Т. 1(59). Вып. 1. С. 124-133.
3. Kunova O., Nagnibeda E. State-to-state description of reacting air flows behind shock waves // Chemical Physics. 2014. Vol.441. P. 66-76.
4. Marrone P. V., Treanor C.E. Chemical relaxation with preferential dissociation from excited vibration levels // Phys. Fluids. 1963. Vol.6, N9. P. 1215-1221.
5. Billing G.D., Fisher E. R. VV- and VT-rate coefficients in N2 by a quantum-classical model // Chem. Phys. 1979. Vol.43. P.395-401.
6. Capitelli M., Armenise I., Gorse C. State-to-state approach in the kinetics of air components under re-entry conditions //J. Thermophys. Heat Transfer. 1997. Vol.11, N4. P. 570-578.
7. Adamovich I. V., Macheret S. O., Rich J. W., Treanor C.E. Vibrational Energy Transfer Rates Using a Forced Harmonic Oscillator Model // J. Thermophys. Heat Transfer. 1998. Vol. 12, N1. P. 57-65.
Статья поступила в редакцию 26 сентября 2015 г. Сведения об авторах
Мишин Лев Дмитриевич — студент; leomichine@gmail.com
Кустова Елена Владимировна —доктор физико-математических наук, профессор; e.kustova@spbu.ru
ON THE INFLUENCE OF MULTI-QUANTUM TRANSITIONS ON GAS-DYNAMIC PARAMETERS IN THE RELAXATION ZONE BEHIND SHOCK WAVES
Lev D. Mishin, Elena V. Kustova
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; leomichine@gmail.com, e.kustova@spbu.ru
In this paper the influence of multi-quantum VT-exchanges on gas flow parameters in the relaxation zone behind a shock wave is studied. The set of equations of state-to-state vibrational-chemical kinetics coupled to the gas-dynamic equations is simulated numerically in the zero-order approximation of the Chapman— Enskog method. Rate coefficients of VT-transitions are calculated on the basis of Billing's trajectory calculations. Distributions of fluid dynamic variables are obtained for the binary mixture N and N2 under various free stream conditions. Significant effect of multi-quantum transitions on the vibrational level populations and atom molar fractions is shown. The maximum error in temperature values calculated taking into account only single-quantum transitions is within 10-12%, and does not exceed 6-8% for the velocity. Refs 7. Figs 5.
Keywords: non-equilibrium kinetics, multi-quantum transitions, state-to-state approach, shock wave, dissociation.
References
1. Nagnibeda E. A., Kustova E. V., Kinetic theory of transport and relaxation processes in non-equilibrium reacting gas flows (Saint Petersburg, Saint Petersburg University Press, 2003, 272 p.) [in Russian].
2. Kunova O. V., Nagnibeda E. A., "On the influence of exchange chemical reaction models on the parameters of air flows behind strong shock waves", Vestnik St.Petersburg Univ. Ser. 1 1(59), Issue 1, 124-133 (2014) [in Russian].
3. Kunova O., Nagnibeda E., "State-to-state description of reacting air flows behind shock waves", Chemical Physics 441, 66-76 (2014).
4. Marrone P. V., Treanor C. E., "Chemical relaxation with preferential dissociation from excited vibration levels", Phys. Fluids 6(9), 1215-1221 (1963).
5. Billing G.D., Fisher E. R., " VV- and VT-rate coefficients in N2 by a quantum-classical model", Chem. Phys. 43, 395-401 (1979).
6. Capitelli M., Armenise I., Gorse C., "State-to-state approach in the kinetics of air components under re-entry conditions", J. Thermophys. Heat Transfer 11(4), 570-578 (1997).
7. Adamovich I.V., Macheret S.O., Rich J.W., Treanor C.E. "Vibrational Energy Transfer Rates Using a Forced Harmonic Oscillator Model", J. Thermophys. Heat Transfer 12(1), 57-65 (1998).
УДК 517.977.5
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 2
К ЗАДАЧЕ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА
Ю. Я. Остов, А. П. Иванов
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9
В статье рассматривается вопрос оптимизации траектории летательного аппарата в вертикальной плоскости. Основное содержание данной работы состоит в том, что решение сложной нелинейной краевой задачи получено с помощью конечного числа арифметических операций. Приведенные результаты численного моделирования подтверждают эффективность рассмотренной методики. Библиогр. 3 назв. Табл. 1.
Ключевые слова: вариационный метод, оптимизация, функционал, сопряженная система уравнений, модель.
Оптимальное управление, найденное как результат решения краевой задачи на основе принципа максимума в его классической формулировке, является программным управлением, и при наличии всякого рода возмущений оказывается неэффективным, т.е. не обеспечивает оптимум заданного критерия качества [1]. Поэтому, если говорить о прикладном аспекте решения задачи, достаточно построить управление, при котором значение оптимизируемого функционала отличается от его оптимального значения не более, чем на заданную величину. Такое управление будем называть субоптимальным управлением.
Новый вариационный метод применен к решению следующей задачи: оптимизировать траекторию продольного движения центра масс (ЦМ) летательного аппарата (ЛА), совершающего полет из начальной точки атмосферного пространства в заданную конечную точку на поверхности Земли. Движение ЦМ ЛА описывается следующими уравнениями:
= тв, У(0)=У0,
аъ т
¿в У д сов в
(И тУ V ан
— = У8тв, Я(0) = Я0,
в(0) = во,
(1)
аъ
§ = рру, т = £о = о,
где V(Ъ) — модуль скорости, в(Ъ) — угол наклона траектории к горизонту, Н(Ъ) — высота над поверхностью Земли, £(Ъ) —безразмерная «взвешенная» длина траектории, Ъ — текущий момент времени, Ъ € [0, Т], т — масса ЛА, д — модуль ускорения свободного падения, X = (Схо + Сх^а2)рУ2Б/2 — лобовое сопротивление ЛА, У = С^арУ2Б/2 — подъемная сила ЛА, р = ро ехр (—ДН) —плотность атмосферы на высоте Н, р = р/р%, а — угол атаки (управление).
В данной модели Схо, Схг, С^, Б, т, р$, в, д — заданные константы. Множество А допустимых значений угла атаки а является открытым.
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016 ОС1: 10.21638/11701/зрЬп01.2016.215 309
Для этой модели ставится следующая задача: максимизировать кинетическую энергию
Ла) = = (2)
при заданных значениях высоты и «взвешенной» длины траектории полета в конечный момент времени Т, т.е.
н(т) - Нт = о, ат) - & = 0, (3)
где Нт и —заданные константы. Угол в(Т) и конечный момент времени Т не фиксированы, что не влияет на общность подхода к решению задачи.
На первом этапе решения поставленной задачи исходная система (1) преобразуется к виду [2]
^г = - Г*« + м) - е«¥'" 1;<е°> = ^
Щ. = -(« + §) = «>
д,р Ун
Р(С0) = Р0.
Как следует из приведенных выше соотношений, ЛА обладает параболической полярой, т. е. коэффициент лобового сопротивления связан с коэффициентом аэродинамической подъемной силы соотношением сх = сРо + су2/2ё, где сХо и ё — положительные константы. Из последнего соотношения следует у = 2л/ж — а/Ъ, где приняты обозначения у = су, х = сх, а = схо, Ъ = ^/2/в,.
Обозначим С(х) = 2л/ж — а/Ъ. Пусть Хк —коэффициент лобового сопротивления. Касательная к кривой О(х) в точке х = хк представляется в виде
_ дС ^ дх
/ \ , п/ \ \х ~ хк) . 0 — а
(х - хк) + С{хк) = + 2---.
х=хь Ьу хь — а Ь
Обозначим точку пересечения этой прямой с осью Ох через г, т. е.
0 = (г-хк) +2Ухк ~ а Ьл/хк — а Ь '
откуда следует
хь + г = 2а.
С учетом последних двух соотношений уравнение касательной принимает вид
(х — г)
У
Ъл/а — г
Точку г будем называть сопряженной точкой по отношению к хк. Таким образом, точке параболы (Рх = х, Ру = у) сопоставлено уравнение прямой (в пространственном
случае —уравнение гиперплоскости, которое соответствует преобразованию Лежанд-ра применительно к параболоиду). Теперь система уравнений (4) перепишется в виде
^ = -ЪЦ - Рт^Уп, Щ£о) = Уо,
(£ Ол/а — г
дУн (сх _ д
— =- схУк -—===, УнЦо) = Уно, 5
а
ар Ун
где
р(£о) = P0,
, М у, отт - 9 - СхоРов , (С^Р^ _ (Су)рдБа
а V; и Ун — проекции скорости V ЦМ ЛА соответственно на горизонтальную и вертикальную оси инерциальной системы.
Взяв за новую независимую переменную р € [ро, рт], систему (5) представим в
виде
аЦ _схУ,^У2+У2 | {сх~г)у/У* + У* г1р Ун Ь\/а — г '
(в)
сГр ' У I к ' рУк>
ар Ун
Соответственно функционал (2) и ограничения (3) перепишутся в виде
3(а) = ^((у;2 + У2)(рт)) = у 2(рт), е(рт) — £т = 0, рт=1.0.
Гамильтониан системы уравнений (6) и сопряженная система уравнений теперь
запишутся так:
= + + (7)
а р ар ар
афо дНб
= -Ф0 Фо - - Фг $2,
ар ду ¿ф1 дн6
ар дУн ¿ф2 дн6
= —Фо Ф3 — Ф1 Ф4 — Ф2 Ф5, (8)
ар д£
где
ф - ^ СхУ^ (Сх ~ ^ ф _ (сх - г)У (сх - г)у2 схЦ Ун УнУ ЬУ^/а^' 1 ~ ЪУКу/а=г ЪУУкУ ''
н2
1 . рхун д Лл _ у
ф9 =____фо = ___I__
ГГ уу£ т
(сх - г)У? схУн д V2
ф4 = 7Т7Т7о—;= Н--77--"ТТо ; ф5 ~~
ЪУУ2^1 У рУГ УУ1
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3 (61). 2016. Вып. 2 311
Так как V = \JV'i + V^ > 0, условие стационарности гамильтониана (7) относительно управления cx можно представить в виде
Условие стационарности гамильтониана (7) относительно z(p) при ограничении (а — z) > 0 записывается так: 2а — сх — z = 0. В силу нестационарности системы (6) из соотношений (4), (6) следует Нв(р) = —C\JV2 + V^/Vh, где С = const > 0. Поэтому с учетом соотношения (9) выражение (7) можно преобразовать к интегралу следующего вида:
Р2 = (^ + Ф1')г + + , = 0. (10)
V Vh ) Vh y/vFTvfpVh
Дифференцируя интегралы Fi(X(p),z(p)) =0 и F2(X(p),z(p), p) = 0 по p, где X = (Vi,Vh, Фо, в силу системы (6), (8), и исключив переменную dz/dp, получим выражение
aii a22 - ai2 a2i = 0, (11)
Т,™ n — dFt dX n _ dFt n _ 8F2 dX , 8F2 n _ 8F2
где an -jj^ «12 - — > a21 - 9X Hp + — > 22 - —•
С целью упрощения решения задачи третий интеграл F3 =0 найден из уравнения (11) как коэффициент при модуле p ускорения силы тяжести. В развернутом виде интеграл F3 =0 можно представить так:
Переменные Ф0(-) и ^i(-) выражаются из уравнений (9), (10). Подстановка ^i(-) в интеграл F3 =0 приводит к уравнению второй степени относительно переменной z:
Р ЕЕ Pi лА^+Ро = 0, (13)
причем можно положить параметр Ф2 = Ci + C и C = 1. В этом случае Ро и Pi примут следующий вид:
Po = № ~ '-Viß-) z + + £ W +
142 142 J V 142 vrp) ^ pv*vh> sbV'2
(14)
Vhb ' pj pv^vl
Еще один интеграл Р =0 найдем с помощью подстановок интегралов (9), (10) в соотношение (11) как коэффициент при модуле ускорения р силы тяжести. В этом случае уравнение относительно переменной г принимает следующий вид:
Р ЕЕ Д Ро = о, (15)
где полиномы Ро и определяются выражениями ' 2 V 21
Ро =
2 V 2 VVA VVA (-2 Va Vh 2 VVi a\ Vi p
)Cl+vr)z+{— + Wp + —)Cl + W-^
p V2 Vh'
14 УЬУн 14 р) рУ2У1
Подстановка г = а — IГ приводит соответственно к полиномам Р(1Г) и Р(1Г) второй и третьей степени, имеющим общий положительный корень 1°, который находится за конечное число арифметических операций. Управление а находится по формуле
Знак выражения (16) зависит от граничных условий (3).
Система уравнений (1) интегрировалась с шагом Ни = 0,01 с методом Рунге— Кутты (4-го порядка точности) при следующих значениях параметров ЛА и атмосферы: Схо = 0,1931; СхЛ = 5,88; = 0,8548046; т = 422; Б = 0,159; д = 9, 81; р*0 = 2,047; в = 1, 5682 • 10~4. В начальной точке имеем £(0) = 0,00; Н(0) = 24054, 5; V(0) = 1088, 31; в(0) = —0, 54113. Терминальные ограничения (3) следующие: Н(Т) — 0 = 0; £(Т) — 1, 42500 = 0. Результаты счета приведены в таблице.
Параметр Упрощенная модель Полная модель
Ь 13,351283 —
С1 0,43254880 —
Т 37,87 37,88
ет 1,42500 1,42500
Н(Т) 0,00000 0,00000
У(Т) 700,84577 700,8499
в{Т) -0,844270 -0,844283
В этом варианте имеем управление а(Ъ) < 0, Ъ € [0; 37, 87]. Под «полной моделью» следует понимать традиционную схему решения задачи (1)-(3) на основе принципа максимума Л. С. Понтрягина в его классической формулировке. Применение рассмотренного метода для других моделей ЛА приведено в [2, 3].
Литература
1. Кирин Н. Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем. Л.: ЛГУ, 1975. 160 с.
2. Остов Ю. Я., Иванов А. П. Метод оптимизации в задаче динамики полета // Автоматика и телемеханика. 2014. Т. 75, №2. С. 146-155.
3. Остов Ю. Я., Иванов А. П. К задаче динамики полета // Избранные труды Международной конференции по механике Шестые Поляховские чтения. Санкт-Петербург, 2012. С. 64-68.
Статья поступила в редакцию 9 июня 2015 г.
Сведения об авторах
Остов Юрий Яковлевич — кандидат технических наук; yuriostob@mail.ru
Иванов Анатолий Петрович — кандидат физико-математических наук, доцент; tonaki@mail.ru
TO THE PROBLEM OF FLIGHT DYNAMICS
Yuriy Ya. Ostov, Anatoliy P. Ivanov
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; yuriostob@mail.ru, tonaki@mail.ru
New variational method is applied to solve the following problem: optimize the trajectory of the longitudinal motion of the mass center of aircraft flying in vertical plain from the initial point of atmospheric space to a predetermined point on the Earth surface. The main content of this work is that the complicated nonlinear boundary value problem is obtained by a finite number of arithmetic operations. These results confirm the numerical simulation effective examination techniques. Refs 3. Tables 1.
Keywords: variational method, optimization, conjugate system of equations, functional, mathematical model.
References
1. Kirin N.E., Methods of successive estimates in problems of optimization of control systems (LSU, Leningrad, 1975, 160 p.) [in Russian].
2. Ostov Yu. Ya., Ivanov A. P., "Method of optimization in flight dynamics", Automatic and Remote Control 75(2), 294-301 (2014).
3. Ostov Yu. Ya., Ivanov A. P., "By the problem of the dynamics of flight", Selected Works of the International Conference on mechanics. Sixth Polyakhov's readings, 64-68 (St. Petersburg, 2012) [in Russian].
