Стохастическое доминирование в условиях рисковости разных степеней Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2009. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 519.855 И. Ю. Арефьева

СТОХАСТИЧЕСКОЕ ДОМИНИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ РИСКОВОСТИ РАЗНЫХ СТЕПЕНЕЙ

1. Введение. Теория принятия решений в условиях риска и неопределенности имеет широкое применение в различных областях деятельности человека. При принятии решений в условиях риска и неопределенности возникают проблемы выбора наилучшего вероятностного распределения, поэтому упорядочение множеств вероятностных распределений является одним из важнейших аспектов теории риска [1]. Для изучения индивидуальных предпочтений на множестве вероятностных распределений значительный интерес представляет изучение стохастических порядков, в том числе стохастического доминирования. При принятии решений индивидуум попадает под воздействие различных внешних факторов, что приводит к необходимости рассмотрения индивидуальных предпочтений в условиях рисковости разных степеней [2].

В традиционных определениях стохастического доминирования множество исходов является слабым порядком. Однако предпочтения не всегда обладают свойством транзитивности. Этому может быть несколько причин, например коллективные предпочтения, неопределенность различения, многозначность исходов и др., вследствие чего возникает потребность рассмотрения существования стохастического доминирования в ситуациях, когда бинарные отношения предпочтения на множестве исходов нетран-зитивны [3].

Цель работы - исследование стохастического доминирования в условиях рисковости разных степеней. Рассмотрены случаи, когда отношения предпочтения на множестве исходов являются слабым порядком, а также в условиях нетранзитивности. Приведено доказательство теорем по основным полученным результатам.

2. Стохастическое доминирование в случае, когда отношения предпочтения на множестве исходов являются слабым порядком. Пусть P - множество вероятностных распределений на измеримом пространстве, A,B G P. Обозначим через Fa (x) = P((—^о, x]) функцию распределения, соответствующую A G P; через Fb (x) = P((—ro,x] ) - отвечающую B G P.

Определение 1. Имеет место стохастическое доминирование первого порядка A B, если Fb (x) ^ Fa (x) для любого x G R.

Определение 2. Имеет место стохастическое доминирование второго порядка A ^2 B, если FB,2(x) ^ Fa,2(x) для любого x G R, где FB,2(x) = fZ Fb(t)dt.

Определение 3. Имеет место стохастическое доминирование n-го порядка A ^n B, если FB,n(x) ^ Fa,u(x) для любого x G R, где FB,n(x) = FB,n-1(t)dt,

n = 2, 3,....

Арефьева Инга Юрьевна — аспирант кафедры математической теории экономических решений факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. В. В. Колбин. Количество опубликованных работ: 8. Научные направления: математическая теория принятия решений, математическое моделирование. E-mail: [email protected].

© И. Ю. Арефьева, 2009

Пусть и(х) - некоторая функция полезности. Обозначим класс функций полезности £/*, V г = 1, то (то € Ж), где

Положительная первая производная функции полезности характеризует лицо, принимающее решение (ЛПР), как индивидуума, для которого «больше лучше, чем меньше», т. е. ненасыщаемости потребностей. Отрицательная вторая производная функции полезности характеризует ЛПР как лицо, строго нерасположенное к риску. Если третья производная функции полезности положительна, то говорят, что имеет место функция полезности с убывающей абсолютной нерасположенностью к риску, которая возможна, если

Интерпретация производных больших порядков является неоднозначной или невозможной.

Рассмотрим связь критериев стохастического доминирования и соответствующих классов предпочтений П^.

1. Критерий стохастического доминирования первого порядка и класс предпочтений П имеют вид

Еа(х) ^ Ев (х) ЕрАи(х) ^ Ерви(х) V и(х) € П\,

где ЕрАи(х) - ожидаемая полезность, соответствующая Еа(х); Ерви(х) - ожидаемая полезность, соответствующая Ев (х), при этом

2. Критерий стохастического доминирования второго порядка и класс предпочтений П2 могут быть представлены как

П\ = {и | и' > 0},

П = {и | и' > 0, и' < 0},

П3 = {и I и' > 0, и" < 0, и"' > 0},

ит = {и I и(т)(х) > 0, если т - нечетное, и и(т)(х) < 0, если т - четное}.

Учитывая определение

и (х)

получаем

X

X

X

J (Ев (1) — Еа^))А ^ 0 ^ ЕрАи(х) ^ Ерви(х) V и(х) € П2,

Ж

при этом

u'(x) J (Fb (t) - FA(t))dt

X / X

J u” | У (Fb (t) - Fa(t))dr I dt

X \x

3. Критерий стохастического доминирования третьего порядка и класс предпочтений Из можно записать так:

х Ь

! J (Рв (Ь,г) — Ра(Ь,г))&^ ^ 0 Ерли(х) ^ ЕРви(х)

V и(х) е Из, Ерл (Т) > Ерв (Т),

— ОО —ОО

при этом

где

A - B _ С-D^ ’

X

A = u'(x) J (Fb (t) - Fa (t))dt,

X

X x

B = J u"(x)J (Fb (t) - FA(t))dt,

X X

X x

C = u"(x) j j (Fb (x,t) - FA(x,t))dtdx,

X X

X xt

D = j u"'(x) j j (Fb (r,t) - FA(r,t))drdt.

X X X

Структура, приведенная выше, не всегда дает возможность принятия решения в пользу той или иной альтернативы; более выгодное решение может быть получено, если исследование портфеля проводить в условиях малорисковости или рисковости меньшего порядка.

Пусть Y - некоторая случайная величина, описывающая состояние неблагоприятной внешней среды, p (Y) - вероятность ее возникновения, которая может принимать значения от 0 до 1. Разобьем этот промежуток на n интервалов следующим образом: [ho, ki]U(ki, ^2]U...U(kn-i, kn], где ko = 0, kn = 1,а ki - значения вероятности, заданные экспертом.

Определение 4. Будем полагать, что имеет место рисковость первой степени, если р (У) € [к0, к{\.

Определение 5. Будем полагать, что имеет место рисковость степени п, если

р (У) € (К-1, кп\.

Рассмотрим соотношение между доминированием различных порядков.

Теорема 1. Если имеет место стохастическое доминирование порядка (к — 1): А ^к—1 В, то имеет место и стохастическое доминирование порядка к: А ^к В.

Доказательство. Пусть порядок стохастического доминирования (к — 1): А ^и-1 В. Покажем существование стохастического доминирования порядка к: А ^ В. Пусть А ^к—1 В , тогда, согласно определению 3, Рв,к—1(х) ^ РА,к—1(х) для любого

X X

х € Я ^ / Рв,к—1^) А > / Ра,к—1(1-) & ^ Рв,к(х) > РА,к(х) для любого х € Я,

— Ж — Ж

и имеет место стохастическое доминирование А ^к В, что и требовалось доказать.

Определение 6. Будем полагать, что имеет место стохастическое доминирование в условиях рисковости степени п: А ^п В, если Рв (х)р(У) ^ Ра (х)р(У) и р (У)

€ (кп—1, кп\ .

Для соотношения между доминированием в условиях рисковости разных степеней справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если имеет место стохастическое доминирование в условиях рисковости степени (п — 1) : А ^п-1 В, то есть и стохастическое доминирование в условиях рисковости степени п: А ^п В.

Доказательство. Пусть имеет место стохастическое доминирование А ~^1—1 В. Пустьр1(У) - вероятность возникновения состояния внешней среды, соответствующая условию рисковости степени (п — 1), арэ(У) - условию рисковости степени п. Тогда выполняется Рв(х)р1(У) > Ра(х)р1 (У) и р1 (У) € (кп—2,кп—1\■

Разделим обе части неравенства на р1(У) и умножим на р2(У). Так как р1(У) > 0 и р2(У) > 0, то знаки неравенства сохраняются, и получаем Рв (х)р2(У) ^ Ра(х)р2(У), где р2 (У) € (кп—1, кп\■ Следовательно, А ^п В, что и требовалось доказать.

Для характеристики соотношения между доминированием различных порядков в условиях рисковости разных степеней введем теорему

Теорема 3. Пусть а, в такие, что 1 ^ а ^ к — 1, 0 ^ в ^ п — 3, где п,к € N. Если найдутся г = а и ] = в такие, что имеет место стохастическое доминирование порядка г в условиях рисковости степени ]: А ^ ,3 В (или иначе (г)ББЯ^)), то есть и стохастическое доминирование порядка (г+1) в условиях рисковости степени (] + 1): А >г+1,3+1 В (т. е. (г + 1)ББЯ(] + 1)).

Доказательство этой теоремы следует из доказательств теорем 1 и 2. Схематически данное соотношение можно представить в виде

(1)ББЯ(п — 2) ^ (2)ББЯ(п — 2) ^ ... ^ (к)ББЯ(п — 2),

(1)ББЯ(п — 3) ^ (2)ББЯ(п — 3) ^ ... ^ (к)ББЯ(п — 3),

(1)ББ Я(0) ^ (2)Б!) Я(0) ^ ... ^ (к)БГ)Я(0).

3. Стохастическое доминирование в условиях нетранзитивности. В традиционных определениях стохастического доминирования множество исходов X является слабым порядком (транзитивным, рефлексивным, полным). Однако предпочтения не всегда обладают свойством транзитивности. Этому может быть несколько причин, например коллективные предпочтения, неопределенность различения, многозначность исходов и др. Рассмотрим стохастическое доминирование в ситуациях, когда бинарные отношения предпочтения на множестве исходов нетранзитивны.

Определение 7. Бинарное отношение Я € Ж, определенное на некотором множестве М и отличающееся тем, что для любых х,у, г € М из хЯу и уЯг не следует хЯг (— (хЯу А уЯг ^ хЯг)), называется нетранзитивным отношением предпочтения.

Согласно определению, наличие нетранзитивности означает, что существует хотя бы одна такая тройка х,у, г € М, для которой будет выполняться хЯу, уЯг, г Я х.

Согласно модели Фишберна [3], обозначим X - множество исходов, П - множество простых вероятностных мер на X, Ж - множество рефлексивных и полных бинарных отношений на X. Обозначим через I отношение безразличия на множестве X, а Н - отношение строгого предпочтения на множестве X.

Определение 8. Отношение безразличия х1у имеет место тогда и только тогда, когда выполняется хЯу и уЯх, где 1,Я € Ж.

Определение 9. Отношение предпочтения хНу имеет место тогда и только тогда, когда выполняется хЯу и не выполняется уЯх, где Н, Я € Ж.

Определение 10. Отношение Я' является обратным или двойственным относительно Я при хЯ'у тогда и только тогда, когда выполняется уЯх, где Я, Я' € Ж.

Введем следующие обозначения: Нх = {у € X : уНх}, хН = {у € X : хНу}, Ях = {у € X : уЯх}, хЯ = {у € X : хЯу} и х1 = {у € X : х1у}. Тогда Нх - множество более предпочтительных исходов, чем х, а хН - множество исходов, по сравнению с которыми х более предпочтительно. Интерпретация для Ях, хЯ, х1 аналогична. Таким образом, р (Ях) - вероятность того, что рисковое решение с заданными вероятностями исходов р дает некоторый исход, который более предпочтителен или безразличен по отношению к х.

Для определения стохастического доминирования на множестве нетранзитивных отношений Ж, которое обозначим как О (Я), где Я € Ж, введем понятие стохастического доминирования О1(Я) и ^(Я).

Определение 11. Стохастическое доминирование О1(Я) вероятностной меры XJ над вероятностной мерой д: р О1(Я) д имеет место тогда и только тогда, когда р{х : д(хН) ^ Л} ^ д{х : р(хН) ^ Л} для любых Л € [0,1\, где р,д € П,Я € Ж.

Определение 12. Стохастическое доминирование О2(Я) вероятностной меры XJ над вероятностной мерой д: р О2(Я) д имеет место тогда и только тогда, когда р{х : д(Нх) ^ Л} ^ д{х : р(Нх) ^ Л} для любых Л € [0,1\, где р,д € П,Я € Ж.

Введем понятие стохастического доминирования О (Я) на множестве нетранзитивных отношений предпочтения.

Определение 13. Стохастическое доминирование О(Я) вероятностной меры XJ над вероятностной мерой д: р О (Я) д имеет место тогда и только тогда, когда выполняются р О1(Я) д и р О2(Я) д.

Справедливы следующие утверждения для стохастического доминирования на нетранзитивных отношениях предпочтения.

Утверждение 1. Если Ж - множество отношений слабого порядка на X, то О1(Я) = О2(Я) = ББ(Я), где Я € Ж, а ББ(Я) - классическое понятие стохастического доминирования на отношениях слабого порядка.

Утверждение 2. Если бинарное отношение предпочтения Н нетранзитивно, то О1(Я) = О2(Я), где Н,Я €Ж.

Утверждение 3. Для любых р,д € П,Я € Ж, если существуют р О1(Я) д

и д О2(Я) р, то существуют д О1(Я) р и р О2(Я) д.

Введем понятия стохастического доминирования О (Я), О^Я), О2(Я) различных порядков на множестве нетранзитивных отношений предпочтения.

Пусть X - множество исходов, П - множество простых вероятностных мер на X, Ж - множество рефлексивных и полных бинарных отношений на X.

Введем обозначения: Рр(х) = Р({х : д(хН) ^ Л}) - функция распределения, соответ-

ствующая р € П, где Л € [0,1\, Рд(х) = Р({х : р(хН) ^ Л}) - функция распределения, соответствующая д € П, где Л € [0,1\. И Ор(х) = Р({х : д(Нх) > Л}) - функция распределения, соответствующая р € П, где Л € [0,1\, Од(х) = Р({х : р(Нх) ^ Л}) - функция распределения, соответствующая д € П, где Л € [0,1\.

Определение 14. Имеет место отношение стохастического доминирования В1(Я) первого порядка р О\(Я) д, если

Рр(х) ^ Рд(х) Ух € X.

Определение 15. Имеет место отношение стохастического доминирования В1(Я) к-го порядка р Ок(Я) д, если

Р(к)(х) < Р(к)(х) Ух € X,

где Р(к)д (х) = | Р(к—1} (1)3,1, к = 2, 3,... .

Аналогично введем определение для отношения доминирования О2(Я).

Определение 16. Имеет место отношение доминирования О2(Я) первого порядка р О^(Я) д, если

Ор(х) ^ Од(х) Ух € X.

Определение 17. Имеет место отношение доминирования О2(Я) к-го порядка р Ок (Я) д, если

Срк) (х) < с(к)(х) Ух € X,

где С(рк1 (х) = I С(р— (г)3г, к = 2, 3,... .

Теперь можем ввести определение отношения стохастического доминирования О (Я) различных порядков.

Определение 18. Стохастическое доминирование первого порядка О1(Я) имеет место тогда и только тогда, когда есть стохастическое доминирование первого порядка О\(Я) и О\(Я), т. е.

р О1 (Я) д & р В\(Я) д А р В^Я) д.

Определение 19. Стохастическое доминирование к-го порядка Ок(Я) имеет место тогда и только тогда, когда есть стохастическое доминирование к-го порядка

Ок (Я) и Ок(Я), т. е.

р Ок(Я) д & р Ок(Я) д А р Ок;(Я) д.

Отсюда можно предположить следующее соотношение между доминированием различных порядков.

Теорема4. Если имеет место отношение стохастического доминирования В (Я) порядка (к — 1): р В(к—1') (Я) д, то есть и отношение стохастического доминирования В (Я) порядка к: р В(к)(Я) д.

Доказательство. Пусть имеет место стохастическое доминирование порядка (к — 1): р В1к—1\Я) д. Покажем, что имеет место и стохастическое доминирование порядка к: р В(к) (Я) д.

Пусть р В1к—1\Я) д, тогда имеем

Л(к — ^ (

рБ(к~1> (Я) д « рБ1~,) Я д

р \рБ^-1) (Я) д.

Рассмотрим доминирование В1 : р в1 ^ (Я) д яРк ^ (х) ^ Я(к 1) (х) ^

яРк—1^(Ь) ЗЬ < / Ядк—1') (Ь) ЗЬ ^ Ерк) (х) < Я^к) (х), а следовательно, р в[к^ (Я) д.

— Ж

Аналогично для доминирования Б2: р в2' 1)(Я) д ^ Ор 1)(х) ^ 0^к 1)(х) ^

/ Ор 1)(Ь) ЗЬ ^ / О^к ^ (Ь) ЗЬ ^ Ор'^ (х) ^ Ок (х), а следовательно, р (Я) д.

р В(к)(Я) д

Тогда получаем < к , таким образом, р В(к)(Я) д, что и требовалось до-

[р В2 )(Я) д

казать.

Рассмотрим воздействие неблагоприятной внешней среды на результаты стохастического доминирования В (Я). Введем понятие рисковости разных степеней при неблагоприятной внешней среде.

Пусть У - некоторая случайная величина, описывающая состояние неблагоприятной внешней среды, р(У) - вероятность ее возникновения, которая может принимать значения от 0 до 1. Разобьем этот промежуток на п интервалов следующим образом: [ко, к1]и(к1, к2]и...и(кп—1, кп], где ко = 0, кп = 1,а к - значения вероятности, заданные экспертом.

Определение 20. Будем полагать, что имеет место рисковость первой степени, если р (У) € [к0, к\].

Определение 21. Будем полагать, что имеет место рисковость степени п, если

р (У) € (кп — 1, кп].

Определение 22. Будем полагать, что имеет место стохастическое до-.минирование В(Я) в условиях рисковости степени п: р В(Я)(п)д, если

{яр(х)р(у) < Яч(х)р(у) у (к

\ор(х)р(У) < (х)р(У) ^ р (У) € (кп—1,кп].

Теорема 5. Если имеет место стохастическое доминирование В (Я) в условиях рисковости степени (п — 1): р В(Я)(п — ^ д, то есть и стохастическое доминирование В (Я) в условиях рисковости степени п: р В (Я)(п) д.

Доказательство. Пусть имеет место стохастическое доминирование р В(Я)1п — ^ д и р1(У) - вероятность возникновения состояния У внешней среды - соответствует условию рисковости степени (п — 1), а р2(У) - условию рисковости

степени (n): p D(R)(n ^ q, тогда имеем

Fp(x)p1(Y) < Fq(x)p1(Y) Gp(x)p1(Y) < Gq(x)p1(Y)

и p2 (Y) е (kn-1, kn].

и p2 (y) > 0, то знаки неравенства сохраняются и получаем

Разделим обе части неравенств на pi (у) и умножим на p2(y). Так как pi(y) > 0

'Fp(x)p2(Y) < Fq(x)p2(Y) Gp(x)p2(Y) < Gq(x)p2(Y) ’

где pi (Y) e (kn-2, kn-i\. Следовательно, p D(R)(l) q, что и требовалось доказать.

Для характеристики соотношения между доминированием различных порядков в условиях рисковости разных степеней сформулируем следующую теорему.

Теорема 6. Пусть а, в такие, что 1 ^ а ^ k — 1, 0 ^ в ^ п — 3, где n,k e N. Если найдутся i = а и j = в такие, что имеет место стохастическое доминирование D(R) порядка i в условиях рисковости степени j : p D(R)(i)(j) q, то имеет место и стохастическое доминирование D(R) порядка (i + 1) в условиях рисковости степени (j + 1) : p D(R)(i+i)(j+l) q.

Доказательство данной теоремы следует из доказательств теорем 4 и 5. Схематически данное соотношение можно представить в виде

D(R)(1)(n-2) ^ D(R)(2)(n-2) ^

і і

D(R)(1)(n-3) ^ D(R)(2)(n-3) ^

і і

^ D(R)(k)(n-2),

і

^ D(R)(k)(n-3),

і

П(К)(1)(0) ^ П(К)(2)(0) ^ ... ^ Б(К)(к)(0).

4. Заключение. Таким образом, мы рассмотрели поведение стохастического доминирования в условиях рисковости разных степеней, а также возможность существования стохастического доминирования в условиях нетранзитивности. Полученные результаты могут быть использованы при решении практических задач различных направлений деятельности.

Литература

1. Новоселов А. А. Математическое моделирование финансовых рисков: теория измерения. Новосибирск: Наука, 2001. 101 с.

2. Колбин В. В., Белоносова И. Ю. Анализ рисков в страховании. СПб.: Науч.-исслед. ин-т химии С.-Петерб. ун-та, 2006. 68 с.

3. Fishburn P. Stochastic Dominance Without Transitive Preferences // Management Science. 1978. Vol. 24. P. 1268-1277.

Статья рекомендована к печати член-кор. РАН, проф. Г. А. Леоновым.

Статья принята к печати 28 мая 2009 г.