Стохастический анализ безубыточности компании Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Стохастический анализ безубыточности компании

Белых Василий Викторович

Кандидат физико-математических наук, доцент,

экономический факультет, кафедра корпоративного управления и финансов Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский государственный университет экономики и управления «НИНХ» Новосибирск, ул. Каменская, 56

E-mail: v.v.belykh@gmail.com

Аннотация

Уравнение безубыточности описывает соотношение финансовых показателей компании при различных уровнях производства и реализации. Переменные в уравнении считаются детерминированными (неслучайными) величинами. В статье представлена математическая модель, которая дополняет анализ безубыточности, включая в него неопределенность, сопутствующую операционной деятельности. Выручка от реализации описывается как случайная величина, которая формируется в результате геометрического стохастического движения. Для учета характеристики неопределенности, связанной со временем, использована концепция операционного цикла, которая дает представление о сроке инвестиций в оборотные активы от момента приобретения сырья и материалов до момента поступления выручки. Полученные нами уравнения позволили представить прибыль компании в виде разности математических ожиданий положительного и отрицательного финансовых результатов. Такое описание раскрывает структуру прибыли с точки зрения возможных благоприятных и неблагоприятных исходов, включая в анализ альтернативные сценарии развития компании.

В дополнение к теоретическим исследованиям мы показываем, в какой степени неопределенность выручки влияет на финансовые показатели стабильно работающей компании. С этой целью рассматриваются гистограммы плотности распределения показателей, используемых в анализе безубыточности. Они наглядно передают вклад случайной составляющей. Мы приводим примеры того, что выводы, сделанные с учетом случайного характера выручки, значительно отличаются от результатов классического анализа безубыточности. В рамках работы функционирование компании рассматривается преимущественно с позиции соотношения затрат и выручки. Вместе с тем полученные уравнения можно использовать для оценки риска операционной деятельности. Этому посвящены интерпретация модели в терминах опционов и расчет рентабельности капитала с учетом риска. Заметим, что сценарный подход широко применяется при оценке стоимости инвестиционных проектов. В этом отношении описанный нами подход с упором на расчет математических ожиданий положительных и отрицательных денежных потоков проекта может рассматриваться как вклад в развитие теории принятия инвестиционных решений.

Ключевые слова: анализ безубыточности, операционный цикл, математическое ожидание и вероятность прибыли и убытка, стоимость опциона, точка безубыточности 1БЬ: С67, С31, М21

Введение

Операционная деятельность компании сталкивается с неожиданностями, которые трудно предусмотреть. Степень неопределенности возрастает в периоды ре-цессий. Это происходит как на отраслевом уровне — в одних отраслях дела идут хорошо, а другие испытывают трудности, так и на уровне компаний — усиливается неопределенность доходности и темпа роста продаж [Блум, 2016]. Анализ безубыточности является одним из основных методов, используемых при планировании производственной деятельности. Возникает вопрос: каким образом можно учесть неопределенность операционной деятельности? Некоторое представление об этом дают способы управления, применяемые в условиях, когда величину спроса можно оценить лишь приближенно. В первом разделе работы мы рассмотрим несколько таких способов. Это позволит нам выделить переменные, связанные с неопределенностью. Далее будет показано, каким образом они определяют величину случайной составляющей в уравнении безубыточности. Наша математическая модель дополняет анализ безубыточности. С ее помощью в круг рассматриваемых вопросов вводятся альтернативные сценарии развития компании. В этом отношении следующий раздел работы является основным. Здесь выручка рассматривается как результат случайного процесса, для описания которого можно применить модель геометрического случайного движения. Такой подход позволяет оценить математические ожидания прибыли и убытка, сопутствующие реализации производственных планов. Финансовый результат мы представляем в виде суммы этих величин. Для более глубокого понимания используемого нами подхода мы опишем предложенную модель в терминах опционов. Отметим, что существует значительное количество моделей, основанных на использовании концепции «реальных опционов». Эта концепция успешно применяется для решения вопросов, связанных с анализом инвестиций в природные ресурсы [Brennan, Schwartz, 1985] и оценкой стоимости отсрочки времени инвестирования [McDonald, Siegel, 1986]. Хотя область ее использования значительно шире, приведенный перечень соответствует тому, что реальные опционы в значительной степени — инструмент решения задач, связанных с инвестированием [Бухвалов, 2004], а не с операционной деятельностью компаний.

Неопределенность служит причиной нарушения устойчивости компании. Отклонение финансовых коэффициентов от нормативных значений может служить признаком приближения банкротства [Федорова, Тимофеев, 2015]. Этот способ оценки устойчивости основывается на результатах эконометрических исследований выборки компаний, относящихся к определенной отрасли. В работе применяется другой подход. Он использует данные, относящиеся к одной компании. Мы представим графически диапазон,

в котором случайная составляющая в уравнении безубыточности наиболее значительна. Соотнесем операционную прибыль со случайными колебаниями выручки. Рассмотрим, от чего зависит скорость перехода от однозначного убытка к однозначной прибыли. Проанализируем влияние асимметрии функции плотности на точку безубыточности. В рамках стохастического подхода будут разобраны все показатели, используемые при управлении компанией в условиях неопределенности. Ранее разрозненные, теперь они рассматриваются совокупно, как переменные одного и того же уравнения. Станет понятным, как их сочетание определяет влияние неопределенности на операционную прибыль.

Ключевое условие стохастического подхода состоит в том, что показатели компании, рассчитываемые на основе выручки, следует рассматривать как случайные величины. Во многом такой подход опирается на эконометрический анализ. На уровне отдельной компании возможности эконометрики снижаются. Это связано с относительно небольшим объемом экспериментальных данных, которыми мы располагаем при подобных исследованиях — он ограничен числом бухгалтерских отчетов. Тем не менее, в заключительной части работы рассматривается плотность распределения показателей, используемых при анализе безубыточности. Благодаря этому становится понятно, в какой степени их величина зависит от случая. На примере выбранной компании продемонстрировано, каким образом следует применять полученные нами уравнения. Все расчеты выполняются с учетом доминирующего влияния случайной составляющей. В приложениях к работе приведены материалы, разъясняющие некоторые вопросы, связанные с обоснованием модели и ее применением для оценки риска операционной деятельности.

Способы управления в условиях неопределенности

Об уровне неопределенности операционной деятельности можно судить на основании надежности прогнозов выручки, которыми располагает компания. Изменение цен и объемов реализации продукции происходит под внешним влиянием, что ограничивает степень контроля этих показателей. Один из подходов заключается в уменьшении размаха случайных колебаний выручки. Совершая расчеты, основанные на инкрементальных данных, можно рассчитать размер безубыточного изменения объема продаж при изменении цены и компенсировать потерю дохода, связанного с «эффектом цены», дополнительным доходом от «эффекта объема» [Шигаев, 2008]. Способ можно использовать как при неблагоприятных изменениях рыночных условий (в случае снижения цены продукции), так и при наступлении благоприятных событий (повышение цены). В результате неопределенность выручки снижается.

Сомнение в прогнозе влияет на производственные процессы. В этом случае перед компанией стоит задача выпуска продукции в условиях, когда спрос точно не известен. Так как решение об объемах производства принимается в начале периода планирования, а информация о фактическом спросе поступает позднее, то необходим механизм регулирования соотношения текущих операционных затрат и ожидаемой в будущем выручки. Для решения этой задачи предлагается применять алгоритм, основанный на принципе обратной связи, — на каждом шаге планирования сведения об имеющемся запасе готовой продукции и фактическом спросе используются для корректировки производственной деятельности следующего периода [Бухвалова, Петрусевич, 2011]. Отметим, что этот способ управления оказывает влияние на характеристику неопределенности, связанную со временем, уменьшая дисперсию темпа роста выручки при увеличении периода планирования.

Влияние случайных факторов не всегда отрицательно, другая черта неопределенности проявляется в потенциальном росте прибыли. Таким образом, принимаемые решения нуждаются в критерии, учитывающем как угрозы, так и возможности, сопутствующие ситуации неопределенности. С учетом этого правила построено управление производственной деятельностью компании как процессом, на входе которого — закупаемые материальные ресурсы, на выходе — конечный продукт [Мадера, 2015]. Предполагается,

что производство осуществляется в условиях, когда компания не уверена в объемах спроса на свою продукцию и в доступности факторов производства. Для выбора наилучшего решения предлагается использовать критерий «шансы минус риски». Значение этого показателя отражает вероятность актуализации в будущем различных событий, которые в случае благоприятного характера являются шансами, в противном случае — рисками. Выбор решения основывается на соотношении благоприятных и неблагоприятных исходов.

Применение указанных способов способствует понижению уровня неопределенности. Если расположить модели в порядке времени публикации соответствующей работы, то получится перечень показателей, описывающих влияние неопределенности со все более высокой степенью обобщения (рис. 1). Такое представление не является в полном смысле классификацией, но передает уровни, на которых проявляется случайный характер спроса. Остается открытым вопрос о механизме, посредством которого можно было бы объединить переменные, существенные при использовании того или иного способа управления. Одна из задач нашего исследования состоит в выводе аналитического выражения, описывающего зависимость операционной прибыли от показателей, характеризующих неопределенность. Последующий эконометрический анализ — пример практического применения предложенной модели.

Рисунок 1. Показатели, характеризующие способы управления в условиях неопределенности

Управление основанное на инкрементальных данных

Величина

отклонения выручки под воздействием случайных факторов

Управление использующее принцип обратной связи

Соотношение объемов производства и спроса для периода равного шагу планирования

Управление включающее процессный подход

Соотношение положи-тельных и отрицательных исходов

Математическая модель

При анализе безубыточности исследуют взаимосвязь прибыли, выручки и затрат при различных уровнях производства и реализации. С точки зрения оборачиваемости товарно-материальных запасов финансовый результат является следствием выполнения ряда операционных циклов1. Дополним уравнение безубыточности указанием на момент времени, к которому относится тот или иной показатель по отношению к операционному циклу:

EBIT, = Vt -(FC0 + VC0 )• е = = V - Ко • е ^ = V, - К,

, (1)

где ББ1Т( и V — операционная прибыль и выручка, которые компания ожидает получить через время t равное длительности операционного цикла; К0 — сумма постоянных (^С0) и переменных (УС0) затрат, совершаемых в начале операционного цикла;

К = К0 • е ц 1 — оценка стоимости затрат на момент окончания операционного цикла, рассчитанная по ставке непрерывно начисляемых процентов ц.

1 Заметим, что последовательность циклов относительно друг друга не важна. Можно представить, что операционный цикл соответствует испытанию в теории вероятностей. Закономерности, которые проявляются в испытаниях, не зависят от того, получают их на основе нескольких последовательных испытаний или на основе множества одновременно совершаемых испытаний. По завершении операционного цикла (испытания) компания может получить как прибыль, так и убыток.

С учетом неопределенности спроса представим выручку от реализации в виде случайного процесса

, соответствующего геометрическому броуновскому движению [Ширяев, 1998, с. 290]2:

е-Щ + \М- -V I-1

St = S0 • е 1 2} , (2)

где и 50 — выручка в момент времени t и в начальный момент времени;

а — стандартное отклонение логарифма темпа роста выручки (за год);

№ — стандартное броуновское движение; ц — ожидаемый логарифм темпа роста выручки при стандартном отклонении равном нулю (за год);

t — время развития случайного процесса (в единицах года).

В этом случае значению V в уравнении (1) будет соответствовать математическое ожидание (среднее значение) случайного процесса:

V = Е(St)=| ^с(5,t)ds, (3)

0

где 5 — возможные значения случайной величины;

— плотность распределения сечения случайного процесса в момент времени t. Параметр времени, используемый при описании плотности распределения, говорит о зависимости закона распределения от длительности операционного цикла.

Таким же образом опишем операционную прибыль, представив ее математическое ожидание в виде разности, первый член которой соответствует математическому ожиданию прибыли, а второй — убытка:

ЕВЩ = |( 5 - К )с( 5, t) ds =

0

= |(5 - К t) ds - , (4)

К К

-1 (К - 5) • С (5, t) ds = С - Л

0

где С — математическое ожидание прибыли; Р — математическое ожидание убытка. Обозначения этих величин приведены с параметром времени t, так как они характеризуют финансовый результат компании на момент окончания операционного цикла.

Уравнение (4) представляет операционную прибыль, как результат выполнения ряда операционных

циклов, каждый из которых завершается случайным событием — получением положительного или отрицательного финансового результата, поэтому назовем его стохастическим уравнением безубыточности.

Для геометрического случайного движения плотность распределения w(s,t) описывается логарифмически нормальным законом, что позволяет найти интегралы, входящие в уравнение (4) [Hull, 2002, p. 262]3.

Принимая во внимание, что математические ожидания прибыли и убытка рассчитываются на момент окончания операционного цикла, получим следующие уравнения для расчета этих величин (Приложение 1):

• математическое ожидание прибыли равно:

C = V • N (d )-K • N (d2 ) ; (5)

• математическое ожидание убытка равно:

P = V •( N ( di )-l)-K •( N ( d2 )-l):

= C-(V - K ) = C - EBIT

. (6)

Интегральные функции нормального распределения N(4^ и N(4^) имеют аргументы, равные:

ln

d1 =

( t )

+ -

ln

d2 =-

= d1 ,

(7)

где — стандартное отклонение логарифма темпа роста выручки для промежутка времени, равного длительности операционного цикла. В соответствии с моделью геометрического броуновского движения стандартные отклонения, описывающие один и тот же случайный процесс на протяжении двух разных по продолжительности промежутков времени t1 и t2, соотносятся друг с другом следующим образом:

f. (8) Ч2

Таким образом, если мы знаем стандартное отклонение для промежутка времени, равного году, то можем рассчитать значение показателя для промежутка времени, равного длительности операционного цикла.

Полученные нами аналитические выражения включают переменные, на которые мы обратили внимание при рассмотрении способов принятия решений в условиях неопределенности.

2

а

2

и

а

2 Более точно процесс формирования выручки можно описать процессом Орнштейна — Уленбека, для которого геометрическое броуновское движение является частным случаем. Для нас важно, что в том и другом случаях плотность распределения логарифма темпа роста выручки подчиняется логарифмически нормальному закону.

3 Можно найти интегралы для плотности распределения, описываемой нормальным законом, однако такое описание будет менее точным, чем логарифмически нормальное распределение (Приложение 2).

Описание в терминах опционов

Нетрудно заметить, что выражения (5) и (6) похожи на уравнения, которые применяются для расчета стоимости опционов (см. Приложение 1). Это дает возможность описать нашу модель в терминах опционов.

Ранее модель оценки стоимости опционов была применена для исследования структуры риска долговых обязательств компании [Мейоп, 1974], однако ее непросто распространить на оценку рисков операционной деятельности. Одна из основных трудностей связана с несимметричным распределением прав и обязанностей — обладание опционом предоставляет права, но не налагает обязанностей. Обычно это условие выполняется путем распределения прав и обязанностей между разными участниками сделки, например, между акционерами и кредиторами. При рассмотрении операционной деятельности этого сделать нельзя, так как предмет рассмотрения не является сделкой. Способ, который позволяет применить опционную модель к оценке риска, связанного с операционной деятельностью компании, основывается на разделении источников, используемых для финансирования текущей деятельности компании, на два вида. Первый вид — средства, которые компания получает от реализации своих продуктов и услуг, второй — источники, не связанные с ее операционной деятельностью (собственный капитал, кредиты).

Рисунок 2. Финансовый результат и стоимость опционов

Представим финансовый результат как стоимость портфеля из длинного опциона колл и короткого пут. Базовым активом опционов в нашем случае является выручка 5. Цене исполнения соответствуют затраты К связанные с получением выручки. Стоимость каждого из опционов зависит от соотношения выручки и затрат. На графике показано, как стоимость портфеля (финансовый результат) складывается из суммы стоимости позиций покупателя опциона колл (прибыль) и продавца опциона пут (убыток), при различном уровне неопределенности выручки (рис. 2).

Прибыль компании равна стоимости опциона колл. Покупатель опциона приобретает право на возмещение затрат К из средств, получаемых в результате операционной деятельности. Компания становится владельцем опциона в момент приобретения сырья и материалов. Опцион будет исполнен, если выручка от реализации окажется выше затрат. Срок опциона заканчивается в момент реализации продукции, что соответствует времени завершения операционного цикла. Убыток компании равен стоимости опциона пут. Продавец опциона получает обязанность покрывать затраты К из средств, не связанных с операционной деятельностью. Компания становится продавцом опциона пут одновременно с приобретением опциона колл. Опцион будет исполнен, если цена реализации продукции окажется ниже себестоимости. Срок опциона так же заканчивается в момент реализации продукции.

55% 40%

25%

.. ~ 10%

Позиция

покупателя ...... ^ _ ^

4 Финансовый результат

10%

----^-ГУ---1--------1-------1---- 25%

20 40 ^^/../60-380__________Ю0---------120.........140—" 40%

■ 55%

Выручка = Затратам / о,=70%

Позиция продавца опциона пут

Ожидаемая выручка

Эффекты неопределенности

Согласно концепции операционного цикла [Richards, Laughlin, 1980] производственная деятельность начинается с приобретения сырья и материалов, необходимых для выпуска продукции. В это время уровень спроса точно не известен и выручку можно считать случайной величиной. Операционная прибыль, которую компания получает по окончании операционного цикла, является линейной функцией этой случайной величины. В соот-

ветствии с детерминированным уравнением безубыточности (1) математическое ожидание операционной прибыли равно разности математического ожидания выручки и произведенных затрат. В соответствии со стохастическим уравнением безубыточности (4) математическое ожидание операционной прибыли равно разности математических ожиданий положительного и отрицательного финансового результата.

. График безубыточности4

0,04

I-ro Q. I-

2

T $

л

CQ

Плотность логнормального распределения для ot = 25%

Выручка (Б)

Затраты (К)

0,00

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Количество произведенной и реализованной продукции

Рисунок 4. Вероятности прибыли и убытка в окрестности точки безубыточности

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

/

at = 5% * / / / / ot=1 0%

/ t * / /

• / ; § • / / °t= 25%

.* / ; t : » * * /

s / /

/ i » ; / . / ;

Ф / t t /

» » t / .

ê У

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

VO >ч

U

О X I-к

0

О.

01 CÛ

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 Соотношение выручки и затрат, / КО

1,3

1,4

Представим графически соотношение переменных, входящих в детерминированное и стохастическое уравнения безубыточности (рис. 3). Детерминированные показатели изображены в виде линейных зависимостей, которые передают их величину при разном объеме производства и реализации продукции5. Пунктирные кривые относятся к стохастическому уравнению. Расстояние между ними и линией затрат показывает математическое ожидание прибыли (верхний график) и убытка (нижний график). При удалении от точки безубыточности эти графики асимптотически сливаются с прямыми выручки и затрат, показывая диапазон, в котором проявляется влияние неопределенности. Как они ведут себя при различных значениях стандартного отклонения можно увидеть на рис. 2.

4 Условия моделирования: FC = 30, УС = 0,5- (количество продукции), V = 1,0 • (количество продукции), точка безубыточности = 60, планируемая прибыль ЕВ1Т 1 = 20, планируемое количество произведенной и реализованной продукции V = 100.

5 Для наглядности мы использовали пример, который опирается на прямолинейный характер зависимости выручки и затрат от количества произведенной и реализованной продукции. Вместе с тем описанная в настоящей работе математическая модель не содержат таких ограничений. Характер зависимости выручки и затрат может быть любым. Например, таким как в работе [Мадера, 2015], в которой предполагается рост переменных затрат на единицу продукции при увеличении объема производства. Имеет значение только то, как упомянутые зависимости сказываются на стандартном отклонении логарифма темпа роста выручки и размере затрат.

График безубыточности дополнен кривой распределения выручки ш(5,0, используемой при расчете математических ожиданий (приведена плотность логарифмически нормального распределения).

Функция плотности характеризует частоту и размах случайных колебаний выручки около уровня, задаваемого производством и реализацией намеченного объема продукции. Площадь закрашенной фигуры пропорциональна вероятности получения выручки в размере меньшем, чем произведенные затраты. Приведенный пример показывает, что можно обладать значительным запасом финансовой прочности, но при этом вероятность получения отрицательного финансового результата останется существенной. Это связано с тем, что вероятность убытка зависит не от того насколько текущая выручка отличается от ее значения в точке безубыточности, а от соотношения стандартного отклонения выручки и ожидаемой операционной прибыли.

Можно заметить асимметричность кривой распределения выручки ш(5,0 (см. рис. 3). Это означает, что числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание (у), медиана (5„5Р и мода (§р не совпадают друг с другом. Для логарифмически нормального распределения их соотношение описывается неравенством: V > 5 > Оно усиливается с ростом а^ Данное обстоятельство приводит к тому, что при увеличении неопределенности точка безубыточности, рассчитываемая на основании математического ожидания, становится менее представительной.

Рассмотрим, как изменяется вероятность благоприятных исходов Р^ > К^} в окрестности точки безубыточности (рис. 4). Эта вероятность равна величине интегральной функции нормального распределения ЛТ(^2). Она определяет частоту, с которой операционные циклы заканчиваются с положительным финансовым результатом. На графиках показано изменение вероятности получения прибыли в зависимости от соотношения ожидаемой выручки V и затрат К Видно, как уменьшается скорость перехода от однозначного убытка к однозначной прибыли при увеличении величины стандартного отклонения логарифма темпа роста выручки.

Асимметрия функции ш(5,0 приводит к тому, что в точке безубыточности вероятность получения прибыли меньше, чем вероятность получения убытка (данное обстоятельство хорошо заметно на графике Р^ > КД для = 25% на рис. 4). Это означает, что больше половины операционных циклов с таким соотношением выручки и затрат будут убыточными. Вместе с тем средняя прибыль, которую компания получает при благоприятном завершении операционного цикла, больше среднего убытка, который она получает при неблагоприятном исходе. В результате

математические ожидания прибыли и убытка оказываются одинаковыми.

Самой заметной точкой графика w(s,t) является мода, которая показывает наиболее вероятное значение выручки: w(S,t) = max w(s,t). Согласно свойствам логарифмически нормального закона, соотношение моды и математического ожидания описывается уравнением: St = V •exp (-1,5-а(2). Значение выручки равное моде определяет наиболее вероятную величину операционной прибыли, которую компания может получить по завершении операционного цикла. Уровень производства и реализации, при котором выполняется условие Kt = St, можно определить как наиболее вероятную точку безубыточности. В качестве некоторого «истинного» значения выручки выступает медиана плотности вероятности a>(s,t) [Айвазян и др., 1983, с. 178]. При таком значении выручки выполняется равенство: P{St > S05t}= P{St < S051}. Согласно свойствам логарифмически нормального закона распределения соотношение медианы и математического ожидания описывается следующим уравнением: S05t = V •exp (- 0,5-a(2). Уровень производства и реализации, при котором выполняется условие Kt = S05t, можно определить как «истинную» точку безубыточности. В этом случае одна половина операционных циклов завершится получением выручки меньше, чем произведенные затраты, а другая — больше.

Когда стандартное отклонение логарифма темпа роста выручки меньше 13%, допустимо приближение, при котором логарифмически нормальный закон распределения заменяется нормальным законом [Вадзинский, 2001, с. 190]. В этом случае форма кривой распределения w(s,t) приближается к симметричной. Числовые характеристики функции плотности отличаются друг от друга незначительно: V ~ S05 ~ §(. Вероятности прибыли и убытка в точке безубыточности становятся одинаковыми (см. графики P{St > Kt} для а = 5% и а = 10% на рис. 4).

Пример эконометрического анализа

Неопределенность выручки оказывает влияние на все показатели компании, рассчитываемые на ее основе. Теперь их следует рассматривать как случайные величины. Следовательно, вместо однозначно определенной величины мы имеем диапазон значений. Вероятность появления того или иного значения определяется плотностью распределения. Это существенным образом сказывается на финансовом анализе. Вместо детерминированных переменных следует использовать математические ожидания соответствующих случайных величин.

Рисунок 5. Гистограмма распределения логарифма темпа роста выручки ПАО «Аэрофлот»

-1 г

-20% -10%

оГ0Д = 13%

п---1---1---1---1---1-1

10% 20% 30% 40% 50% 60%

Логарифм темпа роста выручки

Примечание: объем выборки — 70; среднее — 4,2%; стандартное отклонение — 13,3%; критерий х2 Пирсона при уровне значимости — 0,05-7,8; наблюдаемое значение критерия х2 Пирсона — 1,8 (гипотеза о соответствии распределений принимается).

Рисунок 6. Гистограмма распределения длительности операционного цикла ПАО «Аэрофлот»

M

I

■

I

54,75 73 91,25 109,5 127,75 146 164,25 182,5 200,75

Операционный цикл (дни)

Примечание: объем выборки — 75, мода — 97 дней, медиана — 103 дня, среднее — 106 дней, стандартное отклонение — 26 дней.

Эмпирическая функция плотности

Проанализируем плотность распределения логарифма темпа роста выручки ПАО «Аэрофлот» (рис. 5)6. Связь логарифма темпа роста и частоты, с которой встречается то или иное значение показателя, отражена на гистограмме (фактическое распределение) и на графике (теоретическое распределение). Значения случайной величины представлены логарифмом отношения показателя за текущий квартал к его величине за предшествующий квартал. Перед построением гистограммы сезонная составляющая была исключена. В расчетах использованы данные квартальных бухгалтерских отчетов за период с 1999 по 2016 г.

Так как мы анализируем логарифмы темпа роста выручки, то теоретическая плотность распределения описывается нормальным законом. Близость фактического и теоретического распределений говорит об обоснованности применения модели геометрического случайного движения для описания процесса формирования выручки. Кроме этого, соответствие плотности распределения логарифма темпа роста выручки нормальному закону подтверждается проверкой, выполненной квантильным методом (см. Приложение 2).

Длительность операционного цикла

Операционная прибыль, на которую рассчитывает компания, складывается из финансовых результатов, получаемых при завершении ряда операционных циклов. Проанализируем распределение операционного цикла по длительности (рис. 6). Связь длительности операционного цикла и частоты, с которой встречается то или иное значение показателя, отражена на гистограмме (фактическое распределение) и на графике (теоретическое распределение).

При построении гистограммы использованы данные квартальных бухгалтерских отчетов компании за период с 1998 по 2016 г. Средняя величина операционного цикла равняется 106 дням. На это значение мы будем ориентироваться в дальнейшем. Теоретическая плотность распределения показателя описывается логарифмически нормальным законом [Белых, 2018].

Для расчета длительности операционного цикла (в днях) было применено следующее уравнение:

Операционный цикл =

> (9)

_ I Запасы + НДС + Дебиторская задолженность | 365 \ Себестоимость Выручка / 4

где наименования показателей в числителе и знаменателе отражают соответствующие статьи бухгалтерской отчетности компании.

Ожидаемые значения прибыли и убытка

Рассчитаем математические ожидания прибыли и убытка ПАО «Аэрофлот». Предположим, что компания планирует получить выручку в размере V = 366 млрд руб. При этом затраты, которые состоят из себестоимости, коммерческих и управленческих расходов, составят = 354 млрд руб. (это фактические данные за 2015 г.).

Воспользуемся уравнением безубыточности (1) и выразим операционную прибыль через соотношение выручки и затрат, сопутствующих ее получению:

ЕВЩ =Г,-К,= 366-354 = 12 млрд руб.

Соотношение стандартных отклонений, наблюдаемое на практике, описывается уравнением (8) не очень точно, отчего о лучше получить эмпирическим путем. Для этого следует оценить волатильность темпа роста выручки, сформированной в течение периода времени, близкого к длительности операционного цикла. Так как длительность операционного цикла ПАО «Аэрофлот» примерно соответствует кварталу (106 дней), применим значение, найденное для логарифма темпа роста квартальной выручки (окв = 13,3%).

Предположим, что при планировании операционной деятельности учитываются сезонные колебания выручки. В этом случае уравнения для расчета математических ожиданий (5) и (6) принимают следующий вид:

• математическое ожидание прибыли равно:

С = 366-N

-354-N

0,133

411

0,133-

.2 Л

2 Л

0,133

= 25,7 млрд руб.

• математическое ожидание убытка равно:

Р, =25,7-12,0=13,7 млрд руб.

Воспользуемся стохастическим уравнением (4) и выразим операционную прибыль через соотношение «шансов и рисков», сопутствующих ее получению:

ЕВ1Т, = С,-Р, =25,7-13,7=12 млрд руб.

Мы видим, что операционная прибыль компании, равная 12 млрд руб., является результатом завершения ряда операционных циклов, одни из которых заканчиваются с положительным финансовым результатом и приносят прибыль в размере 25,7 млрд руб., а другие заканчиваются с отрицательным финансовым результатом и приносят убыток в размере 13,7 млрд руб.

6 Компании из капиталоемких отраслей более чувствительны к неопределенности, поэтому в качестве примера мы приводим авиакомпанию. В настоящее время российские авиакомпании испытывают на себе последствия экономического спада, последовавшего вслед за ростом уровня неопределенности в 2008 г. [Жданов, Афанасьева, 2011; Веремчук, Чиркова, 2017].

Таким образом, мы рассчитали финансовый результат операционной деятельности двумя способами. В первом случае мы нашли операционную прибыль с использованием детерминированного уравнения безубыточности (так прибыль рассчитывается в процессе планирования операционного бюджета). Во втором случае мы нашли операционную прибыль с использованием стохастического уравнения безубыточности (такой расчет показывает структуру финансового результата с точки зрения благоприятных и неблагоприятных исходов).

Второй способ расчета операционной прибыли позволяет также рассчитать показатель, который можно использовать для оценки риска, сопутствующего опера-

Сила операционного рычага

Рассмотрим плотность распределения силы операционного рычага (рис. 7). Связь силы операционного рычага и частоты, с которой встречается то или иное значение показателя, отражена на гистограмме. При ее построении использованы данные, которые содержатся в годовых бухгалтерских отчетах за период с 1995 по 2015 г. Выборка включает 18 значений случайной величины (были отброшены значения силы операционного рычага за два периода: за 2000 г. — равное 29 и за 2002 г. — равное 105). Среднее значение силы операционного рычага равно 0,7. Как видно из гистограммы, найденная величина относится к области наиболее часто встречающихся значений показателя.

ционной деятельности компании (см. Приложение 3). Рисунок 7. Гистограмма распределения силы операционного рычага ПАО «Аэрофлот»

16

14

12

10

С 8

я з-

-15

-5 5 15

Сила операционного рычага

25

Примечание: объем выборки — 18; среднее — 0,71; стандартное отклонение — 5,36.

Для расчета силы операционного рычага (йОЬ) был использован способ, при котором анализируется относительное изменение выручки и операционной прибыли за два последовательных периода времени:

ДЕВ1Т/ЕВ1Т

DOL =--, (10)

ДV|V

где величина операционной прибыли рассчитывается без учета доходов и расходов, не связанных с операционной деятельностью7.

Значение силы операционного рычага менее единицы говорит о нарушении линейного характера зависимостей, описывающих изменение выручки и затрат

при увеличении объемов производства и реализации продукции. Вследствие этого оценка запаса финансовой прочности с использованием детерминированного уравнения безубыточности становится непростой задачей.

Способ на основе стохастического уравнения безубыточности более эффективен. Мы видим, что при имеющемся соотношении выручки и затрат V / ^ = 366/354 = 1,03 и стандартном отклонении логарифма темпа роста выручки о = 13,3% вероятность получения убытка остается достаточно высокой: Р {5( < = 43% (см. рис. 4). Согласно этому примерно два операционных цикла из пяти заканчиваются с отрицательным финансовым результатом.

7 Более подробно способ расчета силы операционного рычага рассмотрен в работе [Алексеев, Николаева, 2016].

Заключение

Уравнение безубыточности описывает соотношение показателей компании при различных уровнях производства и реализации. В работе представлена математическая модель, которая дополняет анализ безубыточности, включая в него неопределенность, сопутствующую операционной деятельности. При таком подходе прибыль компании рассматривается с точки зрения благоприятных и неблагоприятных исходов как итог реализации одной из этих альтернатив. Для описания случайного процесса нами применена стохастическая модель на основе геометрического блуждания. Из этого следует, что плотность распределения выручки должна подчиняться логарифмически нормальному закону. Мы использовали это обстоятельство для проверки модели, проанализировав эмпирическую функцию плотности логарифма темпа роста выручки выбранного предприятия. Для учета фактора времени применена концепция операционного цикла, в рамках которой прибыль компании рассматривается как результат выполнения ряда операционных циклов. Можно представить, что операционный цикл соответствует испытанию в теории вероятностей, каждое из которых может завершиться как положительным, так и отрицательным итогом. Такой способ выявляет структуру финансового результата с точки зрения возможных благоприятных и неблагоприятных исходов, включая в анализ альтернативные сценарии развития компании. Убыток, полученный по завершении одного операционного цикла, ставит под угрозу возобновление в прежнем объеме следующего операционного цикла. При таком рассмотрении становится очевидным, что для обеспечения стабильной работы требуется источник финансирования, не связанный с операционной деятельностью (например, собственный капитал или кредит в форме овердрафта). Величина ожидаемого убытка дает представление об объеме такого финансирования.

Неопределенность спроса приводит к тому, что финансовые показатели, рассчитываемые на основе выручки, являются случайными величинами. Эконо-метрический анализ показывает, что стохастическая составляющая является не малозначимой поправкой, а преобладающим компонентом исследуемых переменных. В некоторых случаях плотность распределения подчиняется логарифмически нормальному закону. Это подтверждается гистограммами, описывающими плотности распределения выручки и длительности операционного цикла. Вследствие асимметрии кривой распределения единственная точка безубыточности является не вполне представительной. Это становится особенно заметным при большой величине стандартного отклонения. Выводы, сделанные с учетом случайного характера выручки, могут значительно

отличаться от результатов анализа безубыточности, выполненного на основе детерминированного подхода.

Предложенный способ анализа безубыточности удобно применять на практике. При составлении операционного бюджета одновременно разрабатываются бюджеты продаж и производства. На этом этапе становятся известными математические ожидания обоих показателей, необходимых для оценки финансового результата с помощью стохастического уравнения. Они устойчивы к изменениям способов бухгалтерского и управленческого учета: величина выручки в минимальной степени зависит от учетной политики компании, в то время как о затратах важно знать их общее значение, без учета классификации, используемой при калькулировании. Несмотря на то, что описанная математическая модель предоставляет хорошую основу для управления компанией в условиях неопределенности, следует помнить о неэффективности тактических решений, которые изменяют операционные показатели компании в нужном направлении, но действуют в короткий промежуток времени. Важны не случайные (кратковременные), а трендовые изменения, которые являются следствием стратегических (долговременных) усилий.

Приложение 1

Будущая стоимость опциона

Для расчета цены европейских опционов используются уравнения, которые позволяют рассчитать их настоящую стоимость [Black, Scholes, 1973]:

• стоимость опциона колл:

Co = V • N(d)-K • N(d2)• e-^;

• стоимость опциона пут:

Po = V •(N(dl)-1)-Kt •(N(d2)-1)-,

где V0 — текущая стоимость финансового актива;

Kt — цена исполнения опциона;

N(d1) и N(d2) — интегральные функции нормального распределения для аргументов равных, соответственно, d и d2;

ц — безрисковая ставка логарифмической доходности (в годовом исчислении)8;

t — срок исполнения опциона.

Для учета стоимости денег во времени воспользуемся формулой непрерывного начисления процентов:

V = V • e ч ,

где Vt — стоимость финансового актива через время t. Похожим образом рассчитаем будущую стоимость опционов:

8 Модель опционов исходит из возможности проведения арбитражных операций, по этой причине рост стоимости финансового актива пропорционален изменению безрисковой ставки доходности. При анализе операционной деятельности ставка доходности равна средневзвешенной стоимости капитала компании.

e m -

стоимость опциона колл:

С, = C0 • e^ = V0 • N(d)• -K • N(d2) = V • N(d)-- K • N (d2)

стоимость опциона пут: p = Po • e = Vo •( N (d,)-1)

m

- Ч • ^ -

- К •( N (d2)-1) = V •( N ()-1)-.

- К •( N (d2)-1)

Преобразуем формулы для расчета аргументов интегральных функций нормального распределения, используя стоимость финансового актива на момент исполнения опциона:

1п Ы + ^ + 4 1п (К- е * ) +

d =—^-= —^--=

ln ( K )+ 2

In

d2 =

( K )

dl-Gt

где о( _ стандартное отклонение логарифма темпа роста стоимости финансового актива для промежутка времени, равного t.

В таком виде уравнения описывают опционные сделки, в которых первоначальный платеж совершается в размере цены исполнения опциона на текущий момент времени К0:

'( K )

|n I Kt )-i

к0 = Kt - e M-td2 =

|n ( I ) + Mt +

= dj - atd\ = — —-

ln ( I ■ e m )4 = ln ( f )

P =

I-и-em -

= P -e Mt = V0-(N(dj)-1)--K-(N(d2)-1) = V •(N(dj)-1)-- K-( N ( d2 )-1) Ct = Co - e m = = Vo - N ( d )-e m - K - N ( d2 ) = = Vt - N ( d )- K - N ( d2 )Vt = V0 - e m

Окончательный расчет осуществляется в размере будущей стоимости опциона при наступлении срока исполнения.

Приложение 2

Проверка закона распределения

Долгое время логарифмически нормальное распределение применялось преимущественно для описания доходности финансовых инструментов [Ширяев, 1998]. Сейчас появились работы, в которых показано, что с помощью этого закона можно описать плотность распределения цен и арендных ставок на рынке недвижимости [Ласкин и др., 2016]. В соответствии с геометрической моделью случайного движения плотность распределения темпа роста выручки так же подчиняется логарифмически нормальному закону. С целью проверки этого предположения рассмотрим экспериментальные данные, представленные в виде графика квантиль-квантиль (рис. 8). На графике по оси абсцисс отложены квантили теоретического распределения, по оси ординат — квантили фактического распределения.

Рисунок 8. График квантиль-квантиль для логарифма темпа роста выручки ПАО «Аэрофлот»

3,0

2,0

-3,0 -2,0

-1,0

-2,0

-3,0

2,0 3,0

Отеор

Экспериментальные точки располагаются близко к прямой линии, проходящей через точку (0,0) под углом 45°. Характер отклонения правых крайних точек говорит о возможной отрицательной асимметрии эмпирического распределения. Похожие отклонения наблюдаются при анализе доходностей финансовых инструментов [Hull, 2002, p. 335]. В целом, фактическая плотность распределения отвечает теоретическим предположениям, что подтверждает возможность использования описанного в работе способа расчета математических ожиданий прибыли и убытка.

Приложение 3

Рентабельность капитала с учетом риска

В риск-менеджменте применяется показатель, который определяют, как рентабельность капитала с учетом риска (РЛЛОС). Он равен отношению чистой прибыли к капиталу, зарезервированному на случай возможных потерь [Лобанов, 2003, с. 557]. Рассчитаем похожий показатель для капитала, обеспечивающего операционную деятельность ПАО «Аэрофлот». С этой целью найдем отношение операционной прибыли за вычетом налога на прибыль к величине убытка, который сопровождает ее получение:

ЯАЮС' = = 12(372).Ю0 = 70% (год),

где 4 = 20% — ставка налога на прибыль.

Полученное значение РЛРОС' показывает операционную рентабельность капитала с учетом риска. Этот показатель может быть использован для определения оптимального соотношения между риском и доходностью операционной деятельности компании.

Список литературы

Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. М.: Финансы и статистика. 1983.

Алексеев М.А., Николаева Н.Ю. Влияние неоперационных доходов и расходов на финансовый анализ с использованием теории рычагов // Экономика и предпринимательство. 2016. № 1 (ч. 2). С. 233-237.

Белых В.В. Управление оборотными активами: неопределенность длительности операционного цикла // Проблемы теории и практики управления. 2018. № 2. С. 85-94.

Блум Н. Изменчивость уровня неопределенности в экономике // Вопросы экономики. 2016. № 4. С. 30-55.

Бухвалов А.В. Реальные опционы в менеджменте: введение в проблему // Российский журнал менеджмента. 2004. № 1(2). С. 3-32.

Бухвалова В.В., Петрусевич А.В. Определение оптимальных объемов производства в условиях информационной неопределенности спроса // Экономика и математические методы. 2011. № 2(47). С. 3-23.

Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. СПб.: Наука, 2001.

Веремчук И.А., Чиркова Е.В. Предпочтения кредиторов в ходе банкротства: формальное банкротство или реструктуризация (Пример компании «Трансаэро») // Российский журнал менеджмента. 2017. № 2(15). С. 225-248.

Жданов В.Ю., Афанасьева О.А. Модель диагностики риска банкротства предприятий авиационно-про-мышленного комплекса // Корпоративные финансы. 2011. № 4(20). С. 77-89.

Ласкин М.Б., Русаков О.В., Джаксумбаева О.И. Оценка показателей рынка недвижимости по статистическим данным на основе многомерного логарифмически нормального закона // Экономический журнал ВШЭ. 2016. № 2(20). С. 268-284.

Лобанов А.А. (ред.) Энциклопедия финансового риск-менеджмента. М.: Альпина Паблишер, 2003.

Мадера А.Г. Математическое моделирование и оптимизация бизнес-процессов на основе комплексного критерия «шансы — риски» // Российский журнал менеджмента. 2015. № 4(13). С. 51-68.

Федорова Е.А., Тимофеев Я.В. Нормативы финансовой устойчивости российских предприятий: отраслевые особенности // Корпоративные финансы. 2015. № 1(33). С. 38-45.

Шигаев А.И. Влияние изменений в ценах и затратах на уровень безубыточности предприятия // Экономический анализ: теория и практика. 2008. № 2(107). С. 34-41.

Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 1998.

Black F., Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journal of Political Economy.1973. No. 81. P. 637-654.

Brennan M.J., Schwartz E.S. Evaluating natural resource investments // Journal of Business. 1985. No. 58 (2). P. 135-157.

Hull J.C. Options, Futures, and Other Derivatives. Boston: Prentice Hall, 2002.

McDonald R., Siegel D. The value of waiting to invest // The Quarterly Journal of Economics. 1986. No. 101 (4). P. 707-727.

Merton R.C. On the pricing of corporate debt: the risk structure of interest rates // Journal of Finance. 1974. No. 2(29). P. 449-470.

Richards V.D., Laughlin E.J. A cash conversion cycle approach to liquidity analysis // Financial Management. 1980. No. 9 (1). P. 32-38.

Stochastic analysis

of the break-even of the enterprise

Belykh, Vasiliy V.

Candidate of Physico-Mathematical Sciences,

Associate Professor at the Department of Economics, Corporate Management and Finance, Novosibirsk State University of Economics and Management 56, Kamenskaya St., Novosibirsk,

E-mail: v.v.belykh@gmail.com Abstract

The break-even equation describes the relationship between the financial indicators of a company at various levels of production and sales. The processes that lead to their change are considered deterministic. In this paper, we present a mathematical model that complements the break-even analysis by including the uncertainty related to the operating activity of the company. The method is based on the description of the revenue generation process using the geometric stochastic motion model. In addition to that, to more accurately describe the impact of time we used the concept of the operational cycle. The equations that we obtained allow us to describe the financial result as a difference in the mathematical expectations of profit and loss. This method presents the structure of the financial result in terms of possible favorable and unfavorable outcomes, including into the analysis the alternative scenarios of company's development

In addition to the theoretical research, we show to what extent the uncertainty of revenue affects the financial performance of a stable operating company. For this purpose, we consider the charts of the probability density functions of the parameters used in the break-even analysis which demonstrate the contribution of the random component on their magnitude. We will see that the conclusions made with regard to the stochastic nature of the proceeds may differ significantly from the results of the break-even analysis performed on the basis of the assumption of the deterministic nature of the proceeding processes. Within the framework of this paper, the operation of a company is considered primarily from the position of a breakeven analysis. However, the equations that were obtained can be used to calculate the indicators that allow to assess the risks of operating activities. This is shown in the interpretation of the model in terms of the options and calculation of return on equity, taking into account the risk.

Keywords: Break-even analysis; operating cycle; expectation and probability of profit and loss; the value of the option; the break-even point. JEL: C67, G31, M21

References

Aivazyan, S.A., Yenyukov, I.S., Meshalkin, L.D. (1983) Prikladnaya statistika. Osnovy modelirovaniya i pervichnaya obrabotka dannyx. Applied statistics. Based of modelling and initial data processing. M.: Finansy I statistika.

Alekseev, M.A., Nikolaeva, Y.N. (2016) Vliyanie neoperatsionnykh dokhodov i raskhodov na finansovyy analiz s ispol'zovaniem teorii rychagov [The impact of non-operational income and expenditure on financial analysis using leverage theory]. Journal of Economy and entrepreneurship, vol. 2, no. 1, pp. 233-237.

Belykh, V.V. (2018) Upravlenie oborotnymi aktivami: neopredelennost' dlitel'nosti operacionnogo cikla. Problemy teorii i praktiki upravleniya [Current asset management: uncertainty of the duration of the operational cycle]. Theoretical and Practical Aspects of Management, no. 2, pp. 85-94.

Black, F., Scholes, M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy,1973, no. 81, pp. 637-654.

Bloom, N. (2014) Fluctuations in uncertainty. Journal of Economic Perspectives, vol. 28, no. 2, pp. 153-176.

Brennan M.J., Schwartz, E.S. (1985) Evaluating natural resource investments. Journal of Business, vol. 2, no. 58, pp. 135-157.

Bukhvalov, A.V. (2004) Realnye opciony v menedzhmente: vvedenie v problem [Real options in management: an introduction to the problem]. Russian Management Journal, vol. 2, no. 1, pp. 3-32.

Bukhvalova, V.V., Petrusevich, A.V. (2011) Opredelenie optimal'nykh ob'emov proizvodstva v usloviyakh informatsionnoy neopredelennosti sprosa [Determination of the Optimal Production output under Informational Uncertainty of Demand]. Economics and Mathematical Methods, vol. 47, no. 2, pp. 3-23.

Fedorova, E.A., Timofeev, Ya.V. (2015) Normativy finansovoj ustojchivosti rossijskix predpriyatij: otraslevye osobennosti [Standards of Financial Stability of Russian Enterprises: Sectoral Features]. Journal of Corporate Finance Research, vol. 33, no. 1, pp. 38-45.

Hull, J.C. (2002) Options, Futures, and Other Derivatives. Boston: Prentice Hall.

Laskin, M.B., Rusakov, O.V., Jhaksumbaeva, O.I. (2016) Otsenka pokazateley rynka nedvizhimosti po statisticheskim dannym na osnove mnogomernogo logarifmicheski normal'nogo zakona [Estimation of the Real Estate Market Indexes According to Statistical

Data and Based on Multidimensional Log-normal Distribution]. HSE Economic Journal, vol. 20, no. 2, pp. 268-284.

Lobanov, A.A. (ed.) (2003) Entsiklopediya finansovogo risk-menedzhmenta [Encyclopedia of financial risk management]. Moscow: Al'pina Pablisher.

Madera, A.G. (2015) Matematicheskoe modelirovanie i optimizatsiya biznes-protsessov na osnove kompleksnogo kriteriya "shansy — riski" [Mathematical modeling and optimization of the business processes on the basis of a comprehensive criteria "chances — risks"]. Russian Management Journal, vol. 13, no. 4, pp. 51-68.

McDonald, R., Siegel, D. (1986) The value of waiting to invest // The Quarterly Journal of Economics, vol. 4, no.101, pp. 707-727.

Merton, R.C. (1974) On the pricing of corporate debt: the risk structure of interest rates. Journal of Finance, vol. 29, no. 2, pp. 449-470.

Richards, V.D., Laughlin, E.J. (1980) A cash conversion cycle approach to liquidity analysis. Financial Management, no. 9 (1), pp. 32-38.

Shigaev, A.I. (2008) Vliyanie izmeneniy v tsenakh i zatratakh na uroven' bezubytochnosti predpriyatiya [The impact of changes in prices and costs on the break-even level of a company]. Economic Analysis: Theory and Practice, vol. 107, no. 2, pp. 34-41.

Shiryaev, A.N. (1998) Osnovy stoxasticheskoj finansovoj matematiki. T. 1. Fakty. Modeli [Fundamentals of stochastic financial mathematics. V. 1. Data. Models]. Moscow: FAZIS.

Vadzinskiy, R.N. (2001) Spravochnik po veroyatnostnym raspredeleniyam [Handbook of Probabilistic Distributions]. St. Petersburg: Nauka.

Veremchuk, I.A., Chirkova, E.V. (2017) Predpochteniya kreditorov v xode bankrotstva: formalnoe bankrotstvo ili restrukturizaciya (primer kompanii "Transaero") [Preferences of Creditors Towards Formal Bankruptcy or Restructuring in the Course of Bankruptcy (The Case of "Transaero" Company)]. Russian Management Journal, vol. 15, no. 2, pp. 225-248.

Zhdanov, V.YU., Afanas'eva, O.A (2011) Model' diagnostiki riska bankrotstva predpriyatij aviacionno-promyshlennogo kompleksa. Korporativnye finansy [The model of bankruptcy risk diagnostics of enterprises of the aviation-industrial complex]. Journal of Corporate Finance Research, vol. 20, no. 4, pp. 77-89.