СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАРОЖДЕНИЯ ЦЕНТРОВ НОВОЙ ФАЗЫ В ОДНОКОМПОНЕНТНОМ РАСПЛАВЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. АВТОМАТИЗАЦИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 669.536.42

Valetntin V. Shevelev

STOCHASTIC MODEL OF NUCLEATION OF NEW PHASE CENTERS IN ONE-COMPONENT MELT

MIREA-Russian technological University, Institute of fine chemical technologies. M.V. Lomonosov, 78, pr-ct Vernadsky, Moscow, 119454, Russia National research technological University "MISIS", Leninsky pr-ct, 4, Moscow, 119049, Russia e-mail:valeshevelev@yandex.ru

A stochastic model of the kinetics of the formation of new phase nuclei in a one-component system is developed. In the framework of the mode, an equation for the unary embryo size distribution function is derived. From this equation, not only the classical equation for the average number of nuclei of the new phase was obtained, but also the kinetic equation for their initial second-order moment, which allows calculating the variance of the number of nuclei of the new phase

Key words: modeling, kinetics, germ, phase, function, distribution, transformation.

001 10.36807/1998-9849-2020-52-78-92-97

Введение

Фазовые превращения являются важнейшей компонентой в технологии получения материалов различного назначения. Это связано, прежде всего, с тем, что кинетика фазовых превращений играет существенную роль в формировании структуры материала, определяющей его физические, механические и физико-химические свойства.

Структура материалов, формирующихся в результате протекания в них фазовых превращений, зависит от конечного распределения в них центров новой фазы по размерам. Указанное распределение зависит, прежде всего, от температурного режима процесса (например, кристаллизации) формирования структуры. В свою очередь, это требует знания закономерностей кинетики фазовых превращений.

Эти закономерности устанавливаются экспериментально и теоретически. Развитие теоретических представлений о кинетике фазовых превращений основывается на математических моделях указанных превращений.

В настоящее время имеется огромное число работ, посвященных теоретическому изучению кинетики фазовых превращений. Обзор указанных работ не является целью работы. Отметим только, что, как правило, существующие математические модели кинетики фазовых превращений, учитывающие стадию гомогенного зарождения центров новой фазы,

Шевелев В.В.

СТОХАСТИЧЕС КАЯ МОДЕЛЬ ЗАРОЖДЕНИЯ ЦЕНТРОВ НОВОЙ ФАЗЫ В ОДНОКОМПОНЕНТНОМ РАСПЛАВЕ

МИРЭА-Российский технологический университет, Институт тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова, пр-т Вернадского, 78, Москва, 119454, Россия

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС», Ленинский пр-т, 4, Москва, 119049, Россия. e-mail: valeshevelev@yandex.ru

Развита стохастическая модель кинетики образования зародышей новой фазы в однокомпонентной системе. В рамках модели выведено уравнение для унарной функции распределения зародышей по размерам. Из указанного уравнения получены: классическое уравнение для среднего числа зародышей новой фазы, кинетическое уравнение для их начального момента второго порядка, позволяющего рассчитать дисперсию числа зародышей новой фазы.

Ключевые.слова: моделирование, кинетика, зародыш, фаза, функция, распределение, превращение.

Дата поступления - 30 ноября 2019 года

основываются на уравнениях типа Фоккера-Планка для функции распределения числа зародышей новой фазы по размерам как в однокомпонентных, например, [1-3], так и многокомпонентных системах, например, [4-7]. Однако в них не учитываются флуктуации самой функции распределения. Это не позволяет оценить дисперсию распределения зародышей по размерам и скорости зарождения центров новой фазы, то есть устойчиво растущих зародышей, а значит и спрогнозировать отклонения конечной структуры материала от желаемой.

В работе предложена стохастическая модель кинетики фазового превращения в однокомпонентной системе, основанная на подходе, развитом в работах [8-11].

Формулировка модели

Состояние однокомпонентной системы, в которой протекает процесс фазового превращения, определяется, в соответствии с [8], вектором

Р = (Pn0' Pro+1' Pn0 + 2,---,Pn0+k-\) ,

где p ., i = 0,1,2,к -1 есть число зародышей

новой фазы (ЗНФ) в единице объема системы,

содержащих n0 + i частиц (атомов или молекул); p

есть число кластеров в исходной фазе в единице

объема, содержащих п0 частиц исходной фазы, с

которых начинается образование ЗНФ. В модели, как обычно предполагается, что зародыши, состоящие из

п0 + к частиц и являющиеся уже центрами новой

фазы, удаляются, а частицы исходной фазы, которые при этом удаляются, опять возвращаются в систему.

Плотность вероятности Р (р, г) того, что

распределение ЗНФ в момент времени г в единице объема системы будет характеризоваться вектором

Р = Р Рщ +1' Рщ+2'***' Рщ +к-1), можно представить в

виде [8-11]

Р (Рг^ЕРр+1 +1 (т))) ' (1)

где усреднение в уравнении (1) ведется, по ансамблю реализаций случайного распределения ЗНФ в единице объема.

Здесь я(рщ+. (г)),* = 0,***,к-1

дельта-функция; величина © (г) есть число ЗНФ

«0+' \ /

содержащих п0 + * частиц, которая является г +1 -ой

компонентой вектора, определяющего случайное распределение ЗНФ в единице объема, образующего к -мерный марковский процесс

© = (®«о' ®«о +1' ®«о +2'***' ®«о +к-1) , удовлетворяющий системе стохастических дифференциальных уравнений

а©, (г)/¿г = ®+(п-1)0„-1 (г)-(®+(й) + ®(п))©„ (г) + +®-(п +1) ©„+1 (г) + /„-1 (©(г) 'Г)-/ (©(г) 'Г)' п = «о +1' «о + 2***' «о + к-1* _ (2) в = Ро + /по (0'Г) , (3)

+к = о, (4)

где п)' о («) есть вероятности (частоты)

присоединения частицы к ЗНФ, содержащему п частиц, и отрыва частицы от ЗНФ содержащего п частиц, в

единицу времени, соответственно; р0 есть заданное

среднее (детерминированное) число кластеров в исходной фазе в единице объема, содержащих п0 частиц исходной фазы, с которых начинается образование ЗНФ; / (©(г) ,г) есть случайная

компонента потока зародышей

=®+(п)©п (г)-«_(п +1 )©п+1 (г)+ /п (©(г),г),п = по + 1'по + 2***'по + к-1

(5)

которая является случайной функцией (к + 1) переменной и удовлетворяет следующим условиям: а) /(©(г),г)- гауссовское случайное поле в (к +1)-

мерном пространстве (р,г); б) / (©(г),г)) = о'

п = п0, п0 +1, п0 + 2***, п + к-1.

Стохастическая модель (2)-(5) соответствует случаю, когда систему расплав вместе с имеющимся в нем распределением ЗНФ можно рассматривать как разбавленный раствор ЗНФ, в котором растворителем является расплав. Таким образом, предполагается выполненным следующее условие ¡р у, где ТУ

'="о

есть число частиц в единице объеме расплава. Указанное условие выполняется при достаточно малых переохлаждениях.

Вывод уравнений для плотности вероятностей распределения ЗНФ

Дифференцируя (1) по времени г, получим, следуя [8-11], уравнение

»о +к-1

дР{р,т)/дт = - X д/дри [ДириР(р,г)]-

»=»+1

(6)

"о + к -1 / , _ \ \

+ X д/дрп (((/я (©(г) ,г)-(©(г) ,г))^(р-©(г)^)-

И^о +1

^Р^(Рпо + /по (г)-©по (г))^(р-©(г)^^^ (г)/^-©(г))

Здесь Дири=®+(п- 1)ри_!-(ю+(п) + ю_(п))ри+ю_(п + 1)ри+1. При выводе (6) уравнение (3) было тождественно преобразовано к виду

в (г)/аг = «+ (по)(рп + д (в,г)-в^ (г))+в (г)/аг. (7)

Вычисление входящих в (6) корреляций ^ = ^(/ (©(г) г)_/ Д©(г) г))^(р-©(г)^, подробно изложено в [9-12], поэтому приведем здесь только конечный результат, полагая, как и в [8-11]

(Л (Рг)-/(Р''Л)) = 2Вк1 (р'Т'Р''Г1)5(т-Г1),к' I = по' по +1***' по + к -1 (8)

Гщ +к -

A =

Ч;=«Ъ +1 (

A =

По

X Р(^ (Р'г)- ^(Р^-р^ (Рг) Р(Рг)*

]=щ +1 ир] ирщ )

Подставляя полученные выражения А и А в уравнение (6), получим

„о+к—1 „0+к—1

дР(р,т)/дт = — X д/др„[Лр„Р(р,т)] + X ЭА/дрР(р,т) — дЛщ1дрпР(р,т) — (9)

и=и0+1 „=„0+1

—®+(„)д/дрщ((р„о —©„0 (т))*(р — ©(т))) + (^ (т)/¿тЗ(р — ®(т))).

Функция р (р,т) , как следует из (1), удовлетворяет условию нормировки

|Р(р,Т)йр = 1, где ^_ ,а интегрирование по каждой переменной р осуществляется по промежутку

'=»0

[о р ], где р есть максимально возможное число ЗНФ содержащих ' частиц, перешедших в него из

_0рг',тах ]

расплава.

Следовательно, если теперь проинтегрировать уравнение (9) по всем р. е [о, р тах ],

г = »,» +1, "0 + 2...,» + к — 1, то в левой части этого равенства получится ноль, а в правой выражение,

которое в виду его громоздкости мы не приводим. Как и в [10], правая часть проинтегрированного уравнения (9) будет содержать члены

Р,тах

| (Р2 (р = Р^ Р±1,Г) — Р2 (р = р,т1п,р±1,Т) )р±1dP±1,Р1 (р = Р,тах,Г),

0

Р1 (р = 0,Т),Р2 (Р = р,тах,р±1 = р±1,тах,Т),Р2 (Р = р,тах,р±1 = 0,Т), Р2 (р = 0,р±1 = р±1,тах , г), Р2 (р = 0, Р±1 = 0,г), д/дТД (р =р,тах,т) ,

д'дТР? (р= 0, г).

Анализ указанной правой части согласно [10], показал, что для выполнения условия нормировки необходимо выполнение следующих условий

д/дрР1 (Pj = Р,тах,т) = 0, (10)

д/ дрР (Pj = 0,т) = 0,', j = "о,..., "о + к — 1.

Р (р =р,тах, Р- ,г)= Р2 (р = 0,р. ,г) = 0 , [ 0, р,тах ] ' ', j = „0, „0 + 1, »0 + 2..., „0 + к —1 .

Здесь Р (р,г)— плотность вероятности того, что в момент времени т число ЗНФ содержащих ' частиц, будет иметь значение, заключенное на интервале (р., р. + йр), Р2 (р , рк,т) - плотность вероятности того, что число ЗНФ содержащих ' и к частиц будут заключены соответственно, на интервалах (р.,р. + йр) и (рк, рк + йрк).

Унарная функция распределения Р (р,т) — выражается через функцию Р (р,г) следующим образом

ртах

Р (р ,Т) = |Р (р,Т) йрпа йрпа +1...йр—1й рМ...йр„0 +к—1 = | Р2 (р р- ,Т) йр-, (11)

0

', - = „0, „0 +1, „0 + 2..., „0 + к — 1 Соответственно, бинарная плотность распределения ЗНФ р (р., р. ,т) определяется выражением

Р2 (Р, Р-, Т) = |Р (р, Т) ^Р^ йРщ +1.. йР—1йР+1.. йР-—1йР-+1.. .йР„0 +к—1 . (12)

Несмотря на ограничение ^ ¡р да, из которого следует, что р.тах□ N¡1, в силу того, что

'=„0

„0 +к — 1)П 1, получим, что ртахП 1. Поэтому интегрирование можно проводить по промежутку [0, да)

по каждой переменной р.. Следуя далее [8-11], получим, после интегрирования уравнения (9) по всем

переменным рп, кроме переменной р ' Ф „,' = „0 +1,„0 + 2...,„0 + к — 1 и учитывая граничные условия (10) следующие уравнения для унарной функции распределения

( °

дР(Р,г)/дг = ВдР(р,т) /дрр — д/др. (' — 1)|Р2(р,р—1,т)р—1йр_1 +

+«— (г +1) | Р2 (р„ р.+1,т)р+1йр+1 — (ю+ (') + (г) )Р1 (р,т)

0 У

'= „0 +1, „0 + 2..^ „0 + к — 1,В = В — В(—1У + В('_1}{'_1} — ВК—1У

+\ /} 2'

V 0

Л (13)

г)

ЗР (Рпо'г^5г = Впо д2 Р (рЯо,г)/8р1 - . (14)

_+(по )^8Рпь( (рИо -©по (г))8(рПо -©по (г))) + ( а©по (г)/*^ -©по (г))) Входящие в (13), (14) коэффициенты в и в , найдем, следуя [8-11], из условия совпадения

* по

равновесной термодинамической унарной функции распределения с равновесной унарной функции распределения, вытекающей из кинетических уравнений (13),(14). Уравнение (13) в равновесии имеет вид

В, аР Р)/ар* + (®+ (г) + с- (г))(р* - р)Р (р*) = о, г = по +1, по + 2***,по + к -1. (15)

Термодинамическая унарная функция распределения в предположении сферической формы ЗНФ имеет вид [2-5],

" (Р--Р)2V'

Р(о)(Р* К/ ехр

(16)

[ 2(р) и удовлетворяет уравнению

ар(0)(р,)/ар, + v-р (р,)(р,-(р.))/(р<) = о'* = по +1 по + 2***,по + к -1. (17)

Здесь V - объем системы, (р^ - среднее число ЗНФ в единице объема. Сравнивая (14) и (15) получим

В* = (®+ (/) + С- (/,I = по +1,по + 2***,по + к -1. (18)

Аналогично при п = п0 получим

Во =С+(по ^Р,) V . (19)

Уравнения для р , соответственно, и проинтегрируем по

математического ожидания и '

дисперсии числа ЗНФ промежутку [ о, р,тах ]. В результате получим

Уравнения (13) и (14) позволяют получить известную систему уравнений кинетики образования уравнения для начальных моментов любого порядка ЗНФ в однокомпонентной системе: случайной величины - числа ЗНФ в единице объема.

Для этого, следуя [8-11], умножим (13) и (14) на р и

а (р,(г))/аг = с+ (/ - ^рг-С+^ + а-^рг + а-^ +1)^+1), (20)

* = п +1, п + 2***, п + к-1*

Р = Ро (21)

Для нахождения уравнения для второго начального момента р (г)^ умножим (13) и (14) на рр и р^ , соответственно, и проинтегрируем по промежутку [о, да). В результате получим

а(Рр (г))/аг = 2с+ (,-1) р (гр-1 (г))-2(®+ (/)+®. (г))(р2 (г)) + (22)

+2®- (»+1)(р (г)р+1 (г)) + 2(а+ (г)+®- (г))(р (г))^= по +1,по + 2***'по + к -1*

2с+(«о)^Рп^2о . (23) Уравнение (19) в континуальном пределе имеет вид

д(р( х,г))/дг = -д/дх (V (х)(р( х,г))) + д2/дт' (а (х )(р( х,г))), х е (хо, хк) ,г > о. (24)

Здесь ^ р( х, г)^ - среднее число зародышей в единице объема, количество частиц в которых заключено между х и х + ах; V(х) = (х) - а (х)) . Граничные условия при этом имеют вид

(р( хо,г)) = Ро' (25)

(р( хк ,г)) = о, (26)

а начальное условие

(р(х,о)) = ро^(х - хо) . (27)

Здесь х0 = п0, хк = п0 + к -1.

Аналогичный переход к континуальному пределу в уравнении (22) приводит к уравнению

д р2 (х,г) }/дг = —2(р(х,г)д/дх(V(х)р(х,г) ) ) + р(х,г)д2/дг2 (3(х)(р(х,гЩ +

+ 23 ( х) (р( х, г) }/V Здесь 3( х) = со+ (х) + (х) .

Преобразуем (28) к уравнению для дисперсии числа зародышей О(х,г) = р2 (х,г)^—р(х,г))2 согласно [8-11], вычитая из него уравнение

д(р(х,г))2/дг = —2^р(х,г))д/дх(V(х)(р(х,г) )) + р(х,г) )д2/дх (3(х)(р(х,г) )), вытекающее из уравнения (24). В результате получим следующее уравнение

дО (х,г)/дг = -2(р(х,г)д/дх(V (х)р(х,г) ) ) + (р(х,г)д2/дх2 (3(х)(р(х,г) )) ^ +

+ 23 ( х) р ( х, г) ) /V +2 ( р ( х, г)) д/дх (V ( х) р ( х, г) )) — р ( х, г)) д 2/дх2 (3 ( х) р ( х, г) )) Преобразуя это уравнение с учетом того, что

(28)

(29)

—2 ( р ( х, г) д/дх (V ( х) р ( х, г) ) ) +2 ( р ( х, г) )д/дх (V ( х) р ( х, г) )) = —V ( х) дО ( х, г) ¡дх —2 О ( х, г) 5у ( х) / дх

( р (х, г) д V дг2 (3 ( х) р (х, г) )) / — (р ( х, г) ) д2/ дх2 (3 (х) (р (х, г})) = О (х, г) й 3 (х)/дх1 +

+ й3 (х)/йх дО (х, г)/дг + (3 (х)/2) д2О (х, г) /дг2 — 3 (х) (др (х, г)/дх)2 —(д (р (х, г))/дх)

!р( х, г) д 2р ( х, г) /дг^ — р ( х, г) ) д2 / дг" (3 ( х) р ( х, г))) = О ( х, г) й 23 ( х)/дг2 +

+ й3(х) /йхдО(х,г)/дг + (3(х)/2)д2О(х,г) /дг2 — 3(х) (др(х,г)/дх)2 —{др(х,г) )/дг)

р ( х, г) д 2р ( х, г) / дг2 = (12) д2р2 ( х, г)/дг2 — (др ( х, г) /ох) получим следующее уравнение для дисперсии О (х, г)

дО ( х, г) /дг = —V ( х) дО ( х, г) /дх — 2О ( х, г) ду ( х)/дх + О ( х, г) й 3 (х)/дх2 + 23 (х) р ( х, г) )/V

+ й3(х)/йхдО(х,г)/дх + (3(х)/2)д2О(х,г)/дх2 —3(х) (др(х,г)/дх)2 —(др(х,г))/дх)

(30)

х е( г, Х ),г> 0

с условиями

О ( Х0,г)=р/V, (31)

О ( Хк ,г) = 0, (32)

О(х,0) = Р(х,0) )/V . (33)

Условия (31), (33) заданы в предположении, что дисперсия функции распределения ЗНФ соответствует

ее равновесному значению.

Определение частот присоединения и отрыва частиц при развитии ЗНФ

Для решения краевых задач (24)-(27) и (30)-

(33) необходимо задать частоты а+(п) ,0_(")

присоединения частицы к ЗНФ, содержащему п частиц, и отрыва частицы от ЗНФ содержащего п частиц, в единицу времени, соответственно. В соответствии с [2] определим выражения

Величина АО (п) есть изменение свободной энергии

Гиббса системы при образовании ЗНФ, содержащего п частиц, которую можно представить в виде

АО („) = „Ар + ]ах

Л3

(35)

т± („) = пу ехр

1 й АО ( п)

—Е ±.

кТ 2кТ кТ

(34)

Здесь п - число частиц у поверхности ЗНФ, V -частота их колебаний, и - разность свободной энергии Гиббса активированного комплекса и величины (АО (п) + АО (п +1) )/2. Величина и - порядка величины энергии активации самодиффузии [2].

Здесь Ар = — /иь есть разность химических

потенциалов ц5, ць частицы (атома) в твердой

(кристалл) и жидкой (расплав) фазах, соответственно;

— удельная свободная энергия Гиббса; ] —

множитель, зависящий от формы ЗНФ. Для ЗНФ

сферической формы ] = (36л) 13 v;f,, V — атомный

объем частицы в твердой фазе. Если ЗНФ имеет ограненную форму, то в выражение (35) нужно

добавить слагаемое, пропорциональное п учитывающее свободную энергию Гиббса ребер.

13

Выводы

Предложенная стохастическая модель кинетики зарождения центров новой фазы в однокомпонентном расплаве достаточно хорошо соответствует ситуации, которая реализуется на стадии кристаллизации объема расплава в той его области, из которой в итоге образуется зона равноосных кристаллов.

Модель позволяет рассчитать не только среднюю плотность распределения центров новой фазы в ее объеме, то есть зёренную структуру образуюшейся новой фазы (центральная зона отливки), но и величину отклонения характерного размера зерна в указанной структуре от его среднего значения.

Предложенный подход позволяет рассчитать среднюю скорость образования ЗНФ и дисперсию скорости образования ЗНФ. Кроме того, модель позволяет, при соответствующей модификации граничных условий, исследовать заключительную стадию процесса кристаллизации, связанную с коалесценцией центров новой фазы.

Литература

1. Gillespie D.T. A stochastic analysis of homogeneous nucleation of vapor condensation // Journal of Chemical Physics. 1981. Vol. 74. № 1. Р. 61-678.

2. Любов Б.Я. Кинетическая теория фазовых превращений. М. «Металлургия», 1969, 264 с.

3. Любов Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах. М.: «Наука», 1975,256 с.

4. Temkin D.E. and Shevelev V.V. Kinetics of nucleation in two-component systems // Journal of Crystal Growth. 1984. Vol. 66. № 2. Р. 380-400. DOI: 10.1016/0022-0248(84)90222-7.

5. Temkin D.E.and Shevelev V.V. On the theory of nucleation in two-component systems // Journal of Crystal Growth. 1984. Vol. 52. № 1. P.104-110. DOI: 10.1016/0022-0248(84)90222-7.

6. Wilemski G. and Wyslouzil B.E. Binary Nucleation Kinetics. I. Self-Consistent Size Distribution // Journal of Chemical Physics. 1995. Vol. 103. № 3. P. 1127-1136. https://doi.org/10.1063A.469823

7. Wilemski G. and Wyslouzil B.E. Binary Nucleation Kinetics. II. Numerical Solution of the Birth-Death Equations // Journal of Chemical Physics. 1995. Vol. 103. № 3. P. 1137-1151. https://doi.org /10.1063/1.469824.

8. Шевелев В.В. Стохастический подход к моделированию кинетики фазовых превращений // Математические методы в технике и технологиях--ММТТ-32: Сб. тр. XXXII Междунар. науч. конф.в 12 томах / под общ. ред. А.А. Большакова. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2019. 144 с. Т. 2, С. 14-18.

9. Shevelev V.V. Stochastic model of heat conduction with stochastic boundary conditions // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2016. Vol. 89. No. 4. P. 965-974. DOI: 10.1007/s10891-016-1459-8

10. Shevelev V.V. Stochastic Model of Heat Conduction with Heat Sources or Sinks // Journal of

Engineering Physics and Thermophysics. 2019. Vol. 92. No. 3. P. 614-624. DOI: 10.1007/s10891-019-01970-2

11. Шевелев В.В. Стохастическая модель диффузионного массопереноса при наличии источника или стока диффузанта // Математические методы в технике и технологиях- ММТТ-30: Сб. тр. XXX Междунар. науч. конф.в 12 томах / под общ. ред. А.А. Большакова. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2017. -160 с. Т. 10. С. 39-44.

12. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. М.: Наука, 1975.

References

1. Gillespie D.T. A stochastic analysis of homogeneous nucleation of vapor condensation // Journal of Chemical Physics. 1981. Vol.74. № 1. Р. 61-678.

2. Lyubov B.YA. Kineticheskaya teoriya fazovyh prevrashchenij. M. «Metallurgiya», 1969, 264 s.

3. Lyubov B.YA. Teoriya kristallizacii v bol'shih ob"emah. M.: «Nauka», 1975,256 s.

4. Temkin D.E. and Shevelev V.V Kinetics of nucleation in two-component systems // Journal of Crystal Growth. 1984. Vol. 66. № 2. Р. 380-400. DOI: 10.1016/0022-0248(84)90222-7.

5. Temkin D.E.and Shevelev V.V. On the theory of nucleation in two-component systems // Journal of Crystal Growth. 1984. Vol. 52. № 1. P.104-110. DOI: 10.1016/0022-0248(84)90222-7.

6. Wilemski G. and Wyslouzil B.E. Binary Nucleation Kinetics. I. Self-Consistent Size Distribution // Journal of Chemical Physics. 1995. Vol. 103. № 3. P. 1127-1136. https://doi.org/10.1063A.469823

7. Wilemski G. and Wyslouzil B.E. Binary Nucleation Kinetics. II. Numerical Solution of the Birth-Death Equations // Journal of Chemical Physics. 1995. Vol. 103. № 3. P. 1137-1151. https://doi.org /10.1063/1.469824.

8. Shevelev V.V. Stochastic approach to modeling the kinetics of phase transformations. Mathematical methods in engineering and technology - MMTT-32: Sat. Tr. XXXII Intern. science. Conf.in 12 vol. under the General editorship of A.A. Bolshakov. SPb.: Publishing house of Polytechnic. UN-TA, 2019. 144 S. T. 2. P. 14-18.

9. Shevelev V.V. Stochastic model of heat conduction with stochastic boundary conditions // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2016. Vol. 89. No. 4. P. 965-974. DOI: 10.1007/s10891-016-1459-8

10. Shevelev V.V. Stochastic Model of Heat Conduction with Heat Sources or Sinks // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2019. Vol. 92. No. 3. P. 614-624. DOI: 10.1007/s10891-019-01970-2

11. Shevelev V.V. Stochastic model of diffusion mass transfer in the presence of a source or flow of a diffusant. Mathematical methods in engineering and technology-mmtt-30: Sat. Tr. XXX international. science. Conf.in 12 volumes under the General editorship of A.A. Bolshakov. SPb.: Publishing house of Polytechnic. UN-TA, 2017. 160 p., Vol. 10, P. 39-44.

12. Klyackin V.I. Statisticheskoe opisanie dinamicheskih sistem s fluktuiruyushchimi parametrami. M.: Nauka, 1975.

Сведения об авторе:

Шевелев Валентин Владимирович, д-р физ.-мат. наук, профессор, каф. высшей и прикладной математики; Valentin V. Shevelev Dr Sci. (phys.- math.), Professor, Department of higher and applied mathematics, e-mail: valeshevelev@yandex.ru