Стохастическая модель структуры пула заявок поставщиков на закрытом аукционе спотовых цен Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование: методы, алгоритмы, технологии

УДК 517.711.3

Е.В. Валынец, М.В. Орженовский, А.А. Иванков

стохастическая модель структуры пула заявок

поставщиков на закрытом аукционе спотовых цен

В течение продолжительного периода времени (с 2002 по 2009 г. включительно) о ходе торгов на спотовом рынке электроэнергии ЕЕХ [1] можно было судить только по двум временным рядам (в. р.): почасовым спотовым ценам Рты и объемам сделок на каждый час Уо/ы . Оба процесса относят к классу нестационарных случайных процессов (с. п.) и большинство параметрических моделей предлагались как сумма нескольких слагаемых (как сумма с. п.) [2]. Традиционно слагаемые включали тренд [3, 4], явно выраженную периодическую [5], а также сингулярную составляющую [6]. Последняя описывала одно из наиболее примечательных свойств в. р. спотовых цен - выбросы. Второй в. р. с объемами сделок на каждый час, как правило, игнорировали, хотя он содержит не менее важную информацию. В данной статье предпринимается попытка привлечь и этот в.р. для построения модели.

Постановка задачи

Рассмотрим следующую задачу анализа данных, полученных в некоторый день ё.

Пусть в этот день ё на час к зафиксирован объем сделок в Уо1м с ценой отсечения Ргы. Представим структуру пула заявок поставщиков этого закрытого аукциона в виде множества пар

{Рг, ,Чк)}, г еI = {1, ..., Щ: V/ <Nрг(к) <^,(1)

где рГ( (к), ) - цена и объем поставки, указанные в г-й заявке на час к дня ё.

Другими словами, множество заявок упорядочено с помощью естественного отношения порядка первого элемента пары - упорядочение по цене заявки.

Тогда цену отсечения можно определить следующим образом:

Ргы := 8ир {рг(к)| /тп =

¡<Е1 ,/ </т /

= шГ\/: X^ > Уок

(2)

В условиях, когда доступная информация ограничена только двумя в. р., математические модели, позволяющие идентифицировать структуру пула заявок производителей, можно построить только с привлечением некоторых допущений, справедливых не для любого участка в. р.

Предлагаемые нами построения в первоначальной формулировке можно рассматривать как правомерные только на тех временных участках, где агрегированный объем сделок за сутки ведет себя как квазистационарный с. п., и на рынке сырья не наблюдается значимых колебаний в цене. Последнее условие означает следующее: мы исходим из предположения, что цены на сырье (подчеркиваем, на сырье, а не спотовые) ведут себя на этом участке как стационарные процессы.

Рассмотрим следующую аддитивную модель в. р. со спотовыми ценами. Пусть он представлен как конечная сумма случайных стационарных в узком смысле процессов. Ключевая особенность этой суммы состоит в том, что нарушение аксиомы коммутативности или, другими словами, независимые приращения по объемам, указанным в заявке, подлежат суммированию в порядке, который задает отношение порядка по цене заявки рГ({Н). Аксиома коммутативности для этой суммы нарушается, что очевидно в силу связи между элементами пары {рт1 (к), ^к)} .

В выражение для плотности вероятности как смеси распределений отдельные слагаемые входят с некоторыми случайными весами пк:

1ргм (РГ I У°1Ы ) = V Пк • Рк (РГГ,

(3)

= ргI й) = Уо1 - V й) )

г' I к и1Ьй ут1т Л

где К - число входящих в сумму слагаемых, равное количеству идентифицированных ценовых

клзстер0^ рк (рг = рг1 ^ = УЫы - V ^ ) -

1к 1к ^^ т

тф к

вероятность того события, что для суммы объе-

(й)

мов , полученной для нескольких первых заявок из кластера к, цена последнего слагаемого в этой сумме достигает цены отсечения ргкЕ = рг.

Здесь и далее й - порядковый номер часа в пределах суток, d - порядковый номер дня во в. р.

Если предположить, что цена на каждый час формируется распределением только из одного единственного кластера, то случайные веса пк будут играть роль индикаторных переменных. Тогда вектор п для каждого часа, составленный из пк, содержит только одну единицу и (К- 1) нулей; рк(•) - необязательно одномодаль-ное распределение.

Будем предполагать, что случайная мера для отдельного к-го слагаемого в (2) определяется своим законом распределения рк (•), обусловленным прежде всего себестоимостью генерируемой энергии; распределению рк (•) подчиняются цены заявок производителей, генерирующих электроэнергию на основе одного и того же типа энергоносителей или различных типов энергоносителей при сопоставимой цене на них в расчете на 1 МВт.

Перед нами стоит задача кластеризации спот-цен на тех участках в. р. спотовых цен, где выполняется условие стационарности агрегированного объема сделок за сутки. Следует заметить, что за весь период с 2002 по 2008 г. удалось выделить очень мало таких участков.

В настоящей статье кластеризуемыми данными является множество [Ргы }, которое мы пытаемся представить в форме разбиения:

{РГ1Ч, рГКЕК К (4)

где Ргм - зарегистрированная спотовая цена сделок на час й в день ^ Каждому наблюдению соответствует скрытая переменная 2М = к, к = 1, ..., К; 2Ы - случайная величина, соответствующая указанной Ргм и равная к, если она принадлежит к-му кластеру; К - количество кластеров.

Вероятность того, что случайная величина 2Ы

примет значение к, равна

К

р(1ы =к)=пк, к=1..., К, где Епк=1.

к=1

Предвосхищая будущие выводы, можем отметить, что п к обеспечили бы нам параметрическую оценку для элементов пк вектора весов п . При этом возникает принципиальная возможность рассмотреть такие распределения не только в среднем за сутки, но и по отдельности на каждый час. Другими словами, возможна еще и почасовая группировка спотовых цен, наблюдавшихся за выбранный промежуток времени. Однако ограниченность исходных данных не позволяет предложить какую-либо содержательную интерпретацию оценок в последнем случае.

Стандартным инструментом для решения задач кластеризации является ЕМ-алгоритм. Поскольку этот алгоритм предполагает предварительную параметризацию модели, предположим, что данные в каждом кластере подчиняются одному из законов распределения экспоненциального семейства. Такое предположение на практике не всегда выполняется. Тем не менее прибегнем к этой простейшей модели, обосновав свой выбор следующими рассуждениями. На формирование цены на электроэнергию оказывает влияние большое количество факторов. Например, стоимость используемого для генерации сырья, других природных ресурсов, самой электроэнергии, основных средств, трудовых ресурсов. Этот список

Рис. 1. Себестоимость электроэнергии, производимой с использованием различных видов топлива (средняя мировая в 2005 г.):

1 - нефть по высокой цене; 2 - нефть по низкой цене; 3 - газ по высокой цене; 4 - газ по низкой цене; 5 - уголь по высокой цене; 6 - уголь по низкой цене; 7 - атомная энергия. По ординате центы США/кВт-ч [8]

Таблица 1

Оценки параметров распределений, входящих в смесь

Кластер

1 2 3

ц, €/МВт-ч 36,15 63,76 78,39

о, €/МВт-ч 9,11 6,35 12,93

содержит все прямые и косвенные затраты на ее производство и реализацию.

Проверке гипотезы на выбранном участке в. р. предшествовала процедура построения непараметрической оценки плотности (гистограммы) для спотовых цен. По этой гистограмме оценивалось предельно возможное количество кластеров на данном участке.

В настоящей работе для кластеризации спот-цен за выбранный промежуток времени использовался обобщенный ЕМ-алгоритм [7]. В качестве параметрической модели для спотовых цен, попадающих в один кластер, выбрали нормальное распределение. Естественно, эта гипотеза Н0 подлежала обязательной проверке.

За период с пятого октября по восьмое ноября 2005 г. (выбор этого промежутка объясняется доступностью для него независимых оценок средней себестоимости электроэнергии в зависимости от вида сырья - см. рис. 1) мы получили три кла-

0,07

стера (рис. 2) с параметрами распределения, указанными в табл. 1.

На рис. 1 для сравнения представлена средняя себестоимость электроэнергии, производимой с использованием различных видов топлива. В эти данные не включена стоимость разрешений (сертификатов) на выбросы СО2. Но даже с учетом этого обстоятельства можем сказать, что получили вполне сопоставимые с действительностью результаты кластеризации.

После выполнения процедуры кластеризации проверим гипотезу о том, что спотовые цены, попадающие в один кластер:

• принадлежат классу нормальных распределений (критерий Колмогорова-Смирнова; если количество наблюдений мало, то также критерий Шапиро-Уилка);

• принадлежат нормальному распределению с параметрами, полученными с помощью ЕМ-алгоритма (критерий Пирсона).

0,06 0,05

Б

о

£ 0,04

§ 0,03

0,02

0,01

0,00

Второй кластер .....

Первый кластер 1

„Третий кластер

-20

20

40 60 80

Спот-цена

100

120

140

Рис. 2. График распределений спотовых цен в каждом из кластеров, полученных в результате работы ЕМ-алгоритма

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Спот-цена

Рис. 3. Гистограмма спотовых цен, попавших в первый кластер

6,25 12,50 18,75 25,00 31,25 37,50 43,75 50,00 56,25

Спот-цена

Рис. 4. Гистограмма спотовых цен, попавших во второй кластер

83 88 94 99 105

Спот-цена

Рис. 5. Гистограмма спотовых цен, попавших в третий кластер

На рис. 3-5 изображены гистограммы спото-вых цен в кластерах, а также функции плотностей нормального распределения с оценками параметров, полученными с помощью ЕМ-алгоритма.

В табл. 2 представлены расчетные и табличные

значения статистик %2, Колмогорова-Смирнова и Шапиро-Уилка для каждого из кластеров.

Как видно из таблицы, простая и сложная гипотезы Н0 для первого и второго кластеров не отвергаются лишь при уровне значимости ниже 0,01.

Таблица 2

Расчетные и табличные значения статистик х2, Колмогорова-Смирнова, Шапиро-Уилка для каждого из кластеров

а = 0,01 Кластер

1 2 3

Количество наблюдений 224 318 10

Критерий Пирсона

Х2 10,583 16,679 -

Число степеней свободы 3 8 -

х2 табл. 11,345 20,09 -

Критерий Колмогорова-Смирнова

В 0,072 0,041 0,624

В табл. 0,109 0,091 0,49

Критерий Шапиро-Уилка

Ж - - 0,791

Ж табл. - - 0,781

О данных в третьем кластере можем лишь сказать, что он сформирован заявками, поступившими от поставщиков, работающих скорее всего на разных видах сырья. Очевидно, что данные, которые отнесли к первому и третьему кластерам, «засорены», т. е. для их случайной меры разумнее либо использовать бимодальные распределения, либо, в свою очередь, разделить на два кластера. Увеличение числа кластеров в данном случае осложняется ограниченным объемом данных (ограничение на длину участка, где выполняется условие квазистационарности агрегированного объема сделок за сутки).

Напомним, что выбранный для иллюстрации временной отрезок с пятого октября по восьмое ноября 2005 г., длина которого около месяца, -один из немногих, где выполняются ограничения на подобные построения. Более того, увеличение числа кластеров должно быть обосновано дополнительной информацией о структуре пула заявок поставщиков, а для того периода она недоступна.

Таблица 3

Оценки вероятностей попадания цены в тот ли иной кластер

Кластер

1 2 3

1 1 0 0

2 1 0 0

3 1 0 0

4 1 0 0

5 1 0 0

6 1 0 0

7 0,82609 0,17391 0

8 0 1 0

9 0 0,95652 0,04348

10 0 0,95652 0,04348

11 0 0,95652 0,04348

12 0 0,91304 0,08696

13 0,04348 0,95652 0

14 0 1 0

15 0,04348 0,95652 0

16 0,04348 0,95652 0

17 0,26087 0,73913 0

18 0,17391 0,73913 0,08696

19 0,04348 0,91304 0,04348

20 0 0,95652 0,04348

21 0,04348 0,91304 0,04348

22 0,43478 0,56522 0

23 0,82609 0,17391 0

24 1 0 0

Выявление стохастической зависимости между характером изменения почасовых объемов сделок и попаданием спотовой цены в один из кластеров

Следующий этап в нашей работе - выявление стохастической связи между характером изменения почасовых объемов сделок и попаданием спот-цены в один из кластеров. Пусть vol™" -объем, характеризующий минимальный уровень потребления электроэнергии за сутки d, необходимый для удовлетворения базовых потребностей, таких, как отопление, подогрев воды и др. Изменением почасовых объемов сделок будем считать величину:

A volM = volhd -vol7\ d = 1, ..., N, (5)

где h - номер часа; d - номер суток; volhd - фактическое значение объема сделок на час h суток d; volT" - минимальное значение объема сделок, наблюдавшееся в течение суток d. Через khd бу-

о.б

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-О.б

-0,8

1 2 3 4 5 6 7 Я 9 10 1112 1з/.4 Я5 1Б 17 18 19 ¿0 21 22 г3/4

Рис. 6. Почасовые значения коэффициента корреляции между величиной изменения объемов сделок и попаданием спот-цены в тот или иной кластер ( ♦ ) коэффициенты корреляции

дем обозначать номер кластера, в который попала цена, соответствующая уо1ы Для оценки меры зависимости двух случайных величин будем использовать коэффициент корреляции. Таким образом, выявим, существует ли взаимосвязь между характером изменения почасовых объемов сделок и попаданием спот-цены в один из кластеров. Сгруппируем пары (А уо1ы,кы ), < = 1, ..., , соответствующие й-му часу. Получим 24 группы, каждая из которых будет содержать Ме точек.

Для каждого часа получим оцен^ вероятности того, что цена в этом часе попадает в тот или иной кластер (табл. 3) и найдем коэффициент корреляции между А уо1м и попаданием цены в тот или иной кластер (рис. 6):

Проанализируем данные, представленные в табл. 3. В ночные часы спрос на электроэнергию покрывается самой дешевой зо рассмотриваемый период электроэнергией. В часы пиковых и по -лупиковых нагрузок, когда спрос на потребление электроэнергии значительно возрастает, для его удовлетворения привлекаются поставщики, работающие на более дорогом виде сырья. Это нетрудно видеть на отрезках 9-12 и 18-20 часов, когда цены сделок на рассматриваемых участках соответствуют самому дорогому виду электроэнергии.

Значения коэффициента корреляции (0,35-0,4) обнаруживаются в часы, когда изменяется состав поставщиков, покрывающих спрос на электроэнергию на рассматриваемый час.

Изучим, какой объем сделок на конкретный час покрывается поставщиками, цены которых попадают в один кластер:

уЫы ^ Ргы, Ргы ^ кй< О УЫы ^ к<. (6)

Рассмотрим участок временного ряда объемов сделок, где наблюдается монотонный его рост уо1ы . Пусть

vol1d <... < volhd ^ k1d <... < khd ^ k1d < •

(7)

... < kld <... < kmd, m < h , ки =k1d ,

где kld - уникальные номера кластеров на рассматриваемом участке в. р. объемов сделок. Тогда можем записать

kmd

vol,, = vol- + V ( V Avol, -Avol, ),

hd k1d _ ¿--t v L-t kid k(i-1)d

kjd = k1d kid = kjd

Avol, = 0.

k

(8)

Таким образом, М Ауо/^ — Ауо^ - это вкладе =

ды поставщиков из к-кластера в объем сделок на]-й час дня е.

Для примера возьмем один из дней анализируемого периода, в котором присутствуют цены из всех кластеров (рис. 7).

Полученная декомпозиция временного ряда объемов продаж позволила бы провести верификацию результатов кластеризации спотовых цен. Напомним, что для этих временных участков нам были доступны для анализа только два в. р.

4

МВт-ч ф 12000

10000 8000 6000 4000 2000 0

-2000

✓^ч------ -\

/

1 2 3 4 5 6 7

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ч

Рис. 7. Декомпозиция временного ряда объемов сделок

(---) первый кластер; (— —) второй кластер; (-) третий кластер

Для верификации потребовалось привлечь информацию об объемах заявок производителей, генерирующих электроэнергию на основе энергоносителей при сопоставимой цене на них в расчете на 1 МВт. Однако эта информация недоступна. Начиная с декабря 2009 г. на сайте ЕЕХ публикуют агрегированное предложение на каждый час по каждому из 11 видов сырья (рис. 8).

Эти данные и послужили для дальнейшего развития нашей модели.

Располагая агрегированными объемами предложений, мы можем снять ограничение на квазистационарность агрегированного объема сделок за сутки, тем самым предложенная модель может применяться на любом участке в. р.

Во в. р. спотовых цен за 2010-2011 гг. мы идентифицировали 443 участка с выбросами цены в положительную полуплоскость. Выбросы в область отрицательных значений цены в данной статье не обсуждаем, трактуя их как имеющие

Рис. 8. Временные ряды агрегированных объемов предложений уо1'ьГ) , I = 1, ..., К по видам сырья и соответствующий участок в. р. спотовых цен (----)

другую природу. Очевидно, что в каждый час к дня е цена отсечения должна попадать в один из К ценовых кластеров Ргке е ¥] (рг, 0) , 7 = 1, ..., К согласно следующему условию:

Ргы е ^(рг.0) о Р(]Гу< <Уо1м \ V/ <

ния (спотовой цены) попадает в один и только в один из ценовых кластеров:

Pru е {Prc(hd )+u Prcfd)+{_J ..у PrclKhd)+ } =

= =Prc\ы)+.

l=1

(h)

< j EPrct < EPrcM) • P(£v<> > VolM \Vl< V - множество ненаблюдаемых объемов пред-

<(Х-1) ЕРщ < ЕРгсм) = 1 или, эквивалентно

PrM g Fj (рг, Э) о j=inf I: X voC1 >

> Volu \Vk<(K-1) EPrcx < EPrc.

n+i Г'

(9)

где EPrct - математическое ожидание спотовый цены из l-го ценового кластера.

Теперь мы получим новое множество разбиений (5) для множества пар (1). Каждое разбиение будет содержать 10 подмножеств (мы практически сразу же исключили из рассмотрения агрегированные объемы по кластеру Others в силу равенства нулю подавляющего числа элементов этого в. р.) согласно мощности множества {volh)}.

Множество индексов из (1), I может быть кластеризовано согласно такому разбиению следующим образом:

I = {1, ..., N}= \Jlk : Vk е [1, ..., K - Щf|Ik+1= 0.

k=1

Можем разделить на кластеры все множество заявок на поставку энергии:

{ pr( h), vf} = { pf, v(h)}U ...U{ pf, vf}U...U{ pr?, vf}.

Рассмотрим подмножество цен заявок, относящихся к первому кластеру. Оно состоит из ненаблюдаемых Prc1(h)- и наблюдаемых нами Prc<(h) + значений спотовой цены:

Prc(h) = {pr1h)} = ={prr, pr/h1-,.., pr1h)+, pr$, ...,}= = {prf- }U{ prf+ } = Prc1h)-U Prc( h)+.

Аналогично, множества цен, относящихся к оставшимся кластерам:

Prckh) = {prkh)} = Prckh)- U Prc\

( h)+ k

PrcK = {prKh)} = Prc(t U PrcKh)+.

Каждое наблюдаемое значение цены отсече-

ложеннй из заявок поставщиков, принадлежащих

первому кластеру:

у(к) = <у<к)—} = <(Н)— у(к)— ау } М I 1 > 11 ' 11 ' '"' 1Ргс<4 Р"

Для остальных кластеров подобные множества определяются аналогично с точностью до значения индексов и мощности множеств.

Сумма объемов предложений до некоторого индекса 1 доставляет нам объем сделок на час к

дня е.

ЗРг^в е Рге(к)в : ¿^) — = Уо1< - существует

т=1

1-я заявка из первого подмножества упорядоченных заявок (заявок первого ценового кластера), которая определяет цену отсечения на час к дня

d в силу того, что случайный процесс gi

,(h) -

до-

стигает случайного уровня, порождаемого суммой по некоторому упорядоченному подмножеству заявок потребителей, что и доставляет нам объем сделок Уо1< на час к дня <:

V(h) = {vf)-} = {v21) -,..., v2 h)-,..., v2 jprcch )|} 3 Рг2(")+ е Prc2h)+ : jv2 f = Volhd -g vol?)

VKh) = {vfh)- } = {vK)-

3 PrKj)+ е Prc(h)+ : g vK

v (h)-Kj

v

k=1

(h )-

K PrcK)

}

'(h)-= VolM -gvolkh).

т=1 к=1

В силу того, что нарушается аксиома коммутативности сложения в (2) и (3), рассмотрение вопроса адекватности стохастической модели в данном случае должно предваряться выбором некоторого конкретного упорядочивания множества кластеров. Естественный порядок может быть индуцирован отношением порядка первых моментов распределений ценовых кластеров, которые в свою очередь определяются средней себестоимостью энергии.

Для проверки гипотезы о порядке кластеров, индуцированном себестоимостью энергии, зависящей в свою очередь от вида сырья, исполь-

зуемого для ее генерации, построим следующий непараметрический аналог функции правдоподобия:

Ь = 1 I Ч/Ргс,(Ргсь)), (10)

г=1 ]=\

где сумма по г - это сумма по всем ценовым кластерам; сумма по 7 - сумма по наблюденным значениям соответствующего ценового кластера; /ргс (•) - непараметрическая оценка плостности.

Если порядок, обеспечивающий максимальное значение логарифма правдоподобия (10) на большей части участков, коррелирует с априорными оценками стоимости исходя из стоимости

сырья, это означает, что наша модель адекватна, а гипотеза об отношении порядка верифицирована путем привлечения независимых данных.

По результатам вычислений согласно (10) максимум L определяет следующий порядок: Garbage, Coal, Oil, Gas, Pumped storage, Lignite, Seasonal storage, Run-of-the-river, Uranium, Wind. Действительно, из данных мировой статистики по стоимости электроэнергии известно, что такие виды сырья, как Coal, Oil и Gas находятся в верхней половине списка (т. е. являются дорогими), а Run-of-the-river, Uranium и Wind являются наиболее дешевыми.

0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

□

50

1

55 60 65 70 75 Цена, евро/МВт

80

85

Рис. 9. Непараметрическая оценка плотности распределения для ценового кластера 2 (Coal) по всем 443 участкам с выбросами спотовой цены

0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

30

40

50 60 70 80 Цена, евро/МВт

90

100

110

Рис. 10. Непараметрическая оценка плотности распределения для ценового кластера 3 (Oil) по всем 443 участкам с выбросами спотовой цены

0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

□ □

60

70

80 90 100 110 Цена, евро/МВт

120

130

140

Рис. 11. Непараметрическая оценка плотности распределения для ценового кластера 4 (Gas) по всем 443 участкам с выбросами спотовой цены

На рис. 9-11 представлены непараметрические оценки плотности распределения спотовой цены для трех из упомянутых выше ценовых кластеров (Coal, Oil и Gas).

Полученные результаты дают основание утверждать, что предложенная модель адекватна исходным данным.

С ее помощью удалось получить непараметрическую оценку плотности распределения по подмножествам заявок от поставщиков, генерирующих

энергию с использованием различных видов сырья. Такие оценки позволят параметризовать аддитивную модель в. р. спотовой цены, обоснованно выбирая вероятностные меры для ее слагаемых.

Полагаем, что наша работа - в определенном смысле обоснование перспективности выбранного направления исследования подобного рода процессов. Чем точнее должен быть прогноз и чем сложнее система, характеристики которой прогнозируются, тем больше информации следует привлекать для построения ее модели.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Европейская биржа электроэнергии (European Energy Exchange) [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.eex.com/en/Download

2. Иванков, А.А. Некоторые вопросы стохастического моделирования цен на электроэнергию [Текст] / А.А. Иванков // Матер. науч.-практич. конф. Научные исследования и инновационная деятельность. -СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2007. -С. 495-501.

3. Мельник, А.С. О возможности построения линейных предикторов для некоторого подмножества выбросов в спотовых ценах на электроэнергию [Текст] / А.С. Мельник, А.А. Иванков // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление. -2008. -№ 2. -С. 179-183.

4. Мельник, А.С. Построение линейных предикторов для подмножества выбросов в спотовых ценах на электроэнергию [Текст] / А.С. Мельник, А.А. Иванков // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление. -2008. -№ 3. -С. 240-245.

5. Валынец, Е.В. Непараметрическая оценка сезонной компоненты в спотовых ценах на электроэнергию

как решение вариационной задачи [Текст] / Е.В. Валынец, А.А. Иванков // Матер. Междунар. науч.-практич. конф. Высокие интеллектуальные технологии и инновации в национальных исследовательских университетах. -СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2012. -Т. 3. -С. 9-11.

6. Серов, А.Ю. Фильтрация стационарной составляющей в форме процесса Леви во временных рядах, наблюдаемых на спотовых рынках [Текст] / А.Ю. Серов, А.А. Иванков // Матер. Междунар. науч.-практич. конф. Высокие интеллектуальные технологии и инновации в национальных исследовательских университетах. -СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2012. -Т. 2. -С. 64-69.

7. Королев, В.Ю. EM-алгоритм, его модификации и их применение к задаче разделения смесей вероятностных распределений. Теоретический обзор [Текст] / В.Ю. Королев. -М.: ИПИ РАН, 2007.

8. Ядерный рынок. Преимущества атомной энергетики [Электронный ресурс] / Атомстройэкспорт. -Режим доступа: http://www.atomstroyexport.ru/nuclear_ market/advantage/

9. Иванов, Е.Ю. Об одной стохастической модели спотовых цен на электроэнергию [Текст] /

4

ЕЮ. Иванов, А.А. Иванков // Сб. науч. тр. СПбГПУ: Формирование технической политики инновационных

наукоемких технологий. -СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2004. -С. 346-352.

УДК 531.133.3

А.А. Иванов

метод планирования формы гиперизбыточного манипулятора с ограниченным диапазоном изменения

шарнирных координат

Задача управления движением кинематически гиперизбыточного манипулятора с последовательной структурой связана с необходимостью определения установок обобщенных шарнирных координат и скоростей по заданному движению конечного звена на временном интервале At. Классическая задача управления движением манипулятора с шестью вращательными степенями подвижности основана на решении обратной задачи кинематики и подробно рассмотрена в литературе [1, 2]. Геометрическая обратная задача для пространственного манипулятора сводится к решению системы шести нелинейных уравнений, которая может иметь неединственное решение и точки сингулярности, соответствующие нулям ее якобиана. Решение обратной задачи кинематики (ОЗК) для определения связи задаваемых линейных и угловых скоростей объекта манипуляций с обобщенными скоростями в шарнирах, либо соответственно ускорений, сводится к решению системы линейных уравнений с почти везде невырожденной квадратной матрицей [1]. При наличии ограничений на диапазон изменения шарнирных координат для решения ОЗК даже для классического манипулятора требуется привлечение аппарата квадратичного или нелинейного программирования. Обратная задача кинематики для кинематически избыточного манипулятора в любой из отмеченных постановок сводится к минимизации некоторого критерия качества в неограниченном или ограниченном пространстве переменных состояния.

В настоящей статье предложен метод решения ОЗК с ограничениями на диапазон изменения шарнирных координат, основанный на минимизации квадратичной нормы отклонения линейной и угловой скоростей конечного звена от скоростей, задаваемых пропорционально

рассогласованию векторов положения и ориентации «схвата» и «цели». Метод применен при моделировании кинематики манипулятора из однотипных модулей с шарнирами вращения ограниченной подвижности.

Постановка задачи

Задача определения по заданному шести-компонентному набору и проекций векторов линейной и угловой скорости конечного звена манипулятора Ы-мерного вектора-столбца ¿ обобщенных скоростей в шарнирах гиперизбыточного манипулятора рассмотрена в работах [1, 3] и формализована записью уравнения

и = , (1)

где матрица Якоби J размера (6 х Ы) имеет столбцовый ранг не более чем 6.

Общее решение линейного уравнения (1) с использованием псевдообратной матрицы J+ представляется суммой частного решения <[„ = Уи неоднородного уравнения (1) и общего решения однородного уравнения, содержащего произвольный вектор Х0,

¿ = J+U + (Е - J+ J)X0. (2)

Псевдообратная матрица матрицы J - единственна, может быть определена как

J+ = НтУ^ + еЕ)-^Т = Нт^т + еЕ^1) (3)

и позволяет получить решение системы линейных уравнения (включая несовместные системы уравнений и уравнения с плохо обусловленной матрицей), имеющее минимальную норму [4, 5].

Определение (3) позволяет записать решение уравнения (1) в одной из форм:

<[ = Уи