CC BY
31
УДК 501-77:519.24;658.7.01
СТАЦИОНАРНЫЕ СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ В СИСТЕМАХ СНАБЖЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ
С.С. Гранин, A.C. Мандель
Рассмотрена возможность использования оптимальных параметров стационарных стратегий управления запасами для синтеза правил управления запасами в системах снабжения, действующих на реальном рынке. Выполнено сравнение эффективности дальнозорких и близоруких стратегий управления запасами. Исследованы различные подходы к синтезу оптимальных стационарных стратегий. Дана сравнительная оценка этих подходов и отмечены особенности их применения. Приведены результаты модельного оценивания оптимальных параметров стационарных стратегий управления запасами как функций от состояния рынка и, в частности, от уровня инфляции.
Ключевые слова: управление запасами, параметрические стратегии, сравнительный анализ, уровень инфляции, моделирование.
ВВЕДЕНИЕ
Начиная с конца 1960-х гг., все большее практическое применение стал находить один из фундаментальных результатов теории управления запасами, который принадлежит Герберту Скарфу
[1] и заключается в том, что при достаточно общих предположениях о характере процессов, происходящих в системе снабжения, и выборе критерия управления запасами в форме минимизации суммарных средних затрат в периоде планирования оптимальные стратегии управления запасами оказываются параметрическими [2, 3]. Они относятся к классу так называемых (R, ^-стратегий управления запасами. Это означает, что за n шагов до конца периода для любого n найдутся два такие числа Rn и r , что, если уровень запасов в системе больше, чем sn, то размер заказа на пополнение запасов в этот момент времени подавать не нужно, а если уровень запасов меньше или равен sn, то размер заказа un выбирается равным Rn — rn. Было также установлено [2], что существуют пределы R = lim Rn
n ^ ю
и r = lim r , представляющие собой параметры
n ^ ю
оптимальных стационарных стратегий управления запасами. При этом номер шага n, в данном случае, так называемое «обратное» время, отсчиты-
ваемое от конца периода планирования. Иначе говоря, если период планирования T достаточно велик (T = Nt, где т — интервал между моментами принятия решений о размере заказа), то с первых шагов (в обратном времени — N-м, (N — 1)-м, ...) могут использоваться параметры оптимальных стационарных стратегий управления запасами. Однако оказалось, что процедуры расчета как динамических параметров (Rn, rn), так и стационарных параметров (R, r) оптимальных стратегий управления запасами чрезвычайно вычислительно сложны и требуют прокрутки времяемких алгоритмов динамического программирования. Именно поэтому в качестве альтернативы были предложены существенно более простые «близорукие» (myopic) стратегии управления запасами, суть которых состоит в том, что в момент принятия решения о размере заказа учитываются не суммарные средние затраты, а средние затраты на ближайшем, примыкающем к текущему моменту временном шаге. В отличие от них стратегии, основанные на минимизации суммарных средних затрат в периоде планирования, будем называть «дальнозоркими».
В последнее десятилетие в связи с бурным развитием абсолютно прикладной науки, которая в нашей стране известна под названием «логистика» [4—7] и вобрала в себя значительную часть теоретического багажа математической теории управле-
ния запасами и производством, стало очевидным, что именно эти «близорукие» стратегии управления запасами оказались основным инструментом практического управления запасами. Однако сегодня с появлением мощных вычислительных средств представляется возможным вернуться к применению дальнозорких стратегий управления запасами, исследовав при этом как параметры (в том числе, и стационарные) этих стратегий зависят от стабильности рынка. Именно этому посвящена настоящая статья, в которой сначала приводятся известная постановка задачи и традиционные алгоритмы ее решения, а затем обсуждается цена замены дальнозорких стратегий управления запасами на близорукие и исследуется (посредством имитационного моделирования) зависимость параметров стационарных стратегий управления запасами от коэффициента дисконтирования а, 0 < а < 1.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И АЛГОРИТМ ЕЕ РЕШЕНИЯ
Рассмотрим классическую модель управления однономенклатурным запасом с запоминанием за-долженного спроса1 в течение периода планирования Т = (0, Ш), где N — достаточно большое натуральное число, в котором спрос описывается моделью взаимно независимых, одинаково распределенных случайных величин {г(0, t = 1, 2, ..., N1 с функцией распределения Дг). Пусть время запаздывания поставки 9 = 0. Тогда, если в качестве критерия планирования принят минимум суммарных средних затрат в периоде планирования для оптимальной стратегии пополнения запасов, можно записать уравнения динамического программирования [2, 3]:
С* (х) = шт <{ А1(и) + си +
и > о [ тах{х + и, 0}
+ к | (х + и - г^(г) + о
+ d ] (г - х - u)dF(z) |
тах{х + и, 0} J
С* (х) = шт • А1(и) + си +
(1)
и > 0
тах{х + и, 0}
+ к | (х + и - z)dF(z) +
0
+ d | (г - х - u)dF(z) +
тах{х + и, 0}
+ а | С*_ 1 (х + и - гтг)}, (2)
—да
п = 2, 3, ..., N.
Здесь 1(и) — функция единичного скачка (функция Хэвисайда), а, 0 < а < 1, — коэффициент дисконтирования, а С* (х) — минимально возможное значение затрат на t последних (до конца периода планирования: так называемое «обратное» время) шагах, если за t шагов до конца периода планирования фиктивный уровень запасов2 в системе х.
Замечание. Отметим, что в уравнениях (1) и (2) в отличие от процитированных источников и вообще от классической теории управления запасами в пределах интегрирования появилась конструкция шах{х + и, 0} вместо привычного х + и. Это объясняется тем, что расчеты по прежним формулам (с пределом интегрирования х + и) при использовании фиктивного уровня запасов приводили к ошибкам, поскольку при отрицательном значении х + и (чего нельзя исключать) интеграл
х + и
11 = | (х + и - z)dF(z) принимает отрицательное
0
значение, что невозможно, так как к*/1 — это размер издержек хранения, и тогда получилось бы, что в отсутствие запаса плата за хранение возвращается плательщику . Подобная корректировка никак не отражается на основных выводах теории управления запасами (сохраняются свойства А-вы-пуклости и оптимальность двухуровневых стратегий управления запасами), поскольку, как нетрудно убедиться, при такой модификации записи интегралов производные от подынтегральных выражений по и остаются непрерывными.
1 Это означает [2], что при возникновении дефицита неудовлетворенный спрос регистрируется и удовлетворяется при поступлении очередной поставки.
Под фиктивным уровнем запасом понимается сумма наличного запаса и запаса в пути (который в силу того, что 6 = 0, также равен нулю) за вычетом уровня задолженного спроса [2]. Таким образом, фиктивный уровень запаса может быть и отрицательным.
3 Аналогичные рассуждения применимы и к интегралу
да
{ (^ — х — Еще одним аргументом в пользу введенного
X + и
видоизменения записи интегралов служит то, что при компьютерном моделировании в качестве аппроксимирующей модели часто используют такие вероятностные распределения (гауссово и др.), плотность вероятности которых в качестве носителя захватывает и отрицательную полуось.
из
Теперь перепишем уравнения (1) и (2), введя функции:
max{y, 0}
ф(у) = cy + h J (y - z)dF(z) +
cy
+ d J (z - y)dF(z),
max {y, 0}
(3)
300 = ф(у) + а | С*-! (х + и - (4)
—да
где ? = 1, 2, ..., а С0 (х) = 0.
Учитывая функции (3) и (4), уравнения (1) и (2) можно переписать в виде:
Ct* (x) = —cx +
A + min Gt (y),
y > x
Gt (X).
(5)
Известно [2, 3], что в системе, оптимизация которой задается уравнением (5), оптимальны двухуровневые (Я, г)-стратегии управления запасами. Это означает, что для каждого момента времени t (при отсчете времени от конца периода планирования) существует пара чисел Я,, Я, > 0, и г,, г, < Я,, таких, что правило подачи заказов и(х) за t шагов до конца периода планирования может быть задано формулой:
u(x) =
Rt - x, если X < rt, 0, если X > r,.
(6)
При этом величина Rt является точкой абсолютного минимума функции Gt(x), а величина rt — решением уравнения
ОД = A + Gt(Rt).
Известно также, что в стационарном режиме4 (когда N и t стремятся к бесконечности) в силу существования пределов R = lim Rt и r = lim rt су-
t ^ да t ^ да
ществуют два числа R и r, которые полностью задают оптимальную стратегию управления запасами. При коэффициенте дисконтирования а < 1 эти
Еще раз отметим, что поскольку отсчет времени ведется от конца периода планирования, то стационарный режим связан с началом периода планирования. Иначе говоря, при N ^ да стационарные управления используются сразу — с первых шагов периода планирования.
числа (через соотношение (6)) определяют решение функционального уравнения
C *(x) = min <! A1(u) + cu +
u > 0 I max {x + u, 0}
+ h J (x + u — z)dF(z) +
0
да
+ d J (z — x — u)dF(z) +
max{x + u, 0}
+ да -i
+ a J C*(x)(x + u — z)dF(z) i.
-да J
Как нетрудно видеть, близорукие стратегии (с параметрами R1 и rp которые мы выделим и назовем R6aH3 и гблиз) задаются следующим образом:
- - с (7)
(8)
F(R6^ h + d' Ф(гблиз) = A + Ф(Rблиз).
В отличие от них параметрами дальнозорких стратегий служит значения Я и г, которые в дальнейшем мы будем называть Я и г .
" дальн дальн
2.СРАВНЕНИЕ ДАЛЬНОЗОРКИХ И БЛИЗОРУКИХ СТРАТЕГИЙ
Прежде чем перейти к сравнению дальнозорких и близоруких стратегий, напомним о результате, полученном Н. Прабху [8, 9] и развитом в работе [10]. В работе [8] было предложено вместо задачи (1), (2) рассматривать задачу вида: найти такие значения параметров двухуровневой стратегии управления запасами (связанные с размером поставки и), чтобы минимизировать функционал
(они и будут параметрами R
и r
дальн дальн
):
C *(R, r) = min
u>0
J [A x 1(u) + cu +
+ ф^ + u)]dG(x)
(9)
где 3(х) — стационарное распределение уровня запасов в начале временного шага, а функция ф(у) определяется формулой (3). В работах [8, 9] на базе методов теории восстановления выведены соотношения, позволяющие рассчитать стационарное распределение 3 (х).
В работах [11, 12] были отмечены те проблемы, которые возникают в связи с тем, что стационарность распределения уровня запасов понимается как обычная стационарность (в прямом времени), а стационарность стратегий управления запасами
да
связана с обратным временем, названные собирательно «проблемой разнополярности». Кроме того, было указано [13], что в связи с проблемой разнополярности полная эквивалентность задач (1), (2) и (9) имеет место только в достаточно экзотическом случае отсутствия инфляции, т. е. когда коэффициент дисконтирования а = 1.
Тем не менее, анализ модели (9) на предмет сравнения средних затрат при использовании па-
близ
) близорукой стратегии и
раметров (Ябл. (Ядальн, гдальн) дальнозоркой стратегии гораздо проще, чем анализ модели (1), (2). При этом, как ука-
зано выше, параметры Я и г отыскиваются
дальн дальн
в результате решения задачи (9), а параметры Яблиз и гблиз — в результате решения задачи (7), (8). Затем вычисляется минимально возможное значение функционала С*(Ядальн, гдальн), которое и сравнивается со значением С*(Яблиз, гблиз). Результаты сравнения сведены в табл. 1. В ее первых столбцах указаны значения стоимостных параметров А, с, к и d, при которых были выполнены соответствующие вычисления. Предполагалось, что распределение спроса экспоненциально и имеет вид
Таблица 1
Оптимальные значения параметров близоруких и дальнозорких стратегий и соответствующие значения средних затрат
(при коэффициенте дисконтирования а = 1)
А с к й ^близ Г близ Гдальн г дальн С (^близ' Гблиз^ С (^дальн' Гдальн^ Соотношение между затратами
1 20 0,64 -0,46 5,82 1,35 29,95 15,82 1,89
10 10 0 -1,1 5,17 0,7 29,21 15,17 1,93
5 20 0,51 -0,46 5,17 0,7 31,53 25,82 1,22
10 10 0 -0,97 2 0 28,97 20,00 1,48
1 20 1,25 -0,15 5,82 1,35 19,17 10,82 1,77
5 10 0,61 -0,8 5,17 0,69 18,50 10,17 1,82
5 20 0,92 -0,23 2,51 0,51 22,35 17,55 1,27
10 0,41 -0,74 2 0 19,79 15,00 1,32
1 20 0,64 -1,38 10,64 0,65 53,16 20,65 2,57
10 10 0 -2,02 10 0 52,34 20,00 2,62
5 20 0,51 -1,3 4,38 -0,09 55,07 31,91 1,73
50 10 0 -1,82 3,87 -0,6 52,62 29,36 1,79
1 20 1,25 -1,22 10,65 0,65 39,28 15,65 2,51
5 10 0,61 -1,86 10 0 38,50 15,00 2,57
5 20 0,92 -1,17 4,38 -0,09 43,32 26,91 1,61
10 0,41 -1,69 3,87 -0,6 40,85 24,36 1,68
1 20 0,64 -0,46 5,82 1,35 29,95 15,82 1,89
10 10 0 -1,1 5,17 0,7 29,21 15,17 1,93
5 20 0,51 -0,46 5,17 0,7 31,53 25,82 1,22
10 10 0 -0,97 2 0 28,97 20,00 1,48
1 20 1,25 -0,15 5,82 1,35 19,17 10,82 1,77
5 10 0,61 -0,8 5,17 0,69 18,50 10,17 1,82
5 20 0,92 -0,23 2,51 0,51 22,35 17,55 1,27
10 0,41 -0,74 2 0 19,79 15,00 1,32
1 20 0,64 -1,38 10,64 0,65 53,16 20,65 2,57
10 10 0 -2,02 10 0 52,34 20,00 2,62
5 20 0,51 -1,3 4,38 -0,09 55,07 31,91 1,73
50 10 0 -1,82 3,87 -0,6 52,62 29,36 1,79
1 20 1,25 -1,22 10,65 0,65 39,28 15,65 2,51
5 10 0,61 -1,86 10 0 38,50 15,00 2,57
5 20 0,92 -1,17 4,38 -0,09 43,32 26,91 1,61
10 0,41 -1,69 3,87 -0,6 40,85 24,36 1,68
Р(1) = 1 — е-х, т. е. среднее значение спроса на одном шаге X = 1.
Результаты сравнения демонстрируют, что выигрыш от использования дальнозорких стратегий может достигать 162 %. Отдельные расчеты, выполненные для модели (1), (2), показывают, что табл. 1 достаточно адекватно моделирует порядок превосходства дальнозорких стратегий над близорукими, что позволяет снизить расходы в 1,5—2,5 раза. Отсюда следует, что именно эти стратегии желательно, да и попросту необходимо внедрять в практическую логистику. Возможности современных компьютеров, несомненно, позволяют осуществлять требуемые расчеты с помощью алгоритма (1), (2).
При этом необходимо учесть, что реальное значение коэффициента дисконтирования а < 1 и может изменяться во времени. В связи с этим было предпринято дополнительное исследование и разработан пакет программ на базе пакета МДТИЬДВ 8.3, который и позволил выполнить соответствующее моделирование. Полученные результаты представлены далее.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
В процессе моделирования использовалось рас
пределение спроса вида F(z) = 1 — е Хх. Результать моделирования представлены в форме таблиц за дания исходных параметров (табл. 2 и 3) и графи ков зависимости параметров Я и г как функций коэффициента дисконтирования а (рис. 1—4).
Таблица 2
Значения параметров
Параметр Значение
А 10
с 5
к 1
й 10
X 1
N 40
Таблица 3
Значения параметров
Параметр Значение
А 10
с 5
к 1
й 20
X 1
N 40
Рис. 1. График зависимости г (а)
Рис. 2. График зависимости -й(а)
Рис. 3. График зависимости г (а)
Рис. 4. График зависимости R(a)
Как и следовало ожидать, в каждом из рассмотренных случаев графики зависимостей г(а) и Я(а) представляют собой монотонно возрастающие функции от а. В самом деле, при большем значении а мы все дальше «заглядываем» в будущее и выясняется, что заказывать нужно больше, поскольку все меньше смысла ограничиваться «интересами» только ближайшего шага принятия решений. Значениями г(0) и Я(0) описываются параметры близорукой стратегии управления запасами. С ростом параметра d (удельного коэффициента штрафа за дефицит на одном шаге) при одном и том же значении а заказывать нужно все больше.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотрены модифицированные алгоритмы решения многошаговой динамической задачи управления запасами при случайном спросе. Показано, что и в модифицированном варианте остаются справедливы фундаментальные результаты теории управления запасами: сохраняется свойство А-выпуклости и связанный с ним факт оптимальности двухуровневых стратегий управления запасами.
Рассмотрены известные в литературе основные подходы к формированию стационарных параметрических стратегий управления запасами и очерчены области их применения.
Выполнено сравнение эффективности использования дальнозорких и близоруких стратегий управления запасами.
Создан программный комплекс, позволивший выполнить моделирование предложенных алгоритмов управления запасами. С использованием этого комплекса выполнено исследование (на от-
дельных примерах) зависимости значений параметров стационарных стратегий управления запасами от уровня инфляции, задаваемое значением коэффициента дисконтирования а.
ЛИТЕРАТУРА
1. Scarf Herbert. The optimality of (S, s) policies in the dynamic inventory problem. — in: Arrow, Kenneth J.; Karlin, Samuel; Suppes, Patrick. Mathematical models in the social sciences, 1959 // Proc. of the first Stanford symposium, Stanford mathematical studies in the social sciences, IV. — Stanford, California: Stanford University Press, 1959. — P. 196—204.
2. Хедли Д., Уайтин Т. Анализ систем управления запасами. — М.: Наука, 1969. — 512 с.
3. Лотоцкий В.А., Мандель А.С. Модели и методы управления запасами. — М.: Наука, 1991. — 190 с.
4. Неруш Ю.М. Логистика: учебник. — М.: Проспект; Велби,
2008. — 517 с.
5. Основы логистики: теория и практика / В.В. Щербаков, И.Л. Киппер, Л.А. Мясникова и др. — СПб.: Питер Пресс,
2009. — 426 с.
6. Дыбская В.В. Логистика складирования: учеб. — М.: Инфра-М, 2012. — 557 с.
7. Мельников В.П., Схирладзе А.Г., Антонюк А.К. Логистика. — М.: Юрайт, 2014. — 288 с.
8. Прабху Н. Методы теории массового обслуживания и управления запасами (изучение основных случайных процессов. — М.: Машиностроение, 1969. — 354 с.
9. Прабху Н. Стохастические процессы теории запасов. — М.: Мир, 1984. — 184 с.
10. Сравнительный анализ «близоруких» и «дальнозорких» стратегий управления запасами в условиях неопределенности / И.И. Барладян, Н.И. Борзенко, А.В. Лапин и др. // Тр. Междунар. конф. по проблемам управления / ИПУ РАН. — М., 2006. — С. 774—783.
11. Мандель А.С. О выборе критериев в задачах управления запасами в условиях неопределенности // Тр. XII Всерос. совещ. по проблемам управления «ВСПУ-2014» / ИПУ РАН. — М., 2014. — С. 4212—4218.
12. Mandel А. Renewal theory methods to compute stationary inventory control strategy parameters (for lot-sizing) // Technical Program of 20th Conference of the International Federation of Operational Research Societies. — Barcelona: IFORS Publications, 2014. — P. 174.
13. Мандель А.С., Семенов Д.А. Адаптивные алгоритмы оценки параметров оптимальных стратегий управления запасами при ограниченном дефиците // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 6. — С. 117—128.
Статья представлена к публикации членом редколлегии А.А. Дорофеюком.
Гранин Сергей Сергеевич — студент,
Московский физико-технический институт, г. Долгопрудный, И ssgranin@gmail.com,
Мандель Александр Соломонович — д-р техн. наук, зав. лабораторией, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва; профессор, Московский физико-технический институт, И manfoon@ipu.ru.
