CC BY
22
Експериментальні дані вказують, що за 30 хвилин, при рівні акустичного випромінювання 165 дБ, гіроскоп втрачає одну ступінь вільності.
150 10
Рис. 6. Тангенціальні переміщення V = II Vm z=0,0^ ; w=1x103^1 -150 і
4. Висновки
Отримані аналітичні апроксимації пружних переміщень поверхні підвісу дозволяють в подальшому, з огляду на природу появи Ейлеревих сил інерції за хитавиці корпусу ракети-носія, внести інтегровані оцінки додаткових збурень г іроскопа у вигляд і моментів сил інерції Коріоліса в правих частинах рівнянь руху відносно осей - внутрішньої і зовнішньої рамок.
Пояснення природи явища і механізму його прояву можуть слугувати підґрунтям для вибору шляхів боротьби з негативним впливом акустичного випромінювання.
Література
1. Данилин, В.П. Гироскопические приборы [Текст]: учеб-
ник / В.П. Данилин. - М.: Высшая шк., 1965. - 538с.
2. Даэр, И. Колебания корпуса космического аппарата под
действием шума ракетных двигателей [Текст] / И. Даэр // Случайные колебания / Под ред. С. Крендела.- М.: Мир, 1967. - С. 192-211.
3. Гладкий, В.Ф. Динамика конструкции летательного аппа-п
рата [Текст] / В.Ф. Гладкий. - М.: Наука, 1969. - 496 с.
4. Melnik, V.N., Karachun, V.V. Some aspects of gyroscopic
stabilisation in acoustic fields // International Applied Mechanics. - 2002. - Vol. 88, №1. - P.74-80.
Рис. 7. Механізм взаємодії акустичної хвилі з кожухом та наружною рамкою гіроскопу
------------------□ □---------------------
Аналізується стаціонарна взаємодія хвилі надлишкового тиску звукової частоти з коловою ізотропною пластиною. Будується розрахункова модель явища на підґрунті променевої акустики
Ключові слова: акустическая волна, круглая пластина, акустический импеданс
□---------------------------------□
Анализируется стационарное взаимодействие волны избыточного давления звуковой частоты с круглой изотропной пластиной. Строится расчетная модель явления на основе лучевой акустики
Ключевые слова: акустична хвиля, колова пластина, акустичний імпеданс
□---------------------------------□
The stationary co-operating of wave of surplus pressure of audio-frequency is analysed with a round izotropic plate. The calculation model of the phenomenon is built on the basis of radial acoustics
Keywords: acoustic wave, round plate, acoustic impedance ------------------□ □---------------------
УДК 629.7.054
СТАЦІОНАРНА ВЗАЄМОДІЯ АКУСТИЧНОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ З КОЛОВОЮ ПЛАСТИНОЮ
Т. М. Л озови к
Кандидат фізико-математичних наук, доцент Кафедра математичної фізики Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут» пр. Перемоги, 37, м. Київ, Україна, 03056 Контактниый тел.: (044) 454-94-51 E-mail: karachun [email protected]
Вступ
Дослідження відносяться до області прикладної механіки і присвячені вивченню і аналітичному опису природи пружної взаємодії колової пластини з проникаючим акустичним випромінюванням. Колові пластини являють собою найпоширений елемент комплектуючих бортової апаратури рухомих об’єктів і підвищений інтерес до вивчення їх динаміки постає в певній мірі актуальним.
Побудову розрахункових моделей пластин у цьому разі слід починати з вивчення граничних умов
- дифракція звуку на абсолютно м’якій поверхні (задача Діріхле), дифракція звуку на абсолютно жорсткій поверхні (задача Неймана), дифракція звуку на імпедансній поверхні (змішана крайова задача). Зупинимося на останньому.
Аналіз стану проблеми і постановка задачі досліджень
Вивчення динаміки пластин для різних потреб їх використання мають досить тривалу історію. Зокрема, питання віброізоляції постали перед дослідниками значно раніше, ніж питання звукоізоляції. Тому вони вже досить ґрунтовно вивчені вітчизняними вченими і закордонними [1, 2, 3, 4, 5, 6].
Разом з тим, питання пружної взаємодії пластин бортової апаратури з проникаючим акустичним випромінюванням з боку рушійних установок почали свій шлях нещодавно. Це обумовлено особливістю їх динаміки в механічних системах підвісів гіроскопа і впливом на похибки приладів інерціальної навігації.
Метою досліджень постає побудова розрахункових моделей пружної взаємодії акустичного випромінювання з тонкою ізотропною коловою пласп тиною.
Рівняння руху. Одновимірна задача
Механічну модель проходження звуку крізь колову пластину наведемо наступним чином (рис. 1).
З лівого, лицьового боку, на пластину падає плоска монохроматична хвиля тиску Р в напрямку п до фронту. Товщину пластини приймемо рівною ^ а радіус - R.
Систему координат Oxyz сполучимо з серединною площиною, точку О розташуємо у геометричному центрі пластини. Таким чином, вона найбільш підвладна дії акустичного променя в напрямку Oz нормалі до поверхні, бо саме тут мінімальний імпеданс у порівнянні
з іншими двома.
Проаналізуємо збурений рух пластини за цих умов. Диференціальне рівняння вимушених коливань у формі Софі Жермен має вигляд:
DЛ2W(x,y,t) + р]^ (х,у^) = q(x,y,t) д4
(1)
де
А2 Л + 2
дх
дх ду ду
ітерований
лапласіан, бігармонічний оператор; D=Eh[12(1-а)]-1, р, ^ а - циліндрична жорсткість, щільність матеріалу, товщина, коефіцієнт Пуасона, відповідно.
Пластина вібрує відносно площини хОу. Рівняння (1) доречне в плоскій області В, яка розташована в системі хОу. Розв’язки шукаємо для t > 0.
Рис.1. Схема проходження звукової хвилі крізь колову пластину
Рівняння (1) дає достатні результати, якщо відношення товщини до найменшої довжини генеруємої хвилі не перевищує 0, 1. В іншому разі слід враховувати зсув та інерцію обертання, або вирішувати тривимірну задачу.
Стаціонарна взаємодія. Виключимо з розгляду час ^ Рівняння (1) набуде вигляду:
def
AW = Л^(х,у) = D-1q(x,y) = ^х,у) , (2)
де ^х,у) - проекція щільності збурюючої сили И(х>у) на нормаль до лицьової поверхні.
На бічній поверхні М пластини
М:
х2 + у2 = R2;
h h
— < z < — 2 2
мають місце граничні умови першого роду
= 0
W|M = 0; —
Ім Зп,
(3)
(4)
що відповідає жорсткому закріпленню площі Міделя. Символом п1 позначена зовнішня нормаль до бічної поверхні.
Побудуємо систему лінійно незалежних функцій
иі = иі(х,у), х2 + у2 < R2, z = 0, і = 1^ , (5)
які належать області визначення бігармонічного оператора А=Д2 і задовольняють умовам (3). Назвемо їх координатними. Їх лінійну оболонку позначимо через и14. Таким чином, координатні функції и утворюють базис
|и} = \іь ^ ... , им
м
в своїй лінійній оболонці иМ.
Окреслимо наближене розв’язання W задачі (2) ... (4) у вигляді лінійної комбінації координатних функцій
W = ciui(x,y), i = 1,N
із стовпцем
C = ( c1 с2
N
(6)
(7)
невизначених коефіцієнтів с1, які підлягають обчисленню. Тоді вираз (6) приводить до наступної наближеної рівності -
AW « Ac1ui(x,y) = c1Aui(x,y) = f(x,y)
(8)
clvi(x,y) = nP Nf(x,y)
(12)
Ця умова являє собою один з варіантів класичної ідеї, що сходить до Ld. Rayleigh, В. Рітца, І. Бубнова, С. Тимошенка, Б. Галеркіна.
За цих умов, стовпець C постає розв’язанням системи рівнянь
def
(Vi, V j) = JJ Vi(x,y)v j(x,y)dxdy = gif;
x2+y2<R2
def
(f, Vj) = JJ f(x,y)Vi(x,y)dxdy = fj.
(1З)
x2+y2<R2
З’ясуємо найкращий шлях вибору стовпця C. Для цього позначимо
Aui(x,y) = Vi
(9)
і назвемо ці величини образами координатних функцій и1. Лінійну оболонку образів назвемо Vм і зауважимо, що
А : U
N
V
N
(10)
Спочатку доведемо, що образи координатних функцій також лінійно незалежні і, отже, утворюють базис у Vм. Для цього побудуємо лінійну комбінацію образів v1 координатних функцій и1:
а'У;(х,у) = а'Аи;(х,у) = Аа'и;(х,у) = 0, х2 + у2 < Я2
Відомо, що оператор А додатньо визначений для класу функцій, які відповідають граничним умовам (4), що означає
(а\, а‘и()= Ц (а‘и()'uidxdy >у2||а‘и^|
х2+у2 <К2
де 0< у - стала, що вільна від а1и1. Звідси а‘и((х,у) = 0, х2 + у2 < Я2
Але координатні функції лінійно незалежні, тому а1 = 0, і = ЇЙ
і це доводить лінійну незалежність функцій v1=Au1, отже вони утворюють базис
{} = У1> У2> ... ^
у своїй лінійній оболонці Vм.
Вирази (8), (9) приводять до наближеної рівності с\(х,у) = ^х,у), х2 + у2 <Я2, і = ЇЙ
Найкращим вважається стовпець
C = ( с2 ... cN'
В більш компактній формі це має наступний вигляд
^ = (^ f2 ... fN )Т (14)
де G = (gij), у = і,^ , що є матрицею Грама
лінійно незалежних векторів у і (' = , внаслідок
чого detG>0 і система (14) однозначно розв’язувана -
T
C = G (f f2 ... fN )T (15)
Оберемо за координатні функції наступні:
2 2 \2
1 - Х_ - У_ R2 R2
x
U4 = R_U1
x
R
2
; u_ =^7ui- из=rui-
У xy
U5 = R_U1 U6 = R_U1.
(16)
Вони безрозмірні, належать до області визначення бігармонічного оператора А = Д , а також задовольняють граничним умовам (4). Образи А = А цих функцій визначаються співвідношеннями:
v1 = Au1 =
v2 = Au2 =
v3 = Au3 =
v4 = Au4 =
_4i _4i 16 = .64’
R4 + R4 + R4 = R4 ’
120 48 24 192
—^x +—=- x +—=- x = X’
R5 R5 R5 R5
24 48 120 192
^У + ^ У + —г У = —г У’ R R R r5 j
tttI -2+ тлх2+ тпгУ2 ’
v5 = Au5 =
32{ n 15 2 3 2
x2 + 2
R2 R2
3 , 15
R
(17)
(11)
32( „ з 2 15 2
~л I -2 + -^х ^-гу ;
Я4 ^ Я2 Я2^ )
120 144 120 384
V = Аиб = “ЯГХУ + “Я^ХУ + “ЯГХУ = ~я^ху.
Залишається тільки обчислити елементи матриці Грама образів координатних функцій
бц = (V,, V) = Ц v1(x,y)vJ(x,y)dxdy
х2 +у2 <К2
Остаточно матриця Грама набуває виду:
при якому
U=
G=Ы=^п
4 О О Б Б О
О 9 О О О О
О О 9 О О О
Б О О 19 7 О
Б О О 7 19 О
О О О О О б
i,j = 1,6
(18)
Обчислимо елементи стовпця F:
т def
( f f f f5 f8 )T = F.
= JJ vlf(x,y)dxdy=Rt Я ^y^y;
x2+y2<R2
x2+y2<R2
iQ2
JJ ^^y^y=-jpr JJ rf^y^y;
x2+y2<R2
x2+y2<R2
1Q9
JJ ^^y^y=-rtt JJ y^y^y;
x2+y2<R2
x2+y2<R2
JJ = R JJ (-2+R|x2 + R^y21f(x,y)dxdy;
x2 +y2<R2 R x2 +y2<R2 ^ R R '
JJ v^y^y=R JJ (-2+R^2+R2y21f(x,y)dxdy;
-y2<R2 R x2+y2<R2 ^ R R 1
JJ v6f(x,y)dxdy = 31Г JJ xyf(x,y)dxdy.
x2+y2<R"
x2+y2<R2
Остаточно маємо:
x2+y2<R2
F=
з2
R4
2Io
I-x
-2-0+R2-x2'
—2Io +---2І 2 '
0 R2 x2
II-R2
-A-
R2 y2
-152-2
R2 y2
(20)
І0 = Я f(x,y)dxdy; Ix = JJ xf(x,y)dxdy;
x2+y2<R2 x2+y2<R2
Iy = JJ yf(x,y)dxdy; I = JJ x2f(x,y)dxdy; (21)
x2+y2 <R2 x2+y2 <R2
Iy2 = JJ y2f(x,y)dxdy; Ixy = JJ xyf(x,y)dxdy. де
x2 +y2 <R2 x2 +y2 <R2
Внаслідок умови (15) -
C = G-1F
(22)
Залишається тільки окреслити значення моментів щільності зведеної сили
Висновки
Наведені результати не тільки аналітично описують механізм пружної взаємодії звукових полів з пластинами, але формують можливості вивчення явища на ЕОМ. Це дозволяє надалі будувати більш складні розрахункові моделі і вивчати дію безлічі чинників на ізотропну пластину
Литература
1. Валеев, К.Г., Квитка, В.Е. Определение напряженного
состояния плоской панели в акустическом поле выхлопной струи [Текст] / К.Г. Валеев, В.Е. Квитка // Прикл. механика. - 1970. - Т VI, № 4. - С. 39-43.
2. Боголепов, И.И., Авферонок, Э.И. Звукоизоляция на судах [Текст] / И.И. Боголепов, Э.И. Авферонок. - Л.: Судостроение, 1970. - 192 с. - Библиогр.: с. 190-191.
3. Заборов, В.И. Теория звукоизоляции ограждающих конструкций [Текст] / В.И. Заборов. - М.: Стройиздат, 1969. - 179 с.
4. Ржевкин, С.Н. Курс лекций по теории звука [Текст]: учеб./ С.Н. Ржевкин. - М.: Наука, 1960. - 307 с.
5. &emer, L., Heckl, M. Korperschall. - Springer - Verlag, 1967. - 498 p.
6. Plunkett, R. Interaction between a vibratory machine and its foundation // Noise Control, 1958. - Vol. 4, № 1. - Р. 18-22.
б
