CC BY
39
УДК 330.43
СТАЦИОНАРИЗАЦИЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДЛЯ РАССЧЕТА ВОЛАТИЛЬНОСТИ
И.Н. Филиппов, А.А. Индан
Рассмотрены основные методы получения стационарных значений различных макроэкономических показателей с целью дальнейшего построения макроэкономической волатильности по ним. Были рассмотрены методы первых разностей, класс параметрических методов, а также подход, базирующийся на применение фильтров.
Ключевые слова: макроэкономическая волатильность, стационаризация, ВВП, линейный тренд, фильтрация данных.
Анализ макроэкономической волатильности все более популярное явление в мировой науке (Ramey и Ramey, 2005). На данный момент существует большое количество работ, доказывающее связь между волатильно-стью и способностью экономики абсорбировать внешние шоки (Dabla-и Srivisal, 2013). Поэтому понимание причинно-следственных связей между процессами возникновения и впоследствии угасания волатильности крайне важно.
В данной статье под макроэкономической волатильностью понимается изменчивость. И для ее подсчета существует несколько подходов (Cariolle, 2012), самые популярные из которых предполагают расчет волатильности как стандартное отклонение от некой стационарной величины. Естественно, большинство макро индикаторов не являются стационарными. Поэтому становится необходимым расчет относительных значений, вокруг которых временные ряды будут стационарны, что требует определить метод стационаризации.
Говоря о стационаризации, в данной статье подразумевается получение ряда слабостационарного или, иначе говоря, стационарного в широком смысле временного ряда. Или если Уt = А + ^ - не стационарный процесс, который можно представить в виде компоненты А - не являющейся константой и остатком . Тогда расчет стационарной величины сводится к
оценки трендовой компоненты А такой, чтобы остатки удовлетворяли следующим условиям:
) = 0 V(е{) = <ю, Соу(е( _ к ) = рк
(1) (2) (3)
Эти три условия требуют от остатков S нулевое математическое ожидание (1), не меняющуюся дисперсию (2), конечную автоковариацию в любой момент времени.
Расчет относительных значений не просто техническая процедура, но и фундаментальный шаг, так как результатом является нахождение и изолирование временного ряда от трендовой или постоянной компоненты в изменение макро показателя (Dehn 2000; Hnatkovska 2005)
В данной статье мы рассматриваем 3 варианта получения относительных значений:
1. Темпы роста показателей,
2. Параметрический подход,
3. Изоляция с помощью статистического фильтра.
Статистической базой исследования является база данных МВФ
"World Economic Outlook Database" 1980:2011 по более 180 странам. В качестве показателей выбраны ключевые макроэкономические агрегаты: ВВП в текущих ценах, валовые накопления, государственные расходы. Техническая часть, включающая предобработку данных, проверку статистических гипотез и другие расчеты выполнены в среде математического моделирования MATLAB. В силу особенности статистической базы, показатель валовое накопление дан в процентах от ВВП, поэтому из рассмотрения исключались значения, превышающие 100% или не превышающие ноль.
Темпы роста показателей
В первом случае просто рассматривается темп роста переменных. Очевидное преимущество - это простота получения этих данных, а также отсутствие эффекта уменьшения выборки, то есть ряд размерностью N становится размерностью N-1, что является относительно небольшой потерей данных. Отметим, что при моделирование макроэкономических процессов и в частности волатильности объем данных является очень важным ограничением, так как приходится работать с показателями на годовой основе. Особенно важен этот эффект для моделирования экономики РФ, здесь благодаря структурным изменениям рассматривать данные ранее 90-го года вообще не имеет смысла. А значит, выборка изначально сильно ограниченна. Оценивая пример России, мы обнаруживаем существенный недостаток подхода темпов роста. Он не учитывает никаких глобальных структурных изменений и, оценивая ряды за весь период во многих, особенно развивающихся странах, ряд темпов роста даже не будет стационарен, чего мы хотели бы добиться при получении опорных значений.
Рис.1 Динамика ВВП и темпов роста Параметрический подход
Данный подход заключается в моделировании временного ряда, а затем использовании остатков данной модели для построения волатильно-сти. Оценка, базирующаяся на линейном детерминированном тренде.
Это традиционный подход, заключающийся в построении вола-тильности на основе среднего отклонения от линейного тренда. Добавим, что оценка в данном случае может производиться и на основе других детерминированных трендов, например полиномиального или экспоненциального. Но для простоты рассмотрим здесь линейную модель:
у* =а + $ + е, (4)
где У - переменная, волатильность которой мы измеряем, а - константа,
* - линейный тренд, 5 - ошибка с нулевым математическим ожиданием. Наше относительное значение в данном случае тренд:
У* = & +Д (5)
Отклонение от тренда ) не имеет постоянного эффекта на У и, другими словами, это отклонение предполагается стационарным вокруг
тренда и таким образом может представлять волатильность У.
Естественно, такой подход анализа волатильности предполагает некоторые исходные гипотезы о ряде. Это и то, что он прогнозируем на долгосрочном горизонте (и описывается как раз линией тренда) и то, что ско-
рость изменения ряда постоянна, и что все отклонения происходят только вокруг этого тренда, не смещая его.
Ограниченность такого подхода можно наблюдать на примере ряда
стран.
Это показано в частности в Beveridge и Nelson.
Оценка на основе смешанного тренда.
В данном подходе осуществляется попытка учесть тот момент, что шоки которые воздействуют на экономику могут иметь не только временный но и постоянный эффект на тренд показателя.
Для этого мы можем оценить отноосительные значения на базе стохастического тренда, представленного процессом авторегрессии первого порядка AR(1).
У' = У 1 + s' ,где S ~ N(°,^2) (6)
или
У' = Уо +Z1S (7)
Дифференцируя это выражения получим:
ДУ' = S, где S ~ N(0,^2) (8)
Такой ряд можно назвать дифференцированно-стационарным (difference-stationary). Тогда смешанная модель, содержащая в себе оба и детерминированный и стохастический тренды, будет следующая:
y =a + pt + qyt_i +st (9)
Используя статистическую базу, наша задача проверить, дает ли спецификация модели в виде уравнения (9) возможность стационаризиро-вать процесс. Для этого воспользуемся тестом Филипса-Перрона, результаты расчетов приведены ниже (табл.):
Результаты теста Филипса-Перрона
alpha=0.05 alpha=0.15
Q(y) mean p-value Q(dy) mean p-value Q(y) mean p-value Q(dy) mean p-value
NGDP 0% 0.86368829 55% 0.17637074 1% 0.86368829 70% 0.1763707
NGSD 9% 0.61705461 83% 0.05872881 17% 0.61705461 91% 0.0587288
GGX 3% 0.77731393 45% 0.19030507 5% 0.77731393 65% 0.1903050
В приведенной таблице О(у) - доля стран, в которых мы можем отклонить гипотезу о наличие единичного корня. О^у) — доля стран, в которых мы можем отклонить гипотезу о наличие единичного корня, но исходный ряд заменяется первыми разностями.
Проблема, которая возникает с данным типом трендов в том, что данный тренд представляет собой небольшую задержку и смещение, что приводит к компенсации в периоде 1 резких движений периода 1-1. Поэтому это создаёт искусственную волатильность в периоде 1.
Оценка на основе скользящего смешанного тренда.
Применяя различные модели на всем временном ряде, строятся глобальные тренды и, применяя их оценки, подразумевается гипотеза о том, что параметры нашей модели неизменны вне зависимости от времени. В реальных же данных могут происходить структурные изменения. Это происходит из-за каких-либо глобальных изменениях в странах. Особенно этому подвержены развивающиеся экономики. Существуют различные техники вычисления точек этих прорывов, но исследование данной тематики выходит за рамки данной работы. Гораздо более популярный способ решения этой проблемы - это скользящий тренд. Параметры этого тренда вычисляются за какое-то фиксированное окно, например за 12 лет, и каждый год коэффициенты регрессий модифицируются по последним 12 точкам.
И у этого подхода есть свои недостатки. Во-первых, он серьезно сокращает выборку, а именно на размер окна, так как первое известное значение можно подсчитать только в момент 1=к+1 (к - параметр окна). Во-вторых, возникает проблема, связанная с тем, что данный вид тренда может пропускать некоторые долгосрочные или среднесрочные цикличности в экономике (в зависимости от выбранного параметра окна к).
Рис.2 Сравнение моделей с разными типами трендов Подход фильтрации данных
Некоторые исследования по построению макроэкономической во-латильности используют фильтрацию статистических данных для изоляции их от циклической и трендовой компоненты. Самый популярный
фильтр, встречающийся в литературе, это фильтр Ходрика-Прескотта. Исследования, в частности (King и Rebelo, 1993) , доказывают, что этот фильтр способен стационаризировать интегрированный до 4-го порядка временной ряд. Существуют и другие статистические фильтры, например полосно-пропускающий фильтр (BP filter) который пропускает частоты, находящиеся в некоторой полосе частот (Baxter и King, 1999). Но использование различных фильтров в нашем случае дают схожие результаты, поэтому подробнее рассмотрим HP-фильтр.
Ходрик и Прескотт разделяют временной ряд на нестационарную
P C \
трендовую компоненту (yt ) и циклическую компоненту (y )
yt = yP + yC, T = 1,2,3..., t (10)
HP-фильтр состоит в том, чтобы изолировать циклическую компоненту оптимизируя следующее выражение
T T -1
mm 2Y -YtP)2 + (Л2^)2
{ уР
t=i
(11)
Параметр называется параметром сглаживания. В данном выражении первая часть минимизирует циклическую компоненту, а вторая сглаживает изменение в трендовой компоненте.
Выбор параметра Л не очевиден, чем меньше этот параметр, тем ближе фильтрованный ряд к исходному. Сами Ходрик и Прескотт указывают, что значение данного параметра для годовых данных должно быть равно 100, но существуют как работы, использующее большее значение от 100 до 400 (Baxter и King, 1999), так и существенно меньшее от 6 до 10 (Maravall и Del Rio, 2001).
Рис.3 Сглаживание с помощью НР-фильтра
Несмотря на то, что данный метод зачастую приводит к хорошим результатам и в после его использования можно получить стационарный ряд, он также обладает определенными недостатками. Данный метод ана-
лизирует весь временной ряд и не придает определенную функциональную форму для тренда. В итоге получается, что циклическая и трендовая компоненты не зависимы друг от друга. Это довольно существенное ограничение для подсчета волатильности, так как множество исследований демонстрирует связь между текущей волатильностью и долгосрочным ростом. Также вопросом остается выбор сглаживающего параметра.
Выводы
В данной статье рассмотрен ключевой вопрос построения макроэкономической волатильности - стационаризация исходных рядов. Мы приводим несколько моделей, каждая из которых обладает своими достоинствами и недостатками.
Все модели, кроме самого простого вычисления темпов роста показателей дают возможность получить стационарный ряд на большинстве исследуемых данных. Но при этом глобальный смешанный тренд создает искусственную волатильность в годы, в которых ее быть не должно, поэтому для нашей цели, анализа процессов волатильности, этот вариант не подходит.
Фильтрации дают хорошие результаты, но сглаживание происходит в некоторой искусственной манере, так как анализируется сразу весь ряд. Кроме того возникает проблема того, что фильтрации могут выдавать различные решения в зависимости от выбранного периода. Например, если взять выборку с 1970 по 1990 годы, а затем расширить ее и анализировать с 1970 по 2010, то выводы, которые мы сделаем о волатильности в 1985-1990 могут существенно отличаться друг от друга. Это также слишком существенное ограничение для дальнейшего анализа процессов волатильности.
Наилучший метод, по нашему мнению, для получения стационарных значений с целью дальнейшего расчета волатильности - это оценка на основе смешанного скользящего тренда. Так этому методу свойственна динамика модели, то есть модификация параметров с течением времени. В тоже время влияние ситуации многолетней давности в экономике, не влияет на расчет текущих уровней волатильности, что также является адекватным предположением. Кроме того, этот вид модели наиболее быстро адаптируется к структурным изменениям.
Список литературы
1. Ramey, G., and V.A. Ramey "Cross-country Evidence on the Link Between Volatility and Growth." The American Economic Review Vol.85, No. 5, pp.1138-1151, 1995
2. Era Dabla-Norris and Narapong Srivisal " Revisiting the Link Between Finance and Macroeconomic Volatility" IMF Working Paper no.13/29, 2013
3. Joel CARIOLLE. "Measuring macroeconomic volatility - Applications to export revenue data, 1970-2005," Working Papers I14, FERDI, 2012
4. Dehn, J. "Commodity Price Uncertainty in Developing Countries", Policy Research Working Paper 2426, The World Bank, 2000
5. Hnatkovska, V., and N. Loayza "Volatility and Growth." In J. Aze-inman and B. Pinto, eds. Managing Economic volatility and Crises. Cambridge, Mass.: Cambridge University Press, 2005
6. Beveridge, S., and C.R. Nelson "A new approach to decomposition of economic time series into permanent and transitory components with particular attention to measurement of the business cycle", Journal of Monetary Economics, No. 7, pp.151-174, 1981
7. King, R., and S. Rebelo "Low Frequency Filtering and Real Business Cycles." Journal of Economic Dynamics and Cont rol, Vol.17, No. 2, pp.207-231, 1993
8. Baxter, M., and R.G. King "Measuring Business cycles. Approximate Band-Pass filters for Economic Time-Series.", Review of Economics and Statistics, Vol.81, No.4, pp.575-593, 1999
9. Maravall, A, and A. Del Rio "Time aggregation and the Hodrick-Prescott filter." Working Paper, No. 108, 2001
Филиппов Илья Николаевич, аспирант каф. ММЭ, [email protected], Россия, Москва, Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова,
Индан Алексей Андреевич, аспирант каф. ИМС, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет.
STATIONARISATION OF THE MACROECONOMIC INDICATORS FOR VOLA TILITY
CALCULATION
I.N. Filippov, A.A. Indan
In this article we describe basic methods of stationarising macroeconomic indicators for the macroeconomic volatility calculation. Following methods are presented: first-difference method, class of parametric methods, filtering approach.
Key words: macroeconomic volatility, stationarisation, GDP, linear trend, data filtering.
Filippov Ilia Nikolaevich Postgraduate student. MME., Russia, Moscow, Plekhanov Russian University of Economics,
Indan Alexey Andreivich Postgraduate student. IMS, [email protected], Russia, Tula, Tula State University.
