CC BY
61
№ 7 2007
ТЕХНОЛОГИЯ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ
МАШИНЫ
621.088
СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ И СКАЛЯРНО-ВЕКТОРНЫХ РАЗМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ
Канд. техн. наук, проф. А.В. СКВОРЦОВ, асп.Д.А. СКВОРЦОВА, асп.Д.А. ЧМЫРЬ
В связи с развитием компьютерных CALS/ИПИ-технологий особенное значение приобретает обеспечение качества и точности деталей и сборочных едингщ. Сугцествуюгцая методика расчета векторных размерных tfeneii не обеспечивает точности, т.к. не соответствует положениям теории вероятности. Аналитическая теория суммирования реальных векторных погрешностей с систематической и случайной составляюгцей не разработана. Предлагаемая методика статистических испытаний показывает, что наличие постоянной составляюгцей резко изменяет полигон и гистограммы распределения производственной погрешности.
In connection with development of computer CALS technologies special value will be given to the support of quality and accuracy ofdetails and assembly units. The existing design procedure of vector sized chains does not provide accuracy since mismatches positions of probability theory. The analytical summation theory of true vector errors from systematic and casual component is not developed. The offered technique of statistical trials shows that the presence of a constant component sharply changes polygon and the histograms of the output error distribution.
При проектировании и изготовлении изделий машиностроения в условиях складывающихся рыночных отношений значительное место отводится качеству и точности деталей и сборочных единиц. Точность размерных связей обеспечивается расчетом и анализом соответствующих размерных цепей. В настоящее время в техническую практику внедрены методы расчета линейных и угловых цепей, которые определены в действующих методических указаниях [1].
В РД 50-635-87 приведены методы расчета размерных цепей применительно к линейной теории обеспечения точности. Однако применение данной теории к расчету векторных и скалярно-векторных размерных цепей приводит при теоретико-вероятностном суммировании к существенным погрешностям.
Согласно принятому определению [2] под векторной погрешностью понимают погрешность, которая характеризуется числовым значением и направлением в пространстве, т.е. вектором. Плотность распределения векторных погрешностей описывается не одномерным законом нормального распределения Гаусса, а двух- и трехмерными функциями. Двухмерное распределение определяется законом Релея
Ф (/•) = 4е~2'г\
сг
где ф(г) —функция плотности, г —случайная величина, о —дисперсия.
Все составляющие звенья векторной размерной цепи представляют собой векторные величины. В скалярно-векторных размерных цепях часть составляющих звеньев образуют векторные, а другая часть — скалярные (одномерные) величины.
№ 7
2007
В промышленности расчет векторных и скалярно-векторных размерных цепей проводится по принятым рекомендациям [2], которые основаны на теории, предложенной Шевелевым A.C. [3]. Основным достоинством этой теории является разделение векторной погрешности р на систематическую econsl и случайную evar составляющие (рис. 1). Составная векторная погрешность — это сумма систематической и случайной погрешностей (А). Систематическая векторная погрешность характеризуется постоянным или закономерно изменяемым модулем и направлением в пространстве. Случайная векторная погрешность имеет случайные значения модуля и направления. Систематическая погрешность присуща биению шпинделя практически любого станка, а случайная составляющая определяется другими характеристиками технологической системы (ТС) при обработке (отклонениями припуска, вариациями механических свойств материала, колебаниями ТС). Допуск замыкающего звена согласно этой теории рассчитывается по формуле
где рд —допуск замыкающего звена; —допуску-го составляющего звена; к0 — вероятностный коэффициент расчетного допуска замыкающего звена (коэффициент суммирования), который рассчитывается по достаточно сложной формуле. Однако расчет по (1) не соответствует положениям теории вероятности, поскольку средние квадратические отклонения рассчитываются методом не простого, а квадратического суммирования [1].
где /д —коэффициент риска; X. —коэффициент, отражающий зависимость отклонений от закона распределения.
Наличие постоянной составляющей, характерной для конкретного метода обработки, резко изменяет полигон и гистограммы распределения конкретной производственной погрешности по отношению к теоретическому виду закона Релея. Аналитическая теория суммирования реальных векторных погрешностей, имеющих как систематическую, так и случайную составляющую, до настоящего времени не разработана. Поэтому расчет скалярных и скалярно-векторных размерных цепей при таких функциях распределения случайных величин целесообразно вести методом статистических испытаний на персональном компьютере.
Пусть дана векторная размерная цепь, состоящая из п звеньев, также известны значения модуля составной векторной погрешности, закон распределения значений случайной составляющей векторной погрешности и значения систематической составляющей векторной погрешности. Необходимо вычислить реальную составную векторную погрешность,
Рд=*о£р/'
(1)
Рис. 1. Схема составной векторной погрешности.
Допуск замыкающего звена при расчете по вероятностному способу равен
№ 7 2007
суммарную векторную погрешность по полученным данным построить полигоны графиков и оценить влияние различных условий испытаний
А — с 1 р
где ^ —составная векторная погрешность, econst —систематическая составляющая векторной погрешности, evar — случайная составляющая векторной погрешности;
Ах = a cos ф1 + Ь cos ф2, Av - i^rsin ф, +6sincp2,
здесь АХ,АУ —проекции вектора А на оси OX, OY соответственно: а —длина вектора Econst ; b — длина вектора evar; ф, — угол между econst и ОХ; <р2 — угол между evar и 07.
Для моделирования необходимо задать интервал и шаг изменения а, а также задать закон распределения b (закон распределения Гаусса, закон Релея, закон равной вероятности). Значения ф, и ф2 задаются случайным образом.
Длина вектора \А\ = A* + Агу
Для вычисления интервала, в котором будут задаваться значения длины вектора еуаг, необходимо:
1) задать значения
, а, ф, и ф2
2) вычислить координаты конца вектора есшм| :
ха = асозф, уа=а& шф,
где ха,уа —координаты конца вектора есоп81 ;_
3) вычислить координаты конца вектора Ел,аг .
Координаты {хь,уь) конца вектора еуаг будут вычисляться, как координаты одной
А
и прямой, проходящей через точку с
из точек пересечения окружности радиуса 7? = координатами (ха9уа) под углом ф2.
Чтобы определить координаты (хь,уь), необходимо решить следующие уравнения:
*1+У! = Л2> (3)
где (2) — уравнение прямой, а (3) — уравнение окружности:
4+
(tgcp2{xil-xit) + yaf =R\
4 + )'l + 2УЛЧ>2 -*„) + ^Ф22 (*/> ~ха) =R\
4 + Уа + 2yaxbtg(p2 -lyaxatg(p2 + tgcp22 [xl -2xhxa + x2a)-R2 = 0, 4 + y\ + 2yax„tg(p2 - 2у0х№г + x2htg фг2 - 2xhxatgq>2 + x2atg(p22 -R2 = 0, (l + tgcp22)^ +(2v„tg92-2xatg4>22)xb +y2a-2ynxntgq>2 + xltg4>22 = 0-
v-w-; v-v-/ y-v-'
/ m "
Решая квадратное уравнение, получаем
№7
2007
~ 2(1 + 1§ф22) '
Если ф2 < У2 или ф2 > Ъ1У2 , а также < х^ , то = хЬ[, в противном случае хь = . Если ^ < Ф2 < 'и > >т0 хь ^ V Б противном случае хь = хы_. Если ф2 = или ф2 = , и < д = , в противном случае хь = х^ , уь = уа + tgф2 - ха)
Затем вычисляем Ъ
у1(хь-ха)2+(уь-уа)2 •
'Ъ/.Ъ/ /2*72.
Таким образом, длина вектора задается в интервале
Ах1- асоэф, + ^С05ф2,
А/= яэтф, + р зтф2, где/? — вычисляемый на основе нормального распределения модуль вектора £уаг, Ах \Ау 1 — реальные значения проекций вектора А на оси ОХ, ОУ соответственно. Реальная длина вектора \А= ^Аах+ Ах\ .
Организация статистических испытаний ведется по алгоритму, приведенному на
рис. 2, в следующей последовательности.
1. Задается количество звеньев п размерной цепи.
2. Выбирается закон распределения значений Ь (закон распределения Гаусса, закон Релея, закон равной вероятности). _
3. Вычисляются п значений Ах \А .
4. Вычисляются значения Ап. = £А/Ау = XК|= + "V 5 ГдеА*>Аъ
/=|
/=1
проекции суммарного вектора А на оси 07 соответственно,
5.
- длина суммарного вектора А^
при проведении
6. Вычисляются к значений А^А^,
7. Задается количество делений т единичной окружности.
8. Вычисляется распределение количества попаданий значений к испытаний в т окружность. Для полученного распределения вычисляются значения математического ожидания (МО), дисперсии, среднего квадратичного отклонения (СКО).
9. Вычисляется распределение количества попаданий значений А^А^ при проведении А: испытаний в т отрезок по осям ОХ, ОУ соответственно. Для полученных распределений вычисляются значения МО, дисперсии, СКО.
Количество статистических испытаний ¿задается в зависимости от точности моделирования, генерируемых датчиком равномерно распределенных случайных величин на отрезке [0...1]
№ 7
2007
ХАх
4к
(4)
где Лх — применяемый при нахождении функции распределения элементарный диапазон размеров {Ах =0,01); X — параметр плотности распределения; [а*] —заданная точность моделирования.
^ Начало ^
Выбор типа комплекса испытаний
Ввод параметров выбранного комплекса испытаний
Расчет статисти1-рамках выбран испытаний на о парам еских значений в ного комплекса снове заданных етров
Экспорт рассчитанных значений в MS Excel и автоматизированное построение графиков
Отображение полученных графиков и значений
Конец ^
Рис. 2. Упрощенная схема алгоритма программы
Программная реализация процессов моделирования разработана с применением современного объектно-ориентированного языка программирования С#. Каждое звено рассчитываемой размерной цепи представляет собой отдельный объект, что позволяет гибко и независимо друг от друга настраивать всевозможные параметры, включая используемые при моделировании законы распределения. Реализованная в программе интеграция с MS Excel позволяет представлять полученные значения в удобном для статистического анализа виде, включая автоматизированное построение наглядных графиков.
Для каждого приведенного выше закона распределения организуется несколько комплексов испытаний (табл. 1). При проведении комплексов испытания принимались следующие значения параметров: диапазон значений п [1; 20] с шагом 1; диапазон значений а [0; 1 ] с шагом 0,1; значения к = J 0000, 100000, 500000, 1000000, 5000000; значения /и = 10, 50, 100, 500, 1000; значения А =1,2,3,5,10.
№ 7 2007
Таблица
Комплексы испытаний
Параметр Состояние параметра*
/ II III IV V
/7 var const const const const
а const var const const const
к const const var const const
т const const const var const
А const const const const var
* const — значение параметра задается и не изменяется при проведении комплекса испытаний; var — значение параметра изменяется в соответствии с заданным законом.
Комплекс испытаний с изменением значения параметра/:проводился в методических
целях для проверки адекватности формулы (4). _
На рис. 3 показана зависимость количества попаданий значений Аъ , определяемых по формуле, приведенной в п. 4 процедуры моделирования в т окружность при количестве звеньев размерной цепи п, изменяемом в диапазоне [1...20] с шагом 1, при а = 0,5 для закона распределения Гаусса. При анализе применялось 100 окружностей с шагом,
равным 0,01 Аъ . С ростом числа звеньев размерной цепи фактический диапазон рассеяния значительно сужался по сравнению с величиной Аъ , а = 0,5. Например, можно утверждать, что с риском р = 0^0
от
А
а при п = 20 - 33% от
Л
фактический диапазон рассеяния при п = 5 равен 60%
80000
и щ шин hi,.,;
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 Номер кольца
—4— ГР1
-ж-п= 2 п=3 гт=4 —п=5 —*— гр6 — 17=7
-№=8
......П=9
грЮ гр1 1 П=12 п=13 п=14 ~ ф ~ п=15 п=16
-п=17
...... п=18
Рис. 3. Пример графиков распределения количества попаданий значений суммарного вектора |л7| при проведении к испытаний в т окружность
№7
2007
На рис. 4 показана зависимость количества попаданий значений Агх в т отрезок по оси ОХ при количестве звеньев размерной цепи п, изменяемом в диапазоне [ 1... 20] с шагом 1, при а = 0,5 для закона распределения Гаусса. При_анализе применялось 100 вертикальных отрезков в обе стороны с шагом, равным 0,01 Аг , С ростом числа звеньев размерной цепи диапазон рассеяния сужается. При п = 1 наблюдалось бимодальное распределение с модами, расположенными в зоне 36% от А^ . Это объясняется существенным влиянием постоянной составляющей вектора.
Для дальнейшего анализа результатов моделирования использованы графики МО
и А^ , построенные по
А
и СКО для распределения количества попаданий значений двум вариантам значений Ь (в соответствии с законом Гаусса,'с законом Релея, с законом равной вероятности) при следующих условиях испытаний:^? изменяется в диапазоне [1; 20] с шагом 1; <я = [0; 1] с шагом 0,1; А = 1000000; т= 100, а\ = 1.
Различные условия испытаний оказывают значительное влияние при вычислении реальных значений составной векторной погрешности и значений суммарной векторной погрешности. Проведенный анализ результатов статистических испытаний размерных цепей в зависимости от закона распределения случайной составляющей векторной погрешности показал следующие результаты.
-100 -
Номер интервала
п=3 п=4
—1— П=7
— п=8 ..........- п=9
П=1 о
П=11
п=12 П=13 п=14 п=1 5 п=16
— п=17 ............п=18
^.......П-10
Рис. 4. Пример графиков распределения количества попаданий значений Аь при проведении к испытаний
в т отрезок по оси ОХ
На рис. 5 показана зависимость значений МО длины суммарного вектора Аг при
количестве звеньев размерной цепи п, изменяемом в диапазоне [1___20] с шагом 1, для
диапазона значений а [0; 1 ] с шагом 0,1 для закона Релея.
При увеличении а значение МО нелинейно возрастает при достаточно малом значении производной от этой функции. Например, при п = 1 и а = 0 МО = 1, что говорит ополной адекватности компьютерной модели. Так, при п = 20 и а = 1, МО равно 20 % от А , а при а- 0 - 4% от А . Применение закона Релея для вычисления значений дает самое значительное расширение диапазона значений МО. Самый узкий диапазон дает применение закона равной вероятности.
48 Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ
№ 7 2007
2 3 4 5 5 7 3 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
п
— 3=0
а=0,1
а=0,2
> а=0,3
♦ а=0,4
а=0,5
а=0,6
а=0,7
а=0,8
а=0,9
а=1
Рис. 5. Пример графиков значений МО для распределения количества попаданий значений при применении
закона Релея для вычисления Ь
Аналогичные графики получены для других подобных случаев: зависимости СКО от параметра а и числа звеньев размерной цепи, а также диапазонов рассеяния при различных коэффициентах риска и законах распределения случайных величин.
Разработана компьютерная программа расчета реальных векторных и скалярно-век-торных размерных цепей, которая была применена для анализа точности технологических операций сборки персональных компьютеров с использованием роботов с адаптивными схватами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. РД 50-635-87. Цепи размерные. Основные понятия. Методы расчета линейных и угловых цепей. Методические указания. — М., 1987. — 46 с.
2. Цепи размерные. Методы суммирования векторных погрешностей. Рекомендации. — М,: ВНИИНМАШ 1976 — 54 с. '
3. Шевелев А. С. Теоретико-вероятностный метод расчета векторных размерных цепей. Сб. «Взаимозаменяемость и технические измерения в машиностроении»—Вып. 6.—Л.; «Машиностроение», 1972.
