Статистическое моделирование работы элементов деревянных конструкций Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624(075.8)

Манапов А.З. - кандидат технических наук, доцент

E-mail: man48-75 @mail. ru

Галимшин Р.А. - кандидат технических наук, доцент

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Адрес организации: 420043, Россия, г. Казань, ул. Зелёная, д. 1

Статистическое моделирование работы элементов деревянных конструкций

Аннотация

На примере растянутого осевым усилием элемента деревянных конструкций рассмотрено влияние рассеивания расчетных силовых и геометрических параметров, а также коэффициентов, учитывающих длительность действия нагрузки и влияние на прочность пороков, и размеров элемента на соотношения напряжения и удельной прочности. Задача решена численным статистическим моделированием с использованием метода Монте Карло. Результаты статистического моделирования работы растянутого осевым усилием элемента деревянных конструкций показали, что для принятых условий моделирования, при перегрузке элемента относительно несущей способности на 50, 75, і00 % превышение напряжений над удельной прочностью не наблюдается. При перегрузке элемента конструкции относительно несущей способности на і25 % имеет место превышение напряжений над удельной прочностью в 3 случаях на і0000 элементов за 20 лет эксплуатации.

Ключевые слова: напряжение, прочность, усилие, временное сопротивление, статистическое моделирование, метод Монте-Карло.

Дерево как конструкционный материал в силу природного происхождения имеет большой разброс механических характеристик, существенно больший сравнительно с такими материалами, как сталь и бетон. Особенности влияния на механические характеристики древесины различных условий работы конструкционного элемента учитываются специальными коэффициентами [і]. Расчетные механические характеристики древесины, так же, как и для других конструкционных материалов, определяются статистическими методами с использованием функций распределения. При этом используемые в нормативных расчетах статистические методы существенно снижают расчетные механические характеристики по сравнению со среднеожидаемыми значениями. Например, приводимые в работе [1] результаты испытаний сосны свидетельствуют, что средняя удельная прочность на растяжение существенно выше расчетного сопротивления (110 кгс/см2), рекомендуемого нормами [2]. Соотношения между временным сопротивлением, нормативным сопротивлением и расчетным сопротивлением приведены также в [1], в табл. 1 содержится информация об упомянутых характеристиках для элемента из цельной древесины сосна 1 сорта, работающего на растяжение.

Таблица 1

Напряженное состояние и характеристика элементов Сорт древесины среднее временное сопротивление, МПа V коэффициент вариации Дн, нормативное сопротивление, МПа R расчетное сопротивление, МПа

Растяжение 1 34 0,24 20 10

При выполнении поверочных расчетов давно эксплуатирующихся деревянных конструкций в соответствии с современными нормативными требованиями условие прочности для отдельных конструктивных элементов не выполняется. Это в основном связано с возрастаниями расчетных снеговых нагрузок. В такой ситуации представляет интерес рассмотрение ситуации со статистических позиций, оценивая вероятность наступления отказа конструктивного элемента [3]. В данной статье методом статистического моделирования оценивается вероятность разрушения элемента конструкции, перегруженного

с точки зрения нормативного расчета. В качестве примера рассматривается центрально растянутый стержень расчетным усилием N размерами сечения 20x10 см, материал сосна 1 сорта, то есть материал соответствует данным, представленным в таблице 1. В таблице 2 представлены расчеты этого элемента конструкции в соответствии со СНиП 11-25-80.

Таблица 2

Значение продольного усилия N(кгс) Значение напряжения при детерминированном расчете (кгс/см2) Коэффициент использования несущей способности

25000 а = -^— = 25000 = 125 кгс / см2 > Я = 100 кгс / см2 Рнт 20*10 1,25

30000 150 1,50

35000 175 1,75

40000 200 2,00

45000 225 2,25

Определим, какова вероятность разрушения элемента конструкции при принятых силовых, прочностных и геометрических параметрах. Предварительно, используя данные нормативной и научной базы [3] назначим статистические характеристики параметров нагруженности, геометрических параметров и прочности.

Таблица 3

Статистические характеристики параметров нагруженности_____________________

Наименование параметра Среднее арифметическое значение Среднее квадратическое отклонение

Растягивающее усилие в расчетном элементе конструкции Мн = N / =25000/1,2=20833 кгс. Среднее арифметическое значение принято равным усилию от нормативных нагрузок А N = N н (1 - У, )/3 = 1388 кгс Обеспеченность расчетной нагрузки принято равным 3 А

Таблица 4

Статистические характеристики геометрических параметров____________________

Наименование параметра Среднее арифметическое значение Среднее квадратическое отклонение

Размер поперечного сечения а 20 см у =0,02 Да = 0,4 см

Размер поперечного сечения в 10 см у =0,02 Дв = 0,2 см

Таблица 5

Статистические характеристики удельной прочности древесины___________________

Наименование параметра Среднее арифметическое значение Среднее квадратическое отклонение

Временное сопротивление при стандартных испытаниях материала Явр =340 кгс / см2 у =0,24 Двр = 27,2 кгс / см2

Коэффициент, учитывающий влияние на прочность длительного действия нагрузки К дл =0,76 Д дл = 0,02

Коэффициент однородности, учитывающий влияние на прочность пороков и размеров элемента К одн =0,73 Д одн = 0,02

Примем следующие условия моделирования: усилия в элементе конструкции изменяются во времени с длительностью одного цикла 100 минут; расчетная длительность эксплуатации - 20 лет. Общее число циклов изменения усилия 175200; общее количество

элементов конструкций равно 10000; геометрические параметры и удельная прочность сосны изменяются в пространстве множества конструктивных элементов. Используя генератор случайных чисел и принятые статистические характеристики параметров нагруженности, выполним моделирование усилий в элементе конструкции с интервалом 100 минут за расчетную длительность эксплуатации 20 лет. В таблице 6 и на рис. 1 для примера приведены первые 10 значений усилия, полученные с помощью генератора случайных чисел для параметров распределения, приведенных в таблице 3.

Таблица 6

Наименование параметра Значения параметра (первые 10), полученные с помощью генератора случайных чисел для принятых статистических характеристик

Усилия (кгс) 20416 19060 21172 22605 22496 17802 20508 23239 22353 19325

Выполним моделирование геометрических параметров в соответствии с принятыми статистическими характеристиками и общим количеством элементов конструкций 10000 (табл. 7 и рис. 2).

Таблица 7

Наименование параметра Значения параметра (первые 10), полученные с помощью генератора случайных чисел для принятых статистических характеристик

Размер поперечного сечения а (см) 20,0 20,5 19,7 19,7 19.6 20,4 20,1 19,9 19.7 19,5

Размер поперечного сечения Ь (см) 9,7 10,0 10,0 9,8 10, 7 10,3 10,16 10,1 10,0 10,1

Определим растягивающие напряжения с ^ в каждом из 10000 элементов с

а * б

интервалом 100 минут за расчетную длительность эксплуатации 20 лет.

Таблица 8

Наименование параметра Значения параметра (первые 10), полученные с помощью генератора случайных чисел для принятых статистических характеристик

Растягивающие напряжения & = ^ (кгс/см2) а * б 104,5 112,8 106,6 106,2 95,9 84,1 111,9 110,7 113,4 97,6

Рис. 1. Реализации усилия Рис. 2 а. Реализации размеров

в элементе конструкции (кгс) поперечного сечения в (см)

поперечного сечения а (см)

Выполним моделирование удельной прочности древесины в соответствии с принятыми статистическими характеристиками и общим количеством элементов конструкций 10000. Для этого при помощи генератора случайных чисел, используя функции распределения, представленные в таблице 5, получим по 10000 значений удельной прочности для стандартных испытаний материала, коэффициента, учитывающего влияние на прочность длительности действия нагрузки, и коэффициента однородности, учитывающего влияние на прочность пороков и размеров элемента.

Таблица 9

Наименование параметра Значения параметра (первые 10), полученные с помощью генератора случайных чисел для принятых статистических характеристик

Значения удельной прочности в стандартных испытаниях материала (кгс/см2) 390 362 350 325 371 345 3545 248 311 304

Коэффициент, учитывающий влияние на прочность длительного действия нагрузки 0,73 0,75 0,70 0,77 0,77 0,78 0,74 0,76 0,77 0,75

Коэффициент однородности, учитывающий влияние на прочность пороков и размеров элемента 0,71 0,72 0,73 0,72 0,74 0,73 0,74 0,74 0,73 0,74

Рис. 4 а. Реализации значений удельной прочности для стандартных испытаниях материала (кгс/см2)

Рис. 4 б. Реализации значений коэффициента К дл

I ■ 11.

ІП

II1111111

III11II11

Рис. 4 в. Реализации значений коэффициента

Кодн

Рис. 5. Реализации удельной прочности с учетом коэффициентов К дл и К одн (кгс/см )

Определим удельную прочность на растяжение, пронумеровав полученные значения и перемножив их по порядку их расположения Е=Я€р* К дл * К одн для каждого из 10000 элементов. В таблице 10 и на рис. 5 для примера приведены первые 10 значений удельной прочности.

Таблица 10

Наименование параметра Значения параметра (первые 10), полученные с помощью генератора случайных чисел для принятых статистических характеристик

Удельная прочность на растяжение Я=Явр * К дл * К одн (кгс/см2) 201 196 174 171 212 197 199 180 193 142

Сравнение реализаций удельной прочности с реализациями напряжений показало отсутствие случаев превышения напряжений удельной прочности древесины сосна на растяжение.

Рис. 6. Минимальные значения Рис. 7. Минимальные значения

удельной прочности Я удельной прочности Я

и максимальные значения напряжения и максимальные значения напряжения

С (кгс/см2) при действии усилия К= 30000 кгс С (кгс/см2) при действии усилия К= 35000 кгс

Рис. 8. Минимальные значения Рис. 9. Минимальные значения

удельной прочности Я удельной прочности Я и

и максимальные значения напряжения С максимальные значения напряжения С

при действии усилия К= 40000 кгс при действии усилия К= 45000 кгс

Аналогичным образом для принятых условий моделирования, а именно длительности одного цикла 100 минут; расчетной длительности эксплуатации 20 лет, общего количества элементов конструкций 10000 были выполнены расчеты на усилия 30000 кгс, 35000 кгс, 40000 кгс и 45000 кгс. Результаты расчетов показали, что при усилиях 30000 кгс, 35000 кгс, 40000 кгс также не наблюдается случаев превышения напряжений удельной прочности древесины сосна на растяжение. А при усилии 45000 кгс наблюдается 3 случая превышения напряжений над удельной прочностью на 10000 элементов за 20 лет эксплуатации. Полученные результаты свидетельствуют, что при принятых условиях рассеивания расчетных параметров конструктивный элемент имеет достаточную надежность при напряжениях на 50, 75, 100 %, превышающих расчетное сопротивление, рекомендуемое СНиП 11-25-80 [2].

Выводы

Результаты статистического моделирования работы растянутого осевым усилием элемента деревянных конструкций показали, что для принятых условий моделирования, а именно длительности одного цикла 100 минут; расчетной длительности эксплуатации 20 лет, общего количества элементов конструкций 10000 при перегрузке элемента относительно несущей способности, определенной по методике СНиП II-25-80, на 50, 75, 100 % превышение напряжений над удельной прочностью не наблюдается. При перегрузке элемента относительно несущей способности, определенной по методике СНиП II-25-80, на 125 % имеет место превышение напряжений над удельной прочностью в 3 случаях на 10000 элементов за 20 лет эксплуатации.

Список литературы

1. Пособие по проектированию деревянных конструкций (к СНиП II-25-80). - М., 1989. - 102 с.

2. СНиП II-2580. Деревянные конструкции. Нормы проектирования / Госстрой России. - М.: ГУП ЦПП, 1999. - 61 с.

3. Манапов А.З. Расчет надежности и ресурса строительных конструкций методом статистического моделирования: Учебное пособие. - Казань: КГАСУ, 2010. - 131 с.

Manapov A.Z. - candidate of technical sciences, associate professor E-mail: man48-75 @mail. ru

Galimshin R.A. - candidate of technical sciences, associate professor Kazan State University of Architecture and Engineering

The organization address: 420043, Russia, Kazan, Zelenaya st., 1

Wood structure elements work statistical modeling

Resume

On an example of wooden structures’ element stretched by an axial thrust the influence of dispersion of calculated power and geometrical parameters, and also the factors considering duration of the load and the influence on the durability of defects, and the sizes of element on parities pressure - a weight strength- is considered. The problem is solved by numerical statistical modeling with the use of Monte-Carlo method. At the first stage of decision the parameters of efforts distribution, geometrical sizes, factors considering features of wooden structures work, lumber material weight strength - a pine of 1 grade - have been defined. At the second stage a generation of set of random numbers of the adopted distribution function is executed and at the third stage, using the stress functions, the statistical set of stresses, which is comparable to the statistical weight strength set is obtained.

Statistical modeling results of work of wooden structures’ element stretched by an axial thrust have shown that for the accepted conditions of modeling, namely duration of one cycle in 100 minutes; settlement duration of the operation 20 years, total of designs elements 10000 at an overload of an element concerning a load-carrying capacity defined by technique SNiP II-25-80 on 50, 75, 100 % excess of pressure over weight strength is not observed. At an overload of an element concerning a load-carrying capacity defined by technique SNiP II-25-80 on 125 % excess of pressure over weight strength in 3 cases on 10000 elements for 20 years operation takes place. Keywords: pressure, durability, statistical modeling, method of Monte-Carlo.

References

1. The grant on designing of steel designs (SNiP II-23-81*). - M.: 1989. - 148 p.

2. SNiP II-25-80 Wooden designs. Norms of designing / Gosstroy of Russia. - M.: GUP UP CPP, 1999. - 61 p.

3. Manapov A.Z. Reliability resource. - Kazan: KSABA, 2010. - 131 p.