CC BY
2
Статистическое моделирование многостеночной пластинки из
композитного материала
А.Ш. Кусяков
Пермский национальный исследовательский университет, Пермь
Аннотация: Приведены результаты статистического моделирования многостеночной композитной пластины, находящейся под действием сжимающих нагрузок. Получены точечные оценки коэффициентов устойчивости, а также выполнена проверка гипотезы о равенстве коэффициентов устойчивости их теоретическим значениям. Все вычисления проводились в среде пакета MAXIMA. Показано, что распределение коэффициента общей устойчивости практически не отличается от нормального распределения. Коэффициент местной устойчивости имеет незначительную положительную асимметрию и более крутую по сравнению с нормальной кривой вершину. Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что разброс физических характеристик материала практически не влияет на величины коэффициентов общей и местной устойчивости.
Ключевые слова: статистическое моделирование, статистическая гипотеза, многостеночная пластинка, устойчивость, критическая нагрузка, композитный материал.
Введение
Конструкции из композитных материалов находят широкое применение в самых различных областях современной техники [1-3]. Возможность управления физическими характеристиками конструкции является одним из основных преимуществ композитных конструкций по сравнению с конструкциями из традиционных материалов. Технологии изготовления, основы расчетов и проектирования композитных конструкций приведены, например, в справочнике [4].
Физические характеристики материала композитных конструкций, в общем случае, являются случайными величинами. Поэтому параметры, подлежащие определению (например, критические нагрузки) также являются случайными величинами. Краткий исторический обзор исследований в области статистических методов в механике композитных материалов приведен в статье [5]. Стохастические подходы в задачах нахождения эффективных упругих характеристик композитных материалов представлены, например, в работах [6, 7].
Задача статистического моделирования, в конечном счете, представляет собой задачу преобразования случайных величин с известными законами распределения. Применительно к рассматриваемому классу задач построение аналитических решений в большинстве случаев невозможно. Поэтому на практике, как правило, используются численные методы. В последние годы наибольшее распространение получил метод Монте-Карло [8]. Подавляющее большинство современных программных комплексов, ориентированных на решение различных инженерных и математических задач, имеют в своем составе пакеты, позволяющие моделировать случайные величины. Например, в систему компьютерной алгебры MAXIMA входит пакет distrib, позволяющий моделировать основные законы распределения случайных величин [9].
Многостеночные пластинки и оболочки из композитного материала, подверженные действию сжимающих нагрузок, находят широкое применение в ракетно-космической технике в качестве несущих элементов конструкций. В статье [10] приведены точечные оценки коэффициента общей устойчивости многостеночной пластины, находящейся под действием сжимающих в плоскости пластины нагрузок. Исходным параметром служил продольный модуль упругости материала конструкции. В качестве выходных величин использовались выборочное среднее, среднее квадратичное отклонение, а также коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Целью настоящей работы является построение точечных оценок коэффициентов как общей, так и местной устойчивости, а также проверка статистических гипотез о равенстве коэффициентов устойчивости их теоретическим значениям. Исходными параметрами служат модули упругости в продольном и поперечном направлениях, а также модуль сдвига материала конструкции.
Постановка задачи
Рассматривается многостеночная пластина, состоящая двух одинаковых многослойных пластин (несущие слои), соединенных набором стенок (рис. 1). Полотно несущего слоя образовано укладкой однонаправленных композитов, а стенка изготовлена из того же материала, что и несущие слои.
Рис. 1. - Элемент многостеночной пластины Пластина находится под действием сжимающих нагрузок, равномерно
Рис. 2. - Пластина под действием сжимающих нагрузок Требуется исследовать влияние разброса физических характеристик материала конструкции на коэффициенты общей и местной устойчивости.
Основные расчетные зависимости
Введем обозначения:
а, Ь - длина и ширина пластинки соответственно; Н0 - толщина одного несущего слоя; ts - расстояние между центрами тяжести стенок; И , Вх - соответственно высота и ширина стенки;
Е1, Е2, v12, G12 - модули Юнга вдоль и поперек волокон, коэффициент Пуассона и модуль сдвига материала несущих слоев соответственно; Вхх, Вуу, Оху, - изгибные жесткости несущего слоя;
и
Е— модуль Юнга материала стенок.
Критическую нагрузку, соответствующую общей форме потери устойчивости, будем определять в предположении, что пластина находится в условиях цилиндрического изгиба. В этом случае критическая нагрузка вычисляется по формуле
а = В(р}
1 СГ XX
гп\2
V а у
где
ВХРр = 8Вхх
( (н Л2 н,л
1 + 3 + 3^-
. к У к
V 4 у у
+ ЕАЛ , к = , к = 2К. 12 ' г, 0
Критическую нагрузку, соответствующую местной форме потери устойчивости полки между стенками, будем вычислять по классической формуле для ортотропной пластинки:
а = к 2^ (ЖВ + в + 2В1 к = 1+^.
1 сгт , ^ 2 Х\ хх уу ху & / у , ^ ^
, х
Здесь к5 - редукционный коэффициент, Ех - модуль Юнга несущих слоев пластины по направлению действия нагрузки.
Статистическое моделирование
Исследуем влияние разброса упругих характеристик на коэффициенты общей и местной форм потери устойчивости многостеночной пластины. Материал несущих слоев и стенок пластины - однонаправленный углепластик, характеристики которого приведены в таблице 1. Предполагается, что плотности распределения вероятностей упругих характеристик подчиняется нормальному закону. Коэффициент Пуассона принимается равным у12=0,24.
Таблица № 1
Характеристики материала конструкции
Характеристика Е2 G12
Математическое ожидание (Па) 140-1С9 7-10* 2,IS- 1С9
Среднее квадратичное отклонение (Па) 7-Ю9 0,35- 109 0,14- 1С9
Конструкция находится под действием равномерно распределенной по кромкам пластины сжимающей нагрузке q=2-105 н/м. Геометрические характеристики пластины: h=0,0024 м; hs=0,0036 м; ^=0,0528 м; #=0,0118 м.
Коэффициент устойчивости п будем определять, как отношение критической нагрузки к заданной нагрузке. Статистическое моделирования осуществлялось в среде пакета MAXIMA. Результаты вычислений представлены в таблице 2.
Таблица № 2
Результаты статистического моделирования
Коэффициенты устойчивости Выборочное среднее Среднее квадратичное отклонение Коэффициент асимметрии Коэффициент эксцесса
ncr 1,00 0,05 -0,05 -0,05
ncrm 1,00 0,03 0,08 0,15
Здесь Пег, Псгт - коэффициенты общей и местной форм потери устойчивости соответственно.
Таким образом, конструкция является равноустойчивой по общей и местной формам потери устойчивости. Коэффициент общей устойчивости имеет распределение, которое практически не отличается от нормального распределения. Гистограмма распределения относительных частот w коэффициента общей устойчивости представлена на рис.3.
и
1сг
Рис. 3. - Распределение относительных частот коэффициента пс Коэффициент местной устойчивости имеет незначительную положительную асимметрию и более крутую по сравнению с нормальной кривой вершину. Гистограмма распределения относительных частот w коэффициента местной устойчивости представлена на рис.4.
Рис. 4. - Распределение относительных частот коэффициента п
сгт
Рассмотрим задачу проверки гипотезы о равенстве коэффициентов устойчивости п их теоретическим значениям. Проверим нулевую гипотезу Н0: п=1, приняв в качестве альтернативной гипотезы Н1: п<1. Уровень значимости примем равным а=0,05. Пусть статистика 2 коэффициентов
устойчивости распределена по нормальному закону. Обозначим через 2набл наблюдаемое значение статистики, а через zRF критическое значение статистики. Если величина 2набл удовлетворяет условию 2набл > -гкр, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае эта гипотеза отвергается. Для решения задачи используем, как и ранее, пакет MAXIMA. Результаты расчетов для общей и местной форм потери устойчивости приведены в таблице 3.
Таблица № 3
Результаты проверки статистических гипотез
Форма потери устойчивости Наблюдаемое значение 2набл Критическое значение zRp Нулевая гипотеза H0
Общая -0,557 1,082 Принимается
Местная -0,313 1,052 Принимается
Таким образом, в обоих случаях условие 2набл > -гкр. выполняется, т.е. гипотеза о равенстве коэффициентов устойчивости их теоретическим значениям принимается.
Полученные результаты свидетельствуют о том, что разброс физических характеристик материала конструкции практически не влияет на величины коэффициентов общей и местной устойчивости многостеночной пластинки.
Литература
1. Зорин В. А. Опыт применения композиционных материалов в изделиях авиационной и ракетно-космической техники (Обзор) // Конструкции из композиционных материалов. 2011. № 4. С. 44-59.
2. Польской П. П., Маилян Д. Р. Композитные материалы - как основа эффективности в строительстве и реконструкции зданий и сооружений // Инженерный вестник Дона, 2012. № 4-2.ЦЕЬ: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1307.
3. Маилян Д. Р., Польский П.П. Прочность и деформативность усиленных композитными материалами балок при различных варьируемых факторах // Инженерный вестник Дона, 2013. № 2.URL:ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2 y2013/1676.
4. Композиционные материалы: Справочник / Под ред. Васильева В.В., Тарнопольского Ю.М. М.: Машиностроение, 1990. 512 с.
5. Архипов И. К., Абрамова В. И., Гвоздев А. Е., Малий Д. В. Роль математики в развитии механики композиционных материалов / // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20, № 3(71). С. 430-439.
6. Buryachenko V. Micromechanics of heterogeneous materials. - New York: Springer, 2007. 686 p.
7. Saheli G., Garmestani H., Adams B.L. Microstructure design of a two phase composite using two-point correlation functions // Journal of Computer-Aided Materials Design. 2004. Vol. 11. P. 103-115.
8. Соболь И. М. Метод Монте-Карло / М. : Наука, 1978. 64 с.
9. Maxima.URL: maxima.sourceforge.net.
10. Кусяков А.Ш. Анализ оптимальных многостеночных пластин // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр./ Перм. гос. нац. иссл. ун-т. Пермь, 2022. Вып. 54. С. 24 -31.
References
1. Zorin V. A. Konstrukcii iz kompozicionnyh materialov. 2011. № 4. pp. 4459.
2. Pol'skoj P. P., Mailjan D. R. Inzhenernyj vestnik Dona, 2012, № 4-2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1307.
3. Mailjan D. R., Pol'skij P.P. Inzhenernyj vestnik Dona, 2013, № 2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1676.
4. Kompozicionnye materialy: Spravochnik [Composite materials: Handbook]. Pod red. Vasil'eva V.V., Tarnopol'skogo Ju.M. M.: Mashinostroenie, 1990. 512 p.
5. Arhipov I. K., Abramova V. I., Gvozdev A. E., Malij D. V. Chebyshevskij sbornik. 2019. T. 20, № 3(71). pp. 430-439.
6. Buryachenko V. Micromechanics of heterogeneous materials. New York: Springer, 2007. 686 p.
7. Saheli G., Garmestani H., Adams B.L. Journal of Computer-Aided Materials Design. 2004. Vol. 11. pp. 103-115.
8. Sobol' I. M. Metod Monte-Karlo [Monte-Carlo Method]. M. : Nauka, 1978. 64 p.
9. Maxima.URL: maxima.sourceforge.net/.
10. Kusyakov A.Sh. Problemy mehaniki i upravlenija. Nelinejnye dinamicheskie sistemy: mezhvuz. sb. nauch. tr. Perm. gos. nac. issl. un-t. Perm', 2022. Vyp. 54. pp. 24 - 31.
