CC BY
47
УДК 681.2:389.001.5(06)
СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАТЧИКОВ ДАВЛЕНИЯ ТИПА «МЕТРАН»
А.П. Лапин, Ю.Н. Цыпина, Е.А. Лапина
Для разработчиков датчиков давления одной из наиболее важных проблем, является задача выбора функции преобразования (ФП) измерительного преобразователя [1]. От правильности выбора математической модели, принятой в качестве ФП, зависят метрологические характеристики датчика,
а, следовательно, и его класс точности. Проведенные в этом направлении исследования [2], позволили сформулировать ряд рекомендаций по выбору ФП датчиков давления [3]. Однако, разработка новых моделей датчиков давления, с более высокими классами точности, чем у исследованных нами ранее, требует поиска иных вариантов выбора функции преобразования для таких датчиков.
Предлагаемый нами подход к решению изложенной выше задачи рассмотрим на примере построения двухфакторной ФП датчиков давления, где в качестве входных факторов выступают: давление, поступающее на вход датчика, и температура окружающей среды, в которой находится датчик. Функция преобразования строится в виде «обратной» градуировочной характеристики [4] на основе полинома пятой степени следующего вида: У = р0 + Р1? + рг^2 + Рз*3 + Р4*4 + Р5*5 + Р (Р +
+ р7г + Рар/2 + р 9р? + Рюрг + Рп/ +
+ Р12р2? + р хър2? + Рх4Р2^3 + Р15Р3 +
+ р16р3г + р 17р¥ + р18р4 + Р19р г + р20р5, (1)
где ¥ - рассчитанное значение измеренного давления; р - выходной код АЦП сенсора (преобразователя) датчика по давлению; t - выходной код АЦП сенсора датчика по температуре; р0, Р1, р2, - - -, Р20 -коэффициенты функции преобразования (ФП), определяемые по методу наименьших квадратов.
Существующий опыт исследований показывает [5], что разным моделям датчиков давления, имеющим конструктивно различное исполнение, могут быть приписаны различные по сложности ФП, как частные случаи выражения (1). Используем методы регрессионного анализа [6] для построения функций преобразования датчиков давления разных конструкций.
1. Методы выбора «наилучшей» функции преобразования
Для выбора «наилучшей» функции преобразования предлагается использовать следующие методы регрессионного анализа:
1. Метод всех возможных регрессий. Это самая громоздкая процедура. Требует построения каждого из всех возможных регрессионных уравнений (функций преобразования).
2. Метод исключения. Состоит в последова-
тельном уменьшении числа переменных в полном
уравнении до тех пор, пока не принимается решение об использовании уравнения с оставшимися членами.
3. Состоит в последовательном включении переменных по очереди в уравнение до тех пор, пока уравнение не станет удовлетворительным.
4. Является улучшенным вариантом метода включения. Улучшение состоит в дополнительном исследовании на каждой стадии переменных, включенных в уравнение на предшествующих стадиях. Переменная сохраняется в уравнении или исключается из него в зависимости от результатов проверки [6].
На основании предложенных методов разработаны четыре алгоритма статистического моделирования функций преобразования датчиков давления типа «Метран» для расчета, так называемых, «индивидуальных» функций преобразования для датчиков давления.
2. Алгоритм построения функций преобразования по методу всех возможных регрессий
1. Рассчитываются коэффициенты ФП (1) по методу наименьших квадратов [6].
2. Строятся все возможные ФП. Каждая переменная функции преобразования (1) может входить или не входить в них. Полагая, что коэффициент р0 всегда содержится в ФП, будем иметь 220 или 1 048 576 уравнений [7].
3. Определяется давление по каждой ФП -
У1, подставляя в каждую ФП рассчитанные коэффициенты, код давления, код температуры.
4. Каждая ФП оценивается с помощью критериев. Используется два критерия: остаточный средний квадрат .у2 и С^-статистика. Эти критерии фактически связаны друг с другом. Выбор «наилучшей» ФП в таком случае делается на основе оценки наблюдаемой картины.
По первому критерию для каждой ФП вычисляется остаточный средний квадрат /:
ТЪ-г,)2
а2 - <=]______ П\
где п — число наблюдений; р — число оцениваемых параметров в уравнении регрессии (ФП); У, -давление на входе датчика; ^ - давление, рассчитанное по ФП.
Из всех ФП выбираем несколько (четыре) ФП с минимальным значением остаточного среднего квадрата.
По второму критерию для каждой ФП вычис-
ляется Ср-статистика:
Же—
' ,2 I"
2 р),
(3)
где ББе - остаточная сумма квадратов для ФП, содержащей р параметров:
(4)
/=і
.у - остаточный средний квадрат для ФП, содержащей все параметры: р = 21.
Для адекватной функции преобразования график зависимости Ср =$р), гдер - 0...21 - число оцениваемых параметров в ФП, будет иметь вид кривой, точки которой достаточно близко примыкают к прямой Ср - р. То есть «наилучшей» следует считать ФП, для которой разность |р - Ср\ должна имеет минимальное значение.
Схема алгоритма построения функции преобразования по методу всех возможных регрессий представлена на рис. 1.
Рассчитываем коэффициенты функции преобразования д, д, д, д.....Ря по методу наименьших квадратов
......... г~..............................
Строїш все вочможные ФП
Рассчитываем давление по каждой ФП У,
Рассчитываем остаточные средние квадраты
Выбираем четыре ФП і с минимальными значеннями ,,_среднего квадрата
Рассчитываем статистику |Маляоуза Ср для каждой ФП
'71===г=1=1Е==г1=1;
Выбираем четыре ФП, удовлетворяющих условию
IР - Ср | =П1Ю..
Рис. 1. Схема алгоритма построения ФП по методу всех возможных регрессий
3. Алгоритм построения функций преобразования по методу исключения
1. Рассчитываются коэффициенты ФП (1) по методу наименьших квадратов [6].
2. Строится ФП, включающая все параметры.
3. Рассчитывается величина частного /*’-критерия для каждого из параметров, как будто он был последним введен в ФП:
(Я+,-Я Дя-р-1)
F=-
(5)
0-я+,)
где /?+/ - коэффициент детерминации ФП с оцениваемым параметром; - коэффициент детерминации ФП без оцениваемого параметра.
Коэффициент детерминации ФП с оцениваемым параметром:
;=1
п
(=1
где У, - давление на входе датчика; У, - давление, рассчитанное по ФП с оцениваемым параметром; У - общее среднее.
Коэффициент детерминации ФП без оцениваемого параметра:
£«-г)2
/=1
Ё«-п2
1=1
где У, - давление на входе датчика; У1 - давление, рассчитанное по ФП без оцениваемого параметра; У - общее среднее.
4. Величина ^-статистики сравнивается с критическим значением:
^кр(1, (п ~Р - 1)) 100-(1 - а)), (6)
где п - число наблюдений; р - число параметров в ФП; а - уровень значимости, %.
Если ^ < ^.ф, то параметр, связанный с Р, исключается из рассмотрения и производится перерасчет ФП с учетом оставшихся параметров. Если Р > то ФП остается без изменения.
Схема алгоритма построения функции преобразования по методу исключения представлена на рис. 2.
Рассчитываем величину частного Р-крнтерня дня каждого ^ из параметров, как будто он последний был введен
в Функцию преобразования_______„
Выбираем наименьшую величину частного Р-критерия я обозначаем ее как :
Рассчитываем критическое значение Р-стягнстшгн Рнр
.I
Сравниваем Л с Рнр
Рі< Рхр
Рі > Рхр І
Параметр, связанный с Р1 исключаем из рассмотрения и производим перерасчет функции преобразования
ФП оставляем без изменения
г Выбираем следующую наименьшую величину у частного Р-крптеркя - Рі
Рис. 2. Схема алгоритма построения ФП по методу исключения
4. Алгоритм построения функций преобразования по методу включения
1. Рассчитываются коэффициенты ФП (1) по методу наименьших квадратов [6].
2. Определяются частные коэффициенты корреляции для всех параметров [8]:
гкт =-
-хк\хт,-хт)
/=і
и
1
Лг(
Х(хт,-хту
^«=1 У Ч»=1
2 Л . 5,
1
Л 2
(7)
где Х]а, Хт1 її, ,..., р$»..Рі , к 1...20, ш
= 1...20, / = 1...И.
А.П. Лапин, Ю.Н. Цыпина, Е.А. Лапина
3. Выбирается параметр с наибольшим значением частного коэффициента корреляции и находим ФП порядка.
4. Проверяется значимость ФП с помощью полного ^-критерия.
Определяется значение /•’-статистики:
Ёа-л2
1=1
(8)
где У1 - давление, рассчитанное по ФП; ¥ - общее среднее; 52 - остаточный средний квадрат для ФП (2).
Величина ^-статистики (8) сравнивается с критическим значением (6). Если Р < /гкр, то параметр, связанный с Р, исключается из рассмотрения и производится перерасчет ФП. Если Р > Ркр, то рассматриваемый параметр, включается в ФП.
5. Определяем коэффициенты корреляции для всех параметров, ранее не включенных в ФП, с
откликом г
х,г-
ГХ/У
1=1
-X,)(¥,-¥)
(9)
Л2(
\/=1
где Хр = и, /Д...,/?А,..., /7,5;у = 0...20 - порядковый номер параметра в ФП (1), i = 1 ...п - номер наблюдения.
6. Выбираем параметр с наибольшим значением коэффициента корреляции с откликом и включаем в ФП.
7. Рассчитывается величина частного /г-критерия для каждого из параметров, как будто он был последним введен в ФП (5). Величина Р-статистики (5) сравнивается с критическим значением (6). Если Р </V то параметр, связанный с Р, исключается из рассмотрения и производится перерасчет ФП. Если Р > Ркр, то рассматриваемый параметр, включается в ФП.
Схема алгоритма построения функции преобразования по методу включения представлена на рис. 3.
5. Алгоритм построения функций преобразования по шаговому методу
Несмотря на другое название, этот метод, по существу, есть улучшенный вариант метода включения. Улучшение состоит в дополнительном исследовании на каждой стадии параметров, включенных в ФП на предшествующих стадиях. Соответствующий параметр сохраняется в ФП или исключается из нее в зависимости от результатов проверки. Такая проверка «наименее полезного параметра в ФП на данном этапе» проводится на каждом шаге этого метода. Может оказаться, что параметр, который на предыдущем шаге был наилучшим кандидатом для включения в ФП, на бо-
лее позднем шаге оказывается ненужным. Это может быть вызвано теми связями, которые существуют между этой и другими параметрами, содержащимися теперь в ФП. Чтобы проверить это, на
Определяем частные коэффициенты корреляции ,_______для всех параметров, Щр__________
: Выбираем параметр с наибольшим значением частного ¿коэффициента корреляции и находим ФП первого порядка ,
Проверяем значимость ФП с помощью полного Р-критерия
ФПэтшчима і і Включаем рассматриваемый _______параметрвФП
ФП не значима
. Исключаем параметр ю рассмотрения
¡Определяем коэффициенты к ц еляции для всех параметров, ранее не включенных в ФП. с откликом в®»______________ ,
Выбираем параметр с яетоольшнмжачением ¡коэффициента корреляции с откликом и включаем в ФП'
Проверяем значимосте включенного параметра
ч_______с помощью частного Р-критерия
! Параметр значим I
параметр в ФП
I Параметр не значим
Нскпючаемпараметр __из рассмотрения
Рис. 3. Схема алгоритма построения ФП по методу включения
каждом шаге, для каждого параметра, содержащегося в ФП, вычисляется частный /•’-критерий (5) и находится наименьший из них (он может быть связан с любым параметром, включенной в ФП только что или ранее), который затем сравнивается с заранее выбранной процентной точкой соответствующего ^-распределения (6). Это позволяет судить о вкладе наименее ценного параметра в регрессию на данном шаге в предположении, что она только что была введена в ФП безотносительно к тому, как это было на самом деле. Если проверяемый параметр показывает незначимый вклад в регрессию, она исключается из ФП. После этого ФП пересчитывается с учетом всех оставшихся в ней параметров. Наилучшие параметры из тех, которые не вошли на данном шаге в ФП (т.е., для которых коэффициент частной корреляции с откликом ¥ при наличии параметров в уравнении получился наибольшим), затем проверяются, чтобы убедиться, удовлетворяют ли они частному Р-критерию для включения. Если удовлетворяют, их включают в ФП и снова возвращаются к проверке всех частных /•’-критериев для параметров ФП. Если же они не выдерживают этой проверки, переходят к следующей операции исключения. В конечном счете (если только уровень значимости а не выбран плохо, что приводит к зацикливанию) процесс прекращается, если никакие из параметров, содержащихся в текущей ФП, не удается исключить из него, а ближайший наилучший пара-метр-претендент не в состоянии занять место в ФП. Обычно лучше выбирать одинаковые уровни значимости а для включения и исключения.
Схема алгоритма построения функции преобразования по шаговому методу представлена на рис. 4.
Определяем частные коэффициенты корреляции ____ дяя всех параметров ФГІфі _ ____________
| Выбираем параметр с наибольшим значением частного |
I коэффициента корреляции и находим ФП первого порядка )
Проверяем значимость ФП с помощью полного Р-крнтерияI
ФП значиш ФП не значиш
Включаем пасзсштрииаемЖ 4 Невключаем рассматрішаемьш і
вараметр в ФП ......параметр в ФП....,
..:::::.п..:::::::::........................ееее==^
Счтредешкм коэффициента корреляции для всех параметров.
ранее не включенных в уравнение, с откликом гщу ,
';::::zz:zzzz:~=zzz=^
Выбираем паргіметр с наибольшим значением _____коэффициента корреляции с откликом и включаем в ФП_
Щюверяем значимость включенного параметра '
ч__ ...с помощью часшго Р^рктерім ____________,
і Параметр знанім ' . Параметр не значим
. 'иНй<іїі^
______параметр в ФП____, параметр из фП і
Рис. 4. Схема алгоритма построения ФП по шаговому методу
6. Методика формирования функции преобразования
1. Составляется партия из датчиков давления одной модели.
2. Рассчитываются ФП вида (1) для каждого датчика из партии.
3. Рассчитываются, так называемые, «индивидуальные» ФП по методам всех возможных регрессий, исключения, включения и по шаговому методу для каждого датчика.
4. На основе полученных «индивидуальных» ФП формируется, так называемая, «общая» ФП исследуемой модели датчика.
5. Проверяется пригодность «общей» ФП для каждого датчика из партии (определяются приведенная погрешность, дисперсия адекватности, погрешность от нелинейности, температурная погрешность).
6. Проверяется «общая» ФП для датчиков исследуемой модели из других партий (определяются приведенная погрешность, дисперсия адекватности, погрешность от нелинейности, температурная погрешность).
Заключение
Предложенный выше подход к выбору функции преобразования датчиков давления проверен на данных ряда стендовых испытаний. Полученные результаты подтвердили выдвинутые нами предположения о различных функциях преобразования датчиков давления, имеющих конструктивно различное исполнение.
Литература
1.ГОСТ 8.009-84. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений. Государственная система обеспечения единства измерений. Межгосударственный стандарт. Группа Т80. -М.: Изд. стандартов, 1988. - 38 с.
2. Лапин, А. 77. Концепция комплексного исследования метрологических характеристик датчиков давления «Метран» / А. П. Лапин, Д. В. Мысляева, E. Е. Филиппова и др. // Практика приборостроения. - 2002. -№ 7. - С. 38-41.
3. Лапин, А. 77. Статистическое исследование функции преобразование датчиков давления ПГ «Метран» /А. 77. Лапин, Л. Ф. Нигамова, E. Е. Чи-пеева // Информационные, измерительные и управляющие системы и устройства. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2003. - С. 188.
4. Семенов, Л. А. Методы построения градуировочных характеристик средств измерений / Л. А. Семенов, Т. Н. Сирая. - М.: Изд-во стандартов, 1986. —128 с.
5. Лапин, А. 77. Исследование многофакторной функции преобразования датчиков давления ПГ «Метран» / А. 77. Лапт, E. Е. Филиппова // Приборостроение: Тематический сборник научных трудов. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2002. — С. 176.
6. Дрейпер, Н. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х т.: Т. 1. —2-е изд. /77. Дрейпер, Г. Смит. -М.: Финансы и статистика, 1986. - 366 с.
7. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. - М.: Наука, 1984. — 608 с.
8. Дрейпер, H., Прикладной регрессионный анализ: В 2-х т.: Т. 2,— 2-е изд. / 77. Дрейпер, Г. Смит. -М: Финансы и статистика, 1987. — 351 с.
