Статистический анализатор для диагностики и прогноза экосистемы в реальном масштабе времени Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 681.332.3+62-50

АЛ. Самойленко, О.А. Усенко СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗАТОР ДЛЯ ДИАГНОСТИКИ И ПРОГНОЗА ЭКОСИСТЕМЫ В РЕАЛЬНОМ МАСШТАБЕ ВРЕМЕНИ

В настоящее время одним из основных направлений при экологическом мониторинге является использование методов математической статистики [1]. Это обусловлено наличием случайных состояний у многих явлений и процессов. Причем эффективность принимаемых решений определяется объемом поступающей информации. Незначительная эффективность традиционных методов статистического анализа при ограниченном объеме приводит к необходимости поиска новых .

Целью работы явилась разработка специального программного обеспечения статистического анализатора (СА), ориентированного на обработку выборок малого объема в реальном масштабе времени с целью диагностики и прогноза изучае-. ( распределения, оценивание статистических моментов случайной величины (С.В.), проверка статистических гипотез и др.) при минимальном объеме статистических данных дает очевидное преимущество в тех случаях, когда получение статистик больших объе-, -

.

Для оценивания и идентификации плотности распределения С.В. по выборке малого объема предлагается использовать метод аддитивной аппроксимации [2], в , , подход к каждой отдельной реализации X. Индивидуальный подход заключается в присваивании каждой отдельной реализации X некоторой элементарной плотности или . . В работе исследовались методы с прямоугольными и треугольными функциями вкладов уХ1:

где d=k(b-a) - ширина функции вклада; ке [0,1] - некоторый коэффициент.

В качестве априорной используется соответственно прямоугольная или треугольная функция, ограниченная диапазоном [а,Ь] с математическим ожиданием

0.5[Ь-а]. Линейное суммирование с заданными весами априорной плотности ^ и вкладов для всех п элементов выборки приводит в итоге к искомой оценке плотности:

(1)

0 при остальных х

(2)

(3)

На рис. 1 для примера изображена эмпирическая функция плотности вероятности для трех значений выборки, построенная методом прямоугольных вкладов.

Рис.1.График эмпирической функции распределения/(х).

Полученное эмпирическое распределение необходимо аппроксимировать одним из теоретических распределений, что противоречит теореме Ляпунова, согласно которой предельным является нормальное распределение. Правомерность аппроксимации набором распределений была обоснована анализом монографий [3, 4] по современной теории суммирования СВ. В частности, неравенство Берри-Эссеена:

Г 1 N ^ Р

^ир\р 2.x, -Ф(х < Р

р М [ х3]/

где р = 1 У 3

/а

А > 0.

7т[Ш,=1 ^

Ф(х) = ]-/=-

0Ы2п

(4)

( х-М [ х])2

па

показывает возможность анормальных распределении суммы

N

с.в. £ х,.

1=1

, -

онных моделях и показана возможность получения любых анормальных распреде-

лений в базисе аддитивных аппроксимаций значений с.в. массива малой выборки стандартными симметричными распределениями. В качестве критерия согласия использовался метод наименьших квадратов, вычисляемый для набора из 15 стандартных теоретических распределений:

к

м = Е р*(х)- р(х ))2. (5)

1=1

Далее формировался упорядоченный ряд полученных значений критерия:

Р1(М,г) > Р2(М,г) > ... > Рк(М,г). (6)

По сравнительному анализу членов ряда (6) делается вывод о соответствии

эмпирического закона распределения тому или иному стандартному распределе-.

е

а

С целью расширения функциональных возможностей СА предлагается параллельно с методом аддитивной аппроксимации использовать метод имитационного моделирования. Индивидуальный подход к каждому случайному значению х1 1=1, ..., N случайного процесса X состоит в генерации равновероятно распределенных псевдослучайных чисел в ^окрестностях значений х1^Х, 1=1, ..., N (рис. 2).

8(х)

х,-^2 х,- х,+^2 х

Рис.2.Представление элементах, совокупностью значений

Это позволяет перейти от малой выборки (N=5+10) к выборке стандартного объема данных, представляющую собой аддитивную суперпозицию (N+1) псевдореализаций, причем основная из них ограничена диапазоном [а,Ь] с математическим ожиданием 0.5[Ь-а]. Полученная выборка обрабатывается классическими методами.

Поступление очередного значения х№1 случайного процесса X на вход СА после обработки N значений малой выборки X, образует выборку Х1. Влияние вновь поступившего значения, особенно в условиях недостатка информации о кон, ,

. -цесса в масштабе реального времени использовался метод стохастической аппроксимации Роббинса-Монро [5], который не зависит от функции распределения СВ., участвующих в задаче [6]. Таким образом, для х^Х; ^(N+1), ..., М; М=2№

М [X ]+, = М [X ] + ^ (хк р, -М [X ] ) (7)

й[х1„ = в[х] + р - М [х ]„ ) - п[х ). (8)

Как только объем выборки Х1 достигнет величины N выборка опять анализируется в блоках обработки малой выборки методами аддитивной аппроксимации и

.

принимается закон распределения последней выборки Х1.

, -хастических массивов ограниченной выборки по оцениванию параметров любой , :

♦ разработаны и исследованы алго ритмы обработки статистических массивов ограниченной выборки, основанные на принципе аддитивной аппроксимации 10..15 законов распределений, в базисе графического и имитационного моделирования стандартными распределениями. При минимальных объемах выборки разработанные алгоритмы позволяют строить эффективные оценки плотности распределения, которые могут быть успешно использованы для построения решающих правил;

♦ исследован алгоритм стохастической аппроксимации, позволяющий обеспечить непрерывный процесс обработки статистических массивов;

♦ предложен модифицированный метод Роббинса-Монро, позволяющий СА функционировать в реальном масштабе времени с процессом исследования наблюдаемых параметров;

♦

статистических массивов ограниченной выборки в базисе графических и имитационных методов моделирования.

♦ описанный метод обработки малых выборок был апробирован при выявлении характера распределений абсолютного и относительного содержания кислорода в Азовском море.

ЛИТЕРАТУРА

1. Проект «Моря СССР». Гидрометеорология, гидрохимия морей СССР. Т.5 Азовское море/ Справочное издание под ред. Н.П. Гоптарева. Спб: 1991.

2. Чавчанидзе В.В.,Кумсишвилли В.А. Об определении законов распределения на основе малого числа наблюдений / В кн. Применение вычислительной техники для автоматизации производства. М.: Машгиз, 1961.

3. Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.: Наука, 1986.

4. Петрое В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987.

5. Самойленко А.П.,Чапцев АТ. Компьютерные технологии методов анализа данных ог-

// . , -изводстве. Нижний Новгород: Изд-во НГТУ, 1999. 40-41с.

6. Саридис Дж. Самоорганизующиеся стохастические системы управления. М.: Наука, 1980.

7. Жовинский А.Н.,Жовинский ВТ. Инженерный экспресс-анализ случайных процессов. М.: Энергия, 1979.

8. Вентцель Е.С. Теория вероятности. М: Наука, 1990.

9. Методы статистического анализа и обработка малого числа наблюдений при контроле качества и надежности приборов и машин. Л., 1974.

10. Гаскаров Д.В.,Шаповалов В.И. Малая выборка. М.: Статистика, 1978.

11. Вазан М. Стохастическая аппроксимация. М.: Мир, 1972.

12. Ермаков С.М. Методы Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975.

13. Хан Г.,Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. М.: Мир, 1969.

УДК 517.97

А.Р. Гайдук, Ал.А. Колесников СИНЕРГЕТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ И НАПРАВЛЕННАЯ САМООРГАНИЗАЦИЯ В ЭКОСИСТЕМАХ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

,

быть отражено следующими дифференциальными уравнениями:

х, 0) = / О^..^ хг, Уг^.- у„); (!)