CC BY
4бового сопротивления в определенный момент полета снаряда. Имеется выборка из 6
2920
значений коэффициента силы лобового сопротивления Cx в зависимости от числа Маха (Mx), соответствующего скоростям полета от 100 до 600 м/с:
Таблица 2 - Пример 2. Выборка начальных значений
Мх 0.293 0.587 0.880 1.174 1.467 1.761
Сх 0.122 0.123 0.123 1.515 1.066 0.859
Отыскание промежуточных значений коэффициента силы лобового сопротивления может понадобиться для определения других баллистических характеристик, а так же при необходимости корректировки траектории движения снаряда.
С помощью формул, полученных в результате аппроксимации и различных интерполяционных зависимостей находятся значения необходимого параметра в произвольной точке. Далее эти данные сравниваются со значением, полученным из баллистической модели полета снаряда, учитывающей его геометрические характеристики, начальные параметры выстрела и математическую модель атмосферы.
При оценке полученных аппроксимационных функций достоверными были приняты те, чей коэффициент детерминации превысил 80%, поскольку в этом случае корреляция данных будет более 90% [5].
Прежде всего в среде MatLab была написана программа для определения баллистических коэффициентов. На ее основе построена модель движения снаряда, которая с помощью известных баллистических зависимостей, дифференциальных уравнений движения и математической модели атмосферы, определяет траекторию движении снаряда и характеристики данного движения, в том числе скорость [4]. С ее помощью были смоделированы графики искомых параметров (рисунки 1 -2).
2921
Зависимость V(S)
300 280 260
о 5
S3 240 о о.
о ^
0
220 h
200 - ---
180-!-1-1-'-'-'-'-1-
О 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 Дальность полета, м
Рисунок 1 - Баллистическая модель изменения скорости полета
снаряда
3.5 р 3 -2.5 -2 -1.5 -
1 -0.5 -
0 -
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
Рисунок 2 - Баллистическая модель зависимости коэффициента силы лобового сопротивления от числа Маха В качестве эталонных значений для проверки рассматриваемой статистической модели на этих графиках были выбраны точки, с которых сняты значения исследуемых параметров:
1) Скорость снаряда на расстоянии 2225 м от дульного среза ствола, в соответствии с моделью, составила 224 м/с.
2) При числе Маха, равном 1.5, коэффициент силы лобового сопротивления, в соответствии с моделью, получился равным 1.046.
2922
Для каждого примера на графиках были отображены точки исходной выборки. Далее, с помощью средств программного анализа в среде MatLab, были определены функциональные зависимости каждого типа аппроксимации. Отображение полученных зависимостей также представлено на графиках (рисунки 3-4).
300 280 260
2 J
о 240 о а.
о ^
О
220 200 180
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Дальность полета, м
Рисунок 3 - График кривых аппроксимации для скорости
1.8 1.6 1.4 1.2
1
О
0.6 0.4 0.2 0 -0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
Мх
Рисунок 4 - График кривых аппроксимации для Сх В таблице 3 для каждого типа аппроксимации приведены: математическое выражение функциональных зависимостей; коэффициент детерминации, определенный на основе множественного коэффициента
* Х(У) -Линейная аппроксимация Квадратичная аппроксимация Кубическая аппроксимация Аппроксимация полиномом 5 степени - Аппроксимация полиномом 7 степени
-
— * V; - - -
• Сх(Мх) -Линейная аппроксимация Квадратичная аппроксимация Кубическая аппроксимация Аппроксимация полиномом 4 степени Аппроксимация полиномом 5 степени f \ \ \ \ \ \ \ *
i . У i / / /
/ \ У X - / V- ! / / / ' / ' \ \ \
/ ! / ^ \/ / --
2923
корреляции данных [2]; вычисленное значение скорости снаряда в точке, соответствующей 2225 метрам.
Таблица 3 - Сводные данные по аппроксимации для 1 примера
Тип аппроксимации Формула зависимости Коэффициент детерминации Значение в выбранно й точке, м/с
Линейная /1 = -0,023542 * 5 + 281.56 0.937 229
Квадратичная /"2 = 0.00000598 * 52 - 0.0505 * 5 + 304 0.9975 221
Кубическая /3 = 4.29 * 10-10 * 53 + 3.08 * 10-6 * 52 -0.00449*5 + 301.34 0.9977 221
Полиномиальная 5 степени Д = -8.97 * 10-17 * 55 + 1.635 * 10-12 *54 - 9.3837* 10-9 *53 + 2.7896* 10-5 *52 - 0.070788*5 + 300.69 0.9982 222
Полиномиальная 7 степени /5 = 3.269 * 10-21 * 57 - 5.333 * 10-17 *56 + 3.558* 10-13 *55 - 1.2483 * 10-9 *54 + 2.1575 * 10-6 *53 - 0.002669 *52 + 1.4133 *5 + 1.25 0.9992 224
По аналогии те же данные для второго примера сведены в таблицу 2. Последний столбец содержит вычисленное по каждой формуле значение коэффициента силы лобового сопротивления, соответствующее числу Маха Мх = 1,5.
Таблица 4 - Сводные данные по аппроксимации для 2 примера
Тип аппроксимации Формула зависимости Коэффициент детерминации Значение в выбранной точке
Линейная /1 = 0.7696* М- 0.15571 0.4968 0.999
Квадратичная /2 = -0.5873 * М2 + 1.9758 * М - 0.6275 0.55 1.01
Кубическая /3 = -3.1043 * М3 + 8.977 * М2 - 6.4954* М + 1.3473 0.772 1.33
Полиномиальная 4 степени /4 = 1.9414 * М4 - 11.08 * М3 + 20.127 *М2 - 12.574* М + 2.382 0.7822 1.24
2924
/5 = 37.993 * М5 - 193.15 * М4
Полиномиальная + 363.28 *М3 1 0.88
5 степени - 310.17 *М2 + 118.55*М- 15.781
На рисунках 5 и 6 представлены графики отклонений аппроксимаций от изначальной выборки данных каждого примера. Они позволяют визуально оценить погрешности каждого рассматриваемого типа.
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Рисунок 5 - График отклонений 1
1 1.2 1.4 1.6 1.
Рисунок 6 - График отклонений 2
2925
Проанализировав приведенные графики и полученные значения коэффициентов детерминации, можно утверждать, что:
1. Для аппроксимации зависимости между дальностью полета снаряда и его скоростью можно использовать любой из представленных выше полиномов без значительной потери точности вычислений. Коэффициент детерминации каждого из них превышает 0.9, что говорит о высокой точности статистической модели. Этот же вывод можно получить, рассмотрев график, представленный на рисунке 5 - даже для линейной аппроксимации отклонения на порядок-два ниже рассматриваемых значений. Но все же наиболее приближенным к действительности является в данном случае полином 7 степени, поскольку он соответствует глобальному интерполяционному полиному степени N-1. Он практически на 100% корреллирует с исходными данными.
2. Для аппроксимации зависимости между числом Маха и коэффициентом силы лобового сопротивления применим только полином 5 степени, являющийся глобальным интерполяционным полиномом. Остальные аппроксимационные зависимости не соответствуют заданной точности - их коэффициенты детерминации принимают значения от 0.5 до 0.78, что соответствует лишь 70-80% корреляции. Это же можно увидеть на графике, представленном на 6 рисунке - отклонения всех полиномов, кроме полинома 5 степени, принимают значения того же порядка, что и рассматриваемые.
Значения скорости снаряда и коэффициента силы лобового сопротивления в выбранных точках, также были определены, базируясь на 4 видах локальной интерполяции, что графически представлено на рисунках 7 и 8 соответственно.
2926
300
280
260
л
о 240 о о. о
О
220
200
180
ч \ \
П Зависимость V от Э Интерполяция по ближайшим точкам Линейная интерполяция — — Кубическая интерполяция
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Дальность полета, м
Рисунок 7 - График кривых интерполяции для скорости
4 г
О
В Зависимость Сх от Мх
Интерполяция по ближайшим точкам Линейная интерполяция
........Интерполяция сплайнами
Кубическая интерполяция
/
--у....... ... л
/
0.5
1
Мх
1.5
Рисунок 8 - График кривых интерполяции для Сх Можно видеть, что хотя все интерполяционные кривые проходят через узлы первоначальной выборки, они имеют абсолютно разную форму, и соответственно разную степень приближения [6]. Точность интерполяции была оценена с помощью относительных погрешностей.
Значения скорости, полученные в точке 2225 м и соответствующие им погрешности представлены в таблице 5:
Таблица 5 - Сводные данные по интерполяции для 1 примера
Тип интерполяции Значение в точке, Погрешность,
м/с %
2927
Линейная интерполяция 223.25 0.33
Интерполяция по соседним точкам 230 2.68
Кубическая интерполяция 223.32 0.30
Интерполяция кубическим сплайном 223.58 0.19
Значения коэффициента силы лобового сопротивления, полученные при числе Маха, равном 1.5 и соответствующие им погрешности представлены в
таблице 6:
Таблица 6 - Сводные данные по интерполяции для 2 примера
Тип интерполяции Значение в точке Погрешность, %
Линейная интерполяция 1.0428 0.29
Интерполяция по соседним точкам 1.0660 1.92
Кубическая интерполяция 1.0346 1.08
Интерполяция кубическим сплайном 0.9601 8.20
После сравнения эталонных значений и значений, полученных с помощью интерполяции и аппроксимации, можно заключить, что данная статистическая модель вполне применима в различных ситуациях, требующих инженерных расчетов. Значения полученные при вычислениях, имеют высокую степень точности (вплоть до 99%), что позволяет признать возможным применение данной вычислительной модели при необходимости.
Но при этом следует учитывать, что для разных ситуаций точность будет варьироваться в зависимости от возможности сведения взаимосвязей между исходными величинами к табличным функциям. Для получения наилучших результатов следует выбирать статистическую операцию с помощью которой будет проводиться анализ, следующим образом:
2928
- отобразить имеющиеся узловые точки в выбранной системе координат;
- визуально представить кривую, которую можно было бы провести через данные точки;
- в зависимости от характера данной кривой, определиться с видом статистического анализа: аппроксимация и глобальная интерполяция - если кривая гладкая, плавная и монотонная, или сплайн-интерполяция - если кривая ломанная, прерывистая и имеет резкие переходы между узлами.
В любом случае, если задача по нахождению промежуточного значения в конкретном случае не подразумевает стопроцентной точности, а требует получения величины с допуском определенной погрешности, применение данной модели позволит упростить расчеты, сократить время на вычисления и минимизировать затраты на эксперимент.
Литература
1. С.В. Знаменский. «Численная оценка точности интерполяции несложных элементарных функций». Программные системы: теория и приложения, 2018, 9:4(39), с.69-92.
2. А.М. Данилов Интерполяция, аппроксимация, оптимизация: анализ и синтез сложных систем: моногр. / А.М. Данилов, И.А. Гарькина. - Пенза: ПГУАС, 2014. - 168 с.
3. М.Е. Ильин Аппроксимация и интерполяция. Методы и приложения: учеб. пособие / М.Е. Ильин; Рязань: РГРА, 2010. - 57 с.
4. С.В. Беневольский Баллистика: Учебник / Беневольский С.В., Бурлов В.В., Казаковцев В.П. и др. - Пенза: ПАИИ, 2005. - 510с.
5. С.М. Пригарин Численный анализ (интерполяция, численное дифференцирование и интегрирование): учеб. пособие / С.М. Пригарин; Новосибирск: ИПЦ НГУ, 2018 г.
2929
6. И. С. Шорохова Статистические методы анализа: учеб. пособие / И. С. Шорохова, Н. В. Кисляк, О. С. Мариев; М-во образования и науки РФ, Екатеринбург: изд-во Урал. ун-та, 2015. — 300 с.
Literature
1. S.V. Znamensky. "Numerical evaluation of the accuracy of interpolation of uncomplicated elementary functions". Software systems: theory and applications, 2018, 9:4(39), pp.69-92.
2. A.M. Danilov Interpolation, approximation, optimization: analysis and synthesis of complex systems: monograph. / A.M. Danilov, I.A. Garkin. -Penza: PGUAS, 2014. - 168 p.
3. M.E. Ilyin Approximation and interpolation. Methods and applications: textbook. allowance / M.E. Ilyin; Ryazan: RGRA, 2010. - 57 p.
4. S.V. Benevolsky Ballistics: Textbook / Benevolsky S.V., Burlov V.V., Kazakovtsev V.P. etc. - Penza: PAII, 2005. - 510p.
5. 5.S.M. Prigarin Numerical analysis (interpolation, numerical differentiation and integration): textbook. allowance / S.M. Prigarin; Novosibirsk: CPI NSU, 2018
6. IS Shorokhova Statistical methods of analysis: textbook. allowance / I. S. Shorokhova, N. V. Kislyak, O. S. Mariev; Ministry of Education and Science of the Russian Federation, Yekaterinburg: Ural Publishing House. un-ta, 2015. - 300 p.
© Вагенлейтнер А.О., Копнов Д.В., Сальникова А.И., 2022 Научный
сетевой журнал «Столыпинский вестник» №5/2022.
Для цитирования: Вагенлейтнер А.О., Копнов Д.В., Сальникова А.И.
Статистический анализ в области инженерных расчетов// Научный сетевой
журнал «Столыпинский вестник» №5/2022
2930
