CC BY
46
УДК 519.22:539.12.08
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭПР-ДОЗИМЕТРИИ
Заляпин В.И., Шишкина Е.А., Fattibene P., Wieser А., Иванов Д.В.,
Дегтева М. О.
STATISTICAL ANALYSIS OF THE EPR-MEASUREMENT RESULTS
Zalyapin V.I., Shishkina E.A., Fattibene P., Wieser A., Ivanov D.V., Degteva M.O.
Построена статистическая модель процедуры ЭПР измерений поглощенной дозы ионизирующего излучения в эмали зубов. На основании экспериментальных данных, независимо полученных в лабораториях Института физики металлов (Екатеринбург, Россия), Исследовательского центра Гельмгольца (Мюнхен, Германия) и Высшего института здравоохранения (Рим, Италия), построена калибровочная кривая, позволяющая пересчитывать амплитуды ЭПР сигнала в поглощенные дозы.
Ключевые слова: Ионизирующее излучение, ЭПР-измерения,
регрессия, обратная регрессия
The statistical modeling of the EPR measurements of the absorbed ionizing dose in the teeth enamel was considered. The calibration curve to convert from EPR measurements to absorbed dose was build on the basis of the independent experimental data from IMP (Russia, Ekaterinburg), GMBH (Germany, Munich), ISS (Italy, Rome).
Keywords: Ionizing radiation, EPR spectroscopy, regression, inverse regression
Введение
В кристаллах эмали зубов под действием ионизирующего излучения образуются стабильные радикалы СОз~. Их количество пропорционально суммарной поглощенной энергии. Метод электронного парамагнитного резонанса (ЭПР) детектирует количество радиационно-индуцированных СОз~ по величине амплитуды резонансного сигнала. Удельная (нормированная на массу измеряемого образца) амплитуда ЭПР сигнала позволяет оценить величину, пропорциональную поглощенной в эмали дозе и накопленную в течение всей жизни донора ([1]). Суммарная накопленная доза в эмали формируется под действием всех типов облучения: а) внешнего, включающего влияние окружающей среды и медицинские обследования; б) внутреннего, обусловленного естественными радионуклидами внутри зубов; и в) облучения, связанного с радиационными инцидентами.
Ключевым моментом ЭПР дозиметрии является построение калибровочной кривой и оценка рассеяния относительно нее экспериментальных результатов. Идеальный ЭПР отклик (аппаратура с нулевым уровнем шума и 100% воспроизводимостью результата) на поглощенную дозу в идеальном образце (100% гидроксиапатит без включений органических соединений и ионов металлов) должен быть линейным. Однако реальные измерения содержат погрешности, искажающие ожидаемую картину.
С целью создания калибровочных кривых и оценки точности и сравнимости результатов, получаемых на основании различных ЭПР-дозиметрических методик, было предпринято межлабораторное сравнение, в котором участвовали три института: IMP
- Институт Физики Металлов (Екатеринбург, Россия); GMBH - Исследовательский центр Гельмгольца (Мюнхен, Германия) и ISS - Высший Институт Здравоохранения (Рим, Италия). Три метода приготовления образцов тестировались последовательно каждой из лабораторий, использующей собственный метод измерений, отличающийся как аппаратурно, так и методом анализа спектров. Уникальность каждого метода приводит к тому, что аппаратурные измерения амплитуды ЭПР сигнала фиксируются в относительных единицах шкалы, характерной только для данного измерителя. Таким образом, существует необходимость в создании алгоритма, учитывающегого уникальность каждого метода и при этом позволяющего сопоставлять результаты, получаемые разными исследовательскими группами. Целью данной работы было создание и верификация метода статистического оценивания зависимости ЭПР отклика на поглощенную дозу. Экспериментальный материал, полученный в рамках межлабораторного сравнения методов ЭПР дозиметрии, послужил основой для оценок дозовой зависимости ЭПР отклика.
1. Материалы и методы
Образцы зубов, использованные в эксперименте, были получены из стоматологических клиник, где они удалялись исключительно по медицинским показаниям. Доноры не проживали на радиационно-загрязненных территориях. Эмаль отделялась от дентина и каждая исследовательская группа - участник межлабораторного сравнения - химически обрабатывала эмаль согласно собственному протоколу подготовки образцов к ЭПР измерениям. Образцы предварительно индивидуально тестировались методом ЭПР дозиметрии, чтобы исключить возможные высокие дозы за счет случайных ошибок идентификации либо неучтенных медицинских облучений. Затем каждая лаборатория готовила смесь из эмали зубов, чтобы получить физическое приближение однородного образца. Следует отметить, что смешанные образцы ISS и IMP были приготовлены из зубов сельских жителей Уральского региона возрастом 50 ± 5 (IMP) и 65 ± 12 (ISS) лет. GMBH использовал зубы молодых египетских доноров (точный возраст не регистрировался, но характер спектра образцов, дополнительно не облучавшихся, свидетельствует о весьма слабой радиационной компоненте). Методика химического приготовления и ЭПР измерений подробно описана в работах [2, 3].
Смешанные образцы разбивались на порции приблизительно по 100 мг, и каждая лаборатория дооблучала свои образцы по схеме, представленной в табл.1.
Таблица 1.
Схема дооблучения образцов
Доза облучения, Гр 0 од 0,2 0,5 1,0 1,5
Кол-ство образцов 5 5 5 5 5 5
Замечание 1. Дозы облучения, приведенные в таблице, являются округленными. Реальные величины доз варьировались в пределах ±0,05 Гр относительно указанных. В расчетах принимались во внимание точные величины.
Замечание 2. IMP измерил дополнительно 27 необлученных порций смешанного образца.
Каждая лаборатория выполняла ЭПР измерения, как на собственных, так и на образцах, приготовленных в двух других лабораториях. Подробно дизайн межлабораторного сравнения описан в [4].
2. Обозначения и допущения
Амплитуду измеряемого сигнала будем обозначать 77, дозу ионизирующего облучения, поглощенную образцом - £.
Исходя из физики процесса ЭПР измерений, будем искать модель процесса в виде линейной по параметрам центрированной модели первого порядка по переменной £, взятой в виде:
Г} = в 1 (£-£)+02. (1)
Положим Y = {Y^k} = {Yp}p=Yjf - вектор ЭПР измерений образцов, к = 1,2,3, г = 1,2,3,4,5,6, j = 1,2,компоненты которого упорядочены в лексиграфическом порядке по индексам i,j,k. Здесь:
к - идентификатор лаборатории, в которой проводились измерения, к = 1 -институт физики металлов (IMP), к = 2 - центр Гельмгольца (GMBH), к = 3 - институт здравоохранения (ISS);
г - номер дозового уровня пробы, i = 1,2,3,4,5,6I = 33 - номера доз
исследуемых образцов в диапазоне от 0 и до 1500 mGy соответственно;
j - порядковый номер пробы, щ - количество проб, исследовавшихся в к-й
лаборатории, ni = 112, = 90, пз = 90, п\ + п2 + пз = N = 292;
Пусть, далее, X = {Хр} - вектор дозовых уровней всех исследуемых проб, компоненты которого упорядочены также, как и компоненты вектора {Yp}.
Модель измерений, которая предполагается аддитивной относительно ошибок, запишем в виде:
Ур = в1-(Хр-Х) + в2 + ер. (2)
Измерения предполагаются центрированными (Me = 0) и, вообще говоря, не равноточными, так что рассеяние ошибок описывается дисперсионной матрицей V, V = Меет = а1 • Q, где матрица Q и параметр а описывают особенности процедуры ЭПР измерений, в частности, относительную точность измерений.
1 /
Известно (например, [5]), что, положив Q = Qz • I Q2 ) и введя новые измерения по
формуле Z = Q“ г . у, модель (2) можно привести к модели, в которой модифицированные измерения Z, обладают свойством независимости и равноточности. При этом метод наименьших квадратов (МНК), дающий возможность получать наилучшие (с точки зрения точности) коэффициенты ререссионной зависимости в предположении независимости и равноточности измерений, переходит во взвешенный метод наименьших квадратов (ВМНК) для неравноточной модели (2) с зависимыми измерениями.
3. Шкалирование измерений
Как уже было отмечено выше, для реализации единого подхода к исследованию зависимости ЭПР амплитуд от уровней поглощенной дозы, необходимо привести все имеющиеся измерения к одной шкале. В настоящей работе мы использовали три способа объединяющего шкалирования - грубое масштабирование, масштабирование по диапазону и масштабирование по регрессии.
3.1. Грубое масштабирование
Анализ масштаба и диапазона ЭПР-измерений, проведенных в IMP и GMBH, позволяют в первом приближении считать, что измерения, полученные в упомянутых лабораториях, фиксировались в одной и той же шкале, в то время как шкала измерений в ISS отличалась от шкалы, используемой в IMP и GMBH, нормирующим множителем х = 100, так что 100 •
У^1 = 100 • У/2 = У/3. Соответствующим образом были пересчитаны показатели точности проведенных измерений, в качестве которых были взяты оценки среднеквадратичных отклонений повторных измерений образцов.
Полученные таким образом данные сохраняют все индивидуальные особенности ЭПР-измерений, присущие участвовавшим в эксперименте лабораториям. В дальнейшем мы будем измерения в этой шкале обозначать Yioo-
3.2. Масштабирование по диапазону
Масштабирование по диапазону представляет собой линейное преобразование измерений в соответствии с соотношением
Y/k - min#
yjk = iJ
1 max Yfk — min Y?k
i,3 hj
Поскольку структура интервальной шкалы не меняется при линейных преобразованиях, с помощью такого преобразования мы приходим к единой шкале измерений в различных лабораториях, сохранив при этом информацию об индивидуальных особенностях измерений в каждой из них.
Соответствующим образом модифицируются показатели точности проведенных измерений, в качестве которых, как и выше, брались оценки среднеквадратичных отклонений повторных измерений образцов.
В дальнейшем мы будем измерения в этой шкале обозначать УпоГт-
3.3. Масштабирование по регрессии
Масштабирование по регрессии представляет собой процедуру переноса значений одной монотонной функции на другую с помощью сравнения их величин при одном и том же значении независимой переменной. Предполагается, что сравниваемые функции имеют тождественный диапазон изменения независимой переменной.
Подробнее, пусть х € [а; Ь] - независимая переменная, у = <р(х), у = ~ф(х) - пара монотонных функций, определенных на промежутке [а; Ь]. Имеет место очевидное тождество
Ух0 Е [а; Ь] : х0 = ¥>_1(у(жо)) = ф~1{у{х0).
Процедура переноса представляет собой замену значений одной функции соответствующим по аргументу значением другой: если, например, tpo = <р{хо), то
модифицированное значение этой функции дается равенством у?“0*1 — Ф(1Р~1(у(хо)))-
С целью однородного шкалирования измерений, полученных в различных лабораториях, возьмем в качестве эталонной шкалирующей функции функцию у = х. В качестве функций, описывающих измерения, подлежащие шкалированию, были взяты линейные регрессионные зависимости амплитуд ЭПР-измерений, полученные для каждой лаборатории в отдельности:
Yk = e\Xp + el * = 1,2,3. (3)
Таблица 2.
Регрессии Yfk = вкХг + вк, к = 1,2,3
Лаборатория 0i 02 SE6l se02 R Д2
IMP GMBH ISS 3,294 • IO“3 3,741 • IO“3 3,592-IO“1 0,6985 0,179 53,781 6,45- IO“5 5,84 • IO“5 6,3 • IO"3 3,9 • 10“2 3,75 • 10~2 4,54 0,98 0,99 0,988 0,96 0,98 0,975
В соответствии с вышеизложенным, процедура шкалирования дается соотношениями
ук __ок
У^ос! = —¿р1’ Л = 1,2,3. (4)
Как и выше, соответствующим проделанному преобразованию образом модифицируются и показатели точности преобразованных ЭПР-измерений.
Использованные в процедуре масштабирования линейные зависимости (3) были получены ВМНК, веса которого оценивались методом наибольшего правдоподобия. Результаты приведены в табл. 2, где Я - множественный коэффициент корреляции, Я2
- коэффициент детерминации, БЕд - стандартная ошибка соответствующего коэффициента регрессии.
3.4. Анализ шкалированных статистик
Все три использованных способа объединяющего шкалирования дали достаточно близкие результаты - полученные выборки хорошо коррелируют друг с другом, как показывает табл. 3.
Таблица 3.
Корреляции шкалированных измерений
*100 *погт *тос1
*100 *погт ^тос! 1 0,993 0,996 0,993 1 0,991 0,996 0,991 1
Полученные взвешенным методом наименьших квадратов регрессионные зависимости шкалированных переменных представлены в табл. 4. Веса для ВМНК оценивались методом
максимального правдоподобия и во всех случаях оказались пропорциональными г где
V яЫ
в1й - модифицированные оценки точности измерений, в качестве которых, как и выше, брались оценки среднеквадратичных отклонений повторных измерений образцов.
Для удобства сравнения, нижеприведенные регрессии нормированы на диапазон [0; 1] -0 < У <1. Как и выше Я - множественный коэффициент корреляции, В? - коэффициент детерминации, БЕд - стандартная ошибка соответствующего коэффициента регрессии.
Таблица 4.
Регрессии шкалированных переменных У = в\{Х — X) + в2
Переменная в! 02 ад, БЕв, Е Я2
Уюо 4,5 • 10~4 0,254 5,26 • 10~6 2,73 • 10~3 0,981 0,962
Употт 5,15 • 10-4 0,270 6,8-НГ6 3,53 • 10~3 0,976 0,953
*тос1 4,87 • 10~4 0,268 5,12 • 10“6 2,65 • 10~3 0,985 0,970
Центрирование линий регрессии осуществлялось взвешиванием дозовых уровней с помощью весов оцененных для реализации ВМНК методом максимального правдоподобия -
Х = =^—'Ухз'Щ-
г 3
Подобное центрирование, как известно (например [5]), обеспечивает статистическую независимость коэффициентов регрессии, полученных ВМНК.
4. Калибровочная линия
Для дальнейшего анализа и построения калибровочной линии, связывающей ЭПР-измерения и дозовые уровни, была выбрана регрессия, построенная по данным, полученным шкалированием исходных переменных по регрессии, как наиболее значимая и обладающая наилучшими точностными и надежностными характеристиками в сравнении с регрессиями, полученными грубым масштабированием и масштабированием по диапазону.
Ее уравнение в масштабе шкалированных данных имеет вид
Утой = о, 999 • (X - X) + 429,012, (5)
где X - поглощенная образцом доза, Утоа - модифицированный ЭПР-отклик на дозу X, полученный в соответствии с соотношением (4), X = 425,9375 - взвешенное среднее поглощенных доз. Дисперсионные характеристики модели представлены в табл. 5.
Таблица 5.
Дисперсионный анализ регрессии Ут0(1
Источник Сумма квадр. Степени св. Средний квадр. Е отн. Значимость
Модель 1,042-107 1 1,042-107 9063,06 0,000
Остатки 3,28 • 105 285 1149,46
Адекв. 56693,1 31 1828,-81 1,71 0,0134
95%-доверительные интервалы для коэффициентов регрессии даются неравенствами, соответственно
0,978 < 01 < 1,020, 418,37 < 02 < 439,02.
Угловой коэффициент в\ регрессии (5) можно считать равным 1 - гипотеза Щ : 01 = 1 против альтернативы Н : 01 ф 1 согласуется с имеющимися данными с надежностью не худшей, чем 90% (уровень значимости р < 0,01). В то же время свободный член в2 можно признать равным X. Соответствующая гипотеза согласуется с имеющимися данными на уровне значимости р < 0,01.
Как следует из вышеизложенного, в качестве калибровочной кривой может быть использована модель ЭПР-измерений, представленнная в виде
^шос! = X, (6)
где, напомним, X - уровень поглощенной образцом дозы (в шву), Ут0с1 - модифицированная амплитуда соответствующего ЭПР-отклика, подсчитанная в соответствии с (4).
Результаты теста на адекватность модели (5) - (6), основанного на сравнении изменчивости модели с изменчивостью исходных данных, отражен в последней строке табл. 5. Следует признать гипотезу об адекватности линейной формы представления зависимости модифицированных ЭПР-измерений от поглощенных доз согласующейся на 95% доверительном уровне с экспериментальными данными.
Отметим, что процедура пересчета по формулам (4) требует определенной осторожности, в связи с имеющим место рассеянием коэффициентов 0^, г = 1,2, к = 1,2,3 используемой линейной регрессии, вносящим дополнительную неопределенность в анализируемые данные. Грубая оценка соотношений (4) показывает, что шкалированные переменные будут, в первом приближении, лежать в пределах, определяемых неравенством
УГ* (1 - 6) < Утоа < У0то<1 (1 + 6), У0то<1 =
где величина 6 характеризует возможные вариации углового коэффициента регрессии. Значения параметра 6 для различных лабораторий приведена в табл. 6.
Таблица 6.
Параметры рассеяния углового коэффициента регрессии
Лаб IMP GMBH ISS
6 4 ■ 10“й 3 • 1(Г2 3,5 • 1СГ2
Видно, что вариации исходных данных, связанные с процедурой шкалирования, для всех лабораторий не превышают 4%. Следует заметить, что разное качество приготовления образцов влияет на вариацию углового коэффициента регрессии. Параметры рассеяния, приведенные в табл. 6 для лабораторий-измерителей, оцененные на основе всех измерений, могут рассматриваться как мажорирующая оценка.
На фоне естественной изменчивости данных, принимающей для различных лабораторий значения от, примерно, 15% и до 19%, вариацией исходных данных, связанной с процедурой шкалирования, можно в дальнейшем пренебречь.
Важным показателем качества представления данных зависимостью (5) - (6) является доля выбросов исходных данных, по которым оценивались коэффициенты регрессии. В нашем случае выбросы составляют около 2,5% , в абсолютном исчислении 7 точек. Из них за пределами 95% доверительных границ для линии регрессии находится всего одна точка (в табл. 7 выделена полужирным шрифтом).
Таблица 7.
Выбросы модели (5)
Лаб., ЭПР Лаб.,образцы Доза *mod Модель Отклонение Норм, откл
IMP IMP 1004 1387,83 1006,5 381.328 2,51
IMP GMBH 1500 1726,83 1502,0 224,823 2,57
IMP ISS 99,26 -85,2548 102,66 -187,915 -2,93
IMP ISS 1501 1123,6 1503,25 -379,654 -2,70
GMBH IMP 498 290,502 501,003 -210,501 -2,54
GMBH IMP 1519 2051,8 1520,98 530,811 4,36
ISS IMP 1004 1200,24 1006,5 193,741 2,87
В первой колонке указана лаборатория, в которой производились измерения, во второй - место изготовления образцов. В последней колонке представлен коэффициент стьюдентизированного отклонения, показывающий, во сколько раз отклонение модифицированного экспериментального измерения от модельного значения превышает стандартное.
Исключение выбросов из анализа, как показывают расчеты, приводит к статистически незначимому изменению коэффициентов модели (5) и не меняют гипотетических параметров модели (6).
За основу дальнейших рассмотрений возьмем калибровочную линию (6).
5. Обращение регрессионной зависимости (6)
С точки зрения калибровки ЭПР-измерений, значительный интерес представляет решение обратной задачи - восстановления измеряемой поглощенной дозы по наблюденному значению ЭПР-измерения.
Пусть получены к равноточных ЭПР-измерений у^г = 1,2. ..к, модифицированных в соответствии с правилом (4) и отвечающих одному и тому же значению х. Легко видеть,
что точечной оценкой х* истинного значения х измеряемой поглощенной дозы служит, В соответствии с моделью (6), величина X* = У^посЬ гДе *тос1 - взвешенное среднее измерений щ. Задача обращения калибровочной линии (6) состоит в нахождении х ■ 100% доверительных границ для х при известном значении х* = Утоа-
Если 5^0<1 (ж), - соответственно нижняя и верхняя доверительные границы для
Утой{х), так, что с надежностью и выполняется
^тоа(Ж) — *то<1(ж) < ^тоа^)’ то доверительные границы для х легко могут быть найдены из уравнений
х : ^тос!^) = ^тосК®)? '• ^тосД3') = ^тос!^)-
Границы У^"ос1(ж) даются соотношениями
Утоа(а:) =Х±*х- ж)24 + + ё—.
Для наших данных в2 = 1149,5 - оценка параметра а2, = 1,2-10~3, = 29,27 - оценки
дисперсий коэффициентов регрессии 01, #2, - х-100% коэффициент Стьюдента, к = 3 -
количество повторных измерений.
Например, для t>c = 2 для нахождения границ х~, х+ получаем уравнение
Утой - 1 ± л/0,002У^од - 2,045Утоа + 630 Ж _ 0,998 '
Полученные соотношения были использованы для пробного детектирования
поглощенных образцами доз. Для исследования были взяты результаты так называемого «слепого» теста, когда каждая из лабораторий измеряла образцы с неизвестной измерителю поглощенной дозой.
Результаты детектирования представлены в табл. 8. Предварительный анализ этих результатов показывает, что, как и следовало ожидать, надежность и точность детектирвания возрастает с ростом детектируемой дозы.
Таблица 8.
Результаты пробного детектирования
Измер. Изготов. Доза ЭПР *mod X x+
GMBH GMBH 0 0,1547 -6,4997 -31,9154 18,9160
GMBH GMBH 0 0,1715 -2,0011 -27,2329 23,2308
GMBH GMBH 0 0,2427 17,0294 -7,4276 41,4864
GMBH GMBH 120 0,6147 116,4605 95,9509 136,9702
GMBH GMBH 460 1,8380 443,4660 432,6538 454,2782
GMBH IMP 680 2,4432 605,2355 594,0367 616,4344
GMBH GMBH 1300 5,4333 1404,5131 1363,1619 1445,8642
GMBH IMP 1500 5,3039 1369,9354 1330,0822 1409,7887
Окончание табл. 8.
Измер. Изготов. Доза ЭПР Ymod X x+
ISS GMBH 0 83,9 83,8502 62,0676 105,6329
ISS IMP 0 37,5 -45,3257 -72,3389 -18,3125
ISS GMBH 0 80,6 74,6631 52,5177 96,8086
ISS GMBH 0 66,3 34,8525 11,1162 58,5887
ISS GMBH 120 131,5 216,3669 199,5655 233,1683
ISS IMP 150 86,8 91,9237 70,4585 113,3890
ISS IMP 350 197,5 400,1086 388,5985 411,6187
ISS GMBH 460 246,1 535,4092 524,9762 545,8423
ISS IMP 680 312,7 720,8213 706,8259 734,8166
ISS GMBH 1300 535,6 1341,3669 1302,7484 1379,9855
ISS IMP 1500 530,1 1326,0551 1288,0970 1364,0132
IMP GMBH 0 0,5441 -46,8900 -73,9680 -19,8120
IMP GMBH 0 0,4083 -88,0844 -116,8761 -59,2927
IMP GMBH 0 0,7311 9,8996 -14,8471 34,6463
IMP GMBH 120 0,8501 46,0123 22,7248 69,2998
IMP IMP 350 1,8655 354,2895 341,7536 366,8255
IMP GMBH 460 2,0594 413,1579 401,8885 424,4273
IMP GMBH 1300 5,1151 1340,7855 1302,1920 1379,3791
Работа выполнена при поддержке Евросоюза, в рамках интегрированного проекта SOUL (Southern Urals Radiation Risk Research), контракт FP6-516478
Литература
1. Ikeya, M. ESR dosimetry for atomic bomb survivors using shell buttons and tooth enamel / Ikeya М., Miyajima J., Okajima S //Japanese J. of Applied Physics. - 1984. - V. 23. -P. 697 - 699.
2. ISS protocol for EPR tooth dosimetry / Onori S., Aragno D., Fattibene P., Petetti E. and Pressello М. C. // Radiation Measurements. - 2000. - V. 32, Issue 5 - 6. - P. 787 - 792.
3. Shishkina, E.A. Issues in the validation of external dose: background and internal dose components of cumulative dose estimated using the electron paramagnetic resonance (EPR) method. Final Report for Milestone 7, Part 1. / E.A. Shishkina, V.A. Shved, M.O. Degteva, E.I. Tolstykh, D.V. Ivanov, S.N. Bayankin, A. Wieser, H.Y. Goksu, N.A. El-Faramawy, N. Semiochkina, P. Jacob, L.R. Anspaugh and B.A. Napier. - Chelyabinsk and Salt Lake City: Urals Research Center for Radiation Medicine and University of Utah; September 2003.
4. Assessment of performance parameters for EPR dosimetry with tooth enamel / Wieser A., Fattibene P., Shishkina E.A., Ivanov D.V., De Coste V., Gettler A., Onori S. // Radiation Measurements. - 2008. - V. 43, Issues 2 - 6. - P. 731 - 736.
5. Дрейпер, H. Прикладной регрессионный анализ. T.l / H. Дрейпер, Г. Смит. - Москва: ФиС, 1986.
Кафедра математического анализа,
Южно-Уральский государственный университет vzal@susu.ac.ru
Поступила в редакцию 24 сентября 2008 г.
