Статистический анализ разрушения балочных конструкций взрывной нагрузкой Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 532.528

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РАЗРУШЕНИЯ БАЛОЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ВЗРЫВНОЙ НАГРУЗКОЙ

Г. Т. Володин, Д. С. Кочергин

Представлена обобщенная методика обработки результатов экспериментов по определению условий гарантированного разрушения балочных элементов конструкций взрывом зарядов конденсированных взрывчатых веществ. Исходя из известных представлений и соотношений теории действия взрыва предложена методика планирования эксперимента по нахождению условий гарантированного разрушения деревянных балок взрывом зарядов конденсированных взрывчатых веществ (ВВ) сферической формы.

Ключевые слова: нагрузка, разрушение, балочная конструкция, взрыв, статистический анализ.

В предлагаемом исследовании обобщены теоретические подходы к обработке результатов экспериментов по гарантированному разрушению балочных элементов конструкций на случай балок, изготовленных из любых строительных материалов, при любых условиях закрепления. Найдены соотношения для вычисления минимального объема выборки, обеспечивающего наперед заданную точность и надежность получаемых результатов.

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности представляет собой множество значений расстояний от центра заряда ВВ до оси балки, при каждом из которых при взрыве заряда одной и той же фиксированной массы С происходит разрушение балки. Под разрушением балки понимаем потерю ее несущей способности вследствие разлома, трещин или разделения на фрагменты.

Будем предполагать, что случайная величина Х распределена нормально в силу влияния на неё множества факторов, каждый их которых вносит свою долю значения Х при её реализации в эксперименте.

Поставим задачу оценить неизвестное математическое ожидание а

по выборочной средней х и найти доверительные интервалы, покрывающие параметр а с надежностью у.

Выборочная средняя х есть случайная величина X, поскольку значения х изменяются от выборки к выборке, причём выборочные значения признака х1,х2,...,хп есть одинаково распределенные независимые случайные величины Х1, Х2,..., Хп, поскольку они также изменяются при каждой реализации эксперимента. Таким образом, математическое ожидание каждой из этих величин равно а и среднее квадратичное отклонение равно о.

Предположим сначала, что из теоретических соображений и соответствующих наблюдений [3, 6] известна величина о, кроме того параметры распределения X определены соотношениями [4]

236

Т7ч а

М(X) = а, а(X) =

4п'

где М (X) - математическое ожидание величины X. Будем считать, что выполняется соотношение

Р(|X - а < — = 7,

где 7 - заданная надежность.

Известно соотношение [4]

с

р( х - а <—=2Ф(—).

а

С учётом (1) из соотношения (3) получим

— Г

Р(|X - а\ <—) = 2Ф(——) = 2Ф(л) ,

а

где

Л

а

Следовательно, с учётом (5) равенство (4) запишем в виде

Р(

X - а

<Л) = 2Ф(л).

V«

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Учитывая, что вероятность Р задана и равна 7 , окончательно по-

лучим

Р(

х -

Ла

V«

— ла

< а < х + ) = 2Ф(л):

V«

причём л определяется из уравнения

2Ф(Л) = 7.

Таким образом, получен доверительный интервал

(х-Ща;х+Ща),

(7)

(8)

(9)

покрывающий неизвестный параметрас надежностью 7, при этом точ ность оценки находится по формуле

Ла

— =

у/Й

(10)

При проведении экспериментов и дальнейшей обработке их результатов следует учитывать, что при возрастании объема выборки число — убывает и, следовательно, точность оценки увеличивается. Однако увеличение надежности оценки 7 = 2Ф(л) приводит к увеличению л, так как функция Ф(л) возрастающая, и следовательно, к возрастанию —.

Таким образом, увеличение надежности классической оценки

Ла

х-а

<

(11)

влечёт за собой уменьшение её точности.

Предположим теперь, что требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью 8 и надежностью у.

Минимальный объём выборки, который обеспечит эту точность, найдём исходя из соотношения

2 2

« = *§-, (12)

которое получается из формулы (10).

Большой интерес представляет задача об оценке неизвестного математического ожидания а количественного признака Х, распределённого нормально при неизвестном о.

Тогда, как известно из [4], с использованием распределения Стью-дента можно получить доверительный интервал

- луБ - луБ

(х-^;х + (13)

л/п л/п

покрывающий неизвестный параметр а с надежностью у, где £ - исправленное среднее квадратическое отклонение, а величина г/у определяется из соотношения

| р(а

, п)йа = У , (14)

а2 п

где р(а, п) = Вп [1 +--] 2 - плотность распределения Стьюдента,

п -1

Г (

В =- 2

рп-Г). Г [«п-1» ]

где Г(у) - гамма-функция.

Найденный доверительный интервал имеет существенные особенности, которые следует учитывать при планировании эксперимента и последующей обработке экспериментальных данных. А именно, следует учитывать, что для малого объема выборки (п < 30) замена распределения Стьюдента нормальным (на этом основан рассматриваемый подход к оценке) приводит к грубым ошибкам, к неоправданному сужению доверительного интервала. Это объясняется тем, что малая выборка содержит и малую информацию. Однако рассматриваемый подход позволяет провести оценку параметра а при неизвестном о (пусть даже и грубо).

Список литературы

0

1. Саламахин Т.М. Физические основы механического действия взрыва и методы определения взрывных нагрузок. М.: ВИА, 1974. 255 с.

238

2. Володин Г.Т. Действие взрыва зарядов конденсированных ВВ в газовой и жидкой средах. Часть III. Взрывостойкость и гарантированное разрушение конструкций. Тула: Левша, 2005. 160 с.

3. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М.: Государственное издательство литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1961. 202 с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002. 479 с.

5. Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. 2-е изд. М.: ЛЕНАНД, 2014. 144 с.

6. Ржаницын А.Р. Теория расчёта строительных конструкций на надёжность. М., 1978. 239 с.

Володин Геннадий Тимофеевич, д-р техн. наук, проф., g. volodinayandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Кочергин Денис Сергеевич, магистрант, sir. cod4@yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

STATISTICAL ANALYSIS OF DESTRUCTION OF FRAME CONSTRUCTIONS BY

EXPLOSIVE LOADING

G.T. Volodin, D.S. Kochergin

The generalized method of processing of results of experiments of definition of conditions of the guaranteed destruction of frame structural elements is presented by explosion of charges of the condensed explosives. Proceeding from the known representations and ratios of the theory of action of explosion, the method of planning of an experiment of finding of conditions of the guaranteed destruction of wooden beams is offered by explosion of charges of the condensed explosives (E) of spherical shape.

Key word: loading, destruction, frame construction, explosion, statistical analysis.

Volodin Gennady Timofeyevich, doctor of technical sciences, professor, g. volodin@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Kochergin Denis Sergeyevich, undergraduate, sir. cod4@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University