Статистический анализ и кластеризация основных текстурных функционалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Galalu V.G. Digital analog converter for Fibonacci code // Материалы международной научной конференции «Оптимальные методы решения научных и практических задач». -Таганрог, 2005, Ч. 3. - С. 16-20.

2. Ратхор ТС. Цифровые измерения. АЦП / ЦАП. - М.: Техносфера, 2006. - 392 с.

УДК 004.932.1

ЕЛ. Патана

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И КЛАСТЕРИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ ТЕКСТУРНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ*

Введение. Основными задачами этапа предварительной обработки изображений являются задачи, связанные с фильтрацией изображений, определением , . -нейших шагов при анализе и обработке изображений. Для сегментации изображений наиболее распространенными являются методы, основанные на использовании текстур [1]. Сегментацию изображений можно определить, как процесс разделения изображения на непересекающиеся области с однородными свойствами,

, [2].

Одним из способов анализа текстур является определение характера изменения градаций тона внутри текстурных элементов. Для этого вводятся текстурные характеристики. Обычно они не зависят от положения объекта, его формы и раз. -бражения [1]. Наиболее распространенным является статистический метод, основанный на построении, так называемой, матрицы взаимного расположения градаций тона [1].

Матрица взаимного положения градаций тона. Пусть I = ||I(х, y)||NxM , хе{1,...,N} , yе{1,...,M} - цифровое изображение размером NхM пикселей. Будем считать, что элементы изображения I(х, у) принимают дискретные значения из некоторого K -элементного множества, например, из множества {0,1,2,...,255}. Матрицей взаимного расположения градаций тона называется матрица Pd размера KхK , элементы которой определяются следующим образом:

P ^ j) = |{((Х1, У1 ^ (Х2 , У2) ) I I(XP У1) = ', 1 (Х2 , У2) = j}|,

где (х1,у), (х2,у2) = (Xj + dx,у + dy) - координаты пикселей в I [1]. Вектор d = (dx, dy) н^ывается вектор ом смещения.

В работе предлагается построение инвариантной матрицы PdS относительно углов поворота изображения. Рассмотрим исходное цифровое изображение размером NхM пикселей: I = ||l1 (х,y)||NxM , хе{1,...,N} , y е{1,...,M} . Изображение

I1, повернутое на угол равный 180, обозначим через 12 (рис. 1). Рассчитаем матрицу Pd(Ij) для некоторого вектора смещения d . Затем повернем изображение I1

* Работа выполнена при поддержке РФФИ, проекты № 08-07-00129, 07-07-00067 192

на угол равный 180° и вычислим матрицу р (I2) с тем же вектором смещения 3 . Нетрудно видеть, что Р3 (12) = Р-3 (11). Иными словами, расчет матрицы взаимного

расположения градаций тона для вектора 3 по изображению, повернутому на угол равный 180, эквивалентен расчету матрицы по исходному изображению, но для противоположно направленного вектора смещения (-3 ). Далее получим матрицу Р3 , инвариантную относительно углов поворота изображения кратных 180. Для этого построим усреднение по двум противоположным направлениям для вектора

3 : Р33 = і(Р3 (І1) + Р-з (/1)). Заметим, что Р3 (11) = Р-3 (11), поэтому матрица Р3

является симметричной.

♦Г

7

а) исходное изображение 11 б) изображение 12

Рис.1. Поворот исходного изображения на угол равный 180

Построим матрицу Р? инвариантную относительно углов поворота изображения кратных 450. Поскольку матрица Р? инвариантна относительно углов поворота изображения кратных 180, то для построения Р? будем рассматривать четыре поворота (00, 450, 900,1350 ) вместо восьми возможных. На рис. 2 представлены схематические примеры исходного изображения 11 (рис. 2,а), 12 - изображение 11, повернутое на угол 450 (рис. 2,6), 13 - на 900 ^с. 2^), 14 - на 1350 ^с. 2^).

а) І1 б) 12 в) Із г) 14

Рис. 2. Повороты исходного изображения на углы кратные 450

Аналогично предыдущему случаю построим симметричную матрицу взаимного расположения градаций тона Р(0^у)(11) по изображению 11 для вектора 3 = (0, dy), затем рассчитаем матрицу Р(0 у) (12) для того же вектора. Отметим,

ЧТО Р(0,3у) (12 ) = Р(-3х,3у) (11 ) = Р(3ж,-3у) (1 ) .

Для изображений I3 и 14 получим следующие матрицы:

P(0,dy)(Із) = P-Л,0)(Il) = P(Sx,0) (Il):

P(0, dy)(14) = P

(- dx,-dy)

(Il) = P( kdy )(Il).

При построении матрицы Р3 , инвариантной относительно углов поворота изображения кратных 45°, выполним усреднение по четырем направлениям:

4 (

PS =-

pS I pS I pS + pS

1 ( dx,0) 1 (0,dy 1 (dx,dy)^ 1 (-dx,dy)

)•

л 41

В задачах цифровой обработки изображений могут возникнуть ситуации, когда встречаются одинаковые текстуры, повернутые друг относительно друга на угол кратный 45°. В этом случае инвариантные текстурные функционалы, предложенные в данной работе, обеспечат идентификацию данных текстур как эквива-, , , .

Корреляционный анализ статистических функционалов. Для сегментации изображения достаточно построить области, для которых элементы матрицы Р? совпадают. Однако ввиду зашумленности изображения и естественной неоднородности элементы матрицы будут иметь статистический разброс. Поэтому на практике ищут области, в которых обеспечивается примерное постоянство некоторого функционала, определенного на элементах матрицы Р? . Как правило, применяемым для этого функционалам можно придать вероятностный или физиче-. , , -, . Для двумерного случая перечень функционалов приведен в таблице. В приведен-

ных выражениях fix

My и ох

о - оценки математических ожидании и средне-

квадратических отклонений, вычисленных по элементам матрицы P?

Текстурные характеристики

Таблица

Энергия: Автокорреляция:

I1] Н ^ j)2 • /=0 j=0 Z1] (J) H & J). /=0 j=0

: :

I I - J\H (i, j). /=0 j=0 I1] (/■ - j)2 H (^ j). /=0 J=0

: Z Z (/ -m )( j -m) H (/, j ) /=0 j=0 Тень кластера II (/+j-m-My )3 H (/, J). /=0 j=0

Однородность: Выпуклость кластера:

S g + (,-j)2 PP (/, j). II(i+J-M-My)4Pa J). /=0 j=0

: -I I P(i, J )ln Н (/, j). / =0 j=0 : max{P/ (/, j)}. ij

Несмотря на то, что выбор функционала может быть сделан произвольно и при этом результаты сегментации будут, вообще говоря, различными, экспериментальные исследования показали, что некоторые функционалы из указанного перечня дают примерно одинаковые результаты сегментации. Это говорит о том, что «статистическое поведение» некоторых функционалов в задачах описания текстурных характеристик с помощью матрицы градаций тона совпадает. В данной работе ставится и решается задача кластеризации множества функционалов по этому принципу. Это позволяет существенно уменьшить их количество (т.е. устранить имеющуюся избыточность функциональных характеристик) и выделить наиболее информативные функционалы для решения задачи сегментации текстурных областей. С этой целью проведен корреляционный анализ указанных функциона-,

,

.

Пусть F = {^...,^} - множество текстурных характеристик (в данном

конкретном исследовании ш = 1°). В результате генерации последовательности случайных изображений получено N наборов значений для этих функционалов, таким образом, сформирован случайный вектор X = (Хк1, Хк2,..., Хш), к = 1,2,...,N , N = 1°°°°° . Основная задача корреляционного анализа состоит в оценке корреляционной матрицы X генеральной совокупности X по выборке ограниченного объема. По вектору X = (Хк1,Хк2,...,Хш) вычисляются коэффициенты парной корреляции р у текстурных характеристик. Совокупность коэффициентов корреляции образует нормированную корреляционную матрицу ||р1у ||_ = .

При этом, чем больше модуль г у = ру |, тем сильнее линейная зависимость между функционалами f и fj.

Проведенные статистические исследования показали наличие сильной линейной зависимости между следующими текстурными функционалами с соответствующими коэффициентами корреляции: корреляцией и контрастом (-°,77°9), энергией и энтропией (-°,9998), инерцией и контрастом (°,9617), инерцией и корреляцией (-°,7412), энергией и максимальной вероятностью (°,9157), энтропией и максимальной вероятностью (-°,9159).

Для выделения статистически линейно независимых функционалов структурируем множество текстурных функционалов, разбив его на непересекающиеся классы по признаку линейной зависимости. После этого из каждого класса выделим один функционал, являющийся его представителем и полученное множество представителей статистически линейно независимых функционалов будем использовать для сегментации текстурных изображений.

Поскольку в дальнейшем нас будет интересовать только степень попарной

зависимости функционалов, то рассмотрим матрицу К = | |гу||, = , составленную из

модулей коэффициентов корреляции.

Матрица К индуцирует некоторое метризованное отношение ^ на множестве функционалов F, а т.к. ° < гу < 1, то это отношение можно рассматривать как

,

функционалов. Если гу = ° , то функционалы достоверно не имеют линейной зави-

симости, а если, напротив, г ^ = 1, то между функционалами f .! и существует строгая линейная зависимость. Таким образом, величины гу можно рассматривать как значения функции принадлежности, определенной на Рх Р. Поскольку из свойств коэффициента корреляции следует, что г№ = 1, г = гр, I,] = 1,...,п, то 9 -рефлексивное и симметричное отношение, а, следовательно, 9 является нечетким отношением сходства. Однако 9 в общем случае не является нечетким отноше-, .

Поставим задачу разбить множество функционалов Р на непересекающиеся , , -лее сильно статистически линейно связанных между собой. Данная задача равносильна введению отношения эквивалентности на Р, обладающего указанным свойством. Ясно, что решить эту задачу, пользуясь непосредственно отношением 9 , не удастся, поскольку ввиду нетранзитивности отношение сходства порождает разбиение на пересекающиеся классы. Для нахождения разбиения Р на не пересекающиеся классы необходимо преобразовать 9 в отношение эквивалентности 9 , максимально сохранив при этом информацию о попарной зависимости функционалов. Это можно сделать с помощью процедуры транзитивного замыкания нечетких отношений [4].

Рассмотрим 9 - транзитивное замыкание отношения сходства 9, порожденного корреляционной зависимостью функционалов из Р. Характерной особенностью нечеткого отношения 9 является то, что путем выделения а -уровней из 9 можно получить семейство обычных отношений эквивалентности, которым будет соответствовать семейство вложенных по измельчению разбиений множества Р. Пусть 9 - отношение подобия в РхР , тогда 9 = тахах9а, 0 <а< 1,

а

где 9а - отношения эквивалентности в смысле обычной теории множеств.

Применяя операцию транзитивного замыкания к матрице парных коэффициентов корреляции для двумерного случая матрицы РI, получим отношение эквивалентности 9 . Примеры графического представления данного разбиения для некоторых значений порогового уровня а приведены на рис. 3. Номера точек на изображениях соответствуют номерам текстурных функционалов, представленных . -мости от порогового уровня а .

а = 0,1893 а = 0,4674 а = 0,7709

Рис. 3. Разбиение на классы эквивалентности для матрицы Р3 Данный анализ текстурных характеристик позволяет выбрать те функциона-

, .

Возьмем пороговый уровень линейной зависимости а = 0,7709, таким образом, выбираем следующие текстурные характеристики: корреляция,однородность, энтропия,автокорреляция,тень кластера,выпуклость кластера.

Сегментация текстур. Текстурная сегментация является одной из сложных задач анализа текстур по причине отсутствия априорной информации о количестве и типе текстур, присутствующих на изображении, а также о принадлежности конкретной текстуры к некоторой области. Фактически, не всегда требуется знать,

какие специфические текстуры находятся на изображении для того, чтобы провес-

ти текстурную сегментацию. Все что требуется - это способ, который определяет, какие текстуры в смежных областях изображения являются различными.

Существует два основных подхода к сегментации изображений [1]. Первый подход основан на выделении областей. В данном подходе определяются области изображения, которые имеют однородную текстуру. Этот метод имеет преимуще-, , -ласти с различными текстурами всегда хорошо разделимы. Используя данный , .

. -

. -

ными текстурами не определены, как разделенные замкнутые области.

В работе используется подход, основанный на выделении областей, поэтому ниже ставится и решается задача об автоматическом определении количества текстур на исходном изображении.

Метод нахождения количества текстур. Способ нахожде ния числа текстур, предложенный в работе, основывается на анализе текстурных характеристиках, рассчитанных по всему изображению. Для этого исходное изображение непрерывно сканируется прямоугольным окном (подобласть изображения). Непрерывное сканирование предполагает смещение окна, как вдоль горизонтального направле-, ,

Для каждого текущего положения окна рассчитывается матрица Р?(г,у),

вектор смещения й выбирается из априорной информации об ориентированности текстуры, направление й должно сов падать с ним. По матрице Р? (г, у), для каждого случая в отдельности, рассчитываются текстурные характеристики и их значения ставятся в соответствие центру окна. В результате получается, что каждой точке изображения соответствует вектор из десяти текстурных характеристик, за исключением приграничных областей, это связано с особенностями сканирования.

Далее по известным значениям функционалов строится гистограмма их рас,

отдельности. Анализ гистограмм показывает, что наблюдаются ярко выраженные максимумы и некоторые шумы в распределении. Количество четких максимумов соответствует количеству текстур на исходном изображении. Каждая текстура, присутствующая на изображении обладает определенным значением текстурной

,

значения имеют статистический разброс и некоторые шумы. Чтобы избавиться от шумов в распределении, каждое значение гистограммы усредняется по соседним значениям. В усредненной гистограмме сглажены шумы, т.е. случайные максимумы, значения которых не соответствуют характерным значениям текстур, присутствующих на изображении. Таким образом, по усредненной гистограмме можно определять количество максимумов, которое будет соответствовать количеству текстур на рассматриваемом изображении. Для решения данной задачи разработан

алгоритм и написана программа, которая производит усреднение по соседним зна-,

.

максимумов [3].

Сегментация изображений методом выделения областей. Рассмотрим

, Рй .

, , -, , размером m х п пик селей, где m < M , п < N , Ми N - размеры изображения.

Рй , , ,

вычисляются значения текстурных функционалов. В итоге центру каждого окна исходного изображения ставится в соответствие вектор текстурных характеристик Р = (Рх,-К,,...,Рп)Т , подсчитанный внутри окна. Каждой точке изображения будет соответствовать вектор характеристик.

Резкое изменение значений текстурных характеристик будет свидетельствовать о наличии границы между текстурными областями. Далее для каждого функционала (элемента вектора Р) производится процесс сегментации с известным значением количества текстур, присутствующих на изображении. Сегментация текстур осуществляется с помощью алгоритма кластеризации к -средних.

В качестве примера работы алгоритма рассмотрим радиолокационное изображение морского залива. Сегментацию будем проводить на основе функционала

. . 4. -

ния равен й = (0,1), а размер сканирующего окна составляет 15х13 пикселей. Описанный выше алгоритм обнаружил на изображении две текстуры.

а б в

Рис. 4. Сегментации изображения на основе функционала автокорреляции: а) исходное изображение; б) карта характеристик; в) результат сегментации

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Tuceryan M., Jain A.K. Texture Segmentation Using Voronoi Polygons, IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1990, pp. 211-216,.

2. Fletcher N.D. Multi-scale Texture Segmentation of Synthetic Aperture Radar Images, PhD Thesis. 2002, - 44 p.

3. Патана EM. Метод расчета количества текстур для выполнения сегментации изображений. // Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте. Сборник трудов IV-й Международной конференции, 2007. - С. 220-224.

4. Рыжов АЛ. Элементы теории нечетких множеств и ее приложений. - М.: Изд-во МГУ, 2003. - 71 с.