Статистический анализ числа разделений отцепов на стрелках при расформировании составов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 656.212.5:681.3

В. И. БОБРОВСКИЙ, А. В. КУДРЯШОВ, Л. О. ЕФИМОВА (ДИИТ)

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧИСЛА РАЗДЕЛЕНИЙ ОТЦЕПОВ НА СТРЕЛКАХ ПРИ РАСФОРМИРОВАНИИ СОСТАВОВ

Розроблена методика визначення матриц роздшень ввдчешв составу, виконано статистичний ан^з числа роздiлень та його зв'язку з числом ввдчешв у составi.

Разработана методика определения матрицы разделений отцепов состава, выполнен статистический анализ числа разделений и его связи с числом отцепов в составе.

The procedure of determination of disintegration matrix of the uncoupled parts of a train has been developed. The statistical analysis of a number of disintegrations and its connection with a number of the uncoupled train parts has been also performed.

Эффективность функционирования сортировочных горок в значительной мере определяется условиями разделения отцепов расформируемых составов на разделительных элементах. В этой связи задача обеспечения надежного разделения отцепов на стрелках является одной из основных как при проектировании сортировочных горок, так и при совершенствовании их технических средств и технологии, а также при автоматизации управления роспуском состава.

Как показал анализ научных работ перечисленных направлений, которые касаются проблемы интервального регулирования скорости отцепов на горках [1-3], в них рассматриваются процессы разделения на стрелках только смежных отцепов. В то же время, как следует из [4], в процессах разделения на стрелках могут участвовать, кроме смежных, также и отцепы, разделенные некоторой группой других отцепов состава (несмежные отцепы). При этом в данной работе показано, что при определенных режимах торможения интервалы между отдельными несмежными отцепами могут оказаться меньше допустимых. В этой связи в [4] был выполнен анализ вероятностей вторичных разделений отцепов состава на стрелках сортировочной горки и получено выражение для их определения. Кроме того, на основе указанных вероятностей была получена оценка удельного числа разделений гп, приходящихся на одну пару отцепов состава, которая может служить характеристикой сложности сортировочного процесса на горке.

В то же время необходимо указать, что разработанная в [4] методика определения величины гп эффективна лишь для составов с неболь-

шим числом отцепов п . С ростом же п определение указанным способом величины гп становится весьма затруднительным из-за существенного возрастания числа разделений на стрелках несмежных отцепов. Поэтому для определения величины гп при расформировании на горках реальных составов целесообразно использование статистического метода, основанного на анализе вероятностных характеристик разделений в выборках из достаточно большого числа составов со случайными назначениями отцепов.

Следует также заметить, что выражения, приведенные в [4], получены для равновероятного распределения отцепов по сортировочным путям. Поэтому для реальных горок, на которых вероятности следования отцепов на отдельные пути сортировочного парка различны, статистический метод определения гп вообще является практически единственно возможным. В этой связи в данной статье разработана методика оценки среднего значения гп, которая основана на определении фактического числа разделений отцепов в необходимом множестве составов со случайными назначениями отцепов и последующей статистической обработке полученных результатов.

Число Q возможных вариантов состава из п отцепов, отличающихся их назначениями, при расформировании на горке с М сортировочными путями определяется как

Q = М ■ (М - 1)п-1. (1)

Очевидно, что составы из указанного множества Q будут отличаться распределением от-

дельных отцепов по маршрутам скатывания с горки и, соответственно, совокупностью номеров разделительных стрелок.

Для удобства анализа разделений маршрутов конкретного состава их целесообразно представить верхней треугольной матрицей (см. рис. 1), строкам и столбцам которой поставлены в соответствие номера путей назначения последовательности его отцепов.

отцепов состава с номерами к1, к2,..., кы . При

W1 W2 W3 ... W п-1 W п

W 1 0 с12 с13 с1,п—1 с1,п

W2 0 с23 с2,п—1 с2,п

W3 0 с3,п—1 с3,п

W

п-

W

0 сп—1,п

0

Рис. 1. Верхняя треугольная матрица номеров разделительных стрелок отцепов состава

Элементами матрицы с, г < у являются

номера стрелочных позиций, на которых разделяются маршруты г -го и у -го отцепов, следующих, соответственно, на пути Wi ; элементы с у = 0 для всех г = у. Тогда очевидно,

что общее число возможных разделений маршрутов п отцепов состава (элементов матрицы Су Ф 0) равно:

К =

п(п -1) 2

(2)

этом г < к1 < к2 <... < кы

и Сг,к1 <Сг,к2 < - <сг^ •

Поэтому, если в строках матрицы с элемент

сг к <сг ■, к > у, то принимается сгк = 0 . Это

означает, что к-й отцеп не может разделяться с г-м на стрелке сг к , так как между ними данную

стрелку проследует один или несколько других отцепов с номерами из интервала [г+1, к-1].

Если несмежные г -й и у -й отцепы (г < у — 1) следуют на один и тот же путь (Wi = ), то у них не может быть разделения

на стрелках и поэтому в данном случае также Су = 0 . Кроме того, при этом у -й отцеп блокирует все возможные последующие разделения г -го отцепа с отцепами, имеющими номера больше у; в этом случае сгк = 0 для всех к > у .

Таким образом, в каждой строке и в каждом столбце матрицы ||с|| может быть не более N ненулевых элементов с у Ф 0 . С учетом данного

вывода для достаточно больших составов (п > N) число возможных разделений отцепов можно ограничить величиной

(2п — N — 1) • N

^ ,п = '

2

Число Яп является верхним пределом числа возможных делений на стрелках п отцепов состава. При этом, как показал анализ, фактическое число делений отцепов Яп меньше указанного значения Яп для всех составов, в которых п > 3 (при п = 3 значение Я3 = 3 и, как показано в [4], существуют составы, для которых выполняется равенство Я3 = Я3).

Действительно, разделение отцепов на стрелке Су имеет место, если при роспуске состава

с момента освобождения этой стрелки г -м отцепом до момента занятия её у -м отцепом по ней не проследует никакой другой отцеп с номером к , г < к < у . Из этого следует, что у г -го отцепа на каждой стрелочной позиции с по маршруту скатывания (с = 1, 2, ..., N, N — число стрелочных позиций) может быть не более одного разделения с одним из последующих

Следует заметить, однако, что фактическое число разделений отцепов состава Яп не может достигнуть и величины Я*п при всех п > 3 . Для доказательства данного утверждения рассмотрим группу из 3-х отцепов, в которой имеет место 3 разделения, и добавим к ней 4-й отцеп. Для примера на рис. 2,а...г приведены 4 треугольные матрицы номеров разделительных стрелок в группах из 4-х отцепов, отличающихся номером пути назначения 4-го отцепа; при этом принято, что сортировочный парк имеет М =16 путей и, соответственно, N = 4 стрелочные позиции.

Как было показано выше, для того, чтобы в группе из 3-х отцепов было 3 разделения, нужно чтобы обе ее пары отцепов (1-2 и 2-3) разделялись на одной и той же стрелке (с12 =с23 =с); при этом номер стрелки разделения первого и третьего отцепов с13 >с (на рис. 2 с12 =с23 = 2, с13 = 3 > 2). Тогда, если

п

Ж 1 5 3 2

1 0 2 3 4

5 0 2 0

3 0 3

2 0

с=2, Я=5

с34 = 3 > с

Ж 1 5 3 7

1 0 2 3 0

5 0 2 3

3 0 2

7 0

с=2, Я=5

Ж 1 5 3 4

1 0 2 3 0

5 0 2 0

3 0 4

4 0

с=2, Я=4

с34 = 4 > с

Ж 1 5 3 9

1 0 2 3 0

5 0 2 0

3 0 1

9

с=2, Я=4

с34 = 1 < с

34

Рис. 2. Треугольные матрицы номеров разделительных стрелок в группе из 4-х отцепов при различном

пути назначения 4-го отцепа

4-й отцеп проследует стрелку с, то он может иметь вторичное разделение только с одним из отцепов (с 1-м или со 2-м). Выбор зависит от направления проследования стрелки с. Так, на рис. 2,а 4-й отцеп, имеющий назначение на 2-й путь, проследует стрелку 2 в направлении за 1-м отцепом, который движется на 1-й путь; при этом отцепы 1 и 4 имеют разделение на стрелке 4.

На рис. 2,б 4-й отцеп имеет назначение на 7-й путь и проследует стрелку 2 в направлении за 2-м отцепом, который следует на 5-й путь; при этом отцепы 2 и 4 имеют разделение на стрелке 3.

Указанного вторичного разделения отцепа 4 с отцепами 1 или 2 может и не быть. Ему может препятствовать предыдущий 3-й отцеп, который сам имеет вторичное разделение с отцепом 1 (см. рис. 2,в). Также дополнительного разделения в группе не будет, если 4-й отцеп не проследует стрелку с (см. рис. 2,г).

Случай блокирования возможного разделения несмежных отцепов показан на рис. 3. На данном рисунке приведена матрица номеров разделительных стрелок в группе из 4-х отцепов, которая отличается от приведенной на рис. 2,а назначением 3-го отцепа, следующего на тот же 1-й путь, что и 1-й отцеп.

Ж 1 5 1 2

1 0 2 0 0

5 0 2 0

1 0 4

2 0

с=2, Я=3

Ж1 = Ж3 = 1

Рис. 3. Матрица номеров разделительных стрелок в группе из 4-х отцепов при совпадении путей назначения 1-го и 3-го отцепов

В данной группе, во-первых, отсутствует разделение 1-го и 3-го отцепов, поскольку они следуют на один и тот же путь. Во-вторых, в данном случае нет и разделения отцепов 1 и 4

(ср. с рис. 2,а), поскольку за 1-м отцепом по тому же маршруту следует отцеп 3, который его блокирует, а вместо этого сам разделяется с 4-м отцепом на стрелке 4. Поэтому очевидно, что в данной группе происходит только 3 разделения смежных отцепов.

Таким образом, максимальное число разделений в группе из 4-х отцепов Я4 = 5 < Я* 4, где

Я4*4 = 6 . Это подтверждает сделанный вывод для п = 4; при любых п > 4 утверждение, что Яп < Я* п, может быть доказано методом полной индукции.

Дальнейшие исследования позволили получить выражение для определения максимального числа разделений в составе из п отцепов:

N

Я- =Е (п - 2*-1),

Ук (2*-1 < п).

(3)

к=1

С помощью данного выражения были определены величины максимального числа разделений ЯN

чений ^ = Ятах

и соответствующих удельных зна-N п /(п -1) в составах из п отце-

пов при их расформировании на горках с различным числом путей в сортировочных парках (см. табл. 1).

Значения минимального числа разделений

Яптт и их удельных значений пт в составах из п отцепов очевидны и определяются как

Япт1П = п-1,

= 1.

(4)

и не зависят от числа путей в сортировочных парках.

Как показывает анализ данных табл. 1, максимальное число разделений отцепов в составах значительно превышает соответствующие минимальные значения, которые включают только разделения смежных отцепов. При этом разница между максимальными и минимальными значениями существенно возрастает с увеличением числа отцепов в составах и числа сорти-

0

ровочных путей. Данное обстоятельство свидетельствует о необходимости учета разделений несмежных отцепов в процессе расформирования составов при решении широкого круга задач, касающихся функционирования сортировочных горок.

Таблица 1

Максимальное число разделений в составах из п отцепов

п 8 путей 16 путей 32 пути

отах К3п г тах 3,п птахх К4п г тах '4,п птах К5п г тах 5,п

3 3 1.50 3 1.50 3 1.50

4 5 1.67 5 1.67 5 1.67

5 8 2.00 8 2.00 8 2.00

10 23 2.56 25 2.78 25 2.78

15 38 2.71 45 3.21 45 3.21

20 53 2.79 65 3.42 69 3.63

25 68 2.83 85 3.54 94 3.92

30 83 2.86 105 3.62 119 4.10

40 113 2.90 145 3.72 169 4.33

50 143 2.92 185 3.78 219 4.47

Полученные выражения (3), (4) позволяют установить возможные пределы изменения числа разделений отцепов в составах. Однако, для решения практических задач более важно установить средние значения величин Яп и гп для потока составов, расформируемых на горке. Для оценки указанных параметров Яп и гп вначале был выполнен анализ разделений в группе из 4-х отцепов; результаты анализа возможного числа вторичных разделений К4вт в группе, расформируемой в сортировочном парке с 8 путями, приведены в табл. 2.

Таблица 2

Распределение вторичных разделений в группах из 4-х отцепов на стрелках горки с 8 путями

Число вторичных Пары Число Всего

разделений К4вт отцепов групп gR групп

0 - 1176 1176

1-3 416

1 1-4 304 1136

2-4 416

1-3 и 2-4 304

2 1-3 и 1-4 64 432

1-4 и 2-4 64

Итого 2744 2744

на стрелках, и определено количество групп с различным числом вторичных разделений. Как было показано выше, их число в группе принимает три возможных значения К4вт = 0, 1, 2; при этом общее число разделений К4 составляет, соответственно, 3, 4 или 5.

Подобный анализ был выполнен также для горок, имеющих 16 и 32 пути в сортировочном парке, для которых число различных групп из 4-х отцепов, соответственно, равно 54000 и 953312 (см. табл. 3). На основе полученных данных были определены вероятности РК отдельных значений числа разделений в группе (К4= 3, 4, 5), а также их математические ожидания М[К4 ] и М[г4 ]. Полученные результаты согласуются с данными о максимальных значениях соответствующих параметров, приведенных в табл. 1 (3< М [К4 ] <5, 1< М [г4 ]<1.67).

Как видно из приведенных данных, вторичные разделения в среднем почти на 30% увеличивают их общее число даже в коротких группах из 4-х отцепов; при этом с ростом числа путей в сортировочном парке указанный эффект возрастает.

Таблица 3

Параметры, характеризующие число разделений на стрелках в группах из 4-х отцепов

Число путей в сортировочном парке

К 4 8 16 32

gR Р К gR Р К gR Р К

3 1176 0.429 20400 0.378 338272 0.355

4 1136 0.414 22880 0.424 406720 0.427

5 432 0.157 10720 0.199 208320 0.219

Итого 2744 1.000 54000 1.000 953312 1.000

М [к ] 3.729 3.821 3.864

М [г ] 1.243 1.274 1.288

В соответствии с (1) общее число групп из 4-х отцепов, имеющих различные назначения на 8 сортировочных путей, составляет 2744. В табл. 2 указанные группы были классифицированы по парам отцепов, имеющим разделение

Следует заметить, что проведение подобных исследований для составов с большим числом отцепов п весьма затруднительно. Дополнительные сложности возникают при анализе горок, имеющих несимметричную конструкцию пучков сортировочных путей, а также различные вероятности поступления отцепов на пути парка. В этих условиях для оценки параметров Яп и гп предложено использовать методы статистического анализа числа разделений отцепов на стрелках для заданной горки и потока составов со случайными назначениями. С этой целью была разработана методика определения фактического числа разделений отцепов в конкретных составах. Методика предусматривает

определение всех элементов матрицы номеров стрелок ||с|| для конкретной горки и состава с помощью булевых функций:

с = ф(Сг, С-),

где , С - - коды путей назначения 7 -го и - -го отцепов.

Код каждого сортировочного пути ^ формируется таким образом, чтобы по нему можно было определить положение стрелок в маршруте на данный путь. Указанный код в двоичной форме состоит из N разрядов по числу стрелочных позиций на горке. Каждый разряд кода принимает два значения: ук = 0, если к-я стрелка в маршруте установлена влево, ук = 1 - то же, вправо. Требуемое положение в маршруте головной стрелки с1 записывается в старшем

разряде кода. Десятичное значение кода пути ^ можно определить с помощью выражения:

С = £у к 2

N-к

к=1

Такое кодирование номеров путей назначения отцепов позволяет определить номер стрелки разделения для любой пары маршрутов как:

с- = N - 5

5 = 0,1,..., N -1.

При этом принимается такое 5, при котором выполняется условие

25

< 25

каждом из них определены все имеющиеся разделения.

В результате исследований установлено, что при достаточно большом числе отцепов в составе (10 и более) число разделений Я имеет нормальное распределение. Для примера в табл. 4 приведены результаты статистического анализа распределения случайного числа разделений в 10000 составов из 10 отцепов, расформируемых на горке с 32 сортировочными путями; указанные составы получены путем статистического моделирования случайных назначений отдельных отцепов.

Для проверки гипотезы о нормальном распределении величины Я использовался критерий согласия х2, значение которого вычислено по данным о статистическом т и теоретическом пр числе появлений отдельных значений Я в выборке (см. табл. 4). При расчете х2 были объединены два крайних значения ряда (22, 23) из-за малости соответствующих значений т. Тогда при уровне значимости а = 0.05 и числе степеней свободы V = 11 квантиль Х2и;095 = 19.68; поскольку по опытным данным X2 = 17.04 < 19.68, гипотеза о нормальном распределении величины Я может быть принята.

Таблица 4

Распределение числа разделений в составах из 10 отцепов, расформируемых на горке с 32 путями

Здесь (А1 © А2) обозначает операцию дизъюнкции с исключением.

Предложенная методика позволяет определять элементы треугольной матрицы ||с|| для

каждого конкретного состава, расформируемого на горке с любой конструкцией стрелочной горловины. Анализ матрицы позволяет установить общее число разделений отцепов состава, а также их распределение по отдельным стрелочным позициям.

Разработанная методика была использована для исследования вероятностей разделения отцепов в составах с их числом от 3 до 50 при их расформировании на горках с 8, 16 и 32 сортировочными путями. С этой целью было выполнено статистическое моделирование множества составов (106) с указанными параметрами и случайным назначением отдельных отцепов и в

Я т р пр

9 9 0.00186 18.550

10 57 0.00598 59.818

11 178 0.01890 189.011

12 462 0.04739 473.933

13 984 0.09431 943.121

14 1532 0.14896 1489.592

15 1838 0.18674 1867.406

16 1839 0.18582 1858.198

17 1454 0.14677 1467.664

18 917 0.09201 920.094

19 501 0.04578 457.811

20 168 0.01808 180.783

21 47 0.00567 56.651

22 13 0.00141 14.086

23 1 0.00033 3.282

10000 1.0000 10000.00

Параметры

Ы[Я]=15.48 Б[Я]=4.24 с[Я]=2.06 Х2= 17.04

В подтверждение гипотезы о нормальном распределении величины Я на рис. 4 совмещены гистограмма распределения числа разделений в составах из 10 отцепов и теоретическая кривая плотности / (Я), построенные по данным табл. 4.

m 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 R

Рис. 4. Гистограмма распределения числа разделений R в составах из 10 отцепов

C использованием разработанной методики был выполнен анализ влияния числа отцепов в составах n на число их разделений на стрелках. С этой целью рассматривались составы с различным числом отцепов n = 3...50; значения n соответствуют приведенным в табл. 1. Для каждого из n было выполнено моделирование 106 составов со случайными назначениями отцепов и установлено среднее значение удельного числа разделений rn. Кроме того, в каждой такой выборке были установлены составы с минимальным R^ и максимальным R^ числом разделений и по этим значениям определены,

соответственно, минимальное r

и макси-

мальное гп удельное число разделений как г = К /(п — 1).

Указанные исследования были выполнены для горок с симметричной конструкцией пучков при М = 8, 16, 32 пути и, соответственно, N = 3, 4, 5 стрелочных позиций и равновероятным распределением отцепов по сортировочным путям.

Результаты исследований для горки с 32 путями приведены на рис. 5; здесь показаны значения Гп, гтт, гптах для отдельных п, а также соответствующие зависимости г = /(п), полученные с использованием регрессионного анализа (Г = Л(п) - линия 1, гтт = /2(п) - линия 2, гтах = ^(п)_ линия 3). Для сравнения на этом же рисунке показаны теоретические зависимости минимальных гтт1п = /4(п) - линия 4, и максимальных гттах = /5(п) - линия 5, значений удельного числа разделений, построенные по данным табл. 1.

Как видно из приведенного рисунка, величина Гп нелинейно возрастает по мере увеличения числа отцепов в составе п . Вначале ско-

рость роста гп значительна, так что уже при п = 17 величина достигает 2, т.е. число вторичных разделений сравнивается с числом разделений смежных отцепов. При дальнейшем увеличении п интенсивность роста Гп существенно уменьшается, так что при п=50 величины Г5о =2.32. При этом следует помнить, что абсолютное число разделений в составе Кп непрерывно возрастает пропорционально числу отцепов п.

Как было показано выше, минимальное значение гпт1п = 1 при любом п (рис. 5, линия 4). Это означает, что в составе отсутствуют разделения несмежных отцепов. Такое значение гтт может быть получено, например, для состава, в котором каждый следующий отцеп следует на путь с большим (или меньшим) номером, чем предыдущий. Однако вероятность случайного появления таких составов достаточно мала и уменьшается с ростом п. Поэтому, как видно из рис. 5, уже при п > 15 в группе из 106 составов не встречается ни одного, для которого г = 1.

При этом величина гтт при п > 15 практически линейно возрастает (рис. 5, линия 2) и при п = 50 достигает 1.69, из чего можно сделать вывод, что для составов с большим п даже в самом лучшем случае число вторичных разделений почти достигает числа разделений смежных отцепов.

-5--

_ 1 _о

4

Рис. 5. Зависимости удельного числа разделений г от количества отцепов в составах на горке с 32 путями

Максимальное удельное число разделений гптах в коротких составах (п < 10) совпадает с соответствующими теоретическими значениями (рис. 5, линии 3 и 5). В дальнейшем степень влияния п на гпшах существенно уменьшается, а при п > 20 указанная величина остается практически неизменной, хотя ее теоретические значения продолжают возрастать. Так, при

4

3

2

п = 50 теоретически могут появляться составы, у которых гп = 4.47, хотя вероятность этого ничтожно мала.

Таким образом, исследования показали, что фактический диапазон изменения величины гп существенно меньше, чем теоретически возможный, причем степень его сокращения возрастает с увеличением п (например, при п = 50 теоретически г = 1...4.47, тогда как для реальных составов г = 1.69.3.02).

Для анализа влияния числа путей в сортировочном парке на частоту разделений отцепов на рис. 6 приведены зависимости среднего удельного числа разделений Гп = /(п,М) для различного числа путей М в парке (М = 8, 16, 32).

Рис. 6. Зависимости среднего удельного числа

разделений от количества отцепов в составах

Как видно из данного рисунка, удельное число разделений Гп заметно возрастает с увеличением числа путей М в парке, и, следовательно, на крупных станциях необходимость учета вторичных разделений возрастает.

Выводы

Выполненные исследования разделений отцепов состава на стрелках показали, что их число представляет собой случайную величину с нормальным законом распределения. Среднее значение удельного числа разделений, приходящихся на одну пару отцепов, нелинейно возрастает по мере увеличения числа отцепов в составе, так что в составах из 20 и более оцепов среднее число вторичных разделений превышает их число.

Установлены теоретические значения граничных значений удельного числа разделений и их связь с числом отцепов в составе. Показано, что в реальных составах предельные значений

числа разделений не достигают соответствующих теоретических значений.

В заключение необходимо отметить, что число вторичных разделений при расформировании достаточно длинных составов превышает число разделений смежных отцепов и поэтому их необходимо учитывать при решении широкого круга практических задач, направленных на повышение эффективности сортировочного процесса на горках.

Разработанная методика анализа назначений отцепов состава позволяет определять все их разделения на стрелках сортировочных горок с любой конструкцией горочной горловины. С ее помощью может быть выполнен анализ вариантов и выбор рациональной специализации сортировочных путей, при которой число разделений отцепов на стрелках минимально. Данная методика может быть также использована для определения кортежей разделяющихся отцепов состава, взаимосвязи которых необходимо учитывать при интервальном регулировании скорости в автоматизированных системах управления роспуском составов на горках.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Божко Н. П. Методика определения режимов торможения отцепов при анализе конструкций сортировочных горок // Механизация и автоматизация сортировочного процесса на станциях: Межвуз. сб. науч. тр., Вып. 229/15. - Д.: ДИИТ, 1983. - С. 30-36.

2. Явна А. А. Выбор специализации путей подго-рочного парка / А. А. Явна, Б. С. Пасерба, Л. В. Пальчик, А. Г. Кулькин // Железнодорожный транспорт, 1979, №9. - С. 28 - 30.

3. Скиба Е.П. Об одном алгоритме управления интервальными тормозными позициями на автоматизированной горке / Е. П. Скиба, А. Б. Устенко // Автоматизированные системы управления технологическими процессами на сортировочных станциях магистрального и промышленного транспорта: Межвуз. сб. науч. тр., Вып. 244/14. - Д.: ДИИТ, 1985. - С. 27-32.

4. Бобровский В. И. Вероятностные характеристики разделений отцепов состава на стрелках / В. И. Бобровский, А. В. Кудряшов, Ю. В. Чибисов // Вюник Дншропетр. нац. ун-ту залiзн. тр-ту iм. акад. В. Лазаряна, Вип. 18. - Д.: Вид-во Дшпропетр. нац. ун-ту залiзн. тр-ту iм. акад. В. Лазаряна, 2007. - С. 146-150.

Поступила в редколлегию 23.01.2008.