CC BY
13
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 171 1969
СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ЗВЕНЬЕВ В СЙСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ БЕТАТРОНОМ
В. М. РАЗИН
I
(Представлена объединенным научным семинаром факультета автоматики и
вычислительной техники)
Экспериментальным путем установлено, что такой важный выходной параметр бетатрона, как мощность дозы излучения, очень чувствителен к способу фазировки инжекции. В связи с этим представляет интерес постановка и рассмотрение вопроса о выборе оптимального соотношения параметров в схеме рис. 1, предназначенной для преобразова-
Рис. 1.
ний сигнала от пермаллоевого датчика нулевого магнитного поля в рабочей зоне.
Пермаллоевый датчик в момент перехода магнитного поля в месте установки датчика через нулевое значение генерирует импульсы напряжения /п, форма которых может быть представлена уравнением [1]:
/ п =
» ^
ю-8
1 + 6,75
&и>а
а
- Н2 Р
уу \з п" 1
4тГ
(1)
где //п.т. — амплитуда синусоидального магнитного поля в месте установки датчика; о) — круговая частота магнитного поля; — количество витков сигнальной обмотки на пермаллоевом сердечнике; 5С — площадь сердечника датчика;
а и Ь — коэффициенты, зависящие от магнитных свойств материала;
N — коэффициент размагничивания, зависящий от размеров сердечника ^ обмотки; ¿ — время.
Амплитуда напряжения /п.т. и длительность импульса на уровне / = 0,5/п.т, в соответствии с формулой (1) определяются соотношениями:
= ю-«, (2)
(а+4
, 1,5 (а+£)3 ■
43 —ъ—.■ <3>
В схеме рис. 1 импульс напряжения, описываемый уравнением (1), подвергается сначала фильтрации с целью ослабления влияния флук-туационных помех, вызванных перемагничиванием сердечника и другими причинами, а затем, после усиления в идеальном усилителе с коэффициентом усиления К-, подвергается диф'ференцированию. После дифференцирования импульс детектируется вблизи нулевого уровня и поступает на компарирующее устройство для выработки сигнала фазировки инжекции. Таким образом, схема рис. 1, с одной стороны, преобразует некоторый детерминированный сигнал, математическое описание которого дается формулой (1), рассматриваемой как математическое ожидание этого сигнала, причем параметр соЯп.т. в этой формуле является случайной величиной, зависящей от случайных изменений напряжения сети. С другой стороны, на этот сигнал накладывается помеха в виде белого шума, статистические свойства которого представлены соотношением
/?е.п.ш.М=О08М, (4)
где Яе.п.ш. — автокорреляционная функция флуктуацибнных помех;
£>0 — суммарная дисперсия флуктуационных шумов; о(т) — дельта-функцця.
Для упрощения расчетов произведем замену сигнала, форма которого задается уравнением (1), импульсом напряжения косинусои-дальной формы
и = 1_С08 <!>„*), (5)
причем амплитуда импульса ит должна быть равна амплитуде напряжения /п.т. из соотношения (2), а приведенная частота Фп на основании равенства (3) может быть приближенно определена соотношением:
2тг 2т, к
<0п = Т = 2^==ТТш//пд-
Попутно отметим, что амплитуда импульса £/т с датчика нуля поля и его длительность т0,5 на уровне и = 0,5 £/т могут быть легко измерены экспериментально, например осциллографическими методами, и использованы в приведенных ниже расчетах.
Полагаем, что уравнение (5) справедливо при 0 ^ 2тг/а при всех остальных напряжение ¿7 тождественно равно нулю. Легко видеть, что при соп£ = тг напряжение и достигает максимума.
/йт'' <6)
Прохождение импульса рассматриваемой формы через фильтр первого порядка в левой части схемы рис. 1 определяется суперпозицией переходных процессов включения RC — цепи одновременно
на постоянное напряжение и переменное напряжение —
UT.'Í ТС \
— — sin/шг--—J в виде уравнении для напряжения ис на емкости
и тока i через сопротивление г.
ит . . ( , тг \ ит wc = --— sin ü)ní---arete u)nT,----— x
2 Vi + 1®„7\)а V 2 l.j 2/1+(о>ПГ1)2
Xsin(--^-arctg je" ^ (1 - i тх); (7)
, n duz Cí/T0)n ' / тс ' \
'= Cl ^ = 2V1 + Wcos Г - T -arctg №nTl) +
+-sin (- — -arctgT —(8)
^ 27\KH-№)2 V 2 j ^ 2 7\ V '
Постоянная времени ТУ в уравнениях может быть сделана достаточно малой. Так, например, при сопротивлении катушки на пер-маллоевом сердечнике датчика 100 ом и емкости отводящих проводов 1000 пф постоянная времени Tt =0,1' мкеек. Это значение 7\ может быть увеличено путем включения в цепь'параллельно передаваемому сигналу безиндуктивной дополнительной емкости.
При анализе прохождения сигнала интерес представляет только рассмотрение видоизменений сигнала в средней его части, т. е.
в окрестности величины = я, или t — т0>5 = — . В практически до-
(0П
стижимых случаях величина ¿ = to,5 может иметь значениё порядка 1 — 10 мкеек. Отсвда следует, что в уравнениях (7) и (8) можно
пренебречь членами Се —»0 для рассматриваемых моментов времени. Момент времени, когда напряжение на емкости Сх достигнет максимума, соответствует моменту перехода тока i через нулевое значение и определится из уравнения:
eos --^— arctg wnTj j = 0. (9)
Практически а)п7\^0,03 и arctg ü)nследовательно
0)п= ТС + arCtg <0П7\ = ТС + ü)nT!. (10)
Полагая
tx =^Úf5 + 8l» (п)
найдем
\ = (12) причем амплитуда напряжения на емкости
£/, ■'.£/, „ Л 1
я-.т. =__-Т-; + ^ - и, 1 - V <Т\ ■ (13)
2/1 + (0)„ Ttf 2 \ 4
1
Итак, в результате прохождения импульса косинусоидальной фор-
мы с частотой сопи амплитудой 0т через фильтр первого порядка с ма-
31
лой постоянной времени форма импульса в основном сохраняется. Видоизменения в средней части импульса сводятся к тому, что появляется постоянное запаздывание и уменьшение амплитуды импульса
в п раз, где
1+^-. (14)
1+1Л+(шп7\)2 4
Из соотношения (13) видно, что с увеличением постоянной времени Т\ наблюдается соответствующее уменьшение амплитуды импульса. Это уменьшение амплитуды импульса после дифференцирования приведет к некоторому уменьшению крутизны продифференцированного импульса и увеличению дисперсии, т. е. для уменьшения дисперсии надо уменьшить постоянную времени Т\.
С другой стороны, для уменьшения дисперсии необходимо постоянную времени 71 увеличивать. Это видно из того, что после прохождения случайного процесса с корреляционной функцией (4) через фильтр первого порядка дисперсия будет иметь вид
£>Ф= — , (15)
27\
т. е. при увеличении постоянной времени Т1 дисперсия на выходе фильтра будет уменьшаться.
На выходе дифференцирующей цепи рис. 1 дисперсия от флуктуа-ционных шумов будет равна
п 1 /1
и БЫХ=—--7р- . (Ь)
Т1 lJ.il
' т2
Удовлетворить этим противоречивым требованиям можно посредством того или иного способа оптимизации. С этой целью необходимо сформулировать какой-либо критерий оптимальности.
Как известно, задача выбора критерия качества, подлежащего оптимизации, не может быть решена в рамках самой теории оптимальных систем [2]. В нашем случае для решения задачи оптимизации в качестве критерия качества можно взять сумму дисперсии шума на выходе фильтра и квадрата математического ожидания потери в амплитуде импульса в окрестности максимума. Сформулированный таким образом критерий качества на основании соотношений (15) и (13) принимает вид:
1- _1-У-—. (17)
2ТХ ^ у[+{щ1тх?) 4
Известными методами следует найти минимум функции С1(Т\) для некоторого оптимально го значения 7], которое и дает решение поставленной задачи. Аналитическое решение получается весьма громоздким, поэтому следует рекомендовать для отыскания оптимального значения 71 из уравнения (17) применение электронных цифровых вычислительных машин.
При некоторых соотношениях параметров функция <3(71) может и не иметь минимума. В этом случае должен быть сформулирован какой-либо другой критерий качества, позволяющий решить задачу оптимизации до кЬнца и в несколько ином плане.
Если предположить, что произведение соп71 мало, т. е. соп71<^1>
то из уравнения (17) приближенное условие минимизации функции (3
примет вид: _
5 Г 2 Г)
(18)
Расчет показывает, что для практических значений величин в соотношении (18) действительно 7]<0,1 мксек и Т! <^0,03. Преобразование импульса напряжения от датчика нуля магнитного поля дифференцирующей цепью и2С2 в правой части рис. 1 будем рассматривать в предположении, что изменения импульса в фильтре и\С\ пренебрежимо малс* и, следовательно, можно полагать, что на входы дифференцирующей цепи снова действует импульс, форма которого определяется уравнением (5), а амплитуда увеличена по оси ординат в К раз, где К — коэффициент усиления идеального усилителя в схеме рис. 1.
. Умножая почленно обе части уравнения (8) на сопротивление у2 и заменяя постоянную времени Т\* после несложных преобразований получим выражение для напряжения на выходе дифференцирующей цепи
иг. = -1-:
эт («>п£ — агс\ё оупТ2) шпГ2
VI + <П 1 +<Т\
(19)
При идеальном дифференцировании рассматриваемого сигнала с помощью дифференцирующего элемента, имеющего постоянную времени Г2, должно было бы быть получено напряжение
иг =---вт (20)
2
Вычислим суммарную задержку, которая имеет место в формирующих цепях канала фазировки, с целью получения статистической зависимости фазы инжекции от случайных изменений напряжения сети. Выше было установлено, что задержка в фильтре составляет
т. е. она не зависит от сетевого напряжения. В литературе [3] указывается, что оптимальное в смысле обеспечения лучшего дифференцирования и сохранения достаточной амплитуды после дифференцирования импульсов приблизительно прямоугольной формы значения параметра <.опТ2 определяется неравенством шп72<0,25. Это обстоятельство по-прежнему означает, что при рассмотрении переходных процессов в дифференцирующей, цепи при интересующем нас значении аргумента о)п£ ^ ти можно пренебречь в уравнении (19) экспоненциальной составляющей. В этом случае момент перехода дифференцированного напряжения ¿2 через нуль определится согласно соотношению (19) при аъ = 0 из решения уравнения:
эш — аг^шп7\) = 0. (21)
Из уравнения (21) получа-ем
= ъ + аг^ сопГ2. (22)
Полагая Т> — т0,5 + 82,
находим с учетом того, что —
о2 = — аг^ <оп7\. (23)
С0П
X3
Применяя приближенную формулу аг^ л: ~ х--— , справедли-
3
3. 5112. 33
вую с точностью до 0,1 % при — 0,29 < х < 0,29, определим временную задержку о2 при дифференцировании реально-й /?С-цепью
= (24)
Конечная крутизна нарастания напряжения на выходе дифференцирующей цепи после перехода через нуль и наличие определенного порога U0 срабатывания компарирующего устройства обусловливают задержку о3) которую определим следующим образом. Наклон кривой напряжения в функции времени на, выходе дифференциатора равен
dUu KUTKT% cos [<fl„£ — arctg ©пТа} ^5)
dt 2 V1 + <Т\
При o)nt = т: -f arctg wnr2 имеем
dUr, KU^IT ■ 1 .
(26)
М 2 V1 +<Т1
Следовательно, вблизи перехода через нуль и после этого момента
^--кит<т2 I
. 2 VI + <Т1
В момент компарирования иь = — UQ и t = 83, следовательно
. _2UyV\+<T\
киткт2
Суммарная задержка равна
2UnV\ +<Т1
(28)
8 = 8, + 8, + 8а = + Г2 [ 1 - -V1) + 2 • (29)
Из^уравнения (6) видно, что круговая частота о>п пропорциональна параметру ш//п.т. и, следовательно, напряжению сети, и, соответственно, амплитуде! импульса Ur, поэтому напишем
= (30)
где y ~ коэффициент пропорциональности.
Подставляя (30) в (29) и полагая, при to 1Т\ <С1,
получим
9II и Т -Y2/72T3
а = 7\ + —^— + iVi__ ? Vri а (31)
KUlfT* кит 3
В результате мы получили некоторую нелинейную функцию от случайного аргумента ¿/т, пропорционального соответствующим случайным изменениям напряжения сети. С целью линеаризации полученного уравнения положим ¿7Т = ¿/т0 + At/T, причем £/то = const будет соответствовать некоторому номинальному значению напряжения сети, а А£/т будет представлять чисто случайные отклонения от номинального значения. Учитывая, что
= + (32)
MJ
и полагая —-<с 1, можно произвести подстановку (32) в (31) и от-U т0
бросить из рассмотрения в полученном таким образом уравнении малые члены. Указанные преобразования позволяют написать
911 ИТ г2ГЗ т /2
8 ~ Т1 + Т9 Ч__0 + 0 2 — т 1 —
КчгиЪТг Кито 3
ш,! 6 + (ззх
г/™ \ Kfu*0T2 ки10 3
Теперь можно вычислить зависимость дисперсии центрированной случайной величины 8' = о — 80, определяемой последним членом в правой части уравнения (33), от дисперсии центрированной случайной величины Шт в виде соотношения
DIV) = ( 6/7о . ВД , 2fTlUio у
Щ0 \ KfUïoT2 ^ кито ^ 3 J ' [ }
Далее необходимо учесть дисперсию за счет действия флуктуаци-онных шумов. С учетом соотношения (27) момент перехода через нуль суммарной кривой преобразованного сигнала и случайного шумового напряжения определяется из решения уравнения
и.^- t + a\t) = 0 (35)
относительно переменной t. В уравнении (35) принято с целью упрощения расчетов ]/l -f- ^ 1, а сигнал a (t) является случайной составляющей за счет действия тепловых и магнитных флуктуацион-ных шумов, дисперсия которых определена соотношением (16). Производя замены с помощью равенств (30) и (32) и решая уравнение (35) относительно переменной t, получаем уравнение в первом линейном, приближении
2 a(t) 6 a(t)LUT KfU*0T2 KfUîoT2 ' . 1
Предполагая, что случайные величины А£JT(t) и a(t) не корре-лированы, вычислим результирующую дисперсию от действия флуктуа-ционных сигналов a(t) и случайных изменений напряжения сети AuT(t). Известно, что дисперсия Dxy произведения некоррелированных случайных величин х и у может быть определена по формуле
D (ху) = D(x) D (у) + D (х) m'y + Dymî, • (37)
где D(x), D(y), mx и my — дисперсии и математические ожидания случайных величин х и у соответственно.
Поскольку мы рассматриваем центрированные случайные величины A Um и a(i), то fnAUm = 0 и пгац) = 0.
Следовательно, дисперсия момента определения прохождения продифференцированного сигнала через нулевое значение за счет действия флуктуационных эффектов и влияния случайных колебаний напряжения сети на величину коэффициентов при переменной t в уравнении (35) определиться следующим образом:
D 4 D[a(t)] 36 D [а (¿)] D [А ¿Ут ]
{KfU*0T2y {Ki2U*0T2? ' .
Теперь учтем, что согласно (16)
DBbIX = D [a(t)\ = —Т*— (39)
т1 т, + т2
з*. 35
и что общая суммарная результирующая дисперсия от случайных величин 8' из уравнения (33) и I из уравнения (36) равна
■ £> = В[8'] +£[*]. (40)
При написании соотношения (40) учитывается, что практически „ случайные величины и I почти не коррелированы.
В окончательном виде функция, представляющая собой критерий качества для определения постоянной времени Т2 и коэффициен-та усиления К, с учетом (40), (37), (38) и (34), запишется следующим образом:
д__4Р0 Т2 1 36Р0 Т2 Р [А £/т]
Тг тх + т2{^и™т2у Ту Т, + Т2 (12Ут40Г2)2 +
Р (А ¿7Т) Г еи0 и 0 Т2 , 2ч*Т*ЩрУ
VI ^ кито з \ 1 '
Анализ уравнения (41) позволяет сделать важные, на наш взгляд, в практическом отношении предварительные выводы. Во-первых, полученное соотношение имеет минимум по отношению к постоянной времени Г2. Исследуя это соотношение известными способами на минимум, можно найти некоторое оптимальное значение постоянной времени То, обеспечивающее минимальную дисперсию на выходе канала формирования управляющего импульса в схеме фазировки инжекции. Во-вторых, сколь угодно малое значение дисперсии может быть достигнуто за счет увеличения коэффициента усиления К идеального усилителя, т. е. усилителя безынерционного типа с идеальной линейной амплитудной характеристикой и бесконечной полосой пропускания. Ясно, что во втором приближении необходимо учесть реальные характеристики усилителя, и тогда, по-видимому, может появиться некоторая оптимальная величина коэффициента усиления усилителя. Отметим, что аналитическое исследование выражения (41) на минимум представляет непреодолимые затруднения, и задача должна решаться графически или с помощью электронных цифровых вычислительных машин. Решение поставленной задачи усложняется в еще большей степени при учете реальных параметров усилителя и других элементов в канале фазировки инжекции,
В заключение отметим, что в полном расчете статистических свойств канала фазировки инжекции необходимо учесть такие статистические свойства тиратронов в конечном модулирующем каскаде и подмодуляторе, если таковой имеется.
Известно [4], что в водородных тиратронах, находящих преимущественное использование в схемах инжекции, время зажигания составляет величину порядка десятых долей мксек, причем нестабильность момента зажигания доходит до нескольких сотых долей мксек.
Различают два вида нестабильности. Периодическая нестабильность проявляется в изменениях момента срабатывания тиратрона от импульса к импульсу. Апериодическая нестабильность проявляется в постепенном изменении времени зажигания, например, вследствие изменения температуры генератора водорода и других причин. В условиях работы тиратрона в схеме инжекции, если питание зарядного устройства нестабилизировано, может иметь место нестабильность, обусловленная изменением анодного напряжения от цикла к циклу. Нестабильность последнего типа можно в первом приближении определить в виде изменения времени зажигания в функции анодного напряжения.
Ъ = = + (42)
\ ^ ао /
Здесь А и В —константы, а анодное напряжение II а = иао + А"£/а, где А иа представляет случайную величину.
Дисперсия времени зажигания за счет случайных изменений напряжения А £/а будет равна
0(ъиа = в*0[&иа]. . , (43)
Если принять, что периодическая .нестабильность и случайные изменения величины Ша не коррелированы, то результирующая дисперсия времени срабатывания tcv тиратрона будет равна
где — дисперсия периодической нестабильности.
Апериодическая нестабильность зажигания тиратрона будет вносить медленный дрейф по отношению к величине математического ожидания времени зажигания тиратрона. Следовательно, необходимо принимать соответствующие меры по снижению „внутренней" нестабильности зажигания тиратрона посредством формирования управляющего импульса с надлежащими параметрами на сетке тиратрона.
В последнее время разработаны тиратроны с общей нестабильностью порядка тысячных долей мксек. Для подобных тиратронов основным дестабилизирующим фактором становится, таким образом, влияние непостоянства анодного напряжения в соответствии с уравнением (42).
Следует особо отметить, что введение в канал фазировки инжекции различного рода электронных схем задержки является весьма нежелательным, так как такие схемы вносят не значительные флуктуации времени задержки за счет своих внутренних (нестабильностей и тем самым существенно ухудшают статистические характеристики канала. Обеспечение некоторой функциональной гибкости в канале инжекции в этом случае приводит к неоправданным потерям в производительности бе-татронной установки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. М. А н а н ь е в, А. А. Воробьев, В. И. Горбунов. Индукционный ускоритель электронов — бетатрон. Атомиздат, 1961.
2. Основы автоматического управления, под ред. В. С. Пугачева. Физмат-гиз, 1963.
3. Я- С. И ц х о к и. Импульсные устройства. Сов. Радио, 1959.
4. Г. А. Ворончев. Импульсные тиратроны. Сов. Радио, 1958.
