Статистические модели отклонений и колебаний напряжения Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

*

Библиографический список

1. Пат. 88157 Российская Федерация, МПК7 С01И 17/02. Информационно-измерительная система для контроля качества электрической энергии / Грицутенко С. С., Чижма С. Н., Альтман Е. А., Газизов Р. И., Циркин В. С. ; заявитель и патентообладатель Омский гос. ун-т путей сообщения. — 2009125776/22 ; заявлено 06.07.2009 ; опубл. 27.10.2009, Бюл. № 30. - 4 с.

2. ГОСТ 13109-97. Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения. — Введ. 1999-01-01. — М. : Изд-во стандартов,

1998. - 33 с.

3. ГОСТ Р 51317.4.7-2008. Общее руководство по средствам измерений и измерениям гармоник и интергармоник для си-

стем электроснабжения и подключаемых к ним технических средств. — Введ. 2008— 12 — 25. — М. : Национальный стандарт Российской Федерации: Стандартинформ, 2009. — 33 с.

4. Марпл-мл., С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. / С. Л. Марпл-мл. — М. : Мир, 1990. — 584 с.

ЧИЖМА Сергей Николаевич, кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой «Автоматика и системы управления».

ГАЗИЗОВ Равиль Ильшатович, инженер кафедры «Автоматика и системы управления».

Адрес для переписки: chizhmasn@omgups.ru

Статья поступила в редакцию 02.07.2012 г.

© С. Н. Чижма, Р. И. Газизов

УДК 621318 М. В. СЕМЕНЯК

Омский государственный технический университет

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОТКЛОНЕНИЙ И КОЛЕБАНИЙ НАПРЯЖЕНИЯ

В данной статье рассмотрена диффузионная модель отклонений напряжения. Здесь получили уравнение диффузии вероятности при свободной эволюции системы электроснабжения осветительных установок. Кроме того, в статье описана энтропийная модель отклонений и колебаний напряжения.

Ключевые слова: плотность вероятности, эволюция, модель отклонений, случайный процесс, отклонение напряжения.

Важным этапом в оперативном управлении качеством электроэнергии по отклонению напряжения является создание математической вероятностной модели для текущих значений отклонений напряжения АЩ^. Построение вероятностной модели отклонений напряжения АЩ^ возможно лишь при выявлении текущей плотности вероятности и типа случайного процесса Аи(^ учётом его эргодических свойств. На практике оценка закона распределения вероятностей р(Аид) осуществляется путём построения эмпирических гистограмм с последующей аппроксимацией их некоторой аналитической функцией. Однако отыскание текущей плотности вероятности р(Аид) эмпирическим путём в принципе неосуществимо и возможно лишь с помощью теоретического решения.

Колебания напряжения 8(АЩ^ возникают при действии ударных АО нагрузок, при этом предполагается, что нарастание реактивной мощности происходит с постоянной скоростью. Такое предположение позволяет считать, что формирование &иЩ происходит таким же образом, что и формирование АиЩ [1].

Диффузионная модель отклонений напряжения. В качестве исходной будет принята математическая модель СЭОУ [2].

Согласно этой модели система линеаризированных уравнений для переменных состояния имеет вид:

(1)

df

где х=(х1,...,х,,...,хп)т — вектор переменных состояния, в качестве которых приняты токи в ветвях сети,

Р=(и1,...,и,...,иш)т — вектор внешних воздействий, в качестве которых приняты напряжения внешней сети.

А — квадратная матрица, А = |а,у|,

В — прямоугольная матрица, т = ^к,

] = 1,л

Выбор в качестве переменных состояния токов в ветвях сети имеет преимущество в том отношении, что напряжение и токи связаны линейными отношениями.

Увеличение или уменьшение нагрузки электрического приёмника (в предельном случае подключение или отключение приёмника) считается элементарным случайным событием. Последовательность таких событий образует поток, который предполагается ординарным, без последствия и стационарным.

Предлагаемая вероятностная модель СЭОУ позволяет считать переменные состояния непрерывными марковскими процессами, для которых текущая плотность вероятности Р(х,1] в пространстве состояний подчиняется уравнению диффузии вероятности. Представление х(АЦ) марковской моделью

согласуется с экспериментальными статистическими исследованиями, изложенными в [3].

Учитывая вид уравнений состояния и принятые обозначения, уравнение диффузии запишется как

г1Р 1 п срр

(2)

где Si — спектральная плотность г'-го внешнего воз-

71

действия, а = — сумма диагональных элементов

!=1

матрицы А.

Эволюция во времени случайного состояния СЭОУ происходит при случайных начальных условиях и случайных возмущениях. Представим эволюцию состояния СЭОУ в виде наложения эволюции в отсутствие случайных возмущений, но со случайными начальными условиями — свободная эволюции и эволюции со случайными воздействиями, но с нулевыми начальными условиями — принужденная эволюция.

Если теперь обозначить текущие плотности вероятности в пространстве состояний для свободной и принуждённой эволюции соответственно через РСВ(ХЛ) и РпР(хЛ), то

Р(хД)=Рсв(хД)* Рпр(хЛ).

(3)

С1Р,

СВ

(И

+ а'Рсв -О-

(4)

йРпр & Рпр

= 0.

(5)

ГПР

(х,() =

ехр(1

1 П ТГ1-

2'^ 5г-

(6)

распределения вероятностей относительно каждой переменной состояния.

Соответствие текущей плотности вероятности переменных состояния уравнению (2) проверяется непосредственной подстановкой (4) и (6) в (2). Предположим, что текущие распределение вероятностей переменных состояния формируется, в основном, под влиянием внешних возмущений. Тогда переменные состояния будут иметь распределение вероятностей, близкое к нормальному.

Следовательно, при таком предположении распределение вероятностей отклонений напряжений также подчиняется нормальному закону, поскольку отклонения напряжения и переменные состояния (ток) связаны линейно между собой

Р(А17) =

1

л/2л-стд и

•ехр

' Аи2 2стд и

(7)

Такой приём позволяет уравнение (2) расщепить на уравнения диффузии вероятности отдельно для свободной РСВ(хЛ) и принуждённой PПp(x,t) плотностей вероятности.

Запишем уравнение диффузии вероятности при свободной эволюции СЭОУ

Откуда Р(хД)=Р0(х)*е—", где Р0(х) — плотность вероятности в начальный момент времени.

Как видно, текущая плотность вероятности переменных состояния при свободной эволюции получается из начального распределения неособым линейным преобразователем и обладает тем свойством, что начальная плотность вероятности с течением времени даёт равномерную плотность вероятности.

С учётом выражений (2),(3),(4) уравнение диффузии вероятности для принуждённой эволюции запишется в виде

Решение (5) при нулевых начальных условиях получим в виде [4]

Текущая плотность вероятности переменных состояний в принуждённой эволюции получается из начальной 8-плотности (нулёвые начальные условия можно интерпретировать как начальную плотность вероятности Р0(х)=8х1...хп), где 8 — дельта функция) и представляет собой п-мерное (по числу переменных состояния) нормальное распределение при любом &0. Причём РПр(хД) распадается на нормальные

где а2Аи — дисперсия отклонения напряжения.

Выражение (7) позволяет определить вероятность того, что отклонения напряжения не выйдут за допустимые пределы, регламентируемые ГОСТом 13109.2007.

С помощью распределения вероятностей отклонений напряжения не составит труда отыскать статистические моменты любого порядка для отклонений напряжения.

Энтропийная модель отклонений и колебаний напряжения. Отклонения напряжения от номинального значения в любой точке СЭОУ определяется уравнением напряжения в центре питания и реактивной мощностью О электрической нагрузки.

Многочисленные статистические исследования отклонений и колебаний напряжения, результаты которых изложены в [5], показывают, что распределение вероятностей для этих показателей качества напряжения в той или иной мере приближается к нормальному распределению, а степень этого приближения определяется конкретными характеристиками нагрузки и технологией производства.

Гистограммы отклонений напряжения указывают на существующую асимметрию в теоретической кривой распределения вероятностей. И если полагать, что во всех случаях отклонения напряжения распределены по нормальному закону, то это может привести к ошибкам в определении статистических характеристик показателей качества напряжения, и следовательно, экономических ущербов. Но сейчас не существует разработанного подхода для определения в общем виде теоретического распределения вероятностей отклонений напряжения в произвольно выбранной СЭОУ.

Экспериментальные факты, полученные в результате статистических исследований, гистограммы отклонений напряжения, а также теоретические разработки, указывают на близость теоретического распределения вероятностей Аи к нормальному распределению, причём дисперсия с1Аи ограничена и определяется нормированным значением.

Среди всех случайных процессов с ограниченной дисперсией нормальный (гауссовский) процесс обладает максимальной энтропией. Для сравнения приводятся значения энтропий Н некоторых случайных процессов [6]:

1)гармоническое колебание со случайной фазой

(8)

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА

207

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

*

2) «треугольное» колебание со случайной фазой

Я2 = 1П-У12-Д (9)

3)нормальный случайный процесс

Н3 =1п^2т1-е-Д (10)

где D — дисперсия процесса.

Такое положение можно объяснить следующими обстоятельствами. Если случайный процесс формируется под действием большого числа равновеликих факторов, то неопределённость (энтропия) этого процесса стремится к максимальному значению, и в то же время именно действие большого числа равновесных факторов приводит к нормальному распределению вероятностей ординат случайного процесса.

Опираясь на экспериментальные факты, логично заключить, что отклонения напряжения Аи(1) как случайный стационарный процесс, обладает наибольшей энтропией НАи^Н3.

В реальных СЭОУ на те факторы, которые формируют А и, накладываются определённые ограничения, сила их действия определяется параметрами потребителей и технологией производства, поэтому естественное формирование симметричного нормального распределения вероятностей искажается, в результате получается асимметричное распределение вероятностей, энтропия которого Н^Н3. Причём можно заметить, что распределение вероятностей Аи у единичных потребителей электроэнергии в большей степени отклоняются от нормального распределения, нежели в центре питания, от которого питается несколько потребителей электроэнергии.

Пусть р(АЦ) — неизвестная теоретическая плотность распределения вероятности Аи. Существующие в виде равенств п ограничений на Аи и р(АЦ) обозначим через

К( = |Яг (А17,р(А1/))йА17 = 0 , г = Гп, (11)

где К. — некоторая постоянная.

Часть этих ограничений зависит только от р(АЦ), к примеру, условие нормировки

00

1- ]р(Д{7)сгД£/ = 0.

—00

Часть — от А и и р(АЦ) совместно, например, дисперсия

оо

]д[/2р(д1/)сгду=0.

—00

Причём в ограничениях (11) Аи может быть представлено некоторым степенным полиномом, а р(АЦ) всегда только первой степенью.

Значение р(АЦ) отыскивается через решение

п

уравнения

Таким образом, р(АЦ) определяются в виде

р(Д[/) = А-ехр(-|>г^(ДгУ)). (12)

1=1

Выражение (12) представляет собой записанную в общем виде плотность вероятности показателей

качества напряжения в произвольно выбранной СЭОУ.

В свете изложенного, роль средств регулирования напряжения заключается в формировании необходимых ограничений, благодаря которым статистические характеристики Аи, определенные на основе р(АЦ) не выходили бы за нормированные пределы.

Опираясь на выражение (12), становится возможным определить ряд статистических характеристик А и.

Вероятность попадания отклонения напряжения в заданные пределы Р1<Ди<Р2 найдётся как

Р2

Р(р!<дг7<р2)= /р(дгу)с(дгу. (13)

&

Вероятность превышения отклонением напряжения заданных пределов

р(|Д(3|>р) = 1-р(р1<Д[/<р2). (14)

Длительность отклонений напряжения до заданных пределов в течение некоторого времени Т определится как

02

(Й(Р1^Д£/^Р2Д) = Г- \р(Аи)с1Аи, (15)

Р1

длительность превышения отклонениями напряжения заданных пределов в течение времени Т

^(|Д[7|>Р,Г) = Г-(1-р(Р1<Д[7<Р2)). (16)

Кроме того, становится возможным определить вероятность РЛН появления такого события как «лавина» напряжений для отдельного потребителя или центра питания. «Лавина» напряжения происходит тогда, когда напряжение и понизится до некоторого критического значения икр. При этом в соответствии со статической характеристикой нагрузки по напряжению О = /(Ц) потребителя центра питания дальнейшее понижение и вызовет увеличение потребления реактивной мощности О, что, в свою очередь, ведёт опять к снижению, и так далее.

Принимая критическое отклонение напряжения Аи = и — и , где и — номинальное напряжение

кр н кр' ^ н 1

потребителя центра питания, значение РЛН запишем как

(17)

—00

В заключение отметим, что, пользуясь аналитической связью А и и О и выражением (12), нетрудно отыскать плотность вероятности Р(О) реактивной мощности потребителей.

Библиографический список

1. Жежеленко, И. В. Показатели качества электроэнергии на промышленных предприятиях / И. В. Жежеленко. — М. : Энергия, 1977. — 126 с.

2. Фёдоров, В. К. Вероятностно-статистический анализ отклонений напряжения в системе электроснабжения нефтеперерабатывающих и нефтехимических предприятий / В. К. Фёдоров, А. И. Мирошник // Динамика электрических машин : сб. науч. тр. — Омск : ОмПИ, 1984. — С. 118—122.

3. Фёдоров, В. К. Использование статистических характеристик для оценки и улучшения показателей качества напряжения в системе электроснабжения нефтеперерабатывающих

предприятий / В. К. Фёдоров, А. И. Мирошник // Известия вузов СССР. Сер. Энергетика. — 1983. — Вып. 6. — С. 41—45.

4. Прохоров, Ю. В. Теория вероятностей / Ю. В. Прохоров, Ю. А. Розанов. — М. : Наука, 1967.— 308 с.

5. Жежеленко, И. В. Качество электроэнергии на промышленных предприятиях / И. В. Жежеленко, М. Л. Рабинович, В. М. Божко. — Киев : Техника, 1981. — 274 с.

6. Гоноровский, И. С. Радиотехнические цепи и сигналы / И. С. Гоноровский. — М. : Сов. радио, 1966. — 430 с.

СЕМЕНЯК Мария Владимировна, аспирантка кафедры электроснабжения промышленных пред-

приятий Омского государственного технического университета, ассистент кафедры электротехники и электрификации сельского хозяйства Омского государственного аграрного университета им. П. А. Столыпина.

Адрес для переписки: e-mail: mary_semenyak@mail.ru

Статья поступила в редакцию 25.04.2012 г.

© М. В. Семеняк

УДК 621.313.321:51/.54 А. Ю. КОВАЛЁВ

Омский государственный технический университет

К ВОПРОСУ О ПРИМЕНЕНИИ АППАРАТА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ УСТАНОВОК ЭЛЕКТРОЦЕНТРОБЕЖНЫХ НАСОСОВ

Рассматривается возможность моделирования и исследования параметров электротехнических комплексов установок электроцентробежных насосов, в условиях функционального влияния множества факторов, изменяющихся с течением времени, с использованием специализированного, быстрого и точного математического аппарата конформных отображений. В качестве математического аппарата для исследования параметров системы «УЭЦН—скважина—пласт» предлагается использовать более быстрый и точный, по сравнению с классическим матричным, аппарат конформных отображений.

Ключевые слова: установки электроцентробежных насосов, теория функций комплексных переменных, номограмма, четырехполюсник, аппарат конформных отображений, дробно-линейное преобразование.

Объектом исследования данной работы являются электротехнические комплексы (ЭТК) установок электроцентробежных насосов (УЭЦН). Как электротехнологическая система, УЭЦН содержит физически разнородные элементы с перекрестными физическими связями. Например, такой элемент установки, как погружной электродвигатель (ПЭД), преобразует электрическую энергию в механическую, центробежный насос — механическую энергию в кинетическую энергию потока жидкости, при этом в процессе преобразования у каждого из них образуется тепловая энергия. Выделить какой-либо процесс, не нарушив целостности всей технологической системы, возможно только при сильном упрощении [1]. Аппарат конформных отображений позволяет рассматривать технический объект как сложную систему, состоящую из взаимосвязанных целенаправленно функционирующих элементов, находящихся под воздействием внешней среды [2]. При составлении обобщенной структурной схемы, следует отметить, что УЭЦН состоит из наземного и погружного оборудования, при этом к основному наземному оборудованию относятся: станции управления (СУ), выходной фильтр гармоник (ФГ), скважинный трансформатор (СТ), наземный участок кабельной линии (НКЛ); к погружному — кабельная линия (КЛ), удлинитель (УКЛ), ПЭД, элек-

троцентробежный насос (ЭЦН) (рис. 1).

Таким образом, УЭЦН относится к сложным техническим объектам, представляющим собой сложную техническую систему с взаимодействующими подсистемами различной физической природы — электрической, механической, гидравлической, тепловой, газовой. Все подсистемы взаимодействуют со средой, воздействующей на систему «УЭЦН — скважина — пласт» [3].

Взаимосвязь между станцией управления, выходным фильтром, скважинным трансформатором, кабельной линией, удлинителем (рис. 1) осуществляется посредством трехпроводной трехфазной системы электрических соединений, следовательно, для каждого перечисленного элемента адекватной моделью является шестиполюсник с тремя входными и тремя выходными электрическими зажимами, а для симметричных систем — четырехполюсник (ЧП) с двумя входными и двумя выходными зажимами.

Классически связь между напряжениями и токами на входе и выходе ЧП устанавливается при помощи системы уравнений:

и вх =А-и вых + В • IВЫХ г IВХ =С 'IIВЫХ + &'1 ВЫХ • (1)

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА