CC BY
52
system // Physical Review E. 2003. Vol. 68. P. 041913.
12. Karavaev A. S., Prokhorov M. D., Ponomarenko V I., Kiselev A. R., Gridnev V. I., Ruban E. I., Bezruchko B. P. Synchronization of low-frequency oscillations in the human cardiovascular system // Chaos. 2009. Vol. 19. P. 033112.
13. Kiselev A. R., Gridnev V. I., Prokhorov M. D., Kara-vaev A. S., Posnenkova O. M., Ponomarenko V. I., Bez-ruchko B. P., Shvartz V. A. Evaluation of 5-year risk of cardiovascular events in patients after acute myocardial infarction using synchronization of 0.1-Hz rhythms in cardiovascular system // Annals of Noninvasive Elec-trocardiology. 2012. Vol. 17. P. 204-213.
14. Seidel H., Herzel H. Bifurcations in a nonlinear model of the baroreceptor-cardiac reflex // Physica D : Nonlinear Phenomena. 1998. Vol. 115. P. 145-160.
15. Kotani K., Struzik Z.R. Takamasu K. Stanley H.E., Yamamoto Y. Model for Complex Heart Rate Dynamics in Health and Disease // Physical Review E. 2005. Vol. 72. P. 041904.
16. Ottensen J. T. Modelling the dynamical baroreflex-feed-back control // Mathematical and Computer Modelling. 2000. Vol. 31. P. 167.
17. Прохоров М. Д., Бодров М. Б., Пономаренко В. И., Гриднев В. И., Беспятов А. Б. Исследование синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы человека по последовательностям R-R-интер-валов // Биофизика. 2005. Т. 50, вып. 5. С. 914-919.
18. Smirnov D. A., Bodrov M. B., Perez Velazquez J. L., WennbergR. A., Bezruchko B. P. Estimation of coupling between oscillators from short time series via phase dynamics modeling : Limitations and application to EEG data // Chaos. 2005. Vol. 15. P. 024102.
19. Киселев А. Р., Беспятов А. Б., Колижирина О. М., Гриднев В. И., Пономаренко В. И., Прохоров М. Д., Довгалевский П. Я. Внутренняя синхронизация основных 0.1 Гц-частотных ритмов в системе вегетативного управления сердечно-сосудистой системой // Физиология человека. 2007. Т. 33, № 2. С. 69-75.
20. Bunde A., Havlin S., Kantelhardt J. W., Penzel T., Peter J. H., Voigt K. Correlated and uncorrelated regions in heart-rate fluctuations during sleep // Physical Review Letters. 2000. Vol. 85. P. 3736.
21. Warner H. R. The frequency-dependent nature of blood pressure regulation by the carotid sinus studied with an electric analog // Circulation. 1958. Res. 6. P. 35-40.
УДК 519.6
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОТОБРАЖЕНИЯ И. М. АКУЛИНИЧЕВА
В. М. Аникин
Саратовский государственный университет E-mail: [email protected]
Формулируются уравнения Перрона - Фробениуса и аналитически рассчитывается автокорреляционная функция для двумерного отображения И. М. Акулиничева.
Ключевые слова: детерминированный хаос, двумерные отображения, автокорреляционные функции.
Statistic Characteristics of Akulinichev's Map V. M. Anikin
Perron - Frobenius equations for Akulinichev's map are formulated. The autocorrelation function of the map orbits is analytically calculated. Key words: deterministic chaos, two-dimensional maps, autocorrelation functions.
Введение
В теории детерминированного хаоса на «особом положении» находятся динамические системы, допускающие точные решения [1]. Они служат своего рода «поверочным эталоном», с
которым можно соотносить решения, полученные исключительно численными методами. В статье рассматривается одно из таких отображений - двумерное отображение, впервые введенное И. М. Акулиничевым. В [2] он рассмотрел ряд свойств двумерного отображения, определенного на единичном квадрате, с точки зрения динамической системы теории чисел. В данной работе мы дополняем описание свойств этого отображения с позиции операторного подхода - на базе линейного оператора Перрона - Фробениуса (ОПФ), определяющего вероятностные характеристики итераций этого отображения.
1. Определение динамической системы
Двумерное отображение И. М. Акулиничева формируется посредством выделения дробных частей двух алгебраических выражений, переводящее единичный квадрат в себя:
Т(х,У) = ({х+у},{у+2х+у}), х,уе(0,1), (1)
где 0 < у < 1 - фиксированное иррациональное число, а фигурные скобки обозначают операцию выделения дробной части числа. Предположение об иррациональном характере параметра у существенно для теоретического обеспечения бесконечности нециклических траекторий отображения.
Если итерации в (1) начинаются с некоторой начальной точки (х0, у0) е(0,1), то в более явном покомпонентном представлении отображение (1.1) на п-м шаге переписывается как
к* ={хп +r}, х, б(0,1Х (2)
1уи ={Уп + 2хп +ГЪ Уп е(0,1).
Введенное двумерное отображение обладает точным аналитическим решением, выражающим значения переменных на любом шаге итераций через начальные значения:
|хп = {х0 +rn}, 0 ^ хп ^ 1, (3)
1 Уп = {У0 + 2х0п + уп2}, 0 < уп < 1. Таким образом, значение хп вычисляется посредством выделения дробной части линейного соотношения относительно п, а значение уп - посредством выделения дробной части квадратного трехчлена относительно п.
Доказательство (3) можно провести посредством сведения точного решения (3) к виду (2), что и будет означать его непротиворечивость. В самом деле, на (п + 1)-м шаге итераций на основании (3) должны иметь:
хп+1 = к + у(п +1)} = {х0 +уп + у} = {[ х0 + уп] + {х0 + уп} + у} = {{х0 + уп} + у} = {хп + у}; (4)
Уч ={Ус +2х0(п+1)+г(п+1)2}={у0 +2х0п+2х0 +Гп ={^0 +2г0п+^п2 +2(х0 +^п)+у}=
={[у0 +2х0 п+р?] +{у0 +2х0 п+уг2}+2[х0 +уп]+2{% +уп}+у}^{(у0 +2^ п+ут,?)+2{х +уп}+у}={уп +2хп +у},
ч.т.д. В (4) и (5) введено обозначение для целой части [а] числа а как ближайшего целого, меньшего а, и учтено, что а - [а] + {а}, {а} = {[а] + {а}}.
Преобразования для различного числа итераций отображения (1) связаны друг с другом по правилу композиции:
ТпТт (х0, У0) = Тп+т (х0, У0), (6)
т. е. эволюция системы в процессе итераций может быть найдена посредством преобразования Тт (х0, У0) к состоянию (х0_, У0), а затем - преобразования Т" (хт, Ут) к новому состоянию (хт, Ут) (т и п - натуральные числа). Другими словами, (1.1) можно рассматривать как полугруппу преобразований фазового пространства (единичного квадрата) в себя.
Показать это можно посредством преобразований, аналогичных использованным в (5). Согласно (3) имеем:
Т х Ус)=х Уп)=({х0 +гп},{У0 + 2х0п+гп2}); (7)
Ттп(х0,У0)=({х, +г(п+т)}, {У0 +2х0(п+т)+г(п+т)2})=({х0 +^т+^п}, (8)
{У0 +2х0 т+2х0 п+у(п 2+2пт+т2)}).
Замечая, что
{х +^т+^п}={ [х +^т]+{х +/т}+/п}={{х0 +/т}+/п}={хт +/п }; {У0 + 2 х0т + ут2 + 2 х0п + 2упт + уп2} — — {[У0 + 2х0 т + ут2] + { У0 + 2х0т + ут2} + 2п(х0 + ут) + уп2} -= {Ут + 2п[ х0 + Гт] + 2п{х0 + Гт} + Гп2} = {Ут + 2хтп + Г^К
устанавливаем справедливость (6):
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Физика. 2015. Т. 15, вып. 2
хп+т = К +УП + ут) = {хп + ут}; (9)
Уп+т = {Уо + 2хо(п+т)+Г(п+т)2} = {у„ + 2тхп +ут2}; (1о)
Т"+т (Хо, Уо) = ТП (Хт , Ут ) = ТПТт (Хо, Уо). (И)
2. Оператор и уравнения Перрона-Фробениуса для управляющей компоненты
Покажем далее, что отображение (1) обладает инвариантной мерой в форме меры Лебега, сохраняемой при преобразованиях (1). В другой терминологии это означает, что (1) является эргодическим преобразованием. Наличие инвариантной меры доказывается, в частности, посредством нахождения неподвижной точки ОПФ данного отображения. Отображение (1) специфично в том плане, что преобразование по одной из координат (х) происходит независимо от второй координаты. Поэтому можно ввести два оператора Перрона-Фробениуса, один из которых соотнесен с одномерным преобразованием «независимой» координаты
Хп+1 = {Хп +7};о < Хп < 1; о <у< 1, (12)
а второй оператор - собственно с двумерным отображением (1).
Получим выражение ОПФ для отображения (12), учитывая, что для отображения с итеративной функцией g ( х)
Хп+1 = g(Хп), Хп е (о,1), (13)
оператор имеет вид 1
Р/(Х) = | 3( Х - g(ë))f(Z)dZ. (14)
о
В случае отображения (12) оператор записывается как
РДх) = | 3(х - ^ + у})Д№. (15)
о
Проведем в (15) линейную замену переменных ] = % + у, приводящую к изменению нижнего (^ = о, ]] = у)и верхнего (^ = 1, ] = 1 + у)пределов интегрирования в (15) и представлению ОПФ в виде
РДх) = I 3(х-{п}Ж(п-г¥л = \8(х\8(х.
Г Г 1
Поскольку для у <] < 1 {]} = ],[]] = о, а для 1 <]< 1 + у {]} = ]-1, []] = 1 (в обоих случаях ]] - []] = {]}), дальнейшие преобразования дают:
1 1+/
РА(х) = \ё(х+ | 5(х+1 А(х-у)-0гД(х)+А(х+1-у)-0Ог(х), (16)
где &аЬ (х) - характеристическая функция интервала (а,Ь), равная единице внутри интервала и нулю - за его пределами.
Оператор Перрона-Фробениуса определяет правило преобразования вероятностных плотностей при итерациях отображения (12), где величины хп трактуются как случайные. Если распределение стартового значения отлично от инвариантного, то вероятностные плотности Ап (х) для каждого шага итераций отображения (12) выражаются как
Апл(х) = Ап(х+1"Г)'©о,г(х) + Ап(х~У)-%(Х) . (17)
Уравнение (17) можно трактовать как «нестационарное» уравнение Перрона-Фробениуса: оно содержит вероятностные плотности, относящиеся к различным шагам итерационного процесса. Под «стационарным» уравнением Перрона - Фробениуса мы будем понимать уравнение относительно инвариантной плотности А*(х). Оно получается подстановкой А*(х) в обе части уравнения (17):
А (х) = А (х+1-у)-@0/х) +/(х-Г)-©гД(х). (18)
В отличие от классической теории вероятностей, на базе которой и выводится выражение для ОПФ (14), особым предметом интереса теории детерминированного хаоса является ситуация, когда нелинейное преобразование вероятностной плотности не меняет ее вида. Это и есть инвариантная плотность распределения. Уравнения типа (18) дают возможность для аналитического или численного расчета инвариантной плотности, которая, таким образом, и является неподвижной функциональной «точкой» ОПФ. В общем виде функциональное уравнение, определяющее инвариантную плотность, имеет вид
Pf» = f •( x), (19)
где символом P обозначен ОПФ для рассматриваемого отображения.
Особый интерес имеет решение нестационарного уравнения Перрона-Фробениуса (17) в форме, выражающей fn (x) через начальное распределение f (x). Для этого необходимо знание точного тра-екторного решения для отображения (12). Оно было найдено выше как компонента точного решения для двумерного отображения (1) и выражается формулой (3):
xn = {x0 + пУ} = {x0 + [пУ] + {пу}} = {x + {пу}}. (20)
С использованием (20) уравнение (17) запишется как
fn(x) = ]s(x-{Х0 + ny})Ux0)dx0 =\S(x-{£ + {пу]])и№ . (21)
0 0
Уравнение (21) непосредственно связывает fn (x) и f0(x). Для того чтобы воспользоваться фильтрующими свойствами дельта-функции, в (21) необходимо произвести замену переменных так, чтобы аргумент дельта-функции не содержал функций от переменной интегрирования, а содержал лишь аргумент вида c — %, где c - величина, не зависящая от переменной интегрирования. Такое представление достигается в результате следующей цепочки вычислений: 1+{пг} 1 1+inrS
fn(x) = J S(x-{r,})f0{71-{ny})d^= \ S(x-m№-{nr))d4+ J S(x-{v})f0(v-{ny}№ (22)
{nf} {ny} 1
В (22) по сравнению с (21) введена новая переменная интегрирования согласно замене / = % + {ny}, что привело к изменению пределов интегрирования. На различных участках интегрирования значения целых /J и дробных {/} частей имеют различные значения: {ny}</< 1, _/J = 0 и {/} = г\ для интервала интегрирования ({ny},1 , а для интервала интегрирования (1,1 + {ny}) имеем 1 < / < 1 + {ny}, J = 1 и {/} = / — 1. Поэтому далее из (22) следует искомое решение нестационарного уравнения Перрона-Фробениуса через начальное вероятностное распределение:
fn(x) = f0(x +1 - {nrt)©0,{»r>(x) + f0(x - {ny})®^}Д(x) . (23)
Обратимся теперь к стационарному уравнению Перрона-Фробениуса (18). Его решением является равномерное распределение :
f» = ©0,1 (x), x е[0,1), (24)
что проверяется непосредственной подстановкой (24) в (18). Тем самым отображение (12) можно рассматривать как генератор псевдослучайных (с равномерным распределением) точек на единичном интервале.
Как следует из формального рассмотрения (23), если распределение стартового значения f0( x) отображения (12) совпадает с инвариантной плотностью (24), то и все последующие распределения будут равномерными, что, собственно, согласуется со смыслом инвариантной плотности. Корректность проведенных вычислений можно подтвердить и непосредственным расчетом fn (x) по формуле (21), когда задана начальная плотность f (x) = ©0 1 (x). Воспроизводя в «облегченной» форме проводившиеся ранее расчеты, получим в этом случае для f (x):
поскольку
Ап (х) = } + п - х) • А, =| + п - х)й£ =
о о
1 1 = |+ |_Гп] + {уп}} - х)^ = + {уп}} - х)=
0 о
1+{^п} 1 1+{^п)
= | - х- х)йц + | - х=
{уп) {уп} 1
1 \+{уп}
= \3{Г1-Х)(1Г1+ | ^-1- х)ф=©мд(х)х) = Ы 1
=%,»(*)+©о«(х)=1, Х6[0,1),
ч = % + {yn}, {уп}<п<1 ^М = 0, Ы = л-Ш = т
1 1 + {^п} ^ = 1, = = 1.
Таким образом, когда Ао( х) = ©о1( х), все случайные величины, получаемые в процессе отображения (12), оказываются одинаково распределенными:
d
хп =хо, А(Х) = Ао(х) = ©оД(х), хб[о,1). (26)
3. Оператор и уравнения Перрона - Фробениуса для двумерного отображения
Точное траекторное решение для у-компоненты отображения (1) определяется формулой (3):
Уп = {Уо + 2 Хоп + уп2}. (27)
При фиксированных начальных координатах (хо, Уо ) распределение Уп является вырожденным:
Рп (У I Хо,Уо) = ¿({Уо + 2Хоп + }п2} - У). (28)
Когда Уо рассматривается как случайная величина, «полное» условное распределение уп определяется как
1
Рп (У1 Хо) = Й{ Уо + 2хоп + ?«2} - У)-Ро(Уо |Хо)йУо, (29)
о
где ро (Уо | хо) - условное распределение начального значения координаты у (при условии задания начального значения координаты х). Формула (29) носит общий характер в том плане, что применима для любого условного распределения ро (уо | хо). Для конкретного расчета рп (у | хо) требуется задать вид условной плотности ро (уо | хо). Естественно, с математической точки зрения наиболее простым является ее задание в форме равномерного распределения:
Ро(Уо\хо) = ©о,1( Уо). (3о)
Тогда с учетом (3о) соотношение (29) принимает вид
1
Рп (у | Хо) = Уо + [2 Хо п + уп2] + {2 Хо п + уп2}} - у) • 1 • йу0 =
о 1 (31)
= р({ У о + {2 Хо п + уп2}} - У )йу о.
о
Вводя переменную £ = уо + {2хоп + уп2}, о < уо < 1 , далее получим:
1+{2хоп+>п2} 1 1+{2хоп+>п2} 1 1+{2Хоn+^n2)
Рп ( у | Хо) = -у¥£= -уж+ /¿ш-У)й4=1 3(%-уШ+ \д($-1-уЩ =
{2хоп+}п2} {2хоп+рг2} 1 {2 Хоп+?п2} 1
(32)
= 0 2 (у) + 0 2 (1+у) = 0 2 (у) + 0 2 (у) = 0о1(у).
Рхл+и2},! ^ ' 1,1+{2хоп+1п2} у ^ ' {2хоп+»12},1 ^ ' о,{2хо,п+)п2}^^ 0,1 ^ '
(Учтено, что при £< 1 [£] = 0,{£} = £- [£] = £ , а при £> 1 [£] = 1,{£} = £- [£] = £- 1).
Таким образом, в предположении о равномерности условного распределения начального значения У0 (при фиксированном х0 ) условное распределение величины Уп на п-м шаге итераций будет также равномерным:
Рп (У I х0) = ©0Д(У) = 1, У е[0,1). (33)
В предположении и равномерности распределения начального значения х0 безусловное распределение Уп также будет равномерным:
Рп (У) = 1 Рп (У I х0)р0(хЖ = ©0Д(У) = 1, У е [0,1). (34)
0
Исследуемое отображение (2) можно привести к симметричной записи по обоим компонентам, если во втором уравнении для компоненты Уп ввести «эффективное» значение параметра /(эф = {2Хп + у} , зависящее от шага итерации. Отображение (2) примет вид
к, = {х +y},
{^1 = {у + 2х +у} = {у +{2хп +Г}}={у + $}. (35)
Интересно отметить, что при итерациях переменная хп «управляет» положением точки разрыва итеративной функции для Уп : на каждом шаге итераций кусочно-линейная функция, задающая отображение, видоизменяется. Это свойство может быть использовано, например, в хаотических схемах кодирования информации.
Как уже отмечалось во введении, переход к вероятностному описанию динамических систем основан на рассмотрении динамических уравнений как стохастических, куда случайность вносится через начальные условия. Полученные результаты для отдельных компонент рассматриваемого отображения позволяют записать и двумерный инвариантный закон распределения /п (х, у) для случайного вектора (х„, У„). Если начальное распределение компонент (х0, У0) задать в виде /0 (х, у) = ©01( х) • ©01 ( у) , то х0 и У0 суть независимые случайные величины, равномерно распределенные в интервале [0,1) Маргинальные законы получаются интегрированием по соответствующей координате:
1 1 1
р0( х) = / /Л х у)ёу = |®с,1( х) • © 0,1(у )ёУ = |©0Д( х)Ф = ©0Д( х); (36)
0 0 0
1 1 1
РЛУ) = \ /с( х, у)ёх = |0 01( х). 0 01(у)ёх = |0 01( у )ёх = 0 01( у). (37)
0 0 0
Выше было показано, что одинаковыми распределениями в форме (36) и (37) будут в этом случае
описывать все х и У :
п а а
хп =х0, Уп =Ус . (38)
Двумерные же плотности вероятности на п-м шаге итераций и инвариантная двумерная плотность распределения будут иметь соответственно вид
/п(х,у)=е^д(х)-е^д(у), Дх,у)=©0д(х)-00д(у). (39)
Если компоненты двумерного отображения заданы функциями
хп+1 = (ру (хп , Уп X Уп+1 = (Рг (хп , Уп X (40)
то соответствующий ОПФ вычисляется по правилу:
РД(х,у) = Ц Д(х,у)8(х-ф(и,у))д(у-ф2(ы,у))ёыёу, (41)
П( х, у)
где П(х, у) - двумерная область определения отображения. Отображение (40) осуществляет преобразование П ^ П (из области П в ту же область П), сохраняющее площадь. В самом деле, ОПФ определяет правило, по которому вероятностное распределение случайного вектора (X ,У), где X и 7 - координаты случайной точки (X,7) е П, трансформируется под действием преобразований
(40). Рассматривая случайную точку (X,, У) в качестве исходной, в результате преобразования (40) получим случайный вектор (X,У):
X = р1(X,У^ У = д>г(Х,У). (42)
Формально говоря, имеем систему четырех случайных величин (X, У, X, У), исчерпывающей вероятностной характеристикой которой служит четырехмерная плотность распределения /4(х, у,х, у). Интегрируя эту характеристику по всей области изменения переменных х и у, получим выражение для искомого дифференциального закона распределения /2 (X, у):
М^у) = Ц /4(x,У,x,у)йхйу. (43)
В (X, у)
Но, с другой стороны, совместная плотность распределения / (х, у, X, у), согласно общим закономерностям теории вероятностей, может быть представлена произведением исходного распределения /2(х,у) и условного распределения /о(X,у | х,у), определяющего вероятностное описание случайного вектора (X, У) при условии, что компоненты вектора (X ,У) имеют некоторые детерминированные значения (х, у):
Л(х У, х у) = /(x, у) /с (x, у 1 x, у). (44)
Подставляя (44) в (43), получим для искомого распределения:
/(ху) = И /(x,у)Л(x,у 1 ху)йхйу . (45)
В( х, у)
Но поскольку связь между координатами (х, у) и (х, у) является сугубо детерминированной, условная вероятность имеет вид (вырожденного распределения):
/о(x, у 1 х у) = 3( х - Р(x, у))3( у - Рг(x, у)) (46)
(символом 3 обозначена дельта-функция Дирака). Поэтому в общем виде уравнение Перрона-Фро-бениуса для двумерных отображений имеет представление (41). Оно принимает вид функционального уравнения (т.е. в известном смысле упрощается) при рассмотрении конкретных отображений. В нашем случае функции р1( х, у) и (р 2( х, у) имеют вид (2):
[х„+1 = Фп>уП) ={х„ + ГК хп е(0,1): Ь«! =Фтуп) ={уп + 2хп +r}, уп 6(0,1).
Поэтому двумерный ОПФ в этом случае записывается как
1 1
Р/(х,у) = ||3(х - {4 + у}). 3(у -1 + 24 + у}). /(4,1. (48)
0 0
Вводя новые переменные
4 = 4 + у, 24 = 24 + 2у, 24 - у = 24 + у, 4 = 1-у,
получаем далее: ^ ^
Р/(х, у) = ]д(х - {1}) й1\б(у -{11 + 21- у})/(4 - у, 1 йч. (49)
у 0 _ _
Дальнейшие преобразования проводятся на основе замены переменных 1 = {24 -у} + ч,
1- {21-у} = 1:
1+г _ _ _ _ _ _ _
Р/(х, у) = ^({4Ьх) ] ¿({/7} - уШ4-м-{24-г}) =
(47)
Г (2^-г)
1+Г
(50)
= х) й4+\д({4}-х) | ¿({/7}-у)/п (4-у,л-{24-г}) ¿г,.
У 1 {21-у}
Замечая, что на интервале (у,1) [4] = 0, {4} = 4, а на интервале (1,1 + у) [4] = 1, {4} = 4 -1, с учетом свойства дельта-функции получим из (50) далее:
1 _ _ _ _ _ _ _
РД(х, у)=\д£-хЩ \ Ш-у)Д(4-м-{24-/}т+
Г {2^-^}
1+Г _ _ 1+{2?-^} _ _ _ _ _
+ х№ | у)Д({-у,П-Щ-у}ёг1} =
1 {2^} 1+{2!-,} _ _ _ = ©„(х) | 8({Л} - у)Д(х {2х -у})ёЛ +
{2х-у}
1+{2(1+1)-,} _ _ _
+ 00, (х) | ¿({7} - У)Д(х +1 - г, 7 - {2(1 + х) - у}ёп.
{2(1+!)-,}
Поскольку {2 + 2х-у} = {2х-у}, то далее получаем:
1+{2л-/} _ _ _ 1+{2л-г} _
РД (х, у) = 0,д(х) | ^({/7} - У) Д (х-7,Л-{2х-у))ёЛ + ®^(х) -у)Д„(х +1 -у,П-{2х-у})ёЛ =
{2х-г} {2х-Г}
= 0гд(х) 0{2х_г)д( У) Д (х-у, у-{2х-у})+0гд(х) 0о,{2х_г)( У) Д (х-у, у + 1-{2х-у}) + + ©0Дх) 0{2х_г)д(у) Д (х+1-Г, у-{2х-у})+©0,г(х) ©0{2х_г)( у) Д (х+1-Г, У+1-{2х-у}
(учтено, что при 0 < х < у имеет место 1 < х +1 < 1 + у; 1 -у < х +1 -у < 1, а при 0 < у < {2х - у} -
-1 <у +1 < 1 + {2х-у}; 1 -{2х-у}< у +1 -{2х-у} < 1).
Таким образом, ОПФ для двумерного отображения (1), (2) имеет вид
РД(х, у) — ®г 1 (х) ©^(у) Д (х-У, у-{2х-у})+0гД(х)00,{2х_г}(у) Д (х-у, у+1-{2х-у}) +
(51)
+ ©0,г(х) 0{2х_г)д( у) Д (х+1-У, у -{2х-у})+©0,г(х) ©0,{2х_г}( у) Д (х+1-У, у+1-{2х-у}).
Нестационарное уравнение Перрона-Фробениуса, соотнесенное с двумерным отображением (1), на основании (51) имеет вид
Дп+1 (х,у) - 0г,1 (х)©<2^,1 (у) Д(х-у,у -{2х-у}) + ©гД (х)®0Л2Х_г}(у) Дп(х-у,у +1 - {2х-у})+
(52)
+ ©0,Дх) 0{2х_г)д( у) Дп (х + 1-У, у -{2х-у})+©0,г(х) ©0,{2х_г}(У) Дп (х+1-У, У + 1-{2х-у}).
Стационарное же уравнение Перрона-Фробениуса, определяющее инвариантную плотность отображения, записывается как
Д (х, у) — ©гД (х) 0{2х_г)д( у) Д (х-у, у -{2х-у})+0гД(х) у) Д (х-у, у + 1-{2х-у}) +
(53)
+ ©0,Дх) 0{2х_г}д(у) Д (х + 1-у, у-{2х-у}) + ©0,г(х) ©0,{2х_г}(.У) Д (х+1-У, У+1-{2х-у}).
Непосредственно подстановкой в (53) можно убедиться, что неподвижной точкой ОПФ для исследуемого двумерного отображения является равномерное распределение, определенное на единичном квадрате:
Лх,у) (54)
' 10,(х,у) «[0,1).
При этом и распределения координатных составляющих отображения (1) являются равномерными:
Д(х, у) = ©0Д(х)-©0Д(у). (53)
4. Автокорреляционные свойства орбит отображения
Рассчитаем автокорреляционную функцию «ведущей» компоненты рассматриваемого двумерного отображения (1):
|х + у, 0<х <1-г, хп+1 -{х -(X +Г)шса1=\ п Л 1 " /'1 (54)
[хп + у-1, 1-у<хп <1,
где у е (0,1) - иррациональное число. Точное решение для хаотического отображения (2.54) имеет вид
хп = К + nу}, (55)
так что для шага п+к будем иметь
хп+к = {х0 + пУ + кУ} = {хп + к/} . (56)
Представление (56) будем использовать при вычислении смешанного момента
хп • хп+к = хп 'К + {кУ}}, (57)
в свою очередь выходящего в выражение для автокорреляционной функции орбиты (траектории) отображения (56):
Щ) = хп ■ хп+к - хп ■ хп+к = хп ■ К + {кУ}}~ хп ■ К + {кУ) , (58)
где хп и хп+к - средние значения фазовой переменной отображения на п-м и (п+к)-м шаге итераций. В выражениях (57) и (58) усреднение должно проводиться по плотности вероятности /п (х), отвечающей п-му шагу итераций. Выражения для /п (х) определяют ОПФ (17) и решение нестационарного уравнения Перрона-Фробениуса (23). Как было показано выше, если распределение стартовой точки является инвариантным (т. е. в нашем случае равномерным), то инвариантным (равномерным) являются распределения для всех шагов итераций (см. формулу (23)). В общей записи (при отличии /п (х) от инвариантного распределения) получим для смешанного момента (57):
_ _ 1
хп хп+к хп • К + {ку}} = |х{х + {ку}}/п(х)йх . (59)
0
Вводя в (59) новую переменную по правилу
х + {ка} = 4, х = {ка}, йх = й4,
получим далее:
1+т
хп ■ \+к = | (4~{куЖ}/п(^"{кг})^ =
т
1 Щку}
I (4-{Щт/п^-{кг№+ \ (4-{ку})Ш/п(4~{ку})<Ц.
№
Здесь при {ку} <4< 1 {4} = 4, а при 1 <4< 1 + {ка} \_4] = 1, {4} = 4~ 1. Поэтому выражение для смешанного момента и автокорреляционной функции примут соответственно вид
_ 1 1+{кг}
хп • хп+к = ¡4(4-{кг}) ■ /„(4~{куШ+ I(4-{ку})(4-1) • /„(4-{ку}), (60)
{кг} 1
1 1+{ку}
Я(к) =¡4(4- {кг}) ■ /п(4- {к/})й4+ { (4- {ку})(4-1) • /п(4~ {кг}) -
(61)
{кг}
-\4/п {4) ¿4\{4+{ку}}/п (4) й4
0 0
поскольку средние значения, исчисленные в сечениях п и п+к, определяются как
_ 1 _ 1
хп =| х/п (х)йх , хп+к =| {х + {кУ} }/п (х)йх . (62)
0 0
Представления (60) - (62) справедливы для любого распределения стартовой точки отображения (54). Дальнейшие упрощения можно провести, считая начальное распределение инвариантным (равномерным). В этом случае для смешанного момента получим следующее выражение:
_ 1 1+{*7)
х • х„+к = |(Г -(kr)•^ + |(4-{ку))(4~1)44 =
{кг) 1
1+{кг) 1+{кг) £3 £2 £2
Ь ( „■> Ь 1+{кГ) (Ь (и. Л 1+{кГ)
= | (Г - [ку)4Щ- | (4-{ку№ = ^- {а \ ^ - - (кг)-4)
{к/) 1 3 2
(1+{кУ))\_ {кг). (1+{кг))2 _ ({к^))3 + {кг) «кг))
(63)
3 2 3 2
1МИ -{кг) • (1 + {ку)) -2 + {кг)) = 1 Г {ка)2 - {ка) + -2
Щ) = -Лку)2 --Лку)+1 -1 =1 Г{кГ)2-{ку)+Д (65)
2 2 3 4 2 ^ 6)
Соответственно среднее значения фазовой переменной на любом шаге итераций равно
_ 1 1
=| хйх = -. (64)
о 2
Объединяя (63) и (64), для автокорреляционной функции орбит отображения (54) в случае распределения стартовой точки по инвариантному закону окончательно получим:
К 12 1п Л 1 1 1
-{к^)2 — {ку)+---=-
2^> 2^' 3 4 2
Поведение автокорреляционной функции зависит от значения иррационального параметра У. Покажем, что, во-первых, знак автокорреляционной функции может меняться от итерации к итерации и, во-вторых, на некоторых шагах итерации возможно полное «расцепление» корреляций в динамической системе (54), т. е. есть обращение Я(п) в ноль. В самом деле, вводя обозначение 2 = {ку) (фигурные скобки, напомним, применены для операции взятия дробной части числа), условие обращения автокорреляционной функции в ноль на основании (65) можно записать в виде квадратного уравнения:
/(2) = / - 2 + 1 = 0. (66) 6
Корни уравнения (66) действительны и принадлежат отрезку (0,1):
3 ±л/3
(67) 1,2 6
Следовательно, для любого значения параметра у возможно осуществление смены знака значения автокорреляционной функции орбиты траектории отображения (54) с течением итераций. Минимальное (причем, отрицательное) значение функция (66) (и тем самым автокорреляционная функция орбит) принимает в точке 2т1П = 1/2 : /(гшт) = -1/12. Максимальные (и положительные) значения функция (66) принимает на границах единичного отрезка: / (0) = / (1) = 1/ 6.
Заключение
Рассмотрено двумерное отображение И. М. Акулиничева, определяемое выделением дробных частей двух алгебраических выражений. При преобразованиях точки квадрата переводятся в область этого же квадрата, при этом сохраняется лебегова мера - площадь квадрата. Математически данное отображение задает операция взятия дробных частей от линейной и квадратической функций.
Аналитически выявлены (с учетом результатов [2]) следующие характеристики и свойства отображения:
точные траекторные решения для точек двумерного отображения как по координате х, так и в области квадрата 0 < х < 1,0 < у < 1;
наличие полугрупповых свойств у изучаемого отображения;
нестационарное и стационарное уравнения Перрона-Фробениуса для отображения, образованного х-компонентой исходного двумерного отображения;
решения нестационарного и стационарного уравнений Перрона-Фробениуса для х-компоненты исходного двумерного отображения, что является доказательством существования инвариантной меры в виде равномерного распределения (эргодичности отображения);
1
одинаковая (равномерная) распределенность координат хп отображения в случае распределения начального значения х0 по равномерному закону;
условная и безусловная плотности вероятности, характеризующие случайное поведение у-координаты исходного двумерного отображения;
нестационарное и стационарное уравнения Перрона-Фробениуса для исследуемого двумерного отображения;
инвариантная мера для двумерного отображения в виде равномерного распределения на квадрате, а также по у-координате;
автокорреляционная функция для траектории движения точки по х-координате, что позволяет аналитически оценить характер статистической зависимости точек траектории в процессе итераций: эта зависимость имеет колебательный характер, при этом существуют алгебраические иррациональные точки {ку}, отвечающие некоторому шагу итераций к, при котором происходит «расцепление» корреляций (Я(к) = 0).
Результаты представляют интерес для теории динамических систем, демонстрирующих хаотическое поведение, теории чисел и функционального анализа, поскольку содержат элементы решения спектральной задачи для двумерного линейного несамосопряженного оператора Перрона-Фробени-уса [3-6], что актуально для оценки скорости расцепления корреляций в исследуемой динамической системе [1, 7-8].
Прикладные возможности результатов связаны с применением отображения в имитационных экспериментах в качестве генератора псевдослучайных точек на единичном квадрате, а также при решении задач криптографической защиты данных, поскольку параметр для у-компоненты отображения меняется с каждой итерацией, что является дополнительной алгоритмической защитой против несанкционированного раскодирования данных [9,10].
Список литературы
1. Аникин В. М., Голубенцев А. Ф. Аналитические модели детерминированного хаоса. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. 328 с.
2. Акулиничев И. М. О динамической системе, связанной с распределением дробных долей многочлена второй степени // Докл. АН СССР. 1962. Т. 143, № 3. С. 503-505.
3. Голубенцев А. Ф., Аникин В. М., Аркадакский С.С. О некоторых свойствах оператора Перрона - Фробени-уса для сдвигов Бернулли // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8, № 2. С. 67-73.
4. Аникин В. М., Аркадакский С. С., Ремизов А. С. Аналитическое решение спектральной задачи для оператора Перрона - Фробениуса кусочно-линейных хаотических отображений // Там же. 2006. Т. 14, № 2. С. 16-34.
5. Аникин В. М., Ремизов А. С., Аркадакский С. С. Собственные функции и числа оператора Перро-
на - Фробениуса кусочно-линейных хаотических отображений // Там же. 2007. Т. 15, № 2. С. 62-75.
6. Аникин В. М. Спектральные задачи для оператора Перрона - Фробениуса // Там же. 2009. Т. 17, № 4. С. 35-48.
7. Аникин В. М., Чебаненко С. В. Аналитический расчет корреляционных функций дискретных хаотических сигналов // Гетеромагнитная микроэлектроника. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 8. С. 103-109.
8. Аникин В. М., Муштаков А. В. Автокорреляционная функция орбит кусочно-линейного хаотического отображения общего вида // Там же. 2014. Вып. 17. С. 12-23.
9. Аникин В. М., Чебаненко С. В. Хаотические отображения и кодирование информации : модификации исторически первого алгоритма // Там же. 2011. Вып. 9. С. 81-95.
10. Аникин В. М., Ноянова С. А., Чебаненко С. В. Кодирование информации на базе отображения пекаря // Там же. 2012. Вып. 12. С. 52-60.
