Статистическая сумма и вероятность больших флуктуаций времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.12:531.51

СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА И ВЕРОЯТНОСТЬ БОЛЬШИХ ФЛУКТУАЦИЙ ВРЕМЕНИ

М.С. Шаповалова

The 5-dimensional spacetime V5 with foliation of codimension 1 is considered. The leaves of foliation are 4-dimensional spacetimes V4. We construct the fluctuations of 5-metric such that their contribution in the Fevnmann path integral over 5-dimensional trajectories is the same the contribution of the real physical spacetime. We also construct the statistical summ Z of canonical ensemble of 5-metrics determinated by the parameter 7 and using Z we find the probablitv of the metric with given parameter 7. Using the analogue of the formula of Einstein we evaluate the probablitv of the metric fluctuations.

Введение

В данной статье рассматривается 5-мерное пространство-время V5, на котором задано слоение коразмерности 1. Слои этого слоения определяют так называемые параллельные вселенные - 4-мерные миры V4,V4 и т.д. Каждый из миров имеет евклидову топологию IR4, но конечный объем 3-мерного пространства. Строятся крупномасштабные метрические флуктуации пространства-времени V5, зависящие только от временной переменной х1 и определяемые функцией h(xl). Функция h(xl) подбирается из условия, чтобы флуктуации давали такой же вклад в фейнмановский интеграл по траекториям как и реальное физическое 4-мерное пространство-время.

Рассматривается канонический ансамбль 5-метрик, определяемых параметром 7, и вычисляется статистическая сумма. С помощью статистической суммы находится вероятность реализации 5-метрики с параметром 7, лежащим в заданном интервале 71 < 7 < 72 и определяется наиболее вероятное значение параметра 7. С помощью аналога формулы Эйнштейна оценивается вероятность построенных флуктуаций времени пространства-времени V4.

1. Описание модели

Рассмотрим 5-мерное пространство-время

К5 = {(т°, х1, х2, х3, х4) е В5 : х1 > 1},

© 2001 М.С. Шаповалова

E-mail: f61shapovalova@phys.omsu.omskreg.ru Омский государственный университет

на котором задано слоение коразмерности 1 ( |6|, рис, 1, а)). Слои данного слоения задаются в плоскости (./•". ./•') формулой

х

In

X

a

Параметр 0 < a < const определяет 4-миры V4, V24,V4 и т.д.

a) b)

Рис. 1. Пространство-время V5 со слоением V'4

Зададим метрику на пространстве-времени П° в виде

dl2 = Gtkdxldxk =

= (X1 — 1 )2dx°~ — Utx' — exp ^^f2 — f^2 ~ sin'2(^)^2’ (1)

где j3 - некоторая константа, 0 < /1 < 1; у JS 0 - параметр, имеющий любое неотрицательное значение; г, в, ф - сферические координаты, связанные с координатами х2, хА, х4 формулами

{х2 = г sin в cos ф х3 = г sin в sin ф X'4 = г cos в

Для данной метрики скалярная кривизна R = ^2. Пространство-время П° топологически гомеоморфно (Ж х S'1) х Ж3, пространство-время V4 топологически гомеоморфно Ж4, Объем 3-пространства есть

г

sin в ехр

drd,6d4 = Атт(у + 1).

Таким образом, 3-пространство представляет собой некомпактное пространство с конечным объемом.

Ненулевые компоненты тензора энергии-импульса, соответствующего данной метрике, имеют вид

Тс

00

-(X1

к

I)2, Г,

11

А т

к

22

К

ехр

2 г

7+1

где к - постоянная Эйнштейна, к = ^г, к - гравитационная постоянная, с -скорость света в вакууме.

Действие Эйнштейна 5-мерного пространства-времени V5 находится по формуле

S = ~- [ R(G)l/2d5х,

« J

то есть

ж2 27Г оо ж 2ж

хо 0 О 0 0

х1 — 1) ехр

г

7 + 1

sin edx0dxldrd,ed4> =

Метрика (1) определена на 5-мерном цилиндре в 6-мерном пространстве с координатами (и0, и1, и2, и3, и4, и5)

V5 = К1 х S1 хК3 = [(и0, и1, и2, и3, и4, и5) е К6 : и0 > 0 & (м1)2 + (м2)2 = р2], (2)

где р - малая постоянная, радиус цилиндра (рис, 1, Ь)) [3], [4]. Координаты

(и0, и1, и2, и3, и4, и5) связаны с координатами (х°, х1, х2, х3, х4) по формулам

/'О 1 1

и = х — 1

и1 = Р COST0

и2 = psina:0 и* = хА

Рассмотрим пространство-время V4 с координатами которые

связаны с координатами в пространстве-времени V5 соотношениями

,о „1

х

х1

х2

х3

х4

In

Г-1

Индуцированная метрика пространства-времени V4 находится по формуле

дх1 дхгп

9ik — G

lm

dyi Qyk

Следовательно, метрика V4 имеет вид

ij„,k

dsa = fjikdi/dy

= ( — A dy°2 — exp (-dr2 — d02 — sin2 dd<f>2.

\<x2 / V 7+1/

Сигнатура этой метрики меняется. Она лоренцева, то сеть имеет вид < Н— — > в физической области проетранетва-времени V5, определяемой условием a < ~рТ/2- Скалярная кривизна проетранетва-времени V4 также, как и проетранетва-времени V5, равна R = —2. Ненулевые компоненты тензора энергии-импульса проетранетва-времени V4:

Тоо = -(Ч-0), Тп^-етрГ--^-).

к \az ) к \ 7 +1 /

В данном случае тензор энергии-импульса является физическим, так как выполняется условие

Т0о > 0,

Действие Эйнштейна для пространства-времени V4 есть

5 = -1^/Л(-9)1/2Л =

У2 оо ж 2ж

сг

(7+ 1) (

ехр

г

7 + 1

sin edy0drd9d(f> =

(у! - iA)

2. Построение метрических флуктуаций

Рассмотрим следующие флуктуации метрики (1)

dl2 = Glkdxldxk =

= (х1 — 1 )2dx°2 — [3dxl2 — exp ^ ДД^) e2h2{xl)dr2 — d02 — sin2 Qd(f)2.

Функция eh(xl) описывает флуктуации метрики, e - некоторый постоянный параметр; для простоты положим пока 6 = 1, Таким образом, данные флуктуации зависят только от переменной х1. Флуктуации имеют место в области

U = {0 < х° < оо, о < х1 < Ь, 0 < г < оо, 0 + 0 < 2я, 0 + Ф < тг},

v

5

4

Zone of fluctuations

U

2

Рис. 2. Область флуктуаций

изображенной па рис.2. На границе области U метрический тензор е флуктуациями Gik должен совпадать е метрическим тензором без флуктуаций G^, поэтому функция h(xl) должна удовлетворять граничным условиям: h(a) = h(b) = 1 или h(a) = h(b) = —1. Вне области U полагается h(xl) = 0.

Объем 3-ироетрапетва при данных флуктуациях

h(xl) sin в exp

7 + 1

drdddtp = 1 —/? (.г1 )(+ + 1)

по-прежнему конечен, следовательно, 3-ироетрапетво представляет собой некомпактное пространство конечного объема. Однако теперь объем 3-ирострапства не является постоянным, а зависит от времени у0 через функцию h{xl) ЕЕ %°).

При флуктуациях меняется кривизна пространства-времени Н°, Скалярная кривизна теперь сеть

R = R + AR

2 dh(xl) 2 d2h{xl)

Цх' — l)h(xl) dx1 j3h(xl) r/.r1

Непулевые компоненты тензора энергии-импульса в случае данных флуктуаций имеют вид

f = _1 (о_____________1 dh(xl)\

11 к \ (.г1 — l)h(xl) dx1 ) '

Т-2-2 = --охр (---ti2{xl),

« V 7+1У

1 / 1 d2h(xl) 1 dh(xl)\

к \j3h(xl) dx12 Цх' — l)h(xl) dx1 ) '

1 / 1 d2h(xl)

1

dh{xl

K^f3h( xl) dx12 ^ [3{xl ^ l)h{ xl) dxl Действие Эйнштейна е учетом флуктуаций есть

sin2 в.

Щ Ь оо ж 2ж

S

с

1б7тк

хо a О О О

/ 2 dh(xl) 2(х1 — 1) d2h(xl)

\fjl/2h(xl) dxl + fjl/2h(xl) dx1'2

~2j3l/2(xl - l)Jh(xl) exp

7 + 1

sin edx0dxld,rd,ed4>.

(3)

Чтобы флуктуации метрики давали такой же вклад в фейнмановекий интеграл по траекториям

Г eKp(iS/h)V[G5

как и реальное физическое пространство-время, необходимо, чтобы выполнялось условие

js/h _ js/n

С -- С 5

где S - действие Эйнштейна в случае флуктуаций [1,2,9]. Это выполняется при S = 2~nh. где и - некоторое (большое для классического случая) натуральное число, и S = 0.

Выполнения условия S = 2irnh легко добиться соответствующим подбором постоянной /3

2тт nhk

(3

с%(тг - 1)(7+ \){xl - xl)'

Найдем условие, при котором действие Эйнштейна S равно нулю. Разобьем S на две части

&

2 dh(xl 16тгА:J /ЗР2 dx1

■ exp

7 + 1

sin 6d5x

и

So

1б7гА:

2(xl — 1) d2h(xl) /Д/2 dx12

2f3l/2h(xl)(xl - 1) J exp

7 + 1

(4)

sin 6d5x.

(5)

Тогда S = 0 при >'| = О и ,+ = 0. В нашем случае Si = 0, так как равен нулю интеграл по х1 в (4). Действительно,

ь i h(b)

j dh(x^ ) cjxi _ J dh{xl) = h(a) — h(b) = 0,

a h{a)

так как по условию h(a) = h(b). Условие S2 = 0 выполняется, если

2(х1 — 1) d2h(х1) /З1/2 dx12

Функция h(xl), удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, имеет вид

h(x1) = С\ exp(/31/2T1) + С2 exp(^/31/2T1), (6)

где Ci,C2 - постоянные интегрирования, которые находятся из условий h(a) = 1, h(b) = 1 или h(a) = -1, h(b) = -1. При h(a) = 1, h(b) = 1

Ci = l/(exp ((/3)1/2o) + exp((/3)1/<2b)),

C2 = l/(exp (^(/3)1/2o) + exp(^(/3)1/2b)); при h{a) = —1, h(b) = —1

Ci = ^l/(exp((/3)1/<2o) + exp((/3)1/<2b)),

C2 = -l/(exp (^(/3)1/2o) + exp(^(/3)1/2b)).

Скалярная кривизна при данном выборе функции h(xl) есть

~ 2 С\ ехр(/31/'2т1) - С2 ехр(—/31/'2т1)

/51/2 (Ciexp^W) + С'2ехр(^/31/%1))(я:1 - 1)'

Данные флуктуации 5-метрики являются также метрическими флуктуациями для 4-мерного пространства-времени V4, при этом 4-метрика принимает вид

ds2a = ( Л - Р )dy'

exp

2 г

h2(y°)dr2 — d,92 — sin2 Qd(p

о- / \ 7 + 1

Скалярная кривизна пространства-времени У4 при данных флуктуациях есть

2

Д = Д + ЛД = —-------.

crp — 1

Ненулевые компоненты тензора энергии-импульса имееют вид

Т(

00

к \ а

ТЛ

11

2 г

ехр

к V 7 + 1

{Ci exp{(31^2х1) + С2 ехр(—/31/'2т1))/

22

1 2а2/3 ~ 1 2а2/3 . 2

,Д?з

sin 9.

к a2j3 — 1 « сС/З — 1

Очевидно, тензор энергии-импульса по-прежнему является физическим.

Действие Эйнштейна для пространства-времени V4 с учетом данных флуктуаций

с3

5

R{—g)^2d4x

Ь оо f 2f ,

2 / 1 \ +2 г

----г ( ~д — /3 ) Ну°) ехР(--------) si110dy°drded(f> =

crp — 1) \cr / 7+1

а о о о

= (Ci(eMf3l/2b) - exp(/^a)) - C^xpC-^b) - exp^^)))

и, таким образом, в отличие от действия для 5-мерного пространства-времени, не рано нулю.

3. Построение статистической суммы

Рассмотрим метрику (1) как одномерное минисуперпространтсво метрик, параметризованное величиной у. Амплитуда вероятности перехода от метрики <11 у в момент х5 к метрике <1 /’у в момент х92 определяется по формуле

< dI2xQ2\dI2xl >

/

exp

iS\ ,

T]dr

m

где интеграл берется по веем у, при которых метрика принимает значение <11 у в момент х5 и значение <11 у в момент х92. Но

< dl2,2yx2\dl2nyx2 >=< d/22|exp (—Ш(х2 — ж?)) |dl2n >, (8)

где II - гамильтониан.

Следуя [7], перейдем в исходной метрике (1) к мнимому времени т по формуле

х

о

i(3l/2r

и сделаем замену х1 = /31^2(х1 — 1), Тогда метрика принимает вид

dl2 = — \{xl2 dr2 + dxl2] — exp (-| dr2 — dO2 — sin2 Odd)2.

V 7+1/

Выражение в квадратных скобках представляет собой плоскую метрику двумерной плоскости в полярных координатах, в которой х1 играет роль полярного радиуса, т - роль полярного угла, "Угол" т имеет период 2п. Положим в выражении (8) 71 = 72 и просуммируем по веем 71, В результате получим

Sp [exp(^/31/,2i7(r2 — -77))] = у exp

Левая часть этого равенства представляет собой статистическую сумму Z канонического ансамбля, описывающего метрику I2. Из сравнения е аналогичной формулой в термодинамике находим, что роль температуры Т в нашем случае играет величина Т = 1/(/31/,2(т2 — д )). Интегрируя (9) по 7, имеем

(I) d7' (9)

Z

оо

о

ехр(^а)

О

где

а = -х°1) = 2,7- Ю70^2(х°2 - х°).

КП

Тогда вероятность метрики е параметром у, лежащим в интервале 71 < 7 < 72, находится по формуле

72 72

р(7) = | j exp(-a(7 + l))dy = о

71 7l

Например, при xf = 2, х2 = 3,/3 = 0,0001 данная вероятность заметно отлична от нуля только для очень маленьких значений ур при уг = 10^6В,у2 = 2 ■ 10 liB. Р = 0, 065; при 7i = 10 ,,н. д2 = 200, Р = 0, 07.

4. Оценка вероятности флуктуаций

Вероятность рассмотренных флуктуаций можно оценить е помощью аналога формулы Эйнштейна [8, е.224-225]

W = es'-s,

где S' - энтропия системы е флуктуациями и S - энтропия равновесного состояния. Причем энтропия канонического ансамбля 5-метрик вычисляется по формуле

$ = ^ J/(7) In f{l)dy,

где

/(7) = exp

- функция распределения по состояниям 7, a S - действие Эйнштейна, в котором сделана замена х° = ^г/31/,2т.

В 5-мерном случае действие Эйнштейна, с учетом данных флуктуаций, S' = 0, поэтому энтропия системы в этом случае также равна нулю. Тогда для вероятности флуктуаций имеем

J ехр(^о7)dy = е <Т71 — е <Т72.

W = exp(^S)

= exp

(7+l)e-<T(7+1)d7 = exp

1

- + 1 a

При этом в о надо положить х® = о, х2 = Ь. Если взять /3 = 0, 0001, b = 3, о = 2, то о = 2, 7-1068. Тогда энтропия системы очень мала, и вероятность флуктуаций очень близка к единице.

В 4-мерном случае действие Эйнштейна е учетом флуктуаций не равно нулю, и для вероятности флуктуаций имеем

W = ехр (S' — S) = ехр

exp(-f) ^-/“р Н)

о v ' о

ехр

— + 1 | е-01

Oi

— + 1 | е-<Т2 <72

где

^1 = ^щ^д3^у17у(С'1(ехр(/31/2Ь)^ехр(/31/2о))^С'1(ехр(^/31/2Ь)^ехр(^/31/2о))),

ff2 = s(7+1) (д-'3) (*-“)■

Вычисляя <71,02 ПРИ о = 2, Ь = 3, a = 2, /3 = 0,0001, мы находим, что оу почти В rp0xj|^00fp|^ JpctBHO ; И 0"i <72 5 • 1068, Следовательно, энтропия системы

с флуктуациями почти в точности равна энтропии системы без флуктуаций, и вероятность флуктуаций очень близка к единице,

5. Заключение

В работе построены метрические флуктуации, зависящие только от времени и не зависящие от пространственных координат. Таким образом, данные флуктуации происходят спонтанно во всем 3-пространстве одновременно (по абсолютному времени). Момент, когда происходит флуктуация метрики не может быть предсказан ни внутри 4-мерного пространства-времени V4, ни внутри 5-мерного пространства-времени V5. При данных флуктуациях объем 3-пространства перестает быть постоянным и меняется со временем, но сигнатура пространства-времени V4 остается неизменной, в отличии от флуктуаций, изученных в [3,4],

Найдена статистическая сумма для канонического ансамбля 5-метрик, определяемых параметром у. С помощью статистической суммы оценена вероятность реализации 5-метрики с параметром у, лежащим в интервале 71 < у < У2-Оказалось, данная вероятность существенно отлична от нуля только для очень маленьких значений параметра у = К) ,iH. Тогда в метрике (1) можно пренебречь у по сравнению с единицей. Следовательно, наиболее вероятной является метрика вида

dl2 = (х1 — 1 )2dx°2 — f3dxl2 — e~2rdr2 — dO2 — sin2 0d<f>2, где положено у = 0,

С помощью аналога формулы Эйнштейна оценена вероятность флуктуаций для 5-мерного и для 4-мерного пространства-времени. Установлено, что в обоих случаях эти вероятности очень близки к единице.

Литература

1. Modanese G. Large "Dipolar"Vacuum Fluctuations in quantum gravity. Los Alamos Paper gr-qc/0005009 (2000).

2. Modanese G. Virtual dipoles and large fluctuations in quantum gravity // Phvs. Letters. В 460. 276 (1999).

3. Шаповалова М.С. Флуктуации гравитационного поля Вселенной в т,еории Калуцы-Клейна // Тезисы докладов научной студенческой конференции (hi ГУ. Омск: ОмГУ. 2000. С.20-21.

4. Гуц А.К., Шаповалова М.С. Квантовые флуктуации времени // Программа и тезисы докладов Второй международной школы-семинара «Проблемы теоретической космологии». Улвяновск, 2000. С.29-31.

5. Guts А.К., Shapovalova M.S. Large fluctuations of time and change of

space-time signature. Los Alamos E-print Paper: gr-qc/0001076 (2000).

http://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/0012106

6. Тамура И. Топология слоений. Москва, 1979.

7. Хокинг С.В., Гиббонс С.В. Интегралы действия и статистические суммы в квантовой гравитации / Черные дыры. М.: Мир, 1978.

8. Румер Ю.Б., Рыбкин М.Ш. Термодинамика, стлтлютлтеская, физика и кинетика. М.: Наука, 1972.

9. Уилер Дж.А. Предвидение Эйнштейна. М.: Мир, 1970.